(Luận văn) bài toán đổi tiền của frobenius

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỤY PHƢƠNG HOÀI lu an n va p ie gh tn to BÀI TOÁN ĐỔI TIỀN CỦA FROBENIUS d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỤY PHƢƠNG HOÀI lu an n va p ie gh tn to BÀI TOÁN ĐỔI TIỀN CỦA FROBENIUS nl w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d oa Mã số: 8460113 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Hoàng Lê Trƣờng m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si Mục lục 1 Bài toán đổi tiền Frobenius an n va Hàm sinh 1.2 Hai hệ đồng xu 1.3 Phân thức đơn giản công thức Frobenius 17 1.4 Kết Sylvester 22 1.5 Số Frobenius cho hai đồng xu 25 Định lý Sylvester 29 ie gh tn to 1.1 p lu MỞ ĐẦU nl w 1.6 33 oa Một số vấn đề mở rộng Ba đồng xu nhiều đồng xu 33 2.2 Số Frobenius cho tập đặc biệt 39 nf va an lu 2.2.1 Số Frobenius cho cấp số cộng 39 2.2.2 Số Frobenius cho cấp số nhân 40 lm ul 2.3 d 2.1 Một số ví dụ 42 45 46 z Tài liệu tham khảo z at nh oi Kết luận m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Fredinand Georg Frobenius (1849 - 1917) nhà toán học người Đức tiếng với đóng góp lý thuyết hàm Eliptic, phương trình vi phân lý thuyết nhóm Bài tốn Diophantine tuyến tính ơng có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học lý thuyết số, lý thuyết tự động tổ hợp Một ví dụ tiếng tốn Diophantine tuyến tính Frobenius "Bài toán đổi tiền lu an Frobenius": Cho trước k loại tiền có mệnh giá số tự nhiên nguyên n va tố nhau, xác định khoản tiền lớn đổi thành loại tn to tiền Cũng có nhiều ví dụ số học sơ cấp dạng như: Tìm khoản tiền lớn đổi thành loại tiền mệnh giá xu, xu, gh p ie xu Bài toán Frobenius giải cho trường hợp hai số Ta nl w biết công thức tính số Frobenius hai số tự nhiên a, b nguyên tố d oa ab − a − b số nguyên dương không biểu diễn qua a, b (a − 1)(b − 1) Nhưng việc giải với trường hợp nhiều số vơ khó đến toán mở nf va an lu lm ul Trong luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống vài kết quan trọng Bài toán đổi tiền Frobenius Mục tiêu z at nh oi luận văn trả lời câu hỏi khoản tiền cho trước đổi thành đồng tiền với mệnh giá cho trước, xác định khoản tiền lớn z khơng thể đổi xác định có cách để đổi tiền Chính @ vậy, chúng tơi chọn đề tài “Bài toán đổi tiền Frobenius” làm chủ gm l đề nghiên cứu cho luận văn m co Bố cục luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo an Lu Trong chương 1, giới thiệu sơ lược toán đổi tiền n va ac th si Frobenius, trình bày cơng thức Frobenius cho trường hợp hai số kết Sylvester Bài toán Frobenius cho hai đồng xu chứng minh định lý Sylvester trình bày phần cuối Chương Chương trình bày số kết trường hợp đặc biệt toán Frobenius cho ba số cho tập đặc biệt Cuối chương chúng tơi có trình bày hai ví dụ thực tế tương tự với toán đổi tiền Frobenius Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun, Phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn K10 tận tình lu an hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập, n va nghiên cứu hồn thành luận văn tn to Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Hồng Lê Trường, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học Với gh p ie kiến thức, kinh nghiệm quý báu, thầy ân cần bảo giúp đỡ tác giả tự tin, vượt qua khó khăn, trở ngại trình nghiên cứu để oa nl w hồn thành luận văn Xin bày tỏ lịng biết ơn tác giả đến bạn học viên, đồng d an lu nghiệp, người thân động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác nf va giả hồn thành khóa học lm ul Xin chân thành cảm ơn ! z at nh oi Tác giả z m co l gm @ Ngụy Phương Hoài an Lu n va ac th si Chương Bài toán đổi tiền Frobenius lu Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị an hàm sinh, ứng dụng hàm sinh để tìm hàm phân hoạch có giới va hạn, từ chứng minh tốn Frobenius cho hai số nguyên tố n tn to Bài toán Frobenius ví dụ luận văn giúp trả lời câu gh hỏi số tiền lớn không xuất dùng hệ thống tiền hay số p ie điểm cao khơng xuất trị chơi Phần cuối chương trình bày số kết số Frobenius trường hợp Hàm sinh nf va an lu 1.1 d oa nl w ba số trường hợp đặc biệt cấp số cộng, cấp số nhân Hàm sinh có nhiều ứng dụng toán rời rạc lý thuyết số lm ul Hàm sinh giúp ta chuyển toán dãy số thành toán hàm số Với điều dễ dàng giải số z at nh oi toán Giả sử khảo sát dãy số vô hạn (ak )∞ k=0 phát sinh z hình học theo kiểu đệ quy (truy hồi) Tìm “cơng thức xác” @ gm để tính giá trị ak theo số k ? Có cách xác định ak khác nhau? X m an Lu k≥0 ak z k co F (z) = l Chuyển dãy số vào hàm sinh cho phép tìm câu trả lời cho câu hỏi cách vô n va ac th si nhanh chóng dễ dàng Chúng ta coi hàm F (z) kết việc chuyển đổi dãy số (ak ) từ hàm rời rạc sang hàm liên tục Để minh họa cho khái niệm này, bắt đầu ví dụ cổ điển dãy Fibonacci fk đặt tên theo tên nhà toán học Leonardo Pisano Fibonacci định nghĩa công thức truy hồi f0 = 0, f1 = 1, fk+2 = fk+1 + fk với k ≥ Từ ta có giá trị dãy số lu (fk )∞ k=0 = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ) an n va Bây xem hàm sinh mang lại kết cho chúng gh tn to ta Nhắc lại hàm sinh dãy Fibonacci (fk )∞ k=0 X F (z) := fk z k p ie k≥0 k≥0 d k≥0 oa nl w Chúng ta đặt hai vế công thức truy hồi vào hàm sinh X X X X k k k fk+2 z = (fk+1 + fk )z = fk+1 z + fk z k (1.1) k≥0 k≥0 lu X fk+2 z k = nf va an Vế trái đẳng thức (1.1) k≥0 z at nh oi lm ul X X k+2 k f z = f z = (F (z) − z) k+2 k z k≥0 z k≥2 z2 Trong vế phải đẳng thức (1.1) có giá trị X fk z k = F (z) + F (z) z k≥0 X z k≥0 fk+1 z k + @ l gm Theo đó, đẳng thức (1.1) viết lại sau m co 1 (F (z) − z) = F (z) + F (z), z2 z F (z) = n ac th va z − z − z2 an Lu si Khi khai triển hàm F (z) thành chuỗi lũy thừa, có dãy số Fibonacci hệ số chuỗi z = z + z + 2z + 3z + 5z + 8z + 13z + 21z + 34z + − z − z2 Bây ta sử dụng phương pháp giải hàm hữu tỷ thường dùng: phương pháp khai triển phân thức hữu tỷ thành phân thức hữu tỷ đơn giản Xét trường hợp chúng ta, phần mẫu số √ ! √ ! − + z 1− z − z − z2 = − 2 lu an n va (1.2) ie gh tn to khai triển thành phân thức hữu tỷ đơn giản, ta có √ √ z 1/ 1/ √ − √ F (z) = = − z − z2 1+ 1− 1− z 1− z 2 p Hai biểu thức khai triển thành chuỗi thơng qua chuỗi hình w học oa nl X xk = d k≥0 1−x (1.3) nf va an lu √ √ 1− 1+ z x = z Từ đó, ta thu với giá trị tương ứng x = 2 √ !k √ !k ∞ ∞ z X 1+ X 1− F (z) = =√ z −√ z − z − z2 2 k≥0 k≥0  √ !k √ !k  ∞ X 1−  k  1+ − z =√ 2 k≥0 z at nh oi lm ul z @ P fk z k với hệ số k≥0 l gm So sánh hệ số z k định nghĩa F (z) = k m co z biểu thức F (z) bên trên, nhận công thức √ !k √ !k 1 1+ 1− fk = √ −√ 2 5 an Lu n va ac th si cho dãy Fibonacci Phương pháp phân tích hàm sinh hữu tỷ thành phân thức đơn giản công cụ tốn học quan trọng Bởi sử dụng phương pháp phân tích đa thức hữu tỷ thành đa thức đơn giản nên phát biểu chuẩn tắc phương pháp định lý sau Định lý 1.1.1 (Khai triển phân thức đơn giản) Cho hàm hữu tỷ p(z) , ek k=1 (z − ak ) F (z) := Qm lu an p đa thức có bậc nhỏ e1 + e2 + + em ak n va gh tn to số phân biệt, tồn phép phân tích  m  X ck,2 ck,ek ck,1 + + + F (z) = , z − ak (z − ak )2 (z − ak )ek k=1 ie p ck,j ∈ C giá trị w Hai hệ đồng xu d oa nl 1.2 an lu Hãy tưởng tượng đưa hệ thống đồng tiền Thay nf va việc sử dụng đồng cent, đồng cent, 10 cent 25 cent, đồng ý sử dụng đồng cent, 7cent, cent 34 cent Chúng ta có lm ul thể nhược điểm hệ thống đồng tiền sau: z at nh oi vài số tiền hệ thống cũ đổi sang số tiền hệ thống (trừ đồng tiền có sẵn), ví dụ cent Tuy nhiên, nhược điểm làm cho hệ thống đồng tiền thú vị hệ thống z gm @ đồng tiền cũ, đặt câu hỏi “có thể thu tổng giá trị tiền không đổi bao nhiêu?” Thực tế sử dụng hệ thống tiền l có tiền cũ phần dư khơng đổi biến co m khỏi thực tế an Lu Một câu hỏi tự nhiên đặt ra, số tiền lớn đổi có giá trị bao nhiêu? Câu hỏi nhận câu trả lời Ferdinand Georg n va ac th si Frobenius (1849-1917), James Joseph Sylvester (1814-1897) Chúng ta muốn đặt câu hỏi mang tính khái qt chung Vì đưa câu hỏi cịn gọi toán đổi tiền Frobenius sau: Bài 1.2.1 (Bài toán đổi tiền Frobenius) Đối với đồng tiền có mệnh giá a1 , a2 , , ad số nguyên dương có ước chung lớn 1, câu hỏi đặt là: đưa cơng thức số tiền lớn khơng thể có cách sử dụng đồng tiền a1 , a2 , , ad ? lu Để phát biểu cụ thể mặt tốn học, có tập hợp số an nguyên dương va n A = {a1 , a2 , , ad } gh tn to với gcd(a1 , a2 , , ad ) = p ie Định nghĩa 1.2.2 Số nguyên dương n gọi biểu diễn nl w tập số A tồn số nguyên không âm m1 , m2 , , md cho d oa n = m1 a1 + m2 a2 + + md ad nf va an lu Ví dụ 1.2.3 Cho tập số A = {2, 3, 5, 7} Khi đó, số 13 = · + · + · + · 7, lm ul 15 = · + · + · + · 7, z at nh oi 28 = 14 · + · + · + · 7, nên chúng biểu diễn theo A z @ Xét ngôn ngữ đồng tiền, điều có nghĩa đổi gm n thành đồng xu a1 , a2 , , ad Bài toán Frobenius (thường co l gọi tốn Diophantine tuyến tính Frobenius) u cầu m tìm số ngun lớn khơng thể biểu diễn thông qua số nguyên an Lu không âm a1 , a2 , , ad n va ac th si Mỗi giá trị dãy số ab−b, ab−b−1, ab−b−2, , ab−b−(a−1) modulo a khác số ngun liên tiếp a ln có modulo a khác Như vậy, theo Bổ đề 1.5.2 với giá trị v ∈ {0, 1, 2, , a − 1}, tồn w ∈ {0, 1, 2, , a − 1} cho ab − bv = wb (mod a) Bây giờ, ý a < b ab − 2b < ab − b − (a − 1), số dãy lu 0b, 1b, 2b, 3b, , (a − 2)b = ab − 2b có giá trị bé số dãy (a − 1)b = ab − b, ab − b − 1, ab − b − 2, , ab − b − (a − 1) Như vậy, wb = ab − b − v (mod a) wb < ab − b − v , đó, ab − b − v wb cộng với số bội a Vì vậy, cộng thêm bội số cần thiết a vào wb để biểu diễn a ab − b − v theo a b, đó, ta có wb + xa = ab − b − v an va n Ta chứng minh với số nguyên lớn ab − b − p ie gh tn to (a − 1) biểu diễn theo a b Bây đạt số nguyên biểu diễn theo a b, cụ thể theo ab − b − a Để giải thích điều này, giả sử ab − b − a biểu diễn theo a b Do tồn p, q ∈ N ,ab − b − a = pa + qb Để biểu diễn vây, yêu cầu ab − b − a thuộc ba trường hợp sau oa nl w d bội số a, an lu nf va bội số b, lm ul bội số b cộng với bội số a z at nh oi Hai trường hợp đầu không xảy ab−b−a = b(a−1)−a ab−b−a bội số b, ab−b−a = a(b−1)−b cho thấy ab − b − a bội số a Vì vậy, giả định z ab − b − a = pa + qb bội số b cộng với bội số a Bây thấy điều xảy gm @ co l ab − b − a = pa + qb với p, q số dương m ⇒ qb ≡ ab − b − a (mod a) qb < ab − b − a an Lu Tuy nhiên, 0b, 1b, 2b, 3b, , (a − 2)b bội số b, có giá trị nhỏ ab − b − a, khơng có số hạng dãy đồng dư modulo n va ac th 28 si a với ab − b − a = (a − 1)b − a = (a − 1)b (mod a), khơng có giá trị qb tồn 1.6 Định lý Sylvester Sylvester yêu cầu xem xét bổ đề Bổ đề 1.6.1 Cho gcd(a, b) = bxc hàm số nguyên lớn nhất, đó: a−1   X ib lu i=1 a = (a − 1)(b − 1) an n va Chứng minh Gọi lưới điểm R2 “có giá trị dương” hai tọa p ie gh tn to độ có giá trị dương Ta tính số điểm lưới có giá trị dương nằm đường b thẳng y = x khoảng x = x = a − 1: a   b b • Khi x = y = , có điểm lưới có giá trị dương nằm a a phía đường thẳng x =   b b • Khi x = y = , có điểm lưới có giá trị dương nằm a a phía đường thẳng x = d oa nl w nf va an lu • z at nh oi lm ul   b (a − 1)b • Khi x = a − y = (a − 1) , có điểm lưới có a a giá trị dương nằm phía đường thẳng x = a − z Như vậy, số lượng điểm lưới có giá trị dương nằm phía đường b thẳng y = x khoảng x = x = a − a a−1   X ib a i=1 m co l gm @ an Lu Tiếp theo, đếm số điểm lưới dựa sở hình học: cắt mặt b phẳng hình chữ nhật xác đường thẳng y = x từ điểm (0, 0) đến (a, b) a n va ac th 29 si Hình chữ nhật có chiều rộng a chiều dài b lưu ý b điểm lưới có giá trị dương nằm phía đường thẳng y = x a khoảng x = x = a − nằm phạm vi hình chữ nhật b chia cắt; ngồi ra, đường thẳng y = x cắt hình chữ nhật từ góc a đến góc thành hai phần Bây cắt cạnh hình chữ nhật a × b để có hình chữ nhật có chiều rộng a − chiều dài b − đơn vị, hình chữ nhật cắt đối xứng cho đường thẳng cắt hình chữ nhật thành hai Bây có hình chữ nhật lu an n va p ie gh tn to (a − 2) × (b − 2) chứa điểm lưới (a − 1)(b − 1) cắt làm đôi a−1   X b ib đường thẳng y = x Lưu ý điểm lưới mang giá trị dương a a i=1 nằm bên đường thẳng nằm phạm vi hình chữ nhật đồng thời điểm nút lại nằm bên đường thẳng Cũng lưu ý với gcd(a, b) = khơng điểm nút hình chữ nhật nằm đường thẳng x cần phải bội số a b để y = x số nguyên, nhiên, giá trị x lớn hình chữ a nhật a − d oa nl w an lu nf va Do hình chữ nhật chứa (a − 1)(b − 1) điểm lưới đường thẳng chia đôi hình chữ nhật thành hai phần nhau, khơng có điểm lưới nằm lm ul z at nh oi trực tiếp đường thẳng, số lượng điểm lưới nằm bên đường thẳng hình chữ nhật (a − 1)(b − 1) z Định lý 1.6.2 Cho hai số nguyên dương a, b với gcd(a, b) = 1, có (a − 1)(b − 1) số ngun khơng biểu diễn theo a b @ l gm Chứng minh Định lý 1.5.3 tất số nguyên lớn ab − m co b − a biểu diễn theo a b, cần kiểm tra xem số biểu diễn số khơng thể biểu diễn xét phạm vi số nguyên nằm khoảng [1, ab − b − a] an Lu ac th 30 n va Khẳng định: Với giá trị k ∈ {1, 2, , a − 1} , tồn tk cho với số si dãy số nguyên không âm ab − kb − a, ab − kb − 2a, , ab − kb − tk a biểu diễn theo a b, tk có giá trị lớn đảm bảo giá trị nguyên không âm Chứng minh Giả sử ngược lại với k ∈ {1, 2, , a − 1} , ∃x, y ∈ N, ∃q ∈ {1, 2, , tk } cho xa + yb = ab − kb − qa Khi này, ta có: xa + yb = ab − kb − qa ⇒ yb = (a − k)b − (q + x)a Điều lu an yb < (a − k)b, y số dãy n va 0, 1, 2, , a − k − gh tn to yb ≡ (a − k)b (mod a) ie Tuy nhiên, khơng có số dãy 0, 1, 2, , a − k − đồng dư modulo p a với a − k , khơng tồn giá trị y ∈ Z≥0 , q ∈ {1, 2, , t} để xa + yb = ab − kb − qa Như vậy, khẳng định chứng minh, nhiên cần phải xác định giá trị tk d oa nl w an lu Để xác định độ lớn tk ab−kb−a, ab−kb−2a, , ab−kb−tk a, nf va đặt câu hỏi tk lớn đến mức mà đảm bảo z at nh oi lm ul ab − kb − tk a không âm? Lưu ý ab − kb − tk a = (a − k)b − tk a, muốn trừ bội số lớn a từ (a − k)b, tồn số ngun khơng âm Câu hỏi đặt đó có số a  (a − k)b Do đó, phù hợp với (a − k)b? Đó số nguyên không âm a với giá trị k ∈ {1, 2, , a − 1}, dãy số nguyên không   thể biểu diễn (a − k)b ab − kb − a, ab − kb − 2a, , ab − kb − tka có phần tử Theo a z m co l gm @ an Lu n va ac th 31 si đó, số lượng số ngun khơng thể biểu diễn       (a − 1)b (a − 2)b (a − (a − 1))b + + + a a a       b 2b (a − 1)b = + + + a a a   a−1 X ib = a i=1 = (a − 1)(b − 1)theo Bổ đề 1.6.1 lu Để khẳng định khơng có thêm số ngun khơng thể biểu an diễn, ý xem xét tất số nguyên không va n biểu diễn đồng dư modulo a với (a − 1)b, (a − 2)b, , (a − (a − 1))b = p ie gh tn to 1b, 2b, , (a − 1)b xem xét tất số nguyên biểu diễn có giá trị ab − kb − qa = (a − k)b − qa = (a − k)b (mod a) với k ∈ {1, 2, , a − 1}, cho q ∈ {1, 2, , tk } (trong tk có giá trị lớn nhất) Điều cho thấy xem xét tất số ngun khơng âm khơng thể biểu diễn có giá trị nhỏ ab − b − a số ngun khơng âm khơng thể biểu diễn cần phải đồng dư modulo a với số dãy 1b, 2b, , (a − 1)b theo Bổ đề 1.5.2 d oa nl w nf va an lu g(4, 5) = ab − a − b = 11 z at nh oi lm ul Ví dụ 1.6.3 Cho hai số nguyên dương nguyên tố a = 4, b = Khi có (a − 1)(b − 1) = số nguyên biểu diễn theo Đó số 1, 2, 3, 6, 7, 11 Số Frobenius trường hợp z m co l gm @ an Lu n va ac th 32 si Chương Một số vấn đề mở rộng lu Trong chương này, chúng tơi trình bày thêm số cách chứng minh an khác Định lý 1.2.7 Định lý 1.2.10 n va Ba đồng xu nhiều đồng xu gh tn to 2.1 ie Bài toán trở nên phức tạp ta có nhiều hai đồng tiền p Các nhà nghiên cứu giải toán số trường hợp đặc oa nl w biệt Johnson khử gcd(a1 , a2 ) = k để tính g(a1 , a2 , a3 ) d Định lý 2.1.1 ([5]) Nếu a1 , a2 , a3 số nguyên tố an lu gcd(a1 , a2 ) = k a nf va a2  g(a1 , a2 , a3 ) = kg , , a3 + (k − 1)a3 k k

Rõ ràng từ Định lý 2.1.1, a3 ≥ g ak1 , ad2 hay kg ak1 , ad2 , a3 =
kg ak1 , ad2 = a1 a2 − a1 − a2 , g(a1 , a2 , a3 ) = d(a1 a2 − a1 − a2 ) + (d − 1)a3 z at nh oi lm ul z Một số tác giả khác nghiên cứu trường hợp đặc biệt d = @ gm Chẳng hạn, a1 , a2 , a3 số nguyên tố a1 ước l (a2 + a3 ) m co    a1 a5−i g(a1 , a2 , a3 ) = −a1 + max i=2,3 a2 + a3 an Lu Trong số trường hợp riêng, Roberts thu kết sau n va ac th 33 si Định lý 2.1.2 ([5]) (a) Nếu gcd(a3 − a1 , a2 − a1 ) =    a1 g(a1 , a2 , a3 ) ≤ a1 a3 − a2 − + a3 − a1 + (a2 − a1 − 1)(a3 − a1 − 1) + a1 + a2 + a3 (b) Nếu a, j > số nguyên g(a, a + 1, a + j) j k  a+1 + (j − 3)a a ≡ −1 (mod j), a ≥ j − 5j + 3, j k j =  a+1 (a + j) + (j − 3)a a ≡ −1 (mod j), a ≥ j − 4j + 2, j lu an n va tn to (c) < a < b m số nguyên thỏa mãn gcd(a, b) = 1, m ≥  j m k + (a − 1)(b − 1) g(m, m + a, m + b) ≤ m b − + b Goldbert nghiên cứu g(a1 , a2 , a3 ) trường hợp đặc biệt sau gh p ie Định lý 2.1.3 ([5]) Cho < a < b số nguyên với gcd(a, b) = d oa nl w gcd(d, m) = với md2 > b(b − a − 2d) dm = ax0 + by0 , ≤ x0 < b/d, y0 ≥ Khi đó, d g(m, m + a, m + b)

 a a + x + y + d − n + b − −a dx0 ≥ b − a, 0 d d

= b a d + y0 + d − n + b d − − a(x0 + 1) ngược lại nf va an lu lm ul Dãy a1 , , an gọi độc lập khơng có phần tử biểu diễn thơng qua phần tử cịn lại Selmer tìm công thức khác z at nh oi tổng quát cho ba số độc lập Định lý 2.1.4 ([5]) Nếu a1 , a2 a3 số độc lập ngun tố đơi z @ gm g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{(s − 1)a2 + (q − 1)a3 , (r − 1)a2 + qa3 } − a1 , co l s xác định a3 ≡ sa2 (mod a1 ), < s < a1 r m xác định a1 + qs + r, < r < s Ngoài ra, a2 ≥ t(q + 1) an Lu a3 = sa2 − ta1 , t > ac th 34 n va g(a1 , a2 , a3 ) = max{(s − 1)a2 + (q − 1)a3 , (r − 1)a2 + qa3 } − a1 si Remirez Alfonsin tìm hai cận sau số Frobenius Định lý 2.1.4 Định lý 2.1.5 ([5]) Cho < w1 < a3 < w2 < a3 số nguyên tương ứng thỏa mãn a1 w1 ≡ a2 (mod a3 ) a2 w2 ≡ −a1 (mod a3 ), cho r1 r2 số nguyên dương lớn thỏa mãn −a3 + r1 w1 < a3 − w2 r2 > Khi (a) g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{a1 (a3 −r1 w1 )+a2 (r1 +1), a1 w1 +a2 r1 }−a1 −a2 −a3 (b) g(a1 , a2 , a3 ) ≤ max{a1 +a2 (a3 +(1−r2 )w2 ), a1 r2 +a2 w2 }−a1 −a2 −a3 Các cận Định lý 2.1.5 khơng gần nhau, nhiên có lu an trường hợp mà hai cận (hoặc hai) sinh giá trị gần n va với g(a1 , a2 , a3 ) Kết minh họa ví dụ sau tn to Ví dụ 2.1.6 Cho a1 = 4, a2 = a3 = Ta có w1 = 4, w2 = 2, r1 = gh r2 = Khi đó, ie  p g(4, 7, 9) = 10 ≤ theo Định lý 2.1.5(a) theo Định lý 2.1.5(b) w max{25, 30} − 20 = 10 max{18, 30} − 20 = 10 oa nl Ví dụ 2.1.7 Cho a1 = 5, a2 = 14 a3 = 31 Ta có w1 = 11, w2 = d 2, r1 = r2 = 15 Khi đó,  max{87, 83} − 50 = 37 g(5, 14, 31) = 37 ≤ max{47, 103} − 50 = 87 nf va an lu theo Định lý 2.1.5(a) theo Định lý 2.1.5(b) lm ul Ta quay trở lại với hàm phân hoạch có giới hạn z at nh oi pA (n) = #{(m1 , md ) ∈ Zd : mj ≥ 0, m1 a1 + + md ad = n}, A = {a1 , , ad } Với lập luận tương tự Mục 1.3, ta z dễ dàng tìm hàm sinh pA (n):      X 1 n pA (n)z = ··· a1 a2 ad − z − z − z n≥0 l gm @ co Sử dụng phương pháp Mục 1.3 thu hàm pA (n) số m hạng tự hàm sinh Cụ thể,   pA (n) = số hạng tự hàm (1 − z a1 )(1 − z a2 ) · · · (1 − z ad )z n an Lu n va ac th 35 si Bây ta khai triển hàm vế phải đẳng thức bên Để cho đơn giản, ta giả sử a1 , , ad số đôi nguyên tố nhau, tức khơng có hai số có ước chung Khi khai triên phân thức đơn giản có dạng (1 − z a1 ) (1 − z ad )z n An B1 B2 Bd A1 A2 + + + n + + + + = z z z z − (z − 1)2 (z − 1)d aX a2 −1 aX −1 d −1 C1k X C2k Cdk + + + + (2.1) k k k ξ ξ ξ a a a d k=1 k=1 k=1 f (z) = lu an n va (2.2) tn to Dựa theo cách tính Mục 1.3, ta dễ dàng kiểm tra C1k = − ka2 ka3 kad k(n−1) a1 (1 − ξa1 )(1 − ξa1 ) · · · (1 − ξa1 )ξa1 gh Giống trước đây, ta khơng cần tính hệ số A1 , , An chúng p ie khơng đóng góp vào số hạng tự f (z) Để tìm hệ số B1 , , Bd , ta sử dụng phần mềm tính tốn Maple Mathematica nl w Một lần nữa, tính hệ số này, ta tính số hạng tự d oa f cách bỏ qua tất thành phần số mũ âm tính phần nf va an lu cịn lại hàm z = 0:   aX aX −1 d −1 Bd C1k Cdk B1 + ··· + + + · · · + pa (n) = z−1 (z − 1)d z − ξak1 z − ξakd z=0 lm ul d k=1 C1k − ξak1 z at nh oi = −B1 + B2 − · + (−1) Bd − k=1 aX −1 k=1 aX −1 k=1 aX d −1 C2k Cdk − · · · − k ξak2 ξ a d k=1 Thay công thức C1k vào công thức tổng lấy tất đơn vị z thứ a1 trên, ta thu @ co l gm a1 −1 X a1 k=1 (1 − ξaka1 )(1 − ξaka1 ) · · · (1 − ξaka1 d )ξakn1 m Kết thúc đẩy định nghĩa tổng Fourier–Dedekind b−1 an Lu 1X ξbkn sn (a1 , a2 , , am ; b) := b k=1 (1 − ξbka1 )(1 − ξbka2 ) · · · (1 − ξbkam ) (2.3) n va ac th 36 si Với định nghĩa này, ta thu kết sau Định lý 2.1.8 Hàm phân hoạch có giới hạn với A = (a1 , a2 , , ad ), số ak đơi ngun tố nhau, tính sau pA (n) = −B1 + B2 − + (−1)d Bd + s−n (a2 , a3 , , ad ; a1 ) + s−n (a1 , a3 , a4 , , ad ; a2 ) + + s−n (a1 , a2 , , ad−1 ; ad ) Ở đây, B1 , B2 , , Bd hệ số phân thức đơn giản khai triển (2.1) Ví dụ 2.1.9 Chúng ta tính hàm phân hoạch có giới hạn d = lu an d = Các cơng thức hữu ích việc phân tích chi tiết hàm n va tuần hồn vốn có hàm phân hoạch có giới hạn pA (n) Ví dụ, ta có thị cơng thức n2 n 1 1 3 3 p{a,b,c} (n) = + + + + + + + 2abc ab ac bc 12 a b c a−1 b−1 1X 1X
+ + a (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) ξakn b − ξbkc p ie gh tn to thể biểu diễn đồ thị p{a,b,c} (n) hình "parabol lượn sóng" hiển nl w k=1 , (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn nf va k=1 an c lu + d oa k=1 c−1 X a b c + + bc ac ab
− ξbka ξbkn z at nh oi lm ul n3 n2  1 1  p{a,b,c,d} (n) = + + + + 6abcd abc abd acd bcd n3 3 3 a b c d  + + + + + + + + + + 12 ab ac ad bc bd cd bcd acd abd acb a a a b b b c c c d d d + + + + + + + + + + + + 24 bc bd cd ac ad cd ab ad bd ab ac bc 11 1 1 − + + + a b c d a−1 1X + a k=1 (1 − ξakb ) (1 − ξakc ) (1 − ξakd ) ξakn z m co l gm @ n va ac th 37 an Lu b−1 1X


+ b k=1 − ξbkc − ξbkd − ξbka ξbkn si c−1 1X + c k=1 (1 − ξckd ) (1 − ξcka ) (1 − ξckb ) ξckn d−1 1X


+ d k=1 − ξdka − ξdkb − ξdkc ξdkn Nhận xét 2.1.10 Như ta nhắc đến trên, toán Frobenius với lu an n va p ie gh tn to d ≥ khó nhiều trường hợp d = Tất nhiên, sau trường hợp d = 3, toán Frobenius toán mở nhiều nhà toán học nỗ lực nghiên cứu Các tài liệu tốn Frobenius phong phú, cịn nhiều chỗ để cải thiện Người đọc quan tâm tham khảo chun khảo tồn diện [5] Trong tham chiếu đến tất viết toán Frobenius đưa khoảng 40 toán mở khẳng định liên quan đến toán Frobenius Để ví dụ, chúng tơi đề cập đến hai kết mang tính bước ngoặt vượt xa trường hợp d = P Kết liên quan đến hàm sinh r(z) := k∈R z k , R tập tất số nguyên biểu diễn thông qua tập số nguyên dương nguyên tố a1 , a2 , , ad Khơng khó để thấy r(z) = p(z)/(1 − z a1 )(1 − z a2 ) · · · (1 − z ad ) với p đa thức Hàm sinh phân thức chứa tất thơng tin tốn Frobenius Ví dụ, số − r(z) Do tốn Frobenius rút Frobenius tổng bậc hàm 1−z gọn thành tìm đa thức p tử số r d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Một kết đáng ý với d = tìm Marcel Morales Graham Denham, đa thức thức p có số hạng Ngồi ra, họ đưa cơng thức nửa hiển p Định lý Morales–Denham kéo theo số z Frobenius trường hợp d = có tính cách nhanh chóng @ gm Dường có ngăn cách trường hợp d = với trường hợp m co l d = Có vẻ có ngăn cách trường hợp d = với d = Henrik Bresinsky chứng minh với d ≥ 4, khơng có giới hạn tuyệt đối số số hạng tử số p, điều trái ngược hoàn toàn với với định lý Morales–Denham trường hợp d = an Lu n va ac th 38 si