luận văn 1 số vấn đề về phương trình diophante

luận văn 1 số vấn đề về phương trình diophante

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THƯƠNG HOÀI MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THƯƠNG HOÀI MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2010 x 2 + y 2 = z 2 x 4 + y 4 = z 2 x 4 + y 4 = z 4 Q(ρ) x 3 + y 3 = z 3 x 3 + y 3 = 3z 3 x 3 + y 3 + z 3 = t 3 x 3 + y 3 + z 3 = t 3 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 x + 5 y = z 2 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 2 + y 2 = z 2 ; x 4 + y 4 = z 2 ; x 3 + y 3 = z 3 ; x 3 + y 3 = 3z 3 ; x 3 + y 3 + z 3 = t 3 Q(ρ) 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 100 − (x + y) 5x + 3y + 100 − (x + y) 3 = 100 7x + 4y = 100 x, y    x, y x + y < 100 7x < 100 4y < 100    x, y ∈ N x + y < 100 x < 14 y < 25 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ax+by = 1 a, b ∈ Z, (a, b) = 1 x = x 0 + bt y = y 0 − at (x 0 ; y 0 ) t ∈ Z x n + y n = z n n = 2 x 2 +y 2 = z 2 (x; y; z) (3; 4; 5), (5; 12; 13), (8; 15; 17), (7; 24; 25), (20; 21; 29) n > 2 (x; y; z) x 2 −ny 2 = ±1 4 n = 1 x + 1 y + 1 z ⇔ 4xyz = nyz + nxz + nxy 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 4 x n + y n = z n n 2 n > 2 x n + y n = z n n = 4 n = 3 n = 5 n = 6 n = 3 n n = 7 n ≤ 100 100000 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 1( mod ) và = 1 + Thế thì 1) = 3 1 =( 1) (2 + + 1) =( 1) (2 2 + ) =( 1) ( )( + + 1) =( 1) ( )( 2 ) =( + 1 )( + 1 2 ) 21S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 =( + 1) [ + (1 ) (1 + )] =3 ( (theo cách đặt Từ + 1) ( 2 ) 1 = và 1 + + 2 = 0 2 = 1 ) 1 2 = (1 + ) = (2 ) = 2 suy ra 2 1( mod ) Nên ( + 1) ( 2 ) ( + 1) ( 1) Nhưng theo kết quả của Bổ đề. .. các số nguyên 1 , 1 trong y = 1 1 ; N 1 17S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn Q() sao cho > 1; 17 N 1 > 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn do N y = N 1 N 2 1 < N 1 < N y Nếu 1 không là số nguyên tố thì 1 = 2 2 ; và ta có N 2 > 1; N 2 > 1 1 < N 2 < N 1 Thực hiện liên tiếp quá trình như trên ta nhận được mãn y = k 1 2 k N y > N 1 > N 2 > ã ã ã > 1 Dãy N y, N 1 , N 2 , , N k thỏa là một dãy số. .. Một số vấn đề mở rộng Trong chương này ta sẽ nghiên cứu một kết quả mới tìm được và một vài bài tập về phương trình Diophante 3 .1 Phương trình Diophante 3 .1. 1 Định lý 2x + 5y = z 2 Phương trình Diophante 2x + 5 y = z 2 (3 .1. 1) có đúng hai nghiệm nguyên không âm là Chứng minh Trường hợp (3; 0; 3) và (2; 1; 3) x = 0, ta có phương trình 5y = z 2 1 hay (z 1) (z + 1) = 5y trong đó z 1 = 5u và z + 1 =... là (0; 0; 0) Vậy phương trình Diophante (3.2 .1) có nghiệm duy nhất 33S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn (0; 0; 0) http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 3.2.2 Bài tập Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1! + 2! + 3! + + x! = y 2 Giải Thử x =1 có 1! = y 2 y 2 = 1 y = 1, vậy phương trình có nghiệm (1; 1) , (1; 1) Thử x = 2 có 1! + 2! = y 2 y 2 = 5, phương trình vô nghiệm Thử x = 3 có 1! + 2! + 3! = y... Nói chung, giải phương trình Diophante, đặc biệt là phương trình Diophante 9S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 bậc cao là một bài toán rất khó Nhiều khi ta gặp hai phương trình Diophante tương tự nhau, chỉ khác nhau về hệ số, mà phương trình này có vô số nghiệm, phương trình kia lại vô nghiệm; phương trình này rất dễ giải, trong khi phương trình kia lại rất khó giải,... 2k +1 (3 .1. 2) Phương trình Diophante (3 .1. 2) là một phương trình Diophante cho bởi Catalan có dạng ab cd = 1 32S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Năm 19 52, Leveque đã chứng minh định lí chỉ ra rằng phương trình chỉ có nghiệm nguyên dương lớn hơn 1 là a = 3, b = 2, c = 2 và d = 3 Điều này dẫn đến phương trình (3 .1. 2) chỉ có nghiệm khi y = 1 Suy ra ta có 2k +1 = 22... Suy ra ta có 2k +1 = 22 , trong đó k = 1 và như vậy x = 2, y = 1, z = 3 Vậy phương trình (3 .1. 1) có đúng hai nghiệm 3.2 (3; 0; 3) và (2; 1; 3) Một số bài tập giải phương trình Diophante 3.2 .1 Bài tập Giải phương trình Diophante sau x3 2y 3 4z 3 = 0 Giải suy ra Đặt (3.2 .1) x3 2y 3 4z 3 = 0 x3 = 2y 3 + 4z 3 x3 = 2(y 3 + 2z 3 ) x3 là số chẵn, thế thì x cũng là số chẵn x = 2x Khi đó x3 = 2(y 3 + 4z... + b)( Do mod ) 3 = (1 ) (1 2 ) = (1 2 ) nên | 3 Mặt khác a + b là số nguyên nên ta có a + b 0( mod 3) a + b 1( mod 3) a + b 2( mod 3) 1( mod 3) suy ra w 1( mod ) w 0( mod ) w 1( mod ) Bổ đề được chứng minh Ta có một số ví dụ sau: i) Số 3 là phần tử liên kết với 2 trong Q() Vì 2 = (12 ) = 12 +2 = 3, trong đó () là phần tử khả nghịch ii) Tất cả các số (1 ); (1 2 ); (1 ) đều liên kết với trong... 2xv 1 = 1, vậy 2v = 2 và 2xv = 2, thế thì v = 1 và x = 3 Do đó x = 3; y = 0; z = 3 Diophante 2x hay (3; 0; 3) là một nghiệm của phương trình + 5y = z 2 Trường hợp x 1, y 1, từ 3 .1. 1 ta thấy z lẻ và không chia hết cho 5 Nếu z 1( mod 5) thì ta có z 2 1( mod 5); Nếu z 2( mod 5) thì ta có z 2 4( mod 5) 1( mod 5) Như vậy 2x Nếu = z 2 5y (1) ( mod 5) x là số lẻ x = 2k + 1, k N, suy ra 22k +1 = 2.4k... với Nhưng mod 2 ); 3 1( 1 hoặc của Vậy 4 = 1 = 1 thì (2.6.6) là một phương trình cần tìm Nếu 4 = 1 ta sẽ thay bởi 25S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Nghĩa là cả hai trường hợp đều cho ta lũy thừa của là 3(m 1) Bổ đề được chứng minh Từ Bổ đề 2.6.5 ta suy ra kết quả của Định lý 2.6 .1 2.7 Phương trình 2.7 .1 Định lý x3 + y 3 = 3z 3 Phương trình nghiệm tầm thường . b 2 ) = 1 (c 2 − cd + d 2 ) = 1 2 Q(ρ) Z Q(ρ) 3 = (1 −ρ) (1 −ρ 2 ) N (1 −ρ) = 3 N (1 −ρ 2 ) = 3 3 Q(ρ) Q(ρ) 0 Q(ρ) Q(ρ) 0 Q(ρ) y Q(ρ) Q(ρ) γ 1 , β 1 Q(ρ) y = γ 1 β 1 ; Nγ 1 > 1; Nβ 1 > 1 1 7Số hóa. http://www.lrc-tnu.edu.vn Ny = Nγ 1 Nβ 2 ⇒ 1 < Nγ 1 < Ny γ 1 γ 1 = γ 2 β 2 ; Nγ 2 > 1; Nβ 2 > 1 1 < Nγ 2 < Nγ 1 y = γ k β 1 β 2 . . . β k Ny > Nγ 1 > Nγ 2 > ··· > 1 Ny, Nγ 1 , Nγ 2 , http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 0 − (x + y) 5x + 3y + 10 0 − (x + y) 3 = 10 0 7x + 4y = 10 0 x, y    x, y x + y < 10 0 7x < 10 0 4y < 10 0    x, y ∈ N x + y < 10 0 x < 14 y < 25 6Số hóa bởi Trung