TIEÅU LUAÄN cơ sở đại số HIỆN đại một số bài tập về MOÂÑUN xạ ẢNH với MÔĐUN đối NGẪU

BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM   TIỂULUẬNCƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI MỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH VỚI MƠ ĐUN ĐỐI NGẪU Họ viên thực hiện: c TRƯƠNG THN HỒNG THỦY Ngành: Lý lu ận ph ương pháp dạy học mơn Tốn Lớp: Cao học khóa K20 (2011-2013) Giảng viên hướng dẫn: TS PHAN VĂ N THIỆN Huế, 02/2012 LỜI NĨI ĐẦU Hiện có r ất nhiều người quan tâm nghiên cứu lý thuy ết mơ đun Đối với học viên khoa Tốnở cao học, việc học môn C sở đại số đại tạo hội để tiếp cận sâu h ơn nghiên cứu thêm mảng lý thuy ết Trong mơ đun xạ ảnh mơ đun nội xạ hai l ớp mô đun quan trọng ý nghiên cứu nhiều Là m ột học viên cao học việc tìm tịi nghiên ứcu điều cần thiết nên làm Do kho ảng thời gian hạn hẹp với mục đích nghiên cứu thêm mơ đun xạ ảnh ch ọn đề tài tiểu luận “ M ỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU” Ph ần tiểu luận phân thành hai ch ương: Chương 1: Kiến thức chuNn bị Chương 2: Một số t ập mô đun xạ ảnh với mô đun đối ngẫu Tôi xin chân thành c ảm ơn hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo TS Phan Văn Thiện s ự ủng hộ, chia sẻ tài li ệu từ bạn lớp cao học Toán K20 trường đại học sư phạm Huế Tiểu luận nhi ều lí chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nh ận đóng góp ý ki ến tất người để tiểu luận hoàn thi ện Huế, ngày 12 tháng 02 năm 2012 Trương Thị Hồng Thủy MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chương KIẾN THỨC CHUẨN BN 1.1 Mô đun 1.2 Đồng cấu mô đun 1.3 Tích trực tiếp Tổng trực tiếp 1.4 Dãy kh ớp 1.5 Mô đun tự 1.6 Mô đun xạ ảnh 11 Chương MỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU 13 2.1 Bài t ập 13 2.2 Bài t ập 15 2.3 Bài t ập 16 2.4 Bài t ập 16 2.5 Bài t ập 17 2.6 Bài t ập 18 2.7 Bài t ập 19 2.8 Bài t ập 20 KẾT LUẬN 22 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 23 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BN 1.1 Mô đun Định nghĩa 1.1.1 Cho R m ột vành, ( M , +) nhóm aben M gọi R-mơ đun tráinếu có m ột ánh xạ (được gọi l phộp nhõn vụ h ng) RM ắắđM r, x ֏ rx thỏa mãn tính chất sau: (i) r(x + y) = rx + ry (r + s)x = rx + sx ; (ii) (rs)x = r(sx) ; (iii) 1.x = x ; ∀r, s ∈ R,∀x, y ∈ M Một R-mơ đun tráiM kí hiệu R M cịn g ọi m ột mơ đun trái trênR Tương tự, ta có m ột định nghĩa cho R-mô đun phải cách xét phép nhân vô h ướng bên phải M m ột R-mơ đun phải kí hiệu M R Nếu R m ột vành giao hốn kháiệnim mô đun trái môđun phải trùng Trong suốt tiểu luận n ếu không đề cập thêm thìđể đơn giản ta qui ước nói M R-mô đun nghĩa M m ột R-mô đun trái Định nghĩa 1.1.2 Cho M m ột R-mô đun Tập N M gọi mô đun M N m ột nhóm c nhóm c ộng M N đóng kín phép nhân vơ h ướng R-mô đun M Định lý 1.1.1 Cho M m ột R-mô đun, N m ột tập khác ỗrng M Khi khẳng định sau t ương đương: (i) N mô đun M (ii) ∀x , y ∈ N ,∀r ∈ R : x + y = N , rx ∈ N (iii) ∀r , s ∈ R ,∀x , y ∈ N : rx + sy ∈ N Định nghĩa 1.1.3 Cho N mô đun R-mơ đun M nhóm th ương (M / N , +) có c ấu trúc R-mơ đun với phép nhân ngồi định nghĩa: r (x + N ) = rx + N (r ∈ R , x ∈ M ) R-mô đun (M / N , +,.) gọi mô đun thương mô đun M mô đun N Định nghĩa 1.1.4 Cho S m ột tập R-mô đun M Mô đun bé M chứa S gọi mô đun M sinh S, ký hi ệu: S Nếu M = S S gọi m ột hệ sinh M M sinh S Nếu M có hệ sinh hữu hạn M gọi mô đun hữu hạn sinh 1.2 Đồng cấu mô đun Định nghĩa 1.2.1 Cho M , N R-mô đun Ánh x f : M ¾¾® N gọi m ột đồng cấu R-mơ đun hay g ọi R-đồng cấu cácđiều kiện sau thỏa mãn: f (x + y) = f (x) + f ( y) f (rx) = rf ( x) ∀x, y ∈ M , r ∈ R Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn c ấu, đẳng cấu f đơn ánh, toàn ánh, song ánhươtng ứng Nếu có m ột đẳng cấu f : M ắắđ N thỡ M c gi l ng cấu với N, kí hiệu M ≅ N Nếu f : M ắắđ N l m t R-ng cu ta có: (i) f (0) = (ii) f (− x) = − f (x),∀x ∈ M i vi mt ng cu f : M ắắđ N ta kí hiệu Im f = f (M ) Ker f = { x ∈ M | f (x) = 0} = f −1 (0) Gọi Im f ảnh f, Ker f hạt nhân f Mệnh 1.2.1 Cho f : M ắắđ N l ng cấu R-mơ đun Khi f đơn cấu ch ỉ Ker f = Định nghĩa 1.2.2 Cho M N hai R-mô đun Tập hợp tất cácR-đồng cấu từ M vào N ký hi ệu HomR ( M , N ) Mệnh đề 1.2.2 Cho R vành giao hoán Khi v ới phép cộng nhân vơ hướng: ∀f , g ∈ HomR (M , N ), r ∈ R : ( f + g)( x) = f (x) + g( x),∀x ∈ M (rf )(x) = rf (x),∀x ∈ M HomR (M , N ) m ột R-mô đun Định nghĩa 1.2.3 Cho R vành giao hốn xem R m ột mơ đun nó, R-mơ đun M * = HomR (M , R) gọi mô đun đối ngẫu M Với phần cho trước tùy ý u ∈ M ta xácđịnh ánh xạ u : M * ắắđ R,u ( f ) = f (u),"f Ỵ M * Dễ kiểm tra thấy ϕu m ột R-đồng cấu, tức m ột phần tử mô đun đối ngẫu M ** M * Hơn nữa, tương ứng u u cho ta mt R-ng cu e :M ắắđM ** gọi đồng cấu tự nhiêntừ mô đun M vào mơ đun song đối ngẫu M** Nói chung đồng cấu ε khơng ph ải đẳng cấu, chí nói chung khơng ph ải đơn cấu Nếu ε đẳng cấu mơ đun M gọi mô đun phản xạ Các mô đun đối ngẫu đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc mơđun có r ất nhiều ứng dụng khác đại số 1.3 Tích trực tiếp Tổng trực tiếp Định nghĩa 1.3.1 Cho họ ∏ M i = {(xi )i∈I | Descartes i∈I ∀ hướng: ( x ) ,( y ) i i∈I i i∈ I ∈ i∈ m ột R-mơ đun, gọi tích trực tiếp họ {M i }i∈I Trường hợp M i = M với i ∈ I ta ký hi ệu ∏ M i = M I Một tồn c ấu R-mơ đun gọi phép chiếu tự nhiên Định nghĩa 1.3.2 Cho {M i }i∈I tích Descartes ∏ M i gồm tất phần tử ( xi ) mà i∈I trừ số hữu hạn số i ∈ I , m ột mô đun con, gọi (hay tổng trực tiếp ) họ Trong trường hợp M i = M với i ∈ I ta ký hi ệu Å M i Một họ đơn cấu R-mô đun qj :Mj xj gọi phép nhúng ựt nhiên i=j i¹j Khi I t ập hữu hạn Õ M i i∈I Å M i mô đun thực Õ M i Thông th ường, xét tích trực tiếp ta i∈I quan tâm phép chiếu p j , nhúng q j Định lý 1.3.1 Cho R m ột vành giao hoán Với i ∈ I , M i R-mơ đun ( M )* M * Å i ∈I = ∏i∈I i i Chứng minh Cho f Î (Åi∈I M i ) *, cho fi : M i ắắđ R, fi (mi ) = f (m) , thành ph ần thứ i m mi , ngược lại Khi f m ột hàm xácđịnh i với i ∈ I Hơn n ữa fi Ỵ M i * Xét tương ứng f :( Å f M )* i∈I i ắắđiI (fi )iI M * i D thy đơn )ánh fta cho i )i∈I , định nghĩa ֏ vàflà (m R ,φ xác m định DBõy thy ( ( fM ) * v ắắđ iI i ∑i∈I i i Ỵ Åi∈I i f: Å M i∈I i ( f ) = ( fi )i∈I , φ tồn ánh Ta dễ dàng ki ểm tra φ đồng cấu mô đun f 1.4 Dãy kh ớp Định nghĩa 1.4.1 Mt dóy cỏcng cu R-mụ un ắắf đ M i ắắf đ M i ắắf đ M i +1 ắắf + đ i i i i gọi khớp i Im( fi −1 ) = Ker( fi ) Dãy kh p ắắđ X ắắfđ Y ắắgđ Z ắắđ0 gọi dãy kh ớp ngắn Ta thấy dãy cỏcng cu R-mụ un ắắđ X ắắfđ Y ắắgđ Z ắắđ0 khp thỡ X Im f v Z ≅ Y / Im f Định nghĩa 1.4.2 Dãy kh p ắắđ X ắắfđ Y ắắgđ Z ắắđ gọi chẻ Y Im f m ột hạng tử trực tiếp Y Dãy kh ớp chẻ mô đun không n ằm hai đầu gọi dãy kh ớp chẻ Định lý 1.5.1 Cho M R-mô đun Tập S ⊂ M m ột sở ch ỉ ánh xạ bao hm i : S ắắđ M cú th mở rộng thành đẳng cấu R-mô đun h : F ¾¾® M với F R-mơ đun tự sinh S f Hệ 1.5.1 R-mô đun M t ự ch ỉ M có m ột sở Định lý 1.5.2 U = {ei | i Ỵ I } mở rộng cách nht thnh ng cu : F ắắđ X Chng minh ng cu : F ắắđ X c xácđịnh hệ thức Bây gi ψ : F ắắđ X y (ei ) = f (ei ),i ∈ I ψ (∑xi ei ) = ∑xiψ (ei ) = ∑xi f (ei ) = ϕ(∑xi ei ) Điều ch ứng tỏ ϕ =ψ 1.6 Mô đun xạ ảnh Định nghĩa 1.6.1 R-mô đun P gọi xạ ảnh đồng cấu R-mô đun f : P → B m ọi toàn c ấu m ọi tồn c ấu R-mơ đun g : A → B có đồng cấu R-mô đun h : P → A thỏa gh = f 11 h A Định lý 1.6.1 Mọi mô đun tự x ảnh Mệnh đề 1.6.1 Cho X R-mô đun Các khẳng định sau tương đương: (i) (ii) X R-mô đun xạ ảnh Mọi dóy kh p ngn cỏcng cu R-mụ un ắắđU ¾¾α® V ¾¾β® X ¾¾®0 chẻ (iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R-mô đun tự 12 Chương MỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU 2.1 Bài t ập Cho R vành giao hốn Chứng minh P R-mơ đun tự hữu hạn sinh, có m ột đẳng cấu tự nhiênP ≅ P * * Chứng minh Nếu ta chọn R-cơ sở e1 , , en P f ∈ P * hoàn toàn xác định với giá ịtr ei ,i = 1, , n t ương ứng f với n-bộ ( ( f (e1 ), , f (en )) Ỵ Rn ) cho ta R-tuyến tính đơn ánh ừt P * vào R n tồn ánh Ta định ngha f i : P ắắđ R bi f i (r1e1 + + rn en ) = ri Đây hàm t ọa độ thứ i theo sở P ta ch ọn Khi đó, ánh xạ P* ® Rn biến hàm t ọa độ thành vect thứ i sở trực chuNn Rn Ta có đẳng cấu P* ® Rn , hàm tọa độ cho sở P phải c sở P* Vì với sở e1 , , en cho sở m ột sở đối ngẫu Nó e * , ,e * (các hàm f n nghĩa Bây gi ta chứng minh t ập trên: Ta ánh xạ R-tuyến tính P ắắđ P ** cho mi R-mụ un P, sau kiếm tra đẳng cấu P h ữu hạn t ự Mỗi phần tử thuộc m ∈ P , ta có: ∀f , g ∈ P*, r ∈ R : 13 ( rf )( m ) = r ( f ( m)) Cho ϕ m : P * ắắđ R ,m ( f ) = f (m) dễ thấy ϕm m ột R-đồng cấu nên ϕm ∈ P ** Xét tương ứng P ắắđP ** m m Ta cú: m +m '( f ) = f (m + m ')= f (m )+ f (m ')= ϕ( m + ϕm ' )(f ) Vì ϕ m +m ' = ϕ m + ϕm ' Tương tự: ϕ rm = rϕm với r ∈ R Từ suy t ương ứng m ֏ ϕm R-đồng cấu P ¾¾® P ** với Rmơ đun P Bây gi ta chứng minh ánh xạ từ P vào tự trênR Cho e , , e R-cơ sở P Cho e * , ,e * c sở đối ngẫu n m ¹ e * ( m Ỵ P i khơng ph ải ph ần tử m = , ú ỏnh x P ắắđ P ** đơn ánh Bây gi ta chọn ε Ỵ P **, cần tìm ε ( f ) = f (m),"f Ỵ P * Vì hai vế phương trình ến tính f nên tìm thấy m làm cho ph ương trình th ỏa f tácđộng lên sở đối ngẫu từ việc mở rộng P * Cho = ε (ei* ) Ỵ R n m=∑ ei ∈ P ε (ei * ) = = ei* (m) , ε = ϕm i =1 14 định nghĩa Tương ứng m m cho ta mt R-ng cu P ắắđ P ** với mô đun P, không ch ỉ với mơ đun tự hữu hạn sinh làđồng cấu tự nhiên ừt mơ đun tới song đối ngẫu Cho m ột mơ đun tự hữu hạn sinh, tương ứng m ột đẳng cấu g ọi đẳng cấu song đối ngẫu Theo đẳng cấu này, c sở trênP ** đối ngẫu với sở đối ngẫu e * , ,e * nguyên gốc e1 , , en Thật vậy, ta có 2.2 Bài t ập Homℤ (M / P, ℤ) = Chứng minh Cho M: A= {(2A1 , 2 A2 , , n An , ) : Ỵℤ} , B= {(3b1 ,32 b2 , ,3n bn , ) : bi Îℤ}, Một phần tử A có d ạng (2A1 , 22 A2 , ,2n −1 An−1 ,0,0, ) + 2n (một phần tử M) Do f (P) = , ta có f ( A) Í 2n ℤ với n, f ( A) = Tương tự, ta có f (B) = Từ f (M ) = f ( A) + f (B) = Nhận xét Ta bi ết P m ột R-mô đun tự P mơ đun xạ ảnh Ở giả thiết ta ch ỉ xét cho P mô đun tự ph ải cho P hữu hạn sinh có m ột đẳng cấu tự nhiênP ≅ P ** Còn t ập cho P m ột R-mô đun xạ ảnh (khơng cho h ữu hạn sinh) thỡ ta cú n cu P ắắđ P ** ( t ập sau) Về t ập ta ũcng có P m ột R-mô đun tự nên môđun xạ ảnh 15 2.3 Bài t ập Chứng minh tích trực tiếp M = ∏i∈ℕ ℤi , ℤi =ℤ không ℤ-mô đun xạ ảnh Giả sử M ℤ-mô đun xạ ảnh Ta có M Í F với F m ột nhóm abel t ự với sở {ei : i Ỵ I} Từ P = Å i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ đếm được, ta có th ể phân tích I thành I1 È I2 { ei : i Ỵ I1} Chú ý chiếu từ F vào ei ℤ với i Ỵ I2 , ta cú ng cu f : F ắắđ với f (M ) ¹ f (F1 ) = (vì F (P) = ) (mâu thu Nn t ập 2) 2.4 Bài t ập Một R -mô đun phải P x ảnh ch ỉ tồn họ phần tử {ai }i∈I P hàm tuyến tính { fi }i∈I HomR (P, R) cho hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với a Ỵ P , fi (a) = với hầu hết i (ii) a = ∑i∈I fi (a),∀a ∈ P Chứng minh Giả sử P R-mô đun phải xạ ảnh φ : F ® P m ột R-tồn cấu, F R-mơ đun tự có c sở (ei )i∈I Khi dãy kh ớp ngắn ® Ker đ F ắắđ P đ l ch ra, t ồn R-đồng cấu f : P ® F cho φ f = 1P Với phần tử tùy ý a Ỵ P f (a) Ỵ F ln có m ột khai triển hữu hạn f (a) = e ∑i∈Ii f , i ( a ) tức có h ữu hạn phần tử i Ỵ I cho fi ( a ) ¹ Khi rõ ràng t ương ứng fi : P ® R xácđịnh fi (a) = fi ( a ) ,"a Ỵ P R-đồng cấu thỏa mãn điều kiện (i) với i Î I Bây gi ta đặt = φ(ei ),"i Ỵ I 16 ( f )( a ) a = φ ( e f =φ ∑i ) i ( a ) = ∑φ i∈I Khi h ọ (ai )i∈I ∈ P ( e ) f i a i ( a ) = ∑i i∈I f ( a) , i i∈I điều kiện (ii) thỏa Ngược lại, giả sử tồn họ phần tử {ai { fi }i∈I } i∈I P hàm tuyến tính HomR (P, R) thỏa điều kiện (i) (ii) Xétậpt hợp S = {ei } i ∈I m ột ánh xạ g : S → P xácđịnh g (ei ) = ,∀i ∈ I Cho F m ột R-mô đun tự ậtp S Khi theo tính ph ổ dụng mô đun tự do, tồn Rđồng cấu φ : F → P mở rộng g, tức cho φ(ei ) = ,∀i ∈ I Bây gi ta định nghĩa ánh xạ f : P → F h ữu hạn nênf hoàn toàn xác định R-đồng cấu Khi ta suy (φ f )(a) = φ (∑ei fi (a)) = ∑φ (ei ) fi (a) = ∑ fi (a) = a,∀a ∈ P i∈I tức φ f = 1P Do dãy kh ớp ngắn đ Ker đ F ắắđ P đ ch ẻ Điều nói lên P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun tự F nênP R-mô đun xạ ảnh Định lý chứng minh Nhận xét Để thuận tiện, đề cập đến {ai , fi đối ngẫu” cho mô đun (xạ ảnh) P Dĩ nhiên, họ {ai } “ cặp sở }i∈I , Ỵ P m ột dạng tập sinh không nh ất thiết c sở P 2.5 Bài t ập Chứng minh với R vành giao hốn P R-mơ đun xạ ảnh bất kỳ, ánh xạ tự nhiênε : P → P ** m ột đơn cấu Chứng minh Ta biết R-đồng cấu tự nhiên ε : P → P ** định nghĩa ɵ ɵ ε (a) = a (cho a ∈ P ) f a = f (a),∀f ∈ P * 17 a ∈ Ker(ε ) , Nếu a = ∑i∈I ɵ = f a = f (a ),∀f ∈ P * Từ phương trình f i (a ),∀a ∈ P t ập 4, ta suy a = Nhận xét Trong chứng minh t ập P m ột xạ ảnh hữu hạn sinh ch ỉ tồn ập cho a = {ai , fi :1 ≤ i ≤ n} thỏa điều kiện t ∑i∈I fi (a),∀a ∈ P Trong trường hợp này, có th ể hàm tuyến tính { fi }i∈I sinh P * Hơn nữa, ánh xạ ε : P → P ** định nghĩa đẳng cấu R-mơ đun Chi tiết ta có t ập sau 2.6 Bài t ập Cho R vành giao hốn P m ột R-mơ đun xạ ảnh hữu hạn sinh với cặp sở đối ngẫu {ai , fi :1 ≤ i ≤ n} Khi P * m ột R-mơ đun ɵ ɵ v ới a ∈ P, a ∈ P ** , định nghĩa f a = f (a),∀f ∈ P * Chứng minh rằng: (a) {f (b) P * m ột R-mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh ɵ i ,a i } m ột cặp sở đối ngẫu cho P * ɵ Ánh x tự nhiênε : P → P ** định nghĩa ε (a ) = a (với a ∈ P ) đẳng cấu R-mô đun (c) Chứng minh (a) Ta phải f= ∑ ( f aɵi ) fi ,∀f ∈ P * Thật vậy, xét vế phải, với a ∈ P Ta có: ɵ (b) Theo t ập (a) bao g ồm (b) ɵ (c) Trong t ập rõ ràng ε đơn ánh Từ f = ∑ ( f ) fi , { fi } m ột tập sinh cho P * Áp d ụng kết luận cho c ặp sở đối ngẫu 18 { fi , aɵi } cho P * , ta thấy e {aɵ } m ột tập sinh cho P ** Vì aɵ i i = ε (ai ) , : P ® P ** m ột tồn ánh, ε m ột đẳng cấu Nhận xét Thực ε : P ® P ** m ột đẳng cấu (trong trường hợp P m ột xạ ảnh hữu hạn sinh) có th ể chứng minh cho trường hợp P t ự hữu hạn sinh t ập Trong trường hợp P = R , ta có P* = R P ** = R ánh xạ ε m ột ánh xạ đồng từ R vào R Lấy tổng trực tiếp hữu hạn ta thấy ε m ột đẳng cấu với P = Rn Cho mô đun xạ ảnh P hữu hạn sinh, cố định mô đun Q cho P Å Q @ Rn Vì ε P ÅQ = ε P Å εQ m ột đẳng cấu nênεP m ột đẳng cấu Trong trường hợp giả thiết khơng h ữu hạn sinh sao? Có v ẻ cơng thức tính tốnở (a) cho m ọi cặp sở đối ngẫu {ai , fi phải Nếu tập ɵ với f Î P*, f a i } Tuy nhiên không {ai , fi } vô h ạn, ta cách bi ết được, đối = f (ai ) không cho t ất hữu hạn với nhiều i ɵ Nếu khơng có điều này, t ∑i ( f a i ) fi trở nên vô nghĩa Bài t ập t ập đưa sau đề cập thêm mối quan hệ P P** trường hợp không h ữu hạn sinh 2.7 Bài t ập Cho ví dụ (tất yếu khơng ph ải hữu hạn sinh) R-mô đun xạ ảnh P, P cho (1) đối ngẫu đầu tiênP* P không ph ải R-mô đun xạ ảnh (2) phép nhúng tự nhiên P vào P ** không ph ải đẳng cấu 1 Bài gi ải (1) Cho R = Z gi ả sử P không ph ải h ữu hạn sinh Ta có Rmơ đun tự Z Å ZÅ Khi đó: P* = HomZ (Z Å Z Å , Z ) @ Z ´ Z´ Đây không ph ải Z-mô đun xạ ảnh 19 (2) Cho R = Q, P = Q Å QÅ m ột Q-không gian vect (tự do) với số chiều đếm Như (1), có P* ≅ Q × Q× m ột Q-không gian vectơ với số chiều khơng đếm Rõ ràng, đối ngẫu P ** c ũng -không gian vect với số chiều khơng đếm Vì thế, phép nhúng ựt Q nhiênε : P ® P ** khơng th ể m ột đẳng cấu Nhận xét: Trong (2), làm vi ệc với trường Q thực tế khơng đếm d ễ thấy Q × Q× chung, thực tế k × k × k-chi ều khơng nào, có th ể chọn P = k Å k Å trường k cho (2) 2.8 Bài j = i , x j = j ¹ i Chứng minh với f Ỵ Homℤ (M , Z) , ta có f (ei ) = với hầu hết i (i) (ii) Đặt P = Å i∈ℕ ℤ i , ℤ i = ℤ, P* = Homℤ (P,ℤ) Chứng minh P ≅ P * * Chứng minh P m ột Z-mô đun tự Để chứng minh (ii) ta chứng minh phép nhúng ựt nhiênε : P → P ** m ột đẳng cấu Ta chứng minh điều cách giả sử có (i) Vì P Z-mô đun tự nên môđun xạ ảnh, suy ε m ột đơn ánh theo tập Ta chứng minh ε toàn ánh với f Ỵ HomZ (P*, Z) Giống t ập 7, có th ể xem P* M Theo (i) tồn n cho f (ei ) = với i>n Cho Z en +1 Å Zen+2 Å , từ = f (ei )(i ³ 1) a = (a1 , a2 , ) Ỵ P , có f (x1 , x2 , ) = f (x1 , , xn ,0, ) + f (0, ,0, xn +1 , xn+2 , ) = x1 f (e1 ) + xn f (en ) 20 x a = ∑i∞=1 = ε (a )(x1 , x2 , ) i i Do đó: f = ε (a) Ta chứng minh (i), ta cho giả thiết, thay vào f (ei ) ¹ với vơ h ạn i Vì có th ể giả sử f (ei ) ¹ , với i ³1 Ta thay ei -ei cần thiết, giả sử := f (ei ) > Qui định với số nguyên ốt p không chia h ết cho a1 định nghĩa hai dãy { y n , x n : n ³ 1} Í X qui nạp trênn sau: y1 = x1 = 1, cho n > 1, y n = x1 a1 + + xn −1an −1 , xn = pyn Chú ý y n = y n −1 + xn −1 an −1 = y n −1 (1 + pan −1 )(n ³ 2) , xn = pyn chia h ết cho yn với i ≤ n Bây gi với n tùy ý: f (x1 , x2 , ) = f (x1 , , xn −1 ,0,0, ) + f (0, ,0, xn , xn+1 , ) = y n + f (0, ,0, x n , xn+1 , ) chia h ết cho yn Cho yn đ Ơ , iu ny bao g ồm f (x1 , x2 , ) = Từ f (x1 , x2 , ) = f (1,0,0, ) + f (0, py , py3 , ) = a1 + pf (0, y , y2 , ) , Chúng ta có p chia hết cho a1 , mâu thu Nn! Nhận xét: Tích trực tiếp M = ∏i∈ℕ ℤi , ℤ i = ℤ khơng ℤ-mơ đun xạ ảnh nên khơng phải ℤ-mô đun tự M không ph ải hữu hạn sinh Do v ới M nói chung khơng có đẳng cấu M M** 21 KẾT LUẬN Trong tiểu luận c ố gắng trình bày nh ững kiến thức chuNn bị chương nhằm phục vụ cho việc giải tập chương mô đun xạ ảnh với mô đun đối ngẫu Một số t ập đưa nhằm để giải số t ập khác ốs cịn l ại Ph ần lớn mệnh đề, định lý, h ệ chương khơng ch ứng minh có th ể tìm thấy chứng minh chi tiết [1] Mặc dù tơi c ố gắng nhiều để hồn thành ti ểu luận nh ưng chắn không tránh khỏi thiếu sót Mong góp ý c thầy cô bạn 22 TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Thiện, Giáo trình sở đại số đại, Đại học sư phạm Huế, 2012 [2] Nguyễn Tự Cường , Đại số đại, Đại học Quốc gia Hà N ội, 2003 [3] T.Y Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999 [4] T.Y Lam, Exercices in Modules and Rings, Springer, 2007 [5] Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun nhóm Aben , Nhà xu ất đại học sư phạm, 2008 23 24 ... đun xạ ảnh ch ọn đề tài tiểu luận “ M ỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU” Ph ần tiểu luận phân thành hai ch ương: Chương 1: Kiến thức chuNn bị Chương 2: Một số t ập mô đun xạ ảnh. .. Mô đun xạ ảnh 11 Chương MỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU 13 2.1 Bài t ập 13 2.2 Bài t ập 15 2.3 Bài t ập... Chương MỘT SỐ BÀI T ẬP VỀ MÔ ĐUN XẠ ẢNH VỚI MÔ ĐUN ĐỐI NGẪU 2.1 Bài t ập Cho R vành giao hoán Chứng minh P R-mơ đun tự hữu hạn sinh, có m ột đẳng cấu tự nhiênP ≅ P * * Chứng minh Nếu ta chọn R -cơ sở