(Luận văn thạc sĩ) phương trình hàm toàn phương và tính ổn định nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TỒN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ĐỨC TOÀN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TỒN PHƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM h Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Khóa: 22 (2019 - 2021) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN SUM Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn Tác giả xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác tính đến thời điểm Đề tài “Phương trình hàm tồn phương tính ổn định nghiệm” kết nghiên cứu tác giả hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Sum Tác giả xin cam đoan kết trình bày luận văn tham khảo trích dẫn từ tài liệu đảm bảo tính rõ ràng xác Bình Định, tháng năm 2021 h Tác giả Nguyễn Đức Toàn Mục lục Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 1.1.2 Hàm số đơn điệu 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.1.4 Hàm số liên tục 1.1.5 Hàm số khả vi Phương trình hàm h Một số tính chất hàm số 1.2 Chương 2: Phương trình hàm tồn phương 2.1 Các hàm song cộng tính 2.2 Nghiệm phương trình hàm tồn phương 11 2.3 Biểu diễn hàm toàn phương 16 2.4 Pexider hóa phương trình hàm tồn phương 19 2.5 Một số toán 27 Chương 3: Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.1 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương 34 3.2 Tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương tổng qt 3.3 39 Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm có liên quan 51 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 h Mở đầu Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu toán học đại tốn sơ cấp, sử dụng nhiều việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh lớp chọn, lớp chuyên trường trung học phổ thông kỳ thi học sinh giỏi cấp Các phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình hàm d’Alembert phương trình hàm nhiều tài liệu h đề tài đề cập nghiên cứu Các đề tài phương trình hàm phong phú nên tài liệu đề tài bao quát tất lớp phương trình hàm Vì vấn đề cần nghiên cứu số lớp phương trình hàm cụ thể cần thiết để phục vụ cho cơng việc giảng dạy học tập tốn cấp học Các phương trình hàm cổ điển nghiên cứu khoảng thời gian 250 năm kết phương trình hàm biên tập nhiều tài liệu J Aczél [4], M Kuczma [6] Gần đây, số tài liệu khác nhiều tác giả biên soạn cập nhật nhiều vấn đề mẻ C Efthimiou [5], P Sahoo P Kannappan [3] Mục đích luận văn trình bày dạng phương trình hàm tồn phương số dạng mở rộng Luận văn trình bày tính ổn định nghiệm lớp phương trình hàm Cấu trúc luận văn bao gồm: Chương 1, trình bày số tính chất hàm số, phương trình hàm với kết sử dụng chương Chương 2, trình bày lý thuyết phương trình hàm tồn phương số tốn liên quan Chương 3, trình bày tính ổn định nghiệm phương trình hàm tồn phương số phương trình hàm có liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Sum Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy tận tình giúp đỡ truyền đạt cho h tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm trình nghiên cứu khoa học để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22 (2019 2021) tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu phương trình hàm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích chương hệ thống lại số định nghĩa tính chất sơ cấp hàm số Chúng tơi nhắc lại số kết phương trình hàm Cauchy cần thiết để sử dụng cho chương Nội dung chương tham khảo từ tài liệu N V Mậu h [1] 1.1 Một số tính chất hàm số Trong mục này, xem xét hàm số f (x) với tập xác định Df ⊂ R tập giá trị Rf ⊂ R 1.1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f (x) gọi hàm số chẵn D ⊂ Df    ∀x ∈ D, −x ∈ D   f (x) = f (−x), ∀x ∈ D Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f (x) gọi hàm số lẻ D ⊂ Df    ∀x ∈ D, −x ∈ D   f (x) = −f (−x), ∀x ∈ D 1.1.2 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.1.3 Hàm số f (x) gọi hàm số đồng biến D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 ta có f (x1 ) − f (x2 ) ≥ x1 − x2 Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f (x) gọi hàm số nghịch biến D ⊂ Df với x1 , x2 ∈ D, x1 6= x2 ta có h f (x1 ) − f (x2 ) ≤ x1 − x2 1.1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn Định nghĩa 1.1.5 Hàm số f (x) gọi tuần hoàn chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M   f (x ± a) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.1.6 Hàm số f (x) gọi phản tuần hoàn chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ Df    ∀x ∈ M, x ± a ∈ M   f (x ± a) = −f (x), ∀x ∈ M 1.1.4 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.7 Cho hàm số f (x) xác định Df x0 ∈ Df Ta nói hàm f (x) liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.1.8 Hàm số f (x) liên tục (a, b) f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b) Định nghĩa 1.1.9 Hàm số f (x) liên tục [a, b] f (x) liên tục điểm x0 ∈ (a, b), đồng thời f (x) liên tục trái x = b liên tục phải x = a 1.1.5 Hàm số khả vi h Định nghĩa 1.1.10 Cho hàm số f (x) x0 ∈ Df Ta nói f (x) khả vi f (x0 + ∆x) − f (x0 ) x0 giới hạn tỉ số có giá trị hữu hạn ∆x ∆x dần tới Định nghĩa 1.1.11 Hàm số f (x) khả vi tập D ⊂ Df f (x) khả vi x ∈ D 1.2 Phương trình hàm Định nghĩa 1.2.1 Phương trình hàm phương trình mà ẩn hàm số Giải phương trình hàm tìm tất hàm số thỏa mãn phương trình Định nghĩa 1.2.2 Phương trình hàm Cauchy phương trình f (x + y) = f (x) + f (y)