Bài giảng môn học toán rời rạc GV huỳnh thị thu thủy

Trang 1

Môn học: TOÁN RỜI RẠC

Số Tiết LT: 45

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Tài liệu tham khảo

1 Toán rời rạc ứng dụng trong tin học Kenneth H Rosen

-2 Đại số quan hệ - Nguyễn Thanh Sơn

5 Chương 5 : ĐỒ THỊ

Trang 4

2- Mệnh đề(tt)

• Các phép toán trên bit:

– OR, AND, XOR

Dùng p, q và các liên từ logic viết các mệnh đề sau:

a) Nhiệt độ dưới 0 và tuyết rơi

q: Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép

Dùng p, q và các liên từ logic viết các mệnh đề sau:

a) Bạn không lái xe với tốc độ > 65 km/hb) Bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h nhưng bạn

ốkhông bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phépc) Bạn sẽ bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép nếu bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h

Trang 5

6 Xác định các biểu thức sau:

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy 18

6 Xác định các biểu thức sau:

a) 11000  (01011  11011)b) (01111  10101)  01000c) (01010  11011)  01000

3- Các qui tắc suy diễn

• Một mệnh đề phức hợp mà luôn luôn

đúng bất kể các giá trị chân lý của những

mệnh đề thành phần của nó được gọi là

hằng đúng.

• Một mệnh đề luôn sai : hằng sai

3- Các qui tắc suy diễn(tt)

• Các mệnh đề p và q được gọi là tương đương logic nếu p  q là hằng đúng.

• Kí hiệu: p  q

• Xác định 2 mệnh đề là tương đương logic: Xác định 2 mệnh đề là tương đương logic:

– Bảng giá trị chân lý– Dùng các tương đương logic

Trang 6

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC

Luật giao hoán

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC

(p  q)  r  p  (q  r)(p  q)  r  p  (q  r)

• Một số tương đương tiện ích:

a) p  T  pb) p  F  pc) p  F  Fd) p  T  T)

e) p  p  pf) p  p  pg) (pq)  (p   q)

Trang 7

Bài tập các qui tắc suy diễn

2 CM các mệnh đề kéo theo sau là hằng

Bài tập các qui tắc suy diễn

3 CM các mệnh đề sau là tương đương:

a) p  q và q  pb)  p  q và p   q c)  (p  q) và p  q d)  (p  q) và  p  q

4 Xác định mệnh đề sau có là hằng đúng

4 Xác định mệnh đề sau có là hằng đúng không:

Trang 8

4- Vị từ - Lượng từ (tt)

– Lượng từ “tồn tại”của P(x) là mệnh đề “Tồn

tại một phần tử x trong không gian sao cho

“Tất cả sư tử đều hung dữ”

– Tất cả sư tử đều hung dữ

– “Một số sư tử không uống cà phê”

– “Một số sinh vật hung dữ không uống cà phê”

1 Bước cơ sở : Chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng.

2 Bước quy nạp : CM phép kéo theo:

P(n)  P(n+1)đúng với mọi số nguyên dương n

Với P(n) là giả thiết quy nạp.

Trang 9

5- Nguyên lý quy nạp (tt)

• VD: Bằng quy nạp toán học, hãy CM:

1 “Tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n2”

2 “n < 2n với mọi số nguyên dương n”

3 “n3– n chia hết cho 3 n nguyên dương”

4 “1+2+22+ +2n 2n+1 1n nguyên không âm”

Trang 10

Tập O của tất cả các số nguyên dương lẻ và nhỏ

• Tập O của tất cả các số nguyên dương lẻ và nhỏ

hơn 10 có thể viết như sau:

– Kí hiệu: A  B – Ví dụ:

A { / là ố ê d } A={x/ x là số nguyên dương}

B={x/ x là số nguyên tố không vượt quá 100

A ? B

Trang 11

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

• Định nghĩa 4:

ế– Cho S là một tập hợp Nếu có chính xác n

phần tử phân biệt trong S, với n là số nguyên

không âm, thì ta nói rằng S là một tập hữu

và B là tập hợp của tất cả các cặp (a,b) với aA và bB

– Kí hiệu: A x B

– Ví dụ: A={1,2} ; B={a,b,c}

AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

BxA=?

Trang 13

2- Phép đếm (tt)

• Ví dụ :

ầ– Giả sử cần chọn hoặc là 1 cán bộ của khoa

Toán hoặc 1 sinh viên Toán làm đại biểu trong

hội đồng của 1 trường Đại học

– Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này

nếu khoa Toán có 27 cán bộ và 83 sinh viên

• Quy tắc cộng mở rộng (trong trường hợp

có nhiều hơn 2 công việc):

– Giả sử các việc T1, T2, ,Tmcó thể làm tương ứng bằng n1, n2, ,nmcách và giả sử không

có 2 công việc nào có thể làm đồng thời

– Khi đó số cách làm 1 trong m công việc đó là

tính từ 1 trong 3 danh sách tương ứng có

24,15,19 bài

– Hỏi, có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

• Quy tắc nhân : Giả sử một nhiệm vụ nào

đó được tách làm 2 công việc

đó được tách làm 2 công việc.

Trang 14

• Ví dụ 1 :

– Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc

ghế trong 1 giảng đường bằng 1 chữ cáivà 1

số nguyên dương không vượt quá 100

– Hỏi nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế được

• Ví dụ 4 : Có nhiều nhất bao nhiêu biển

đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển chứa một dãy 2 chữ cái tiếp sau là 3 chữ số (không

bỏ dãy chữ nào cả)?

Trang 15

– Nếu việc Ticó thể làm bằng nicách sau khi

các việc T1, T2, … , Ti-1đã được làm

– Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 8 bít

hoặc được bắt đầu bằng bít 1 hoặc kết thúc

bằng 2 bít 00?

Bài tập

1 Một phiếu trắc nghiệm đa lựa chọn gồm

10 câu hỏi Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời.

a) Có bao nhiêu cách điền 1 phiếu trắc nghiệm nếu mọi câu hỏi đều được trả lời?

b) Có bao nhiêu cách điền 1 phiếu trắc nghiệm nếu có thể bỏ trống?

Trang 16

Bài tập

2 Từ NewYork đến Denver có 6 hãng hàng

không và có 7 hãng bay từ Denver đến

San Francisco Có bao nhiêu khả năng

khác nhau để bay từ NewYork đến San

Francisco qua Denver?

3 Có bao nhiêu người có tên họ viết tắt

8 Có bao nhiêu xâu chữ thường có độ dài

bằng 4 hoặc ít hơn (tính cả xâu rỗng)?

9 Trong các số nguyên dương có đúng 3

Trang 17

3- Giải tích tổ hợp

• Hoán vị :

ố– Hoán vị của 1 tập các đối tượng khác nhau là

, (

r n

n r

n P





! )

, ( n n n

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Ví dụ 1 :

ầ– Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi 4 trận đấu đơn

– Các trận đấu là có thứ tự

Trang 18

• Ví dụ 2 : Giả sử có 8 vận động viên chạy thi

ắ– Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng

– Người về đích thứ 2 nhận huy chương bạc

– Người về đích thứ 3 nhận huy chương đồng

– Có bao nhiêu cách trao các huy chương này nếu

các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?

– Anh ta bắt đầu cuộc hành trình của mình tại 1 thành phố nào đó nhưng có thể đến 7 thành phố kia theo bất kỳ thứ tự nào mà anh ta muốn

– Hỏi, anh ta có thể đi qua tất cả các thành phố

• Số tổ hợp chập r của tập n phần tử: C(n,r)

Trang 19

• Định lý 2:

– Số tổ hợp chập r từ tập có n phần tử trong đó

n là số nguyên dương và r là số nguyên với

0≤ r ≤ n được cho bởi công thức sau:

– Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu

thủ của 1 đội bóng quần vợt để đi thi đấu tại

một trường khác?

Bài tập giải tích tổ hợp

1 Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa 5 vận động viên cuộc thi chạy giữa 5 vận động viên.

2 Một nhóm sinh viên gồm n nam, n nữ

Có bao nhiêu cách xếp thành 1 hàng sao cho nam và nữ đứng xen nhau?

3 Có bao nhiêu cách chọn 1 tập hợp 2 số

nguyên dương không vượt quá 100?

4 Có bao nhiêu cách chọn 1 tập hợp 5 chữ cái từ bảng chữ cái tiếng Anh?

Trang 20

4- Nguyên lý Dirichlet

• Định lý 1 ( Nguyên lý lồng chim bồ câu):

– Nếu có K+1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt

trong K hộpthì có ít nhất 1 hộp chứa 2 hoặc

– Chắc chắn có ít nhất 2 người trùng ngày sinh

– Một lớp học cần phải có bao nhiêu sinh viên

để đảm bảo trong mọi môn thi đều có ít nhất 2

để đảm bảo trong mọi môn thi đều có ít nhất 2 sinh viên cùng điểm thi?

Trang 21

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Định lý 2 (Nguyên lý Dirichlet tổng quát):

– Nếu có Nđồ vật được đặt vào trong K hộp,

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Ví dụ 2 :

– Cần phải có tối thiểu bao nhiêu sinh viên ghi

tên vào lớp toán học rời rạc để chắc chắn

– Mỗi số gồm 10 chữ số (Giả sử số điện Mỗi số gồm 10 chữ số (Giả sử số điện thoại có dạng NXX-NXX-XXXX Trong

đó 3 chữ số đầu tiên là mã vùng; N:

2 9 ; X: 0 9.

Trang 22

Bài tập nguyên lý Dirichlet

1 Một ngăn tủ có chứa 1 tá chiếc tất màu

nâu và 1 tá chiếc tất màu đen Một người

lấy các chiếc tất một cách ngẫu nhiên

trong bóng tối Anh ta cần phải lấy ra bao

nhiêu chiếc tất để chắc chắn rằng mình

có ít nhất 2 chiếc tất cùng màu?

2 Mỗi 1 sinh viên trong 1 trường đại

2 Mỗi 1 sinh viên trong 1 trường đại học đều có quê ở 1 trong 50 bang

Cần phải tuyển bao nhiêu sinh viên

để đảm bảo có ít nhất 100 người

để đảm bảo có ít nhất 100 người cùng bang?

3 Một công ty giữ hàng hoá trong kho Số các

ở ốngăn chứa trong kho được xác định bởi số

gian hàng, số ô trong mỗi gian và số các

giá ở mỗi ô

Biết nhà kho có 50 gian, mỗi gian có 80 ô, mỗi

ô có 5 giá Hỏi hàng hoá phải tối thiểu bằng

bao nhiêu để ít nhất có 2 sản phẩm được

Trang 23

– Trường hợp đặc biệt của sự liên kết này là

kết nối giữa các phần tử trong cùng 1 tập

• Kí hiệu: R  A x B– Phần tử (x,y) của quan hệ R có thể được biểu diễn: (x,y)  R, hay x R y

Trang 24

2- Quan hệ hai ngôi (tt)

– Quan hệ R trên tập A được gọi là có tính phản

xạ nếu (a,a)  Rvới mọi phần tử a  A

– Quan hệ R trên tập A được gọi là đối xứng

nếu (b,a)  Rkhi (a,b)  Rvới a,b  A

– Quan hệ R trên tập A sao cho (a,b)  Rvà

(b,a)  Rchỉ nếu a=b, với a,b A được gọi là

Trang 25

4- Quan hệ tương đương

• Quan hệ R của SxS còn được gọi là quan

R={(a,b),(a,c), (a,e), (b,c), (c,a), (e,a), (c,b),

(b,e), (b,a), (e,b), (a,a), (b,b), (c c) (d d) (e e)}

– Dễ dàng kiểm tra quan hệ R là quan hệ thứ g q ệ q ệtự

Trang 26

5- Quan hệ thứ tự (tt)

• Quan hệ thứ tự toàn phần:

Quan hệ thứ tự P là quan hệ toàn phần nếu:

– Quan hệ thứ tự P là quan hệ toàn phần nếu:

(x,y) ( ( (x,y)  P )  ( (y,x)  P )

R={(a,b),(a,c), (a,e), (b,c), (c,a), (e,a), (c,b), (b,e), (b,a),

(e,b), (a,a), (b,b), (c,c),(d,d),(e,e)}

Trang 27

Bài tập chương 3

3/ Hãy liệt kê các phần tử thuộc quan hệ thứ tự R

được mô tả bởi dàn sau:

2 Biểu thức Boole và hàm Boole

3 Các hằng đẳng thức của đại số Boole

Trang 28

1- Đại số Boole

– Đại số Boole đưa ra các phép toán và

i tắ là iệ ới tậ {0 1}

qui tắc làm việc với tập {0,1}

– Các chuyển mạch điện tử và quang học

có thể được nghiên cứu bằng cách

dùng tập này và các qui tắc của đại số

• Phần bù của 1 phần tử được kí hiệu

bằng 1 gạch ngang trên đầu.

• Phần bù được định nghĩa bởi:

Trang 29

2- Biểu thức Boole và hàm Boole

2- Biểu thức Boole và hàm Boole(tt)

• Các biểu thức Boole với các biến x1, x2,

…, xn được định nghĩa 1 cách đệ quy như

sau:

– 0,1, x1, x2, …, xn là các biểu thức Boole

– Nếu E1 và E2 là các biểu thức Boole thì E,

(E1.E2) và (E1+E2) cũng là các biểu thức

Boole

• Mỗi biểu thức Boole biểu diễn 1 hàm

B l Boole.

• Các giá trị của hàm Boole này nhận được bằng cách thay 0 và 1 cho các biến trong biểu thức đó.

Trang 30

Boole được biểu diễn

bởi: F(x,y,z) = xy+z

Luật nuốt

1 Tìm khai triển tổng các tích của hàm

B l Boole sau:

a) F(x,y)= x + yb) F(x,y)=x yc) F(x,y)=1d) F(x,y)=yd) F(x,y) y

2 Tìm khai triển tổng các tích của hàm Boole sau: F(x,y,z)=x+y+z

Trang 31

– Mỗi 1 đầu vào và mỗi 1 đầu ra của 1 dụng cụ

như vậy có thể được xem như 1 phần tử của

tập {0,1}

– Một máy tính cũng như 1 dụng cụ điện tử

khác được tạo bởi nhiều mạch

Trang 32

5- Các cổng logic

• Mở đầu:

– Các mạch mà chúng ta xét ở đây sẽ cho cho

đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào chứ không

phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch

– Nói 1 cách khác, các mạch này không có khả

Trang 33

– Cho x=1 nếu thành viên thứ 1 bỏ phiếu tán p

thành; x=0 nếu thành viên đó không tán

Trang 34

– Khi 1 trong 2 công tắc mở đèn sẽ tắt, tức là F(1,0)=F(0,1)=0.

– Khi công tắc còn lại cũng mở nốt thì đèn sáng tức là F(0 0)=1

• Giả sử: x,y,z đại diện cho 3 công tắc 1,2,3.

• Khi biến nào bằng 1: công tắc tương ứng với

Trang 35

6- Bộ cộng

• Mạch logic có thể được dùng để thực hiện

phép cộng 2 số nguyên dương từ các triển

khai nhị phân của chúng

– Xây dựng mạch tìm x+y với x,y là 2 bit

– Đầu vào mạch này là x,y

– Đầu ra là 2 biến s,c; trong đó s là tổng và c là bit

bộ nửa cộng:g

Trang 36

6- Bộ cộng (tt)

s

Bộ nửa cộng

• Mỗi chữ số 1 được chứa ít nhất 1 lần trong các nhóm

đã cho

đã cho.

• Số lượng nhóm được chọn sao cho phải là ít nhất.

7- Tối tiểu hoá hàm Boole (tt)

• Ví dụ: Tìm dạng tối thiểu của biểu thức Boole sau

a/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz

b/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz

c/ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+

wxyz+ wxyz

7- Tối tiểu hoá hàm Boole(tt)

• Phương pháp Quine Mc Cluskey

Số hạng

Xâu bit

Số hạng

Xâu bit

Số hạng Xâu bit

1 2

xyz xyz

111 101

(1,2)

(1,3)

xz yz

1-1 -11

(1,2,3,4) z 1

3 4 5

xyz xyz xyz

011 001 000

(2,4)

(3,4)

(4,5)

yz xz xy

-01 0-1 00-

Trang 37

7- Tối tiểu hoá hàm Boole(tt)

• Ví dụ: Tìm dạng tối thiểu của biểu thức

Boole sau bằng PP Quine McCluskey

wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz+ wxyz

TỔNG KẾT CHƯƠNG 4

1 Đại số Boole

2 Biểu thức Boole và hàm Boole

3 Các hằng đẳng thức của đại số Boole

Trang 38

1- Đại cương về đồ thị

• Đồ thị là 1 cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh

và các cạnh nối các đỉnh đó

và các cạnh nối các đỉnh đó.

• Nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực rất khác

nhau có thể giải được bằng mô hình đồ

thị.

– VD: Đồ thị biểu diễn sự cạnh tranh các loài

trong 1 môi trường sinh thái; kết cục của cuộc

thi đấu thể thao;

1- Đại cương về đồ thị

– VD: Đồ thị biểu diễn sự cạnh tranh các loài

trong 1 môi trường sinh thái;

– Kết cục của cuộc thi đấu thể thao;

1- Đại cương về đồ thị (tt)

• Các loại đồ thị:

Định nghĩa 1:Một đơn đồ thịG=(V E) gồm 1

– Định nghĩa 1: Một đơn đồ thịG=(V,E) gồm 1

tập không rỗng V mà các phần tử của nó gọi

là các đỉnh và 1 tập E mà các phần tử của nó

gọi là các cạnh, đó là các cặp không thứ tự

của các đỉnh phân biệt

– Ví dụ: Giả sử 1 mạng máy tính gồm các máy Ví dụ: Giả sử 1 mạng máy tính gồm các máy

tính và các đường điện thoại

Trang 39

• Định nghĩa 2: Một đa đồ thị G=(V,E) gồm

một tập các đỉnh V một tập các cạnh E và

một tập các đỉnh V, một tập các cạnh E và

1 hàm f từ E tới { {u,v}| u,v  V, u  v} Các

cạnh e1, e2được gọi là song song hay

cạnh bội nếu f(e1)=f(e2).

– Ví dụ: Giả sử 1 mạng máy tính gồm các máy

tính và các đường điện thoại

– Ví dụ: Đa đồ thị: Có nhiều đường điện thoại

giữa các máy tính trong mạnggiữa các máy tính trong mạng

1 hàm f từ E tới { {u,v}| u,v  V} Một cạnh

là một khuyên nếu f(e)={u} với 1 đỉnh u

Trang 40

• Ví dụ: Mạng truyền thông có các đường

điện thoại 1 chiều

– Ví dụ: Các đường điện thoại trong 1 mạng máy

tính có thể hoạt động chỉ theo 1 chiều Khi có các

các cạnh E và 1 hàm f từ E tới { {u,v}| u,v

 V} Các cạnh e1, e2 là cạnh bội nếu

f(e1)=f(e2).

– Ví dụ: Đa đồ thị có hướng: Có thể có nhiều

đường điện thoại 1 chiều từ mỗi địa phương g ệ ạ ị p gtới máy chủ ở New York và có thể có nhiều đường từ máy chủ tới các máy ở xa

Trang 41

Không Không Có

Có Có

Đường đi – chu trình

• Đường đi – chu trình Euler

• Đường đi – chu trình Hamilton

Đường đi – chu trình Euler

• Định nghĩa 1:

– Đường đi độ dài n từ u tới v, với n là 1 số

nguyên dương, trong 1 đồ thị vô hướng là 1

dãy các cạnh e1, e2, …, encủa đồ thị sao cho

f(e1)={x0,x1}, f(e2)={x1,x2}, , f(en)={xn-1,xn}, với

x u x v

x0=u,xn=v

kết thúc tại cùng 1 đỉnh, tức u=v

Đường đi – chu trình Euler (tt)

– Trong đa đồ thị có hướng,đường đi hay chu trình gọi là đơn nếu nó không chứa cùng 1 gọ g gcạnh quá 1 lần

– Một đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi cặp đỉnh phân biệt của đồ thị

c d f

c d

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	511,99 KB