(Luận văn) ma trận đơn môđula và các đa diện nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ SỸ DŨNG lu an n va MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ p ie gh tn to CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ SỸ DŨNG MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN lu an n va tn to Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 p ie gh Mã số: w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1 Tập afin 1.1.2 Tập lồi QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 1.2.2 Thuật tốn đơn hình (gốc đối ngẫu) lu Mở đầu an n va p ie gh tn to 1.2 w QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 11 oa nl 1.3 Qui hoạch tuyến tính nguyên tốn tìm cực tiểu (cực đại) d 1.3.1 lu an hàm tuyến tính tập điểm rời rạc, thường Sau hai ví dụ toán nguyên phi tuyến (mở rộng lm ul 1.3.2 nf va tập điểm nguyên: 11 z at nh oi ILP) 13 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 16 z 2.1 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA 16 2.2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 22 m co 28 an Lu ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN l 16 gm @ Chương 2: MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI n va ac th si ii Chương 3: ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN 3.1 3.2 28 ĐIỀU KIỆN NGUYÊN 28 3.1.1 Cơ sở đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối 29 3.1.2 Ví dụ tập đa diện nguyên 31 3.1.3 Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ma trận lý tưởng 32 ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Trong lĩnh vực tối ưu hóa, ma trận giữ vai trị quan trọng thường có liên quan tới lớp toán tối ưu khác Chẳng hạn, ma trận (nửa) xác định dương (âm) gắn với tốn tối ưu lồi hay lõm, ma trận khơng xác định gắn với lu an toán tối ưu tồn cục (tối ưu phi tuyến khơng lồi) n va Trong ma trận thực, ma trận đơn môđula (vuông cấp n, nguyên, định thức tn to ±1) ma trận đơn môđula tuyệt đối (cấp m × n, định thức gh hay ±1) có tính chất đặc biệt, ý tối ưu nguyên p ie Các ma trận đơn môđula tuyêt đối mở rộng (ma trận cân đối, hoàn hảo w lý tưởng) liên quan chặt chẽ với tập đa diện nguyên (mọi đỉnh có tọa độ oa nl nguyên) gần nguyên (các điểm nguyên đỉnh) Chẳng hạn, đa diện d toán vận tải, toán ghép cặp, toán phủ cạnh đồ thị hai phần, toán phân lu an hoạch tập, có đỉnh nguyên nf va Nhiều vấn đề thực tế diễn đạt dạng tốn qui hoạch tuyến tính lm ul ngun tập đa diện nguyên hay gần nguyên Vì sử dụng thuật z at nh oi tốn đơn hình quen thuộc để tìm nghiệm ngun toán Các tác giả sách tham khảo [2] - [6] đề cập tới ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối tập đa diện nguyên (gần nguyên), nhiều toán tối ưu z @ tuyến tính ngun có liên quan Các tài liệu [2] - [6] bao gồm nhiều kết hay có l gm ý nghĩa khoa học, nhiều người quan tâm học tập, nghiên cứu co Sau học chun đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có liên m quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở an Lu rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn n va "Ma trận đơn môđula đa diện nguyên" ac th si Mục đích đề tài: Tìm hiểu trình bày kết có đa diện ngun gần nguyên, dựa ma trận đơn môđula tuyệt đối đề cập tới số toán tối ưu nguyên, thường gặp lý thuyết ứng dụng Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối, đa diện nguyên gần nguyên, số toán tối ưu nguyên hay gặp lý thuyết ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức thu nhận từ tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài luận văn, vận dụng phương pháp nghiên cứu lu giải tích, giải tích lồi tối ưu hóa an n va Dự kiến đóng góp luận văn: Tổng hợp giới thiệu có chọn lọc nguyên, số toán tối ưu nguyên hay gặp gh tn to kết ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối, tập đa diện nguyên gần p ie Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại vắn tắt khái niệm, định nghĩa kết nl w tập lồi tập lồi đa diện (đỉnh, cạnh, diện), tốn qui hoạch tuyến d oa tính toán đối ngẫu (điều kiện tối ưu, thuật tốn đơn hình gốc đối ngẫu), an lu tốn qui hoạch tuyến tính ngun phi tuyến nguyên nf va Chương "Ma trận đơn môđula đơn mơđula tuyệt đối" trình bày khái niệm lm ul ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula số kết liên quan đến tìm nghiệm nguyên hệ phương trình tuyến tính Tiếp theo trình bày khái niệm ma trận z at nh oi đơn môđula tuyệt đối: tính chất, ví dụ số tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơn môđula tuyệt đối z Chương "Tập đa diện nguyên gần nguyên" đề cập tới tập đa diện @ gm nguyên gần ngun, mơ tả điều kiện để có tập đa diện nguyên xét số co l toán tối ưu tập đa diện nguyên, gần nguyên (bài toán vận tải, toán xếp m tập, phủ tập phân hoạch tập) Đa diện nguyên gần nguyên liên quan chặt chẽ với n va ma trận lý tưởng) an Lu ma trận đơn môđula tuyệt đối mở rộng (ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ac th si Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện lu thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu an n va Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 tn to p ie gh Tác giả luận văn w d oa nl Vũ Sỹ Dũng nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương giới thiệu vắn tắt số kiến thức cần thiết giải tích lồi lu (tập lồi tập lồi đa diện), toán qui hoạch tuyến tính (nghiệm sở, điều kiện tối an n va ưu, phương pháp đơn hình ) tốn qui hoạch tuyến tính ngun Nội dung tn to trình bày chương chủ yếu dựa tài liệu [1], [3] TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN p ie gh 1.1 Tập afin nl w 1.1.1 d oa Trước hết khái niệm liên quan tới tập afin lu nf va an Định nghĩa 1.1 Một tập M ⊂ Rn gọi tập afin ∀a, b ∈ M, λ ∈ R ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ M , lm ul z at nh oi tức M chứa hai điểm M chứa đường thẳng qua hai điểm Một số tính chất tập afin: z  Nếu M tập afin a + M = {a + x : x ∈ M } tập afin ∀a ∈ Rn @ l gm  M tập afin chứa gốc M không gian Rn m co  Giao họ tập afin tập afin an Lu  Nếu x1 , , xk thuộc tập afin M tổ hợp afin chúng thuộc M , n va tức xi ∈ M (i = 1, , k), λ1 + + λk = ⇒ λ1 x1 + + λk xk ∈ M ac th si  Một tập afin có dạng M = {x : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Ngược lại, tập có dạng tập afin (Đó nghiệm hệ phương trình tuyến tính) Bao afin tập M giao tất tập afin chứa E, ký hiệu af f (E) Đó tập afin nhỏ chứa E Từ tính chất tập afin suy ra: x ∈ af f (E) ⇐⇒ x = k P λi xi , xi ∈ E, i=1 k P λi = i=1 Có thể thấy: Một tập M 6= φ afin M = x0 + L với x0 ∈ M L lu an không gian L xác định cách coi không gian n va song song với M (M nhận cách tịnh tiến L tới x0 ) gh tn to Định nghĩa 1.2 Thứ nguyên (số chiều) tập afin M số chiều không p ie gian song song với w Định nghĩa 1.3 Một tập afin Rn có thứ nguyên n − gọi siêu oa nl phẳng Có thể thấy siêu phẳng tập có dạng H = {x : aT x = α} với a ∈ Rn (a 6= d 0), α ∈ R (Đó tập nghiệm phương trình tuyến tính Rn ) Một tập có lu nf va an dạng H = {x : aT x (>)α} (hay H = {x : aT x < (>)α}) gọi nửa khơng gian đóng (hay mở) (tập nghiệm hệ bất phương trình) lm ul Định nghĩa 1.4 Một tập k điểm x1 , x2 , , xk gọi độc lập afin k − véctơ z at nh oi x2 − x1 , , xk − x1 độc lập tuyến tính Tồn siêu phẳng qua n điểm độc lập afin cho Rn z Sau số khái niệm liên quan đến tập lồi an Lu Định nghĩa 1.5 Tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi m co l gm Tập lồi @ 1.1.2 n va ∀a, b ∈ C, ≤ λ ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ C, ac th si tức C chứa hai điểm chứa đoạn thẳng nối hai điểm Có thể thấy tập hợp rỗng, tập hợp gồm điểm, tồn khơng gian Rn , tập afin, siêu phẳng, nửa khơng gian (đóng, mở), hình cầu, tập lồi Trong R2 , hình tam giác, hình vng, hình trịn, hình elip tập hợp lồi Tuy nhiên, đường trịn hay hình vành khăn khơng phải tập hợp lồi Thứ nguyên hay số chiều tập lồi C thứ nguyên bao afin C Trong Rn tập lồi thứ nguyên n gọi tập lồi thứ nguyên đầy đủ Sau số tính chất tập lồi:  Giao họ tập lồi tập lồi lu an va  Nếu C, D tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, αC = {αx : x ∈ C} n C − D = C + (−1)D tập lồi Nếu C ⊂ Rn , D ⊂ Rm tập lồi to gh tn tích C × D = {(x + y) : x ∈ C, y ∈ D} ⊂ Rn × Rm tập lồi p ie  Nếu x1 , , xk thuộc tập lồi C tổ hợp lồi chúng thuộc C, tức xi ∈ C, λi ≥ (i = 1, , k), λ1 + + λk = ⇒ λ1 x1 + + λk xk ∈ C nl w d oa  Nếu tập lồi C ⊂ Rn khơng giới nội có véctơ d ∈ Rn (d 6= 0) cho với an lu x ∈ C tia x + λd, λ > nằm trọn C Một véctơ d gọi nf va phương vô hạn tập lồi C lm ul Cho tập E ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa E gọi bao z at nh oi lồi E, ký hiệu conv(E) Đó tập lồi nhỏ chứa E Có thể thấy:  conv(E) trùng với tập tất tổ hợp lồi phần tử thuộc E z  Bao đóng phần tập lồi tập lồi gm @ l Cho C ⊂ Rn tập lồi Điểm x ∈ C gọi điểm cực biên C x n va x = λy + (1 − λ)z với < λ < an Lu không tồn hai điểm y, z ∈ C, y 6= z cho m co biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai điểm phân biệt khác thuộc C, nghĩa ac th si 28 Chương ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN Chương đề cập tới đa diện nguyên gần ngun: mơ tả điều kiện để có lu đa diện nguyên, xét số lớp đa diện nguyên gần nguyên thường gặp Nội an n va dung chương chủ yếu dựa tài liệu [2], [4] - [6] ĐIỀU KIỆN NGUYÊN gh tn to 3.1 p ie Theo lý thuyết qui hoạch tuyến tính, cực trị (cực tiểu hay cực đại) hàm tuyến w tính tập lồi đa diện (nếu có) đạt đỉnh (nghiệm sở) tập oa nl (giả thiết tập đa diện có đỉnh) Vì thế, đỉnh tập lồi đa diện có tọa độ d ngun sau giải tốn qui hoạch tuyến tính thuật tốn đơn hình, ta lu nf va an nhận nghiệm tối ưu Nghiệm nghiệm tối ưu tốn qui hoạch tuyến tính ngun tương ứng Trong trường hợp toán qui hoạch tuyến z at nh oi lm ul tính ngun (ILP) giải tốn qui hoạch tuyến tính (LP) Định nghĩa 3.1 Một tập lồi đa diện (hay đa diện lồi) gọi tập đa diện nguyên (integral polyhedron) tập rỗng đỉnh có tọa độ z nguyên @ gm Vấn đề đặt tìm điều kiện đặt lên ma trận A = [aij ]m×n véctơ m− chiều b co l M (A, b) ≡ {Ax = b, x ≥ 0} tập đa diện nguyên m Với cách đặt tốn tính ngun tập đa diện chưa an Lu giải Tuy nhiên, toán miêu tả số lớp ma trận nguyên A cho M (A, b) tập đa diện nguyên véctơ nguyên b đơn giản, dễ giải n va ac th si 29 3.1.1 Cơ sở đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối Định nghĩa 3.2 Giả sử ma trận A có hạng m B ma trận cấp m × m A Khi đó, ta gọi B sở (basic) A B có hạng m gọi B sở đơn môđula (unimodular basic) detB = ±1 Định lý sau cho tiêu chuẩn nhận biết đa diện nguyên Định lí 3.1 ([6], tr 58) M (A, b) tập đa diện nguyên với véctơ nguyên b sở ma trận nguyên A đơn môđula Chứng minh Đủ Mỗi đỉnh (nghiệm sở) x = (x1 , , xn )T M (A, b) xác lu an định tập số biến sở j1 , , jm Cơ sở B gồm cột j1 , , jm n va sở chấp nhận Khi đó, thành phần xB = (xj1 , , xjm )T nghiệm sở tn to chấp nhận x liên hệ với sở B hệ thức BxB = b Theo giả thiết định gh lý detB = ±1 véctơ nguyên Vì theo qui tắc Cramer (tìm nghiệm hệ p ie phương trình tuyến tính) ta nhận xB véctơ nguyên Do thành phần lại w x nên đỉnh (véctơ) x nguyên oa nl Cần Ta chứng minh B sở xB véctơ nguyên detB = ±1 d Giả sử y véctơ nguyên m− chiều tùy ý cho an lu nf va y + B −1 ei ≥ 0, ei = (0, 0, 1, , 0)T | {z } i z at nh oi lm ul Xét hệ phương trình (3.1) (3.2) Ax = b, z ¯b = By+ei Do B sở ma trận A nên hệ (3.2) tương thích Nghiệm gm @ sở z hệ (3.2) với thành phần khác không zB = B −1 (By +ei ) = y +B −1 ei ≥ l theo (3.1) đó, đỉnh tập lồi đa diện M (A, b) Theo giả thiết tập đa diện m co M (A, b) nguyên với b nguyên, nói riêng với b = ¯b Do zB véctơ nguyên an Lu Do vế phải đẳng thức zB − y = B −1 ei véctơ nguyên nên véctơ B −1 ei - cột thứ i ma trận B −1 - véctơ nguyên Vậy ma trận B −1 nguyên Vì B B −1 ma trận n va nguyên nên định thức chúng số nguyên ac th si 30 Theo giả thiết B sở nên định thức khác không Từ hệ thức quen thuộc detB × detB −1 = suy detB = detB −1 = ±1 Ta có kết tương tập đa diện M ∗ (A, b) = {x |Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta nhắc lại (xem Định nghĩa 2.3), ma trận A gọi đơn môđula tuyệt đối định thức ma trận vng hay ±1 (nói riêng aij = 1, ±1 ∀i, j) Định lí 3.2 ([6], tr 59) M ∗ (A, b) tập đa diện nguyên với véc tơ nguyên b ma trận A đơn môđula tuyệt đối lu an va Chứng minh Thêm vào bên phải A ma trận đơn vị E cỡ m × m áp dụng n định lý 3.1 vào tập đa diện M (A∗ , b), A∗ = [A, E] Theo định lý 3.1, tính nguyên gh tn to M (A∗ , b) M (A∗ , b) với b nguyên tương đương với sở B ie ma trận A∗ đơn mơđula, nhiên (sau hốn vị hàng) biểu diễn p sở dạng  w C O D Ek  d oa nl B=  an lu Ek ma trận đơn vị cấp k × k (0 ≤ k ≤ m) Rõ ràng, detB = detC nf va detB = ±1 detC = ±1 Định lý chứng minh lm ul • Bằng cách áp dụng Định lý 3.1, chứng minh tính đơn mơđula tuyệt đối z at nh oi ma trận A điều kiện càn đủ cho tính nguyên tập đa diện M (A, b, b0 , d, d0 ) = { x| b0 ≤ Ax ≤ b, d0 ≤ x ≤ d} z với véctơ nguyên b, b0 , d, d0 có số chiều thích hợp (b, b0 ∈ Rm , d, d0 ∈ Rn ) gm @ Thật vậy, đặt y = x − d0 d0 ≤ x ≤ d ⇔ ≤ y ≤ d − d0 Vì thế, l m co { x| b0 ≤ Ax ≤ b, d0 ≤ x ≤ d} = {Ax ≤ b, −Ay ≤ −b0 , y ≤ d − d0 , y ≥ 0}, an Lu Với A∗ = (A, −A, E)T (E ma trận đơn vị cấp n) b∗ = (b, −b0 , d − d0 )T n va M (A, b, b0 , d, d0 ) = M ∗ (A∗ , b∗ ) = { x| A∗ x ≤ b∗ , x ≥ 0} ac th si 31 thấy sở A∗ đơn môđula A đơn môđula tuyệt đối Định lý sau thể rõ tương đương tính nguyên tập đa diện với tính đơn mơđula tuyệt đối ma trận Định lí 3.3 (Hoffman Kruskal, 1956 [2], tr 335) Giả sử A = (A1 , A2 , A3 )T ma trận gồm phần tử 0, ±1 b = (b1 , b2 , b3 )T véc tơ với số chiều thích hợp Khi đó, A đơn môđula tuyệt đối P (A, b) = {x :A1 x ≤ b1 ; A2 x ≥ b2 ; A3 x ≥ b3 ; x ≥ 0} lu an n va tập đa diện nguyên với véctơ nguyên b1 , b2 , b3 tn to Định lí 3.4 (Edmonds Giles, 1977, [2], tr 336) Nếu P (A) = {x : Ax ≤ b} ie gh nguyên đối ngẫu tuyệt đối b nguyên P (A) tập đa diện nguyên p Thực ra, Hoffman Kruskal (1956) tập đa diện P (A, b) xác định w Định lý 3.3 nguyên đối ngẫu tuyệt đối (TDI) Cho nên Định lý 3.4 oa nl suy từ Định lý 3.3 từ kiện: A đơn môđula tuyệt dối AT đơn d môđula tuyệt đối an lu Ví dụ tập đa diện nguyên nf va 3.1.2 lm ul Ví dụ 3.1 Ở Chương ta thấy ma trận A toán vận tải đơn môđula z at nh oi tuyệt đối Do theo Định lý 3.3, M (A, b) = {(x11 , x12 , , xmn )| n X xij =bj , i=1 z j=1 xij =ai , m X @ l gm xij ≥ 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n} n va M (A, e) = { x ∈ Rn | Ax = em , x ≥ 0}, an Lu Ví dụ 3.2 Cho tập đa diện m co tập đa diện nguyên ac th si 32 Với A ma trận phần tử 0, cấp m × n, em - véc tơ m− chiều với phần tử Ta tìm hai véctơ nguyên x y ∈ M (A, e) cho xj + yj = với j = 1, 2, , n (3.3) M (A, e) tập đa diện nguyên Thật vậy, rõ ràng z = (x + y)/2 ∈ M (A, e) Do n X n n n X 1X 1X 1= aij zj = aij (xj + yj ) = aij nên aij = 2, i = 1, , m, j=1 j=1 j=1 j=1 lu nghĩa hàng A có hai phần tử Ta đưa vào R1 cột j ma trận A có an xj = đưa vào R2 cột j có xj = Vì ma trận A thỏa mãn (sai khác va n phép chuyển vị) điều kiện Định lý 2.6, nghĩa A ma trận đơn môđula tuyệt tn to đối Vậy, đa diện M (A, e) chứa hai véctơ nguyên x, y thỏa mãn điều kiện (3.3) p ie gh đa diện nguyên Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ma trận lý tưởng nl w 3.1.3 d oa Sau ta đề cập tới số mở rộng lớp ma trận đơn môđula tuyệt đối an lu Định nghĩa 3.3 Ma trận gồm phần tử 0, gọi cân đối (balanced matrix) lm ul cột nf va khơng chứa ma trận vuông bậc lẻ với hai phần tử hàng z at nh oi Định nghĩa cho thấy ma trận cân đối không chứa ma trận × dạng   z 1      1    1 gm @ m quan trọng cho toán xếp tập phủ tập co l Khái niệm ma trận cân đối Berge nêu lần lần [1962] có gợi ý an Lu Định lí 3.5 (Berge 1972 Fulkerson et al 1974, [2], tr 336) Cho A ma trận gồm n va phần tử 0, cân đối Khi đó, đa diện toán xếp tập, phủ tập phân ac th si 33 hoạch tập tương ứng với ma trận A đa diện nguyên, tức đa diện sau nguyên P (A) = {x : x ≥ 0, Ax ≤ 1}, Q(A) = {x : ≤ x ≤ 1, Ax ≥ 1}, R(A) = {x : x ≥ 0, Ax = 1} Giả sử A = (A1 , A2 , A3 )T ma trận phần tử 0, cân đối Fulkerson et al (1974) chứng minh đa diện P (A) = {x : A1 x ≤ 1, A2 x ≥ 1, A3 x = 1, x ≥ 0} nguyên đối ngẫu tuyệt đối (TDI) từ Định lý 3.4 (Edmonds & Giles, lu 1977) suy P (A) đa diện nguyên an va ♣ Truemper (1992) mở rộng định nghĩa ma trận cân đối cho ma trận bao n gồm phần tử 0, ±1 tn to ie gh Định nghĩa 3.4 Ma trận 0, ±1 cân đối với ma trận vng có p phần tử khác hàng cột tổng phần tử ma trận bội oa nl w d Định lí 3.6 (Conforti & Cornuejols, 1992, [2], tr 336) Giả sử A ma trận 0, ±1 lu an cân đối Ký hiệu n(A) véctơ cột mà thành phần thứ i số phần tử −1 hàng nf va i A Khi đa diện sau nguyên lm ul P (A) = {x : Ax ≤ − n(A), ≤ x ≤ 1}, z at nh oi Q(A) = {x : Ax ≥ − n(A), ≤ x ≤ 1}, R(A) = {x : Ax = − n(A), ≤ x ≤ 1} z Các ma trận đơn môđula tuyệt đối tạo thành lớp ma trận cân đối, tức ma @ gm trận 0, ±1 đơn môđula tuyệt đối ma trận cân đối Điều suy từ định l lý Camion (1965) nói ma trận 0, ±1 đơn mơđula tuyệt đối với m co ma trận vng có số chẵn (nói riêng có 2) phần tử khác hàng an Lu cột tổng phần tử ma trận bội n va ac th si 34  1   1 A=  1  0   1   0 A=  1  1   1   0     1   1  Hình 3.1 Ma trận cân đối ma trận hoàn hảo Ma trận × Hình 3.1 cho thấy ma trận cân đối không thiết ma trận đơn môđula tuyệt đối (vì định thức cấp = 2!) lu an Nhận xét 3.1.1 Ma trận A phần tử 0, ±1 cân đối AT cân đối va n Hơn nữa, A cân đối (hay đơn môđula tuyệt đối) ma trận tn to A cân đối (hay đơn môđula tuyệt đối) Vì A cân đối (đơn mơđula tuyệt đối) ie gh Định lý 3.6 (Định lý 3.3) ma trận A Các ma trận 0, ±1 p cân đối cho gợi ý cách giải toán đáp ứng hay toán làm thỏa mãn oa nl w (satisfiability problem) toán MAX-SAT d Định nghĩa 3.5 Ma trận A phần tử 0, gọi hoàn hảo (perfect) P (A) = an lu {x : Ax ≤ 1, x ≥ 0} đa diện nguyên nf va Ta biết sắc số (chromatic number) đồ thị số màu nhỏ cần dùng lm ul để tô đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác (gọi tô đúng) z at nh oi Đồ thị G gọi hoàn hảo (perfect graph) đồ thị H cảm sinh số đỉnh G có sắc số số đỉnh clique (đồ thị khơng có đỉnh kề nhau) cực đại H Liên hệ tính nguyên đa diện P (A) khái niệm đồ z thị hoàn hảo Berge nêu cho định lý sau gm @ l Định lí 3.7 (Fulkerson 1970, Lovasz 1972, Chvátal 1975 [2], tr 337) Giả sử A m co ma trận phần tử 0, có cột tương ứng với đỉnh đồ thị G an Lu hàng véctơ liên thuộc clique (đồ thị khơng có đỉnh kề nhau) cực đại G Khi đó, đồ thị G hoàn hảo ma trận A hoàn hảo n va ac th si 35 Ma trận cân phần tử 0, tạo thành lớp ma trận hoàn hảo với phần tử 0, 1, tức ma trận A phần tử 0, ma trận cân đối A ma trận hồn hảo Ma trận × Hình 3.1 ví dụ ma trận hồn hảo khơng cân đối Định nghĩa 3.6 Ma trận A phần tử 0, gọi lý tưởng (ideal) đa diện toán phủ tập Q = {x : Ax ≥ 1, ≤ x ≤ 1} nguyên Các tính chất ma trận lý tưởng miêu tả Lehman (1979), Padberg (1993) Cornuejols & Novick (1994) Khái niệm ma trận phần tử 0, hoàn hảo (hay lý tưởng) mở rộng tự nhiên cho ma trận 0, ±1 hoàn hảo (hay lý tưởng) Một số kết liên quan đến ma trận 0, ±1 lý tưởng nêu Hooker lu an (1992) số kết liên quan đến ma trận 0, ±1 hoàn hảo nêu n va Conforti et al (1993) ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN ie gh tn to 3.2 p Định nghĩa 3.7 Đa diện M gọi gần nguyên w d oa nl 1) Tất điểm nguyên đa diện M đỉnh M nf va an lu 2) Nếu gọi S tập đỉnh nguyên M cạnh đa diện M = { x| x = X λy y, lm ul y∈S X λy = 1, λy ≥ 0} y∈S z at nh oi (bao lồi tập S đỉnh nguyên M ) cạnh đa diện M Để giải qui hoạch tuyến tính nguyên tập điểm nguyên đa diện gần nguyên M , ta dùng phương pháp đơn hình, với đôi chút sửa đổi Thật thế, z gm @ M đa diện nguyên nên ta xuất phát từ đỉnh nguyên tuỳ ý Để đạt l tới đỉnh tối ưu ta di chuyển từ đỉnh tới đỉnh theo cạnh M Theo điều co kiện 1) 2) đường tồn đa diện M Vì vậy, bước ta m cần kiểm tra xem đỉnh kề với trị mục tiêu tốt có đỉnh ngun khơng Nếu có an Lu di chuyển, khơng tìm đỉnh kề khác, n va ac th si 36 Nhận xét 3.2.1 Nếu đa diện M suy biến hai sở kề tương ứng với đỉnh hai đỉnh kề có hai sở khơng kề Vì vậy, để kiểm tra tính nguyên đỉnh kề với đỉnh xét phải kiểm tra nhiều sở Xét đại diện lớp đa diện gần nguyên Giả sử M (A, e) = { x| Ax = em , x ≥ 0}, A = [aij ]m×n ma trận phần tử 0, cho trước không chứa cột không; em véctơ m− chiều phần tử Tập điểm nguyên đa diện M (A, e) miền lu nghiệm chấp nhận toán phân hoạch tập phủ tập hay gặp lý an Trước rõ M (A, b) đa diện gần nguyên, ta nhắc lại toán phân hoạch n va thuyết thực tiễn ie gh tn to tập, phủ tập số toán thực tế có liên quan p • Bài tốn phân hoạch tập Xét tập hợp I = {1, 2, , m} Giả sử chia tách nl w thành n tập I1 , I2 , , In Tập Ij (j = 1, , n) đặc trưng véctơ d oa aj = (a1j , a2j , , amj )T với aij = i ∈ Ij aij = i ∈ / Ij lu tion) tập I nf va an Định nghĩa 3.8 Tập J ∗ ⊆ J = {1, 2, , n} gọi phân hoạch (parti- lm ul [ z at nh oi Ij , Ij ∩ Ik = ∅, j, k ∈ J ∗ , j 6= k j∈J ∗ Giả sử tập Ij (j = 1, , n) gắn với trọng số cj Cần tìm phân hoạch z J ∗ có tổng trọng số nhỏ nhất, nghĩa ta có tốn tối ưu: (3.4) cj xj → min, co l aij xj = 1, i = 1, 2, , m, (3.6) n va xj = hay , j = 1, 2, , n, (3.5) an Lu j=1 m n X gm j=1 @ n X ac th si 37 xj = có nghĩa số j có mặt phân hoạch J ∗ , trái lại xj = Bài toán phân hoạch tập liên quan chặt chẽ với tốn phủ tập mà khác toán (3.4) – (3.6) chỗ điều kiện (3.5) thay bất đẳng thức: n X (3.5’) aij xj ≤ 1, i = 1, 2, , m, j=1 Ví dụ 3.3 Cho tập I = {1, 2, 3, 4, 5} 10 tập I: I1 = {1, 2, 3} c1 = 0, I2 = {2, 5} c2 = 0, c3 = 0, I4 = {1, 2, 5} c4 = 0, I5 = {2, 4, 5} c5 = 0, I6 = {2, 3, 5} c6 = 0, I7 = {3, 4, 5} c7 = 0, I8 = {1, 2, 3, 4} c8 = 0, I3 = {3, 4} lu an va n I9 = {4, 5} c9 = 0, I10 = {2, 3, 4, 5} c10 = 0, tn to gh Bài tốn phân hoạch có dạng: min{cT x Ax = 2.xj ∈ {0, 1}, j = → 10} với c = p ie (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7)T , x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 )T 0   1   A= 1   0  1 0 0 1 d oa nl w  1 nf va an lu 0 1 lm ul 1 1         1     1  e =       1 1   1    1      1  z at nh oi • Tìm số ổn định đồ thị Cho đồ thị G (n đỉnh, m cạnh), tìm tập đỉnh J ∗ G cho hai đỉnh J ∗ không kề J ∗ có nhiều đỉnh Khi đó, A = [aij ]m×n ma trận liên thuộc cạnh - đỉnh đồ thị G đặt z @ co l gm   đỉnh j ∈ J ∗ , xj =  trái lại m phát biểu tốn tìm số ổn định đồ thị toán phủ tập: ( n ) n X X max xj