Luận án tiến sĩ điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI TRỌNG KIÊN PGS TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2016 z LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả luận án Vũ Hữu Nhự z LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Bùi Trọng Kiên PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên - người đặt tốn, giúp đỡ, bảo tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển, người hướng dẫn tận tình ln động viên tác giả trình học tập, nghiên cứu Tiếp theo, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn GS J.-C Yao giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả làm thực tập sinh 06 tháng Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013) Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học tập thể thầy cô giáo trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trình học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục Khoa Cơ – Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng ln động viên giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Nhờ ý kiến nhận xét góp ý quý báu GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TSKH Nguyễn Đơng n, PGS TSKH Vũ Hồng Linh, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Phạm Ngọc Anh, PGS.TS Nguyễn Quang Huy TS Lê Huy Chuẩn – Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Quốc gia, luận án cải thiện đáng kể so với dự thảo luận án ban đầu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở dẫn quan trọng z Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS.TS Tạ Duy Phượng, PGS.TS Phan Thành An, TS Nguyễn Quỳnh Nga, thầy bạn đồng nghiệp góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Phịng Giải tích số Tính tốn khoa học Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Cuối cùng, xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu z MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Giải tích biến phân 1.2.1 Tập tiếp tuyến 1.2.2 Nón pháp tuyến 1.2.3 Nguyên lý biến phân 1.2.4 Hàm khả vi tính đơn điệu 1.2.5 Một số kết hình học Banach 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 Hàm lồi 1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi 1.3.3 Định lý tách tập lồi 1.4 Khơng gian Sobolev phương trình elliptic 1.4.1 Không gian Sobolev 1.4.2 Phương trình elliptic tuyến tính 1.4.3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp 2.1 Bài toán quy hoạch toán học 2.1.1 Một số kết giải tích biến phân 2.1.2 Điều kiện quy điều kiện cần cực trị z 15 15 18 18 22 23 25 27 30 30 31 32 32 32 41 44 46 46 46 51 2.2 2.3 2.4 2.5 Bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp Chứng minh Định lý 2.7 Hệ 2.2 Các ví dụ Kết luận 69 76 88 91 Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 92 3.1 Các điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu tổng quát 92 3.2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 105 3.3 Kết luận 114 Chương Tính ổn định nghiệm số toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số 115 4.1 Tính liên tục Holder ánh xạ nghiệm theo tham số 115 ă 4.1.1 Bi toỏn v gi thiết 115 4.1.2 Một số kết bổ trợ 119 4.1.3 Chứng minh Định lý 4.1 122 4.1.4 Một số ví dụ 131 4.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm theo tham số 135 4.2.1 Bài toán giả thiết 135 4.2.2 Một số kết bổ trợ 139 4.2.3 Chứng minh Định lý 4.2 143 4.2.4 Một số ví dụ 152 4.3 Kết luận 156 Kết luận kiến nghị 157 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 158 Tài liệu tham khảo 159 z CÁC KÝ HIỆU F:X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y Dom( F ), Graph( F ), Im( F ) miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh ánh xạ đa trị F R tập số thực RN không gian Euclide N −chiều N tập số tự nhiên X∗ không gian đối ngẫu tôpô X X ∗∗ không gian song đối ngẫu tôpô X không gian WCG không gian sinh tập compact yếu hx∗ , xi giá trị x ∗ ∈ X ∗ x ∈ X kxk chuẩn véc tơ x kxkX chuẩn véc tơ x không gian X |x| môđun véc tơ x ∈ R N xT chuyển vị véc tơ x ∈ R N [ x1 , x2 ] đoạn nối hai véc tơ x1 x2 ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A tập B A*B tập A không tập B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A\B hiệu tập A tập B B tích Descartes hai tập A B A+B tổng hai tập A B | A| độ đo tập đo A BX hình cầu đơn vị đóng khơng gian X BX ( x, ρ) hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ X d( x, K ) khoảng cách từ x tới tập K z ∂BX ( x, ρ) biên hình cầu tâm x bán kính ρ X SX mặt cầu đơn vị khơng gian X T∗ tốn tử liên hợp tốn tử T T −1 ánh xạ ngược ánh xạ T T (K, x ) nón tiếp tuyến Bouligand tập K x T [ (K, x ) nón tiếp tuyến trung gian (kề) tập K x TC (K, x ) nón tiếp tuyến Clarke tập K x T (K, x, d) tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai tập K x theo hướng d T 2[ (K, x, d) tập tiếp tuyến trung gian bậc hai tập K x theo hướng d TC2 (K, x, d) tập tiếp tuyến Clarke bậc hai tập K x theo hướng d N (K, x ) nón pháp tuyến tập K x σ( x∗ , K ) hàm giá tập K ( X, d) không gian mêtric L( X, Y ) không gian tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y f 0, ∇ f đạo hàm ánh xạ f f 00 , ∇2 f đạo hàm bậc hai ánh xạ f ∇ x f , ∇2xy f đạo hàm bậc 1, f theo biến x x, y A, cl( A) bao đóng tập A int( A) phần tập A span( A) khơng gian tuyến tính sinh tập A cone( A) tập nón sinh tập A { x n }, ( x n ) dãy véc tơ xn xn → x dãy { xn } hội tụ (mạnh) tới x xn * x dãy { xn } hội tụ yếu tới x ∗ xn∗ * K xn → x∗ dãy { xn∗ } hội tụ yếu−∗ tới x ∗ x dãy { xn } hội tụ tới x xn ∈ K f : X → [−∞, +∞] hàm thực mở rộng dom( f ) miền hữu hiệu hàm f z epi( f ) epigraph hàm f ∂ f (x) vi phân hàm f x supp( ϕ) tập giá hàm ϕ α := (α1 , α2 , , α N ) đa số x α := x1 x2α2 x NN đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi ∂ ∂x j α α D α := D1 D2α2 D NN C m (Ω) toán tử vi phân toán tử vi phân cấp |α| C0 (Ω) không gian hàm liên tục α α D j := không gian hàm khả vi cấp m Ω với giá compact Ω C0∞ (Ω), D(Ω) không gian hàm khả vi vô hạn lần với giá compact Ω D (Ω) không gian đối ngẫu tôpô D(Ω) L p ( Ω ), ≤ p < ∞ khơng gian hàm p−khả tích tập Ω L1loc (Ω) không gian hàm khả tích địa phương Ω L∞ (Ω)   W m,p (Ω), W m,p (Ω), không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi Ω   H m ( Ω ), H m ( Ω ) không gian Sobolev W −m,p0 (Ω)( p−1 + p0−1 = 1) m,p không gian đối ngẫu tôpô W0 (Ω) Γ biên tập Ω X ,→ Y X nhúng liên tục Y X ,→,→ Y ¯) C (Ω X nhúng compact Y ¯ không gian hàm liên tục tập Ω ¯) M(Ω không gian độ đo Borel quy hữu hạn A := B A định nghĩa B ∃x tồn x ∀x với x h.k hầu khắp tr trang kết thúc chứng minh z giyy ( x, y1 , u1 ) − giyy ( x, y2 , u2 ) + giyu ( x, y1 , u1 ) − giyu ( x, y2 , u2 ) + 0 + giuu ( x, y1 , u1 ) − giuu ( x, y2 , u2 ) ≤ k iM (|y1 − y2 | βi + di |u1 − u2 |γi ) với u, u1 , u2 ∈ R, |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M, với β i , β0i >  i  i p p − pi p−2pi (i ) pi < , γi ∈ 0, pi , γi ∈ 0, pi , ci = di =  i p p − pi (ii ) ≤ pi < p, γi ∈ 0, p , ci = 1, γi0 = di = i (iii ) pi = p, γi = γi0 = ci = di = ˆ uˆ ) ∈ B((y, ¯ u¯ ), r1 ) ( A2.5) Tồn số r1 , r2 > cho với (y, (v1 , , vm ) ∈ L p1 (Ω) × · · · × L pm (Ω) với ∑im=1 kvi k ≤ r2 , tồn phần tử (y0 , u0 ) ∈ Y × U (d1 , , dm ) ∈ Q1 × · · · × Qm thỏa mãn Λy0 + hy (·, yˆ )y0 = u0 Ω, y0 |Γ = 0, vi = giy [·]y0 + giu [·]u0 − di + gi [·] ∀i = 1, 2, , m • Một cặp d = (y, u) ∈ W01,r (Ω) × L p (Ω) gọi hướng tới hạn ¯ u¯ ) điều kiện sau thỏa mãn: toán (2.36)–(2.38) z¯ = (y, R
(c1 ) ∇ J (z¯)d = Ω Ly [ x ]y( x ) + Lu [ x ]u( x ) dx ≤ 0; N (c2 ) − ∑i,j =1 D j ( aij Di y ) + hy ( x, y¯ )y = u Ω, y|Γ = 0; ¯ u¯ )(y, u) ∈ cone(Qi − Gi (y, ¯ u¯ )), tức là, tồn số e > cho (c3 ) ∇ Gi (y,
e giy [ x ]y( x ) + giu [ x ]u( x ) + gi [ x ] ∈ Qi ( x ) h.k x ∈ Ω ¯ u¯ )] gồm tất hướng tới hạn toán (2.36)–(2.38) Ta ký hiệu tập Θ[(y, ¯ u¯ ) Dễ thấy, tập Θ[(y, ¯ u¯ )] nón lồi chứa (0, 0) (y, Định lý kết chương ¯ u¯ ) nghiệm tối ưu địa phương (2.36)–(2.38) giả sử Định lý 2.7 Giả sử (y, giả thiết ( A2.1) − ( A2.5) thỏa mãn Khi đó, với hướng tới hạn (y, u) ∈ ¯ u¯ )], tồn ϕ ∈ W01,s (Ω), s = r/(r − 1), ψi ∈ Lqi (Ω), qi = pi /( pi − 1), i = Θ[(y, 1, 2, , m cho điều kiện sau thỏa mãn: ( a) phương trình liên hợp:   − ∑ N Di ( aij D j ϕ) + hy [·] ϕ = − Ly [·] − ∑m giy [·]ψi i,j=1 i =1  ϕ = z 74 Ω, Γ; (b) điều kiện dừng tương ứng với biến u: m Lu [ x ] − ϕ( x ) + ∑ ψi ( x ) giu [ x ] = h.k x ∈ Ω; i =1 (c) điều kiện bậc hai không âm: Z Ω ( Lyy [ x ]y( x ) + 2Lyu [ x ]y( x )u( x ) + Luu [ x ]u( x ) )dx + m Z +∑ i =1 Ω Z Ω ϕ( x )hyy [ x ]y( x )2 dx
ψi ( x ) giyy [ x ]y( x )2 + 2giyu [ x ]y( x )u( x ) + giuu [ x ]u( x )2 dx ≥ 0; (d) điều kiện phần bù: Z Ω ψi ( x )(v( x ) − gi [ x ])dx ≤ ∀v ∈ Qi , Z Ω ψi ( x )( giy [ x ]y( x ) + giu [ x ]u( x ))dx = Xét trường hợp tập Qi Qi cho Qi ( x ) = (−∞, 0] h.k x ∈ Ω Qi = { ϕ ∈ L pi (Ω) | ϕ( x ) ≤ h.k.}, (2.43) với < pi ≤ p < +∞ Khi giả thiết ( A2.5) thay giả thiết đơn giản sau: ( A2.50 ) Các hàm đạo hàm giy g ju thỏa mãn điều kiện: giy [ x ] ≥ 0, g ju [ x ] ≥ h.k ∀i, j = 1, 2, , m giy [ x ] ≤ 0, g ju [ x ] ≤ h.k ∀i, j = 1, 2, , m Hơn nữa, với vi ∈ Qi tồn ui ∈ L p (Ω) cho giu [ x ]ui = vi với i = 1, 2, , m Dưới điều kiện ( A2.50 ), ta có kết sau Hệ 2.2 Giả sử tập Qi Qi cho công thức (2.43), điều kiện ¯ u¯ ) nghiệm tối ưu địa phương ( A2.1) − ( A2.4) ( A2.50 ) thỏa mãn điểm (y, ¯ u¯ )], tồn tốn (2.36)–(2.38) Khi đó, với hướng tới hạn (y, u) ∈ Θ[(y, hàm số ϕ ∈ W01,s (Ω), s = r/(r − 1) ψi ∈ Lqi (Ω), qi = pi /( pi − 1), i = 1, 2, , m thỏa mãn điều kiện ( a) − (c) Định lý 2.7 (d0 ) điều kiện phần bù: ψi ( x ) ≥ ψi ( x ) gi [ x ] = h.k x ∈ Ω z 75 Nhận xét 2.4 Xét trường hợp tốn (2.36)–(2.38) có ràng buộc (2.38) dạng a( x ) ≤ u( x ) ≤ b( x ) h.k x ∈ Ω, a, b ∈ L p (Ω), kết đạt Định lý 2.7 trùng với kết đạt Định lý 4.1 Định lý 5.1 tài liệu [25] 2.3 Chứng minh Định lý 2.7 Hệ 2.2 Xét không gian Y = W01,r (Ω), U = L p (Ω), Z = Y × U, Ei = L pi (Ω), E = E1 × E2 × · · · × Em , Z0 = W −1,r (Ω) Ta gọi s qi số thực liên hợp r pi , i = 1, 2, , m Định nghĩa ánh xạ tuyến tính liên tục Λ : W01,r (Ω) → W −1,r (Ω) cho hΛy, ϕi = N Z ∑ i,j=1 Ω aij ( x ) Di yD j ϕdx với (y, ϕ) ∈ Y × W01,s (Ω) Với hàm y ∈ Y, ta đặt M = kykC(Ω¯ ) Do tính chất hàm h nên tồn số Ch,M > cho |hy ( x, v)| ≤ Ch,M với v ∈ R với |v| ≤ M Bởi công thức khai triển Taylor, ta có |h( x, y( x ))| ≤ |h( x, y( x )) − h( x, 0)| + |h( x, 0)| ∂h = ... VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... tối ưu cho lớp phương trình elliptic" cho luận án Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án đưa số kết điều kiện cần cực trị bậc hai tính ổn định nghiệm cho toán điều khiển tối ưu cho phương trình. .. tuyến tính với ràng buộc trạng thái điểm Mục 3.1 thiết lập điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu tổng quát Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho tốn điều khiển tối ưu cho phương trình