lv thanhf 0404 DVI BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Võ Quốc Thành MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SINH BỞI HÀM SỐ VÀ ÁP DỤNG Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Võ Quốc Thành MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SINH BỞI HÀM SỐ VÀ ÁP DỤNG Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu QUY NHƠN, NĂM 2008 Mục lục Mở đầu Chương 1.1 1.2 1.3 1.4 2.2 Cấp số 1.1.1 Cấp số cộng 1.1.2 Cấp số nhân 1.1.3 Cấp số điều hoà Dãy tuần hoàn phản tuần hoàn 1.2.1 Dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính 1.2.2 Dãy tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính Dãy tuyến tính phân tuyến tính 1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số 1.3.2 Dãy phân thức 11 Một số toán áp dụng 14 Chương 2.1 Một số tính chất dãy số Hàm chuyển đổi số dãy số đặc biệt 27 Hàm chuyển tiếp cấp số 28 2.1.1 Hàm bảo toàn cấp số 28 2.1.2 Hàm chuyển đổi cấp số 29 Dãy sinh số hàm số sơ cấp 32 2.3 2.2.1 Dãy sinh nhị thức bậc 32 2.2.2 Dãy sinh tam thức bậc hai 33 2.2.3 Dãy sinh hàm phân tuyến tính 35 2.2.4 Dãy sinh hàm số lượng giác 41 Một số toán áp dụng 43 Chương Một số tính tốn dãy số 73 3.1 Giới hạn dãy số 73 3.2 Một số ước lượng tổng tích vơ hạn phần tử 77 3.3 Tính chất số dãy số phi tuyến 82 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 Mở đầu Chuyên đề dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học Có nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chun đề Đối với học sinh phổ thông, khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số tập dãy số, đặc biệt phép tính dãy có chứa tham số, phép biến đổi dãy đại số dãy, Dãy số có vị trí đặc biệt tốn học không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực giải tích tốn học Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympíc tốn quốc tế, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng tính giá trị tổng, tích tốn cực trị xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến đặc trưng dãy tương ứng Các toán dãy số đề cập giáo trình giải tích tốn học số tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chun tốn bậc trung học phổ thơng Ln văn Một số tính chất dãy sinh hàm số áp dụng nhằm cung cấp số kiến thức dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số Đồng thời cho phân loại số dạng toán dãy số theo dạng phương pháp giải Trong q trình hồn thành luận văn , tác giả không ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tịi khảo sát số toán dãy số Luận văn gồm phần mở đầu ba chương Chương 1: Một số tính chất dãy số Nội dung chương nhằm trình bày định nghĩa dãy số đặc biệt tính chất liên quan Đồng thời trình bày số toán áp dụng liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân tính chất đặc biệt chúng Nêu số tính chất dãy số toán xác định dãy số liên quan đến hàm sơ cấp phổ thông Chương 2: Hàm chuyển đổi số dãy số đặc biệt Chương nhằm giới thiệu số lớp hàm bảo toàn dãy số đặc biệt nêu chương nêu mối liên hệ hàm cho Đồng thời nêu xét dãy tuần hoàn phản tuần hoàn khảo sát số tính chất hàm chuyển đổi dãy số đặc biệt Chương nhằm khảo sát số tính chất tính tốn dãy số Mặc dù thân có cố gắng vượt bậc, không tránh khỏi khiếm khuyết, mong góp ý q Thầy Cơ bạn đọc quan tâm đến luận văn Chương Một số tính chất dãy số Ta nhắc lại số định nghĩa chương trình tốn bậc phổ thông 1.1 1.1.1 Cấp số Cấp số cộng Định nghĩa 1.1 Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un+1 − un gọi cấp số cộng Khi dãy số {un } lập thành cấp số cộng hiệu d = u1 − u0 gọi công sai cấp số cộng cho Nhận xét 1.1 Nếu có dãy số có hữu hạn phần tử u1, u2 , , un thỏa mãn tính chất u1 − u0 = u2 − u1 = · · · = un − un−1 (1.1) dãy số un gọi cấp số cộng với d = u1 − u0 gọi công sai Dãy số {un } cấp số cộng với công sai d = un = un+1 với n, ta gọi {un } dãy (dãy khơng đổi) Kí hiệu S n = u1 + u2 + · · · + un Sn gọi tổng n số hạng cấp số cộng un gọi số hạng tổng quát cấp số cộng {un } Nhận xét 1.2 Cho {un } cấp số cộng cơng sai d, ta có un = un−1 + d = u1 + (n − 1)d, 2uk = uk−1 + uk+1 , k > 2, Sn = nu1 + (u1 + un )n n(n − 1)d = 2 Bài toán 1.1 Cho {un } cấp số cộng mà số hạng số nguyên dương Giả sử dãy có số phương Chứng minh dãy cho có vơ hạn số phương bình phương số nguyên dương Giải Giả sử dãy {un } có cơng sai d > x số phương dãy, x = m2 Khi (m + kd)2 = m2 + 2mkd + k 2d2 = x + d(2mk + k d), điều chứng tỏ dãy cho có vơ hạn số phương bình phương số nguyên dương Bài toán 1.2 Cho số dương u1, u2 , , un tạo thành cấp số cộng, công sai d > Chứng minh 1 n−1 tn = √ √ +√ √ + ··· + √ √ =√ √ u1 + u2 u2 + u3 un−1 + un u1 + un Giải Nhận xét = √ √ uk + uk+1 √ uk+1 − d √ uk Lần lượt cho k = 1, 2, , n vào đẳng thức thực cộng theo vế, ta thu √ √ √ √ √ √ [( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + · · · + ( un − un−1 )] d √ un − u1 n−1 √ = ( un − u1 ) = √ √ =√ √ d d un + u1 u1 + un tn = Vậy nên tn = √ n−1 √ u1 + un Bài toán 1.3 Cho số dương u1, u2 , , un tạo thành cấp số cộng, công sai d > Tính tổng S= Giải Nhận xét 1 + + ··· + u1.u2 u2 u3 un−1 un 1 1 = − uk uk+1 d uk uk+1 Lần lượt cho k = 1, 2, , n vào đẳng thức thực cộng theo vế ta thu 1 1 1 1 1 1 + + ··· + S= − − − d u1 u2 u2 u3 un−1 un 1 1 n−1 = = − d u1 un u1 un Vậy nên S= 1.1.2 n−1 u1.un Cấp số nhân Định nghĩa 1.2 Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện u2 un+1 u1 = = ··· = u0 u1 un gọi cấp số nhân Khi dãy số {un } lập thành cấp số nhân thương q = u1 gọi u0 công bội cấp số cho Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa 1.2, dãy số hữu hạn phần tử u1, u2 , , un (với phần tử dãy khác khơng) thỏa mãn tính chất u2 un+1 u1 = = ··· = u0 u1 un dãy số u1, u2 , , un gọi cấp số nhân với công bội q= cấp số nhân u1 gọi u0 Nhận xét 1.4 Cho {un } cấp số nhân cơng bội q 6= 1, ta có un = q.un−1 = u1.q n−1 , n = 1, 2, u2k = uk−1 uk+1 , k > − qn S n = u1 1−q 1.1.3 Cấp số điều hoà Định nghĩa 1.3 Dãy số {un } ,(un 6= 0, ∀n ∈ N) thỏa mãn điều kiện 2un−1 un+1 un = un−1 + un+1 gọi cấp số điều hịa Bài tốn 1.4 Chứng minh dãy số {un } lập thành dãy số điều hòa dãy cho thỏa mãn điều kiện un+1 = − un un−1 Giải Ta có un+1 = 1 − un un−1 ⇔ un+1 = un un−1 2un−1 − un ⇔ un (un−1 + un+1 ) = 2un−1 un+1 ⇔ un = 2un−1 un+1 un−1 + un+1 Vậy dãy số (un ) lập thành cấp số điều hịa 1.2 Dãy tuần hồn phản tuần hồn Trong phần nầy ta quan tâm đến hai loại dãy tuần hồn tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính 1.2.1 Dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.4 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn cộng tính tồn số nguyên dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N, (1.2) Số nguyên dương l bé để dãy {un } thoả mãn điều kiện (1.2) gọi chu kì sở dãy Định nghĩa 1.5 Dãy số {un } gọi dãy tuần phản hồn cộng tính tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N, (1.3) Nhận xét 1.5 Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy cho dãy Nhận xét 1.6 Dãy tuần hoàn ( cộng tính) chu kỳ dãy có dạng un = 1.2.2 1 α + β + (α − β)(−1)n+1 , α, β ∈ R Dãy tuần hồn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.6 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s(s > 1)sao cho usn = un , ∀n ∈ N, (1.4) Số nguyên dương s bé để dãy {un } thoả mãn điều kiện (1.4) gọi chu kì sở dãy Nhận xét 1.7 Một dãy phản tuần hồn cộng tính chu kì r tuần hồn cộng tính chu kì 2r Định nghĩa 1.7 Dãy số {un } gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s(s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N Nhận xét 1.8 Mọi dãy {un } phản tuần hồn chu kỳ r có dạng un = (vn −vn+r ), với vn+2r = 1.3 Dãy tuyến tính phân tuyến tính Trong phần ta trình bày số phương trình sai phân có nghiệm số thực cách giải chúng 72 1 3 = sin x1 + k − d − sin x1 + k − d 2 Đặt Khi đó, ta có f (n) = sin x1 + (n − )d d cos x1 sin = f (2) − f (1) cos x sin d = f (3) − f (2) 2 cos xn sin d = f (n + 1) − f (n) Cộng đồng thức theo vế, ta d sin TCC = f (n + 1) − f (1) 1 d = sin x1 + n − d − sin x1 − 2 n − nd d sin = cos x1 + 2 Vậy nên n − 1 nd d sin cos x1 + 2 = d sin TCC 73 Chương Một số tính tốn dãy số 3.1 Giới hạn dãy số Bài toán 3.1 Cho dãy số {xn } xác định theo công thức x1 = 2, xn+1 = x2n + mxn , n ∈ N∗, m+1 m số nguyên dương cho trước Lập dãy {Sn } xác định sau: Sn = n X k=1 xk xk+1 − Tính lim Sn n→+∞ Giải Từ giả thiết, ta có x2n + mxn m+1 x2n − xn + (m + 1)xn = m+1 x2n − xn + xn > xn , ∀n ∈ N∗ = m+1 xn+1 = Do dãy {xn } dãy số tăng Giả sử dãy số {xn } bị chặn x Khi đó, từ x2 + mxn , suy cơng thức xn+1 = n m+1 x2 + mx x= ⇔ x = 0, x = m+1 74 Điều vô lý = x1 < xk , ∀k ∈ N, k > Suy dãy {xn } không bị chặn trên, hay lim xn = +∞ n→∞ Do = n→∞ xn lim Theo cơng thức: x2k + mxk , ∀k ∈ N, k > m+1 xk = (m + 1) − ⇔ xk+1 − xk − xk+1 − xk+1 = Lần lượt cho k = 2, 3, vào đẳng thức cộng theo vế ta thu xk Sn = = (m + 1) − xk+1 − x1 − xn+1 − k=1 = (m + 1) − xn+1 − n X Suy lim Sn = lim (m + 1) − n→∞ n→∞ xn+1 − = (m + 1) Vậy nên lim Sn = (m + 1) n→∞ Bài toán 3.2 Cho dãy số {xn }, n = 1, 2, xác định sau: x1 = α, α > x2 xn+1 = xn + n , β > β Tìm lim x n→+∞ x2 + x2 x3 xn + + ··· + x3 x4 xn+1 Giải Ta có xk x2k β(xk+1 − xk ) = = xk+1 xk xk+1 xk xk+1 1 = β − xk xk+1 Lần lượt cho k = 1, 2, , n, đẳng thức thực cộng theo vế, ta x1 x2 x3 xn + + + ··· + x2 x3 x4 xn+1 =β 1− xk+1 Sn = 75 Mặt khác, ta có xn+1 = xn + x2n > xn , ∀n ∈ N β Do đó, dãy {xn } dãy đơn điệu tăng Giả sử dãy {xn } bị chặn tồn giới hạn hữu hạn a Khi đó, ta có lim xn+1 = lim n→+∞ hay a = a + a2 β n→+∞ xn + x2n , β ⇒ a = (Vô lý) Vậy dãy cho không bị chặn Suy n→+∞ un lim un = ∞ hay lim n→+∞ = Vậy nên lim Sn = β n→+∞ Bài toán 3.3 Cho dãy số {xn } xác định x0 = α, α > 1 20072 xn = , n ∈ N∗ xn−1 + xn−1 Xác định lim xn n→∞ Giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có xn = 1 20072 , ∀n ∈ N∗ xn−1 + xn−1 Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có xn = 1 20072 > 2007, ∀n ∈ N∗ xn−1 + xn−1 Mặt khác, ta có 1 20072 20072 = xn−1 + xn−1 − xn−1 xn−1 2 xn−1 − 2007 = xn−1 xn−1 − 2007 xn−1 + 2007 > = xn−1 xn−1 xn−1 − xn = xn−1 − 76 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức 1 20072 xn = xn−1 + , ∀n ∈ N∗ , xn−1 suy 1 20072 x+ x Do x = 2007, x > Vậy lim xn = 2007 x= n→∞ Bài toán 3.4 Cho β > dãy số {xn } xác định công thức x0 = α, α > 1 β2 xn = , n ∈ N∗ xn−1 + xn−1 Xác định lim xn n→∞ Giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có xn = 1 β2 xn−1 + , ∀n ∈ N∗ xn−1 Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có 1 β2 xn−1 + > β, ∀n ∈ N∗ xn = xn−1 Mặt khác, ta có 1 β2 β2 = xn−1 − xn = xn−1 − xn−1 + xn−1 − xn−1 xn−1 2 xn−1 − β = xn−1 xn−1 − β xn−1 + β > = xn−1 xn−1 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức xn = 1 β2 , ∀n ∈ N∗ xn−1 + xn−1 Suy 1 β2 x= x+ x Do x = β, x > Vậy lim xn = β n→∞ 77 Bài toán 3.5 Cho β > dãy số {xn } xác định công thức x0 = α, α > β k+1 , n ∈ N∗ kx = + x n n−1 k+1 xkn−1 Xác định lim xn n→∞ Giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có β k+1 , ∀n ∈ N∗ xn = kxn−1 + k k+1 xn−1 Bằng quy nạp ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có β k+1 > β, ∀n ∈ N∗ xn = kxn−1 + k k+1 xn−1 Mặt khác, ta có β k+1 βk kxn−1 + k xn−1 − k = xn−1 − xn = xn−1 − k+1 k+1 xn−1 xn−1 k+1 k+1 xn−1 − β = k+1 xkn−1 (xn−1 − β)g(xn−1 ) > = k+1 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức xn = β k+1 kxn−1 + k , ∀n ∈ N∗ k+1 xn−1 Suy β k+1 1 x+ k x Do x = β, x > Vậy lim xn = β x= n→∞ 3.2 Một số ước lượng tổng tích vơ hạn phần tử Bài toán 3.6 Cho {xn } xác định sau xm = m X k=1 Tìm x2005 lim xn n→∞ k4 k + k2 + 78 Giải Nhận xét n 1 n = = − n4 + n2 + (n2 + n + 1)(n2 − n + 1) n2 − n + n2 + n + Mặt khác n2 + n + = (n + 1)2 − (n + 1) + Suy 11 1 1 11 1 1 1 − + − + − ··· + − 3 7 13 m2 − m + m2 + m + 1 1− = m +m+1 m2 + m = m2 + m + xm = Vậy nên x2005 = 2011015 , lim xn = 4022031 n→∞ Bài toán 3.7 Cho dãy số {xn } xác định x1 = 5, xn+1 = x2n − 2, n > Tính xn+1 n→∞ x1 x2 xn lim Giải Từ công thức xác định dãy, quy nạp ta chứng minh x2n > 2, ∀n ∈ N Mặt khác x2n+1 − = (x2n − 2)2 − = x2n (x2n − 4) = · · · = (x1 x2 xn )2 (x21 − 4) = 21(x1 x2 xn )2 Suy xn+1 2 = 21 + x x xn x1x2 xn 2 Mà ta có lim n→∞ x1x2 xn −2n = 2 lim 4.2 n→∞ Vậy nên lim n→∞ xn+1 2 xn+1 2 = lim = lim 21 + 2 = 21 n→∞ x1 x2 xn n→∞ x1x2 xn x x xn Bài toán 3.8 Cho dãy số {xn } xác định x1 = 5, xn+1 = x2n − 2, n > Tính xn+1 n→∞ x1 x2 xn lim 79 Giải Từ công thức xác định dãy, quy nạp ta chứng minh xn > 2, ∀n ∈ N Mặt khác x2n+1 − = (x2n − 2)2 − = x2n (x2n − 4) = · · · = (x1 x2 xn )2 (x21 − 4) = 21(x1 x2 xn )2 Suy xn+1 2 = 21 + x x xn x1x2 xn 2 Mà ta có −2n =0 lim 2 lim 4.2 n→∞ n→∞ x1 x2 xn Vậy lim n→∞ xn+1 2 xn+1 2 = lim = lim 21 + n→∞ x1 x2 xn n→∞ x1x2 xn x x xn 2 = 21 Bài toán 3.9 Cho dãy số {xn } xác định công thức x0 = 1 xn = xn−1 + , n = 2, 3, xn−1 Chứng minh 63 < x1996 < 78 Giải Theo cách xác dịnh dãy, ta có dãy {xn } ta có xn = xn−1 + xn−1 > xn−1 , ∀n ∈ N∗ Nên {xn } dãy số tăng, xn > 1, ∀n ∈ N∗ Mặt khác ta có x2n = x2n−1 + x2n−1 + > x2n−1 + 2, ∀n ∈ N∗ (3.1) Theo công thức xác định dãy: xn = xn−1 + xn−1 > xn−1 > ⇒ x2n−1 − 0, ∀n ∈ N Suy x2n − = x2n−1 + x2n−1 − x2n−1 , ∀n ∈ N∗ (3.2) 80 Từ (3.1) (??), suy x2n−1 + x2n x2n−1 + 3, ∀n ∈ N∗ Lần lượt cho n = 2, 3, , k biểu thức ta có x21 + x22 x21 + x2 + x2 x2 + 3 ······ xk−1 + x2k x2k−1 + Thực cộng k − đẳng thức theo vế rút gọn số hạng đồng dạng, suy x21 + (k − 1)2 x2k x21 + (k − 1)3 Thay u1 = ta 2k − x2k 3k − Suy √ √ 2.1996 − x21996 3.1996 − Vậy 63 < x1996 < 78 Bài toán 3.10 Cho dãy số {xn } xác định công thức x0 = m + 1, m > xn = xn−1 + , n = 2, 3, xn−1 Chứng minh √ m2 + 2m + 2n + < xn < √ + m2 + 2m + 2n + 2m + Giải Theo công thức xác định dãy ta có xn = xn−1 + xn−1 > xn−1 xn − xn−1 = xn−1 >0 81 ⇔ (xk+1 + xk )(xk+1 − xk ) > 2xk =2 xk ⇔ x2k+1 − x2k > n−1 X x2k+1 − x2k > 2n ⇒ k=0 ⇔ x2n − x20 > 2n Suy q xn > x20 + 2n (3.3) Mặt khác, x0 < x1 < x2 < · · · nên 1 < xk x0 ⇔ xk+1 − xk − < 2xk x0 1 ⇔ xk+1 − xk − (xk+1 − xk ) < x0 ⇔ (x2k+1 − x2k ) − (xk+1 − xk ) < x0 n−1 n−1 X X 2 ⇒ xk+1 − xk − xk+1 − xk < 2n x0 k=0 k=0 xk+1 − xk = (xn − x0 ) < 2n x0 s 1 ⇔ xn < + + 4(x20 + 2n − 1) 2x0 x0 ⇔ x2n − x20 − Do x0 = m + > nên − < 0, suy x20 xn < + 2x0 q x20 + 2n (3.4) Từ (3.3) (3.4) ta có q q x20 + 2n < xn < + x20 + 2n 2x0 Vậy √ m2 + 2m + 2n + < xn < √ + m2 + 2m + 2n + 2m + Bài toán 3.11 Cho dãy số x1, x2 , x3 ba số hạng cấp số nhân công bội q > Hỏi với điều kiện q số x1, x2, x3 ba cạnh tam giác 82 Giải Gọi ba cạnh tam giác x1 , x2, x3 số hạng liên tiếp cấp số nhân Khi đó, xi > 0; i = 1, 2, Khơng tính tổng qt, giả sử x1 < x2 < x3 Ta có x2 = x1 q, x3 = x1q Theo bất đẳng thức tam giác: 2 + x q > x q x √ √ 1 1+q−q >0 − 5+1 ⇔ x1 q + x1q > x1 ⇔ 2 x + x q2 > x q q2 − q + > 1 √ √ Vậy 3.3 5−1 1, x21 = y1 + Chứng minh x2n = yn + 2, ∀n > Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n = đẳng thức Giả sử đẳng thức n = k, với k ∈ N, k > 1, ta có x2k = yk + Ta chứng minh x2k+1 = yk+1 + Thật vậy, theo giả thiết ta có xk+1 = x3k − 3xk ⇒ x2k+1 = x6k − 6x4k + 9x2k = (yk + 2)3 − 6(yk + 2)2 + 9(yk + 2) ⇔ x2k+1 = yk3 − 3yk + = yk+1 + Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có x2n = yn + 2, ∀n > Bài toán 3.13 Cho dãy số {xn } có số hạng tổng quát xn = 3(n2 + n) + 7, n ∈ N Chứng minh dãy số cho, khơng có số hạng lập phương số tự nhiên Giải Giả sử tồn số tự nhiên m cho 3(n2 + n) + = m3 ⇔ 3n(n + 1) + = m3 , 83 Vì n ∈ N nên n(n + 1) số chẵn, suy 3n(n + 1) + số lẻ, m3 số lẻ Đặt m = 2k + 1, k ∈ N Như vậy, suy 3n2 +3n+7 = 8k +12k+6k+1 ⇔ 3n2 +3n+6 = 8k +12k+6k ⇔ 8k = 3(n2 +n−4k−2k−2) Vì 3(n2 + n − 4k − 2k − 2) nên 8k 3 Đặt t = 3l, l ∈ N Suy n2 + n + = 72l + 36l + 6l Ta có 72l + 36l + 6l chia hết cho 3, mà n2 + n + không chia hết cho ∀n ∈ N (mâu thuẫn) Vậy dãy số cho, khơng có số hạng lập phương số tự nhiên Dãy phân tuyến tính Bài tốn 3.14 Cho α > , dãy số {xn } xác định xn = αn − , n = 1, 2, n Chứng minh {xn } dãy số tăng Giải Xét hiệu xn+1 − xn , ta có αn+1 − αn − − n+1 n n(αn+1 − 1) − (n + 1)(αn − 1) = n(n + 1) nαn+1 − (n + 1)αn + = n(n + 1) (α − 1)(nαn − − α − · · · − αn ) > 0, ∀n ∈ N∗ = n(n + 1) xn+1 − xn = Vậy nên {xn } dãy số tăng Bài toán 3.15 Cho dãy số {xn } xác định công thức x1 = , xn+1 = x2n + xn , ∀n ∈ N∗ Tìm phần nguyên số A= 1 + + ··· + x1 + x2 + x2007 + 84 Giải Theo cách xác định dãy ta có xn > 0, xn+1 > xn , ∀n ∈ N Từ giả thiết xn+1 = x2n + xn , suy xk 1 = = − xk + xk (xk + 1) xk xk+1 Lần lượt thay k = 1, 2, , 2007 vào công thức (3.5) cộng theo vế, ta có 1 + + ··· + x1 + x2 + x2007 + 1 1 1 1 + + ··· + − − − = x1 x2 x2 x3 x2007 x2008 1 = − =2− < 2, (x2008 > 0) x1 x2008 x2008 A= Mặt khác, ta có: 1 x2 = + = 4 21 x3 = + = > 16 16 x1 = Mà {xn } dãy số tăng, nên x2008 > x3 > 1, suy A > Do < A < Vậy [A] = (3.5) 85 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau (i) Nêu khái niệm liên quan đến dãy số đặc biệt: cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hồ, khái niệm tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính (ii) Giải tốn xác định dãy số dạng tuyến tính với hệ số có phương trình đặc trưng dạng bậc hai, bậc ba có nghiệm thực Xét số tốn xác định dãy số dạng tuyến tính với hệ số luỹ thừa n có phương trình đặc trưng dạng bậc hai, bậc ba có nghiệm thực (iii) Trình bày tốn xác định dãy số dạng bậc y = ax, bậc hai ax + b y = ax2, phân tuyến tính (y = , ad − bc 6= 0), hàm phân thức bậc hai cx + d x2 + d 2x chia bậc (y = ) hàm phân thức bậc chia bậc hai (y = ) 2x + dx2 (iv) Trình bày dạng tốn liên quan đến dãy số đặc biệt: toán ước lượng tổng tích vơ hạn phần tử, tốn tính giới hạn số dãy số, tính chất dãy phi tuyến Trong phần luận văn, tác giả cố gắng trình bày chi tiết cách giải có ví dụ cụ thể để mơ tả tường minh phương pháp đưa trước đó, đồng thời phần số tập áp dụng cuối chương chương 3, tác giả thực nêu số dạng toán liên quan đến toán xác định dãy toán liên quan đến dãy số 86 Tài liệu tham khảo [1] Phan Huy Khải, (2007), Các toán dãy số, NXB Giáo Dục [2] Phan Huy Khải, (1996), 10000 toán dãy số , NXB Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, (2007), Nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), (2004), Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi ĐHKHTN Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), (2007), Một số chuyên đề toán chọn lọc NXB Giáo Dục [6] Nguyễn Văn Mậu, (2005), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo Dục [8] Các đề thi Olympic Toán học Quốc tế, 1965-2005 [9] Các đề thi vơ địch tốn 19 nước, (2002), NXB Trẻ [10] Tủ sách toán học & tuổi trẻ, Các thi Olympic tốn trung học phổ thơng Việt Nam (1990-2006), (2007), NXB Giáo Dục [11] Tuyển tập đề thi Olympiad 30 - [12] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ (Quyển 1), (2005), NXB Giáo Dục [13] Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, (1998), NXB Giáo Dục [14] Tạp chí Crux, 1996 - 2006, www.khoia0.com , www.mathnfriend.net, www.kalva.demon.co.uk, www.mathlinks.ro, www.diendantoanhoc.net