(Luận văn) phương trình hàm toàn phương và tính ổn định nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TỒN lu an va n PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG to p ie gh tn VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2021 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TOÀN lu an va n PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG to p ie gh tn VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM Mã số: 8460113 oa nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d Khóa: 22 (2019 - 2021) nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z Người hướng dẫn khoa học: @ m co l gm PGS.TS NGUYỄN SUM an Lu Bình Định - Năm 2021 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tác giả xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác tính đến thời điểm Đề tài “Phương trình hàm tồn phương tính ổn định nghiệm” kết nghiên cứu tác giả hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn lu Sum Tác giả xin cam đoan kết trình bày an n va luận văn tham khảo trích dẫn từ tài liệu đảm bảo tính rõ ràng tn to xác ie gh Bình Định, tháng năm 2021 p Tác giả d oa nl w nf va an lu Nguyễn Đức Toàn z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Lời cam đoan lu an Chương 1: Kiến thức chuẩn bị n va Mở đầu 1.1.1 Hàm số đơn điệu 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Một số tính chất hàm số w p ie gh tn to 1.1 1.1.2 Hàm số chẵn hàm số lẻ d oa nl Hàm số liên tục 1.1.5 Hàm số khả vi nf va an lu lm ul 1.2 1.1.4 Phương trình hàm z at nh oi Chương 2: Phương trình hàm tồn phương 5 Các hàm song cộng tính 2.2 Nghiệm phương trình hàm toàn phương 11 2.3 Biểu diễn hàm toàn phương 16 2.4 Pexider hóa phương trình hàm tồn phương 19 2.5 Một số toán 27 z 2.1 m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương 3: Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.2 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương tổng qt 3.3 39 Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm có liên quan 51 lu an 64 Tài liệu tham khảo 65 n va Kết luận p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu toán học đại toán sơ cấp, sử dụng nhiều việc giảng lu an dạy bồi dưỡng học sinh lớp chọn, lớp chuyên trường trung học va n phổ thông kỳ thi học sinh giỏi cấp gh tn to Các phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình p ie hàm d’Alembert phương trình hàm nhiều tài liệu đề tài đề cập nghiên cứu nl w d oa Các đề tài phương trình hàm phong phú nên tài liệu an lu đề tài bao quát tất lớp phương trình hàm Vì nf va vấn đề cần nghiên cứu số lớp phương trình hàm cụ thể cần lm ul thiết để phục vụ cho công việc giảng dạy học tập toán cấp học z at nh oi Các phương trình hàm cổ điển nghiên cứu khoảng thời gian 250 năm kết phương trình hàm z biên tập nhiều tài liệu J Aczél [4], M Kuczma [6] Gần đây, @ l gm số tài liệu khác nhiều tác giả biên soạn cập nhật nhiều vấn đề mẻ C Efthimiou [5], P Sahoo P Kannappan [3] co m Mục đích luận văn trình bày dạng phương trình hàm tồn an Lu phương số dạng mở rộng Luận văn trình bày tính n va ac th si ổn định nghiệm lớp phương trình hàm Cấu trúc luận văn bao gồm: Chương 1, trình bày số tính chất hàm số, phương trình hàm với kết sử dụng chương Chương 2, trình bày lý thuyết phương trình hàm tồn phương số toán liên quan lu Chương 3, trình bày tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn an n va phương số phương trình hàm có liên quan tn to Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS ie gh Nguyễn Sum Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng p sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy tận tình giúp đỡ truyền đạt cho oa nl w tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm trình nghiên cứu khoa học để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt d lu nf va an Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê, quý lm ul thầy cô giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22 (2019 - z at nh oi 2021) tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài z gm @ Cuối cùng, tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu m co l phương trình hàm an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an Mục đích chương hệ thống lại số định nghĩa tính chất va n sơ cấp hàm số Chúng nhắc lại số kết gh tn to phương trình hàm Cauchy cần thiết để sử dụng cho chương p ie Nội dung chương tham khảo từ tài liệu N V Mậu Một số tính chất hàm số d nf va an lu 1.1 oa nl w [1] Trong mục này, xem xét hàm số f (x) với tập xác định Df ⊂ R z at nh oi 1.1.1 lm ul tập giá trị Rf ⊂ R Hàm số chẵn hàm số lẻ z Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn D ⊂ Df m   f (x) = f (−x), ∀x ∈ D co l    ∀x ∈ D, −x ∈ D gm @ an Lu n va ac th si Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ D ⊂ Df    ∀x ∈ D, −x ∈ D   f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D 1.1.2 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.1.3 Hàm số f (x) gọi hàm số đồng biến D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 ta có lu an f (x1 ) − f (x2 ) ≥ x1 − x2 n va tn to Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f (x) gọi hàm số nghịch biến ie gh D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 ta có p f (x1 ) − f (x2 ) ≤ x1 − x2 oa nl w Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn d 1.1.3 an lu nf va Định nghĩa 1.1.5 Hàm số f (x) gọi tuần hoàn chu kỳ a (a > 0) z at nh oi lm ul M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M   f (x ± a) = f (x), ∀x ∈ M z an Lu   f (x ± a) = −f (x), ∀x ∈ M m co l (a > 0) M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M gm @ Định nghĩa 1.1.6 Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn chu kỳ a n va ac th si 1.1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.7 Cho hàm số f (x) xác định Df x0 ∈ Df Ta nói hàm f (x) liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.8 Hàm số f (x) liên tục (a, b) f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b) Định nghĩa 1.1.9 Hàm số f (x) liên tục [a, b] f (x) liên tục lu điểm x0 ∈ (a, b), đồng thời f (x) liên tục trái x = b liên tục an n va phải x = a Hàm số khả vi ie gh tn to 1.1.5 p Định nghĩa 1.1.10 Cho hàm số f (x) x0 ∈ Df Ta nói f (x) khả vi f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0 giới hạn tỉ số có giá trị hữu hạn ∆x ∆x dần tới d oa nl w lu vi x ∈ D nf va an Định nghĩa 1.1.11 Hàm số f (x) khả vi tập D ⊂ Df f (x) khả z at nh oi lm ul 1.2 Phương trình hàm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm z @ m co l gm số Giải phương trình hàm tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình Định nghĩa 1.2.2 Phương trình hàm Cauchy phương trình an Lu f (x + y) = f (x) + f (y) n va ac th si + 2ln f (y) d oa nl w Đặt g(x) = ln f (x) Khi đó, (2.55) trở thành g(x + y) + g(x − y) = 2g(x) + 2g(y), nf va z at nh oi lm ul Suy an lu với x, y ∈ R g(x) = B(x, x), z hàm B : R2 → R hàm song cộng tính đối xứng m an Lu hàm B hàm song cộng tính đối xứng co f (x) = ±eB(x,x) , l gm @ Vậy nghiệm phương trình Thử lại, ta thấy hàm f nghiệm tổng quát (2.54) n va ac th si 30 Bài tập 2.5.3 Cho k ∈ Z+ , tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (kx + y) + f (kx − y) = 2k f (x) + 2f (y), (2.56) với x, y ∈ R Lời giải Thay x = y = vào (2.56), ta suy f (0) = lu Thế y = vào (2.56), ta an va n f (kx) = k f (x), tn to gh với x ∈ R p ie Từ đó, thay y ky (2.56), ta oa nl w     f k(x + y) + f k(x − y) = 2k f (x) + 2f (ky) d ⇔ k f (x + y) + k f (x − y) = 2k f (x) + 2k f (y) lu nf va an ⇔ f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y) lm ul Do đó, nghiệm phương trình (2.56) z at nh oi f (x) = B(x, x), hàm B : R2 → R hàm song cơng tính đối xứng z gm @ Thử lại, ta thấy hàm f nghiệm tổng quát (2.56) co l Bài tập 2.5.4 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình m f (x + y + z) + f (x − y)+f (y − z) + f (z − x)   = f (x) + f (y) + f (z) , an Lu (2.57) n va ac th si 31 với x, y, z ∈ R Lời giải Thay x = y = z = vào (2.57), ta f (0) = (2.58) Thay y = z = vào (2.57), ta f (−x) = f (x), (2.59) lu với x ∈ R an Do đó, hàm f hàm chẵn va n Thay y x z = (2.57), sử dụng (2.58) (2.59) ta suy tn to ie gh p f (2x) = 4f (x), (2.60) w d oa nl với x ∈ R nf va an lu Thay z −y (2.57), sử dụng (2.59) (2.60) ta suy f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), z at nh oi lm ul với x ∈ R Do đó, hàm f hàm toàn phương Suy z @ l gm f (x) = B(x, x), m co hàm B : R2 → R hàm song cộng tính đối xứng an Lu Thử lại, ta thấy f nghiệm tổng quát (2.57) n va ac th si 32 Bài tập 2.5.5 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y + z) + f (x + y − z)+f (y + z − x) + f (z + x − y)   = f (x) + f (y) + f (z) , (2.61) với x, y, z ∈ R Lời giải Thay x = y = z = vào (2.61), ta f (0) = (2.62) lu an Thay y = z = vào (2.61), ta n va (2.63) gh tn to f (−x) = f (x), p ie với x ∈ R Do đó, hàm f hàm chẵn nl w d oa Thay y x z = (2.61) sử dụng (2.62), ta lu lm ul với x ∈ R nf va an f (2x) = 4f (x), Bằng phương pháp quy nạp, ta z at nh oi f (nx) = n2 f (x), z m an Lu n va với n ∈ Z, với x ∈ R co f (nx) = n2 f (x), l gm Kết hợp với (2.63), ta suy @ với n ∈ Z+ , với x ∈ R ac th si 33 Khi đó, lấy r ∈ Q với r= m n m ∈ Z, n ∈ N, ta có m2 f (x) = f (mx) = f (nrx) = n2 f (rx) Suy lu f (rx) = r2 f (x) an va n Từ đó, ta có tn to p ie gh f (nx) = n2 f (x), d oa nl w với n ∈ Q, với x ∈ R Thay y = z = vào (2.61) kết hợp với kết trên, ta   t + 2f (x) f (t + x) + f (t − x) = 8f nf va an lu ⇔ f (t + x) + f (t − x) = 2f (t) + 2f (x), lm ul Suy z at nh oi với x, t ∈ R Do đó, hàm f hàm tồn phương z gm @ f (x) = B(x, x), co l với x ∈ R, hàm B : R2 → R hàm song cộng tính đối xứng m Thử lại, ta thấy hàm f nghiệm tổng quát (2.61) an Lu n va ac th si Chương TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA lu PHƯƠNG TRÌNH HÀM TOÀN an n va PHƯƠNG gh tn to p ie Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến nl w tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương, phương trình d oa hàm toàn phương tổng quát số phương trình hàm liên quan khác an lu Nội dung chương tham khảo từ tài liệu P Shahoo nf va P Kannappan [3] lm ul Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương z at nh oi 3.1 z gm @ Bây giờ, ta trình bày số kết tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương co l m Định lý 3.1.1 Nếu hàm f : R → R thỏa mãn bất đẳng thức an Lu f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)