(Luận văn) lưới tọa độ và số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THANH MAI lu an n va VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN p ie gh tn to LƯỚI TỌA ĐỘ d oa nl w ll u nf va an lu m oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THANH MAI lu an va n LƯỚI TỌA ĐỘ tn to p ie gh VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu Mã số: 60 46 01 13 ll u nf va an Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z PGS.TS Nguyễn Việt Hải m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si i Danh mục hình an n va 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Cộng nhân điểm nguyên a.Các điểm nguyên (2 + 3i); b Các điểm nguyên liên F(R) N(R) r(4)=4;r(25)=12 n=8, n=6 n=12 3.1 p ie gh tn to w lu 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 4 10 12 14 15 17 19 23 kết 34 36 39 41 43 43 Hình chữ nhật 20 × 12 55 Lưới tọa độ nguyên Lưới tọa độ mặt phẳng lưới tọa độ nguyên với hbh sở Hình vẽ a Hình vẽ b Ngũ giác lục giác Hình vng hình bát giác Đa giác đều-cạnh Đa giác đều-góc Tam giác hầu nội tiếp lưới Đa giác đơn đa giác khơng đơn Một số tốn liên quan d oa nl nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục lu Lời cảm ơn ii Mở đầu an n va p ie gh tn to Lưới tọa độ đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.1.1 Lưới tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Lưới tọa độ nguyên đa giác 1.1.3 Đa giác nửa nội tiếp lưới nguyên 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3 Công thức Picard 1.3.1 Tam giác đơn nguyên thủy 1.3.2 Công thức Picard 1.3.3 Một số tốn áp dụng cơng thức Picard 1.4 Một số ứng dụng lưới tọa độ nguyên 1.4.1 Giá trị vô tỷ hàm lượng giác 1.4.2 Các tốn vng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Lưới tọa độ nguyên đường tròn 2.1 Điểm nguyên nguyên tố 2.1.1 Sự chia hết điểm nguyên 2.1.2 Định lý điểm nguyên 2.2 Đường tròn lưới tọa độ nguyên 2.2.1 Số biểu diễn số tự nhiên thành hai bình phương 3 12 16 19 19 20 22 25 25 27 tổng 41 m co l gm @ 33 33 35 36 38 an Lu n va ac th si i 42 46 46 47 Các toán khác 3.1 Điểm nguyên đường cong phẳng 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi thi Olympic 49 49 51 Tài liệu tham khảo 59 2.3 2.2.2 Đường tròn Sinhsel Một số ứng dụng vào số học 2.3.1 Bộ ba Pythagoras 2.3.2 Các dạng điểm nguyên nguyên tố lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B2 (2015 - 2017) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! d oa nl w lu nf va an Hải Phòng, tháng năm 2017 Người viết Luận văn z at nh oi lm ul Nguyễn Thị Thanh Mai z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Mục đích đề tài luận văn lu an n va p ie gh tn to - Nghiên cứu toán lưới tọa độ nguyên: Đa giác lưới, đường tròn lưới, tốn số học, hình học tổ hợp, lượng giác lưới vấn đề liên quan - Trình bày sở khoa học vận dụng kiến thức số học, đại số, hình học, nguyên tắc nguyên tắc Dirichlet, nguyên tắc cực hạn, nguyên tắc bất biến vào việc giải toán với lưới nguyên - Các phương pháp tư đặc trưng số kết trình bày cách hệ thống nâng cao qua tốn hay khó kỳ thi Olympic Quốc gia Quốc tế - Người nghiên cứu có thêm kiến thức lực bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề khó, hay gặp Toán học d oa nl w nf va an lu Nội dung đề tài, vấn đề cần giải lm ul z at nh oi Trình bày hệ thống số toán lưới tọa độ nguyên dựa báo [3], [5] [2] Phát biểu chứng minh kết liên quan đến số học hình học Đề tài gồm chương: z Chương Lưới tọa độ đa giác @ m co l gm Bài toán đặt là: Dựng không dựng đa giác lưới tọa độ nguyên mà đỉnh trùng với nút lưới? Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất, Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên, Công thức Picard ứng dụng lưới nguyên vào an Lu n va ac th si tốn hình học, số học, tổ hợp, lượng giác, vấn đề nghiên cứu chương Chương có mục sau: 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3 Công thức Picard 1.4 Một số ứng dụng lưới tọa độ nguyên Chương Lưới tọa độ nguyên đường tròn lu an n va gh tn to Lưới tọa độ nguyên vành Gauss nên nội dung chương khai thác vấn đề số học số nguyên: Điểm nguyên nguyên tố, Đường tròn lưới tọa độ nguyên, số ứng dụng vào số học toán liên quan đến ba Pythagoras, Chương bao gồm mục sau: p ie 2.1 Điểm nguyên nguyên tố w 2.2 Đường tròn lưới tọa độ nguyên d oa nl 2.3 Một số ứng dụng vào số học an lu Chương Các toán khác nf va Liên quan đến lưới tọa độ ngun cịn có tốn điểm nguyên đường cong phẳng, Các toán thi học sinh giỏi thi Olympic lm ul 3.1 Điểm nguyên đường cong phẳng z at nh oi 3.1 Các toán thi học sinh giỏi thi Olympic Tác giả z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Lưới tọa độ đa giác lu an 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất va n 1.1.1 Lưới tọa độ mặt phẳng p ie gh tn to Trên mặt phẳng ta xét lưới tạo hai họ đường thẳng song song chia mặt phẳng thành hình bình hành d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 1.1: Lưới tọa độ nguyên z Tập hợp tất đỉnh hình bình hành gọi lưới tọa độ, thân đỉnh gọi nút lưới Mọi hình bình hành tạo họ đường thẳng song song gọi hình bình hành sở phân hoạch hay hình bình hành sinh lưới Chú ý lưới nhận từ họ đường thẳng khác nhau: Trên Hình 1.1 biểu diễn lưới tọa độ nguyên, tức tập hợp m co l gm @ an Lu n va ac th si điểm có tọa độ Descartes số nguyên Lưới tọa độ nguyên lưới tạo tất đường thẳng song song với hai trục tọa độ, coi tờ giấy kẻ ô vuông vô hạn (hình bình hành sở hình vng cạnh 1) Lưới tọa độ nguyên nhận từ "đường xiên" (khi hình bình hành sở hình bình hành ABCD Hình 1.2) lu an n va gh tn to Hình 1.2: Lưới tọa độ mặt phẳng p ie d oa nl w Như vậy, khái niệm hình bình hành sở khơng gắn với thân lưới mà gắn với họ đường thẳng sinh lưới Ta có tính chất đơn giản lưới sau: nf va an lu z at nh oi lm ul z Hình 1.3: lưới tọa độ nguyên với hbh sở gm @ m co l i Mọi phép tịnh tiến song song biến điểm nút thành điểm nút khác bảo tồn lưới (biến lưới thành nó) ii (Bổ đề đỉnh thứ tư hình bình hành) Nếu đỉnh hình an Lu n va ac th si NR(R) − π ≤ 4πR Nghĩa là, với R đủ lớn ta co (2.7) m an Lu N (R) =π R R→∞ lim −→ l Mệnh đề 2.1 (K.Gauss) Với ký hiệu ta có: n va ac th si 40 Nhà toán học thiên tài K Gauss xấp xỉ công thức 2.7 cách lập bảng tương ứng với giá trị gần số π lu an n va tn to R 10 20 30 100 200 300 N (R) 317 1257 2831 31517 125629 282697 π 3,17 3,1425 3,134 3,1417 3,140725 3,14107 Phép chứng minh đẳng thức (2.7) gắn liền với tính chất lưới Z2 : Diện tích hình bình hành σ sinh lưới Z2 , Hình bình hành gọi hình bình hành sở lưới Z2 Nhắc lại σ hình bình hành sở lưới Z2 chia mặt phẳng thành hình bình hành σ nhau, tập hợp đỉnh hình bình hành trùng với tập hợp nút lưới Z2 Giá trị tuyệt đối hiệu diện tích hình trịn K(R) diên tích hình F tạo từ tập hợp tất hình bình hành ứng với nút K(R), nhỏ diện tích hình vành khăn ie gh {(x, y)|(R − a)2 ≤ x2 + y ≤ (R + a)2 } p đó, a √ đường chéo lớn hình bình hành σ (trên hình vẽ, R = 4, a = 13) Nếu Sσ = ∆ SF = ∆N (R) đó,   |∆.N (R) − πR2 | < π (R + a)2 − (R − a)2 = 4aπR d oa nl w lu ta nhận được: 4aπ R.∆ Cho R tiến vô tận, theo chứng minh nf va an N (R) π Nghĩa R2 − ∆ < lm ul π N (R) = , tức ∆ = n→∞ R2 ∆ Ta nhận hệ (2.7): Đại lượng N (R) biểu diễn số tất cặp số nguyên thứ tự (x, y) ∈ Z2 thỏa mãn x2 + y ≤ R2 Với nút (x, y) ∈ Z2 số x2 + y số nguyên, ký hiệu r(k) số cách biểu diễn phân biệt số tự nhiên k thành tổng hai bình phương số nguyên (các biểu diễn k = a2 + b2 = (−a)2 + b2 = a2 + (−b)2 = (−a)2 + (−b)2 coi đôi phân biệt) π = lim z at nh oi z co l gm @ m N (R) = r(0) + r(1) + + r(n), với n = R2 an Lu n va ac th si 41 Mệnh đề 2.2 (K.Gauss) Ta có đẳng thức sau lim −→ n→∞ r(0) + r(1) + + r(n) =π n Chú ý thân hàm r(n) khơng quy Chẳng hạn r(0) = 1, r(1) = 4, r(2) = 4, r(3) = 0, r(4) = 4, r(5) = 8, r(6) = 0, r(7) = 0, r(8) = 4, , r(21) = 0, r(22) = 0, r(23) = 0, r(24) = 0, r(25) = 12 2.2.1 Số biểu diễn số tự nhiên thành tổng hai bình phương lu Để tìm số phân tích n = a2 + b2 với n ∈ N tùy ý ta có kết sau an n va tn to Mệnh đề 2.3 Với n ∈ N, số điểm nguyên đường tròn √ bán kính n số cách phân tích số nguyên n thành tổng hai bình phương, số r(n) xác định sau: p ie gh • Nếu n khơng chia hết cho r(n) = 4[d1 (n)−d3 (n)], với d1 (n), d3 (n) ước n thứ tự có dạng 4n + 1, 4n + 3; d oa nl w • Nếu n = 2α ps11 ps22 pskk q1t1 tel l phân tích tắc n thành nhân tử nguyên tố với pi có dạng 4k + 1, qj có dạng 4k + ( 4(s1 + 1) (sk + 1) t1 , , tl chẵn r(n) = trường hợp ngược lại nf va an lu z at nh oi lm ul Trên hình vẽ 2.4: z m co l gm @ Hình 2.4: r(4)=4;r(25)=12 an Lu n va ac th si 42 Với n = 4, ta có cách phân tích 22 = 02 + 22 = 22 + 02 = 02 + (−2)2 = (−2)2 + 02 Với n = 25 ta có 12 cách phân tích 52 = (−5)2 + 02 = (−4)2 + (−3)2 = (−3)2 + (−4)2 = (0)2 + (−5)2 = 32 + (−4)2 = 42 + (−3)2 = 02 + 52 = 42 + 32 = 32 + 42 = 02 + 52 = (−3)2 + 42 = (−4)2 + (3)2 Từ định lý 2.3 ta rút ra: Phương trình x2 + y = 5k , (k ≥ 0) có 4(k + 1) k nghiệm nguyên, nói cách khác, đường trịn với bán kính , tâm gốc tọa độ qua 4(k + 1) nút lưới Z2 2.2.2 Đường tròn Sinhsel lu an n va p ie gh tn to Trình bày phần dựa theo [2] Đầu tiên ta có nhận xét:Với √ số tự nhiên n tồn hình tròn với tâm điểm ( 2, ) chứa n điểm nguyên lưới Để chứng minh nhận xét ta chứng tỏ: (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) √ hai nút phân biệt lưới khoảng cách từ chúng đến điểm ( 2, ) √ √ 2 không Thật vậy, (x1 − 2) + (y1 − ) = (x2 − 2) + √ 2 (y2 − ) x21 − x22 + y12 − y22 − y − 2(x1 + x2 ) = Từ rút ra: 3 2 x1 = x2 y22 − y12 − y1 − y2 = Đẳng thức thứ hai tương đương 3  2  2 1 = y2 − ⇐⇒ 3y1 − = ±(3y2 − 1) y1 − 3 d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Tức y1 = y2 3(y1 + y2 ) = 2, đẳng thức sau không xảy Như vậy, x1 = x2 , y1 = y2 Ta lấy dãy bán kính  R1