Untitled ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Th[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ============================= Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng Đinh Công Hướng, Nguyễn Đăng Phất Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thủy Thanh BIẾN PHỨC ĐỊNH LÝ VÀ ÁP DỤNG HÀ NỘI 2009 Mục lục Lời nói đầu Số phức, biến phức lịch sử dạng biểu diễn 11 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức 1.2 Các dạng biểu diễn số phức 17 1.3 11 1.2.1 Biểu diễn số phức dạng cặp 17 1.2.2 Biểu diễn số phức dạng đại số 21 1.2.3 Biểu diễn hình học số phức 22 1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận 24 1.2.5 Dạng lượng giác dạng mũ số phức 25 1.2.6 Biểu diễn số phức mặt cầu Riemann 27 1.2.7 Khoảng cách C 30 Bài tập 33 Số phức biến phức lượng giác 36 2.1 Tính tốn biểu diễn số biểu thức 36 2.2 Tính giá trị số biểu thức lượng giác 43 2.3 Dạng phức bất đẳng thức Cauchy 51 2.4 Tổng tích sinh đa thức lượng giác 54 2.4.1 Chứng minh công thức lượng giác 56 2.4.2 Tổng tích phân thức biểu thức lượng giác 64 MỤC LỤC 2.5 Bất đẳng thức lượng giác 68 2.6 Đặc trưng hàm hàm số lượng giác 2.7 Bài tập 83 76 Một số ứng dụng số phức đại số 3.1 3.2 3.3 3.4 88 Phương trình hệ phương trình đại số 88 3.1.1 Phương trình bậc hai 88 3.1.2 Phương trình bậc ba 92 3.1.3 Phương trình bậc bốn 98 3.1.4 Phương trình bậc cao 103 3.1.5 Các toán phương trình, hệ phương trình đại số 109 Các toán đa thức 111 3.2.1 Phương trình hàm đa thức 111 3.2.2 Các toán đa thức bất khả quy 120 3.2.3 Bài toán chia hết đa thức 135 3.2.4 Quy tắc dấu Descartes ứng dụng 136 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính 144 3.3.1 Một số tính chất hàm phân tuyến tính 145 3.3.2 Đẳng cấu phân tuyến tính 146 3.3.3 Phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính 160 Bài tập 163 Số phức toán số học tổ hợp 166 4.1 Giải phương trình Diophant 166 4.2 Rút gọn số tổng tổ hợp 167 4.3 Các toán đếm 169 4.4 Số phức nguyên ứng dụng lí thuyết số 172 4.4.1 Tính chất chia hết tập số phức nguyên 174 MỤC LỤC 4.5 4.4.2 Số nguyên tố Gauss 177 4.4.3 Một số áp dụng số phức nguyên 185 Bài tập 189 Một số ứng dụng số phức hình học 5.1 192 Mơ tả số kết hình học phẳng ngơn ngữ số phức193 5.1.1 Góc hai đường thẳng 194 5.1.2 Tích vơ hướng hai số phức 194 5.1.3 Tích ngồi hai số phức Diện tích tam giác 195 5.1.4 Đường tròn 196 5.1.5 Mô tả phép biến hình phẳng ngơn ngữ số phức 196 5.1.6 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vng góc nằm đường tròn (đồng viên) 198 5.2 Một số ví dụ áp dụng 198 5.3 Chứng minh bất đẳng thức hình học 212 5.4 Các tốn hình học chứng minh tính tốn 214 5.5 5.4.1 Số phức đa giác 221 5.4.2 Đẳng thức lượng giác tam giác 222 Bảng công thức ứng dụng số phức vào giải tốn hình học 223 5.6 Bài tập 227 Khảo sát dãy số phương trình sai phân 231 6.1 Một số khái niệm tính chất sai phân 231 6.2 Tính tổng phương pháp sai phân 239 6.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 257 6.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 271 6.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 279 MỤC LỤC 6.6 7 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 291 Khảo sát phương trình đại số 376 7.1 Nhắc lại kiến thức số phức hàm phức 375 7.2 Số nghiệm phương trình đa thức khoảng 409 7.3 Đánh giá khoảng nghiệm 442 7.4 Giải gần phương trình đa thức 481 Phụ lục A Hàm sinh áp dụng 517 P-1 Ví dụ minh họa 517 P-2 Khái niệm hàm sinh 518 P-3 Một số ví dụ áp dụng 525 Phụ lục B Hệ hồi quy hệ tuần hoàn 538 Q-1 Ma trận lũy linh 539 Q-2 Ma trận tuần hoàn 542 Tài liệu tham khảo 551 Lời nói đầu Chuyên đề "Biến phức, định lý áp dụng" đóng vai trị công cụ đắc lực nhằm giải hiệu nhiều tốn hình học, giải tích, đại số, số học tốn tổ hợp Ngồi ra, tính chất số phức hàm biến phức cịn sử dụng nhiều tốn đại, mơ hình tốn ứng dụng, Trong kỳ thi Olympic toán sinh viên quốc tế quốc gia, tốn liên quan đến biến phức thường đề cập nhiều dạng phong phú thông qua đặc trưng biến đổi khác phương pháp giải, vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu sắc Chương trình tốn học bậc Trung học phổ thông hầu có phần kiến thức số phức Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối đưa vào chương trình Giải tích 12, nhiên cịn đơn giản Vì nhiều lý khác nhau, nhiều học sinh, chí học sinh khá, giỏi sau học xong phần số phức hiểu cách đơn sơ: sử dụng số phức, giải phương trình bậc hai, tính vài tổng đặc biệt, Việc sử dụng số phức biến phức nghiên cứu, khảo sát hình học (phẳng khơng gian) tỏ có nhiều ưu việt, việc xem xét vấn đề liên quan đến phép biến hình, quỹ tích dạng miền bảo giác Nhìn chung, nay, chuyên đề số phức biến phức (cho bậc trung học phổ thông đại học) trình bày dạng giáo trình, trình bày lý thuyết Lời nói đầu có đề cập đến áp dụng trực cách phân loại phương pháp theo đặc thù cụ thể dạng ví dụ minh họa Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học cho đội ngũ giáo viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh chun ngành Giải tích, Phương trình vi phân tích phân, Phương pháp tốn sơ cấp bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề số phức, biến phức áp dụng, viết chuyên đề nhỏ nhằm trình bày đầy đủ kiến thức tổng quan, kỹ thuật phương pháp sử dụng số phức biến phức để tiếp cận dạng tốn khác hình học, số học, toán rời rạc lĩnh vực liên quan Đây chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học mà tác giả giảng dạy cho lớp cao học, cho đội tuyển thi olympíc tốn sinh viên quốc gia quốc tế nội dung bồi dưỡng giáo viên trường đại học, cao đẳng trường chuyên nước từ nhiều năm Trong tài liệu này, sử dụng số nội dung lý thuyết tập mang tính hệ thống Thạc sĩ học viên cao học thực theo hệ thống lơgíc định dạng chuyên đề nghiệp vụ bậc sau đại học Những dạng tập khác số đề thi kì thi học sinh giỏi tốn tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Kvant, Mathematica, sách giáo khoa, chuyên đề chuyên khảo, hành nước Cuốn sách chia thành chương Chương Số phức biến phức, lịch sử dạng biểu diễn Chương Tính tốn số phức biến phức Chương Một số ứng dụng số phức đại số Chương Số phức tốn số học tổ hợp Lời nói đầu 10 Chương Số phức ứng dụng hình học Chương Số phức lời giải phương trình sai phân Các tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Bộ Giáo Dục Đào tạo, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN ủng hộ động viên để trường hè bồi dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ sau đại học năm từ 2002 đến 2009 thành công tốt đẹp Cảm ơn giáo viên từ 64 tỉnh thành nước nghe giảng, trao đổi semina đọc thảo, gửi nhiều ý kiến đóng góp quan trọng cho nội dung cách trình bày thứ tự chuyên đề Cuốn sách hồn thành với giúp đỡ nhiệt tình mặt nội dung thành viên semina liên trường-viện Giải tích - Đại số Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQGHN Các tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới đồng nghiệp độc giả có ý kiến đóng góp để sách chuyên đề hoàn thiện Hà Nội ngày 02 tháng 06 năm 2009 Các tác giả Chương Số phức, biến phức lịch sử dạng biểu diễn 1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức Lịch sử số phức kỷ XVI Đó thời kỳ Phục hưng toán học châu Âu sau đêm dài trung cổ Các đại lượng ảo1 √ √ √ −1, b −1, a + b −1 xuất từ kỷ XVI cơng trình nhà toán học Italy "Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số" (1545) G.Cardano (1501 - 1576) "Đại số" (1572) R.Bombelli (1530 - 1572) Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 - 1925) đánh giá cơng trình G.Cardano sau: "tác phẩm quý giá đến đỉnh chứa đựng mầm mống đại số đại vượt xa tầm tốn học thời cổ đại" Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu √ √ −1 lời giải hình thức phương trình x2 + = 0, xét biểu thức b −1 nghiệm hình thức phương trình x2 + b2 = Khi biểu thức tổng quát dạng (x − a)2 + b2 6= Tên gọi "ảo" dịch từ tiếng Pháp "imaginaire" R.Descates đề xuất năm 1637 11 ⇒ w − < |a| − R2 (|a|2 − R2 )2 R a · ⇒ w − < 2 |a| − R |a| − R2 Đó hình trịn b) Giả sử |a| < R Tương tự ta có R a · > w − 2 |a| − R R − |a|2 c) Giả sử |a| = R Đặt a = |a|eiϕ, ϕ = arg a, ta có: Re(aw) > 1 ⇒ Re(eiϕ w) > · 2|a| nửa mặt phẳng Đối với phần ngồi hình trịn A∗(a, R) định lí xét tương tự Bây ta xét phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e−iϕ z) > −R, R > ảnh −iϕ −iϕ w Re e > −R ⇒ Re(eiϕw) > −R|w|2 , > −R ⇒ Re e w |w|2 iϕ 2R|w| + 2Re(e w) > ⇒|w| + 2Re eiϕ w + 2R > , 4R2