130 hsg 10 nghe an bien pham van

Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x ) ( x  12 x  31) 2010 3 Tính f (a ) a  16   16  2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x  xy  y ) 7( x  y ) Câu (4,5 điểm): 2 a) Giải phương trình: x  x  x  x  x b) Giải hệ phương trình: 1 1  x  y  z 2     4  xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz 1 A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   x3  y  y  z  z  x3  Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn  O; R   O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2009-2010 Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f ( x ) ( x  12 x  31) 2010 3 Tính f (a ) a  16   16  2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5( x  xy  y ) 7( x  y ) Lời giải 3 a) a  16   16  3 3  a 32  (16  5)(16  5).( 16   16  )  a 32  3.( 4).a  a 32  12a  a  12a  32 0  a  12a  31 1 2010  f (a ) 1 1 2 b) 5( x  xy  y ) 7( x  y )  7( x  y )5 x  y 5t  ( x  y )5 (t  Z ) (2) (1) trở thành x  xy  y 7t Đặt (1) (3) x 5t  y thay vào (3) ta Từ (2)  y  15ty  25t  7t 0  84t  75t (*) 2 Để (*) có nghiệm   0  84t  75t 0  t  28 25 Vì t  Z  t 0 t 1 Thay vào (*)  y1 0  x1 0 Với t 0  y 3  x2     y3 2  x3 1 Với t 1 Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word x  x3  x  x  x môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Giải hệ phương trình: 1 1  x  y  z 2     4  xy z Lời giải a) ĐK: x 0 x 1 Với x 0 thỗ mãn phương trình Với x 1 Ta có x  x  x ( x  1)  ( x  x  1) x  x  1( x  x)  ( x  x  1)  x3  x  x  x x  x  x     x  x 1 Dấu "=" xảy  x  x     x 1 x   x  x  (Vô lý) Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 b) 1 1  x  y  z 2 (1)  (I )    4 (2)  xy z  Từ (1) ĐK x; y; z 0 1 2      4 x y z xy xz yz 1 1 2   2 2 2   x y z xy xz yz Thế vào (2) ta được: xy z 1 2      0 x y z xz yz               0 xz z   y yz z  x 2  1  1         0  x z  y z 1  x  z 0     0  y z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu  x  y  z word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 ( x; y; z )  ; ;   (TM )  2 2 Thay vào hệ (I) ta được: Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz 1 A Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   x3  y  y  z  z  x3  Lời giải Ta có (x  y) 0 x; y  x  xy  y  xy Mà x; y   x  y  Ta có: x  y  x  y   x  xy  y   x  y  x  y  xy  x  y   x  y  xyz  x  y  xy  xyz  x  y  xy  x  y  z   y  z   yz  x  y  z   Tương tự: z  x   zx  x  y  z    A 1   xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) xz ( x  y  z )  A x yz xyz ( x  y  z )  A 1 xyz Vậy giá trị lớn A  x  y  z 1 Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn  O; R   O '; R ' cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD ; CE với đường tròn tâm O ( D ; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ' ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O ' M N ( M N khác với điểm A ) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com C M A D Q O E K O' H I B N a) Ta có:   BDE BAE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O )   BAE BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O ' )  BDE BMN     hay BDI BMN  BDMI tứ giác nội tiếp    MDI MBI (cùng chắn cung MI )   mà MDI  ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O )   ABE MBI   mặt khác BMI BAE (chứng minh trên)  DMBI #DABE (g.g) MI BI   MI BE  BI AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE  OC ^DE Q  OCD vng D có DQ đường cao   OQ.OC OD R (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO ' DE ; H giao điểm AB OO '  OO '^AB H    Xét KQO CHO có Q H 90 ; O chung  KQO#CHO (g.g) KO OQ    OC.OQ KO.OH (2) CO OH Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) (2)  KO.OH R  OK  R2 OH Vì OH cố định R khơng đổi  OK không đổi  K cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A , trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH  PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn Lời giải A H' N P O M B H D C E ABC vuông cân A  AD phân giác góc A AD^BC  D   O; AB /  Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác)  tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP  mà NHP 90  H thuộc đường trịn đường kính NP  AHN  AMN 450 (1) Kẻ Bx ^AB cắt đường thẳng PD E  tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE Mặt khác BED CDP (g.c.g)  BE PC mà PC BN  BN BE  BNE vuông cân B     NEB 450 mà NHB NEB (cùng chắn cung BN )   NHB 450 (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  H  O; AB /    Từ (1) (2) suy AHB 90 gọi H ' hình chiếu H AB HH ' AB  S AHB lớn  HH ' lớn mà HH ' OD  AB / (do H ; D thuộc đường trịn đường kính AB OD^AB )  S AHB  Dấu "=" xảy  H D  M D …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC