Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI ĐỊNH LÝ FOURIER, ĐỊNH LÝ STURM VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược không gian metric 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi 1.3 Ước chung lớn hai đa thức 3 Một số định lý nghiệm thực áp dụng 2.1 Quy tắc Fourier De Gua số nghiệm thực đa thức 2.2 Định lý Budan-Fourier số nghiệm đa thức khoảng 2.3 Một số ví dụ áp dụng định lý Fourier 2.4 Quy tắc Budan định lý Fourier cho hàm khả vi k lần 2.5 Định lý Hurwitz 2.6 Cô lập nghiệm dựa vào dãy Sturm 8 16 21 24 33 36 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Trong chương trình bậc phổ thơng, học sinh tiếp cận với đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên Bài toán đếm số nghiệm đa thức với hệ số thực khoanh vùng nghiệm đa thức ẩn hệ số thực xuất hầu hết kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế Hiện tài liệu đa thức đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa số khó học sinh bắt đầu tiếp cận Vì tơi lựa chọn "Định lý Fourier, Định lý Sturm nghiệm đa thức áp dụng" để nghiên cứu phục vụ cho học sinh lớp chun tốn phổ thơng Để khảo sát số nghiệm đa thức với hệ số thực luận văn sử dụng quy tắc Fourier quy tắc De Gua đếm số lần đổi dấu số lần ổn định dấu dấu đa thức để xác định số nghiệm thực số nghiệm ảo thức cho Tiếp theo luận văn trình bày định lý Budan-Fourier để khảo sát số nghiệm đa thức khoảng cho trước Và sau luận văn xét hàm mở rộng sử dụng quy tắc Budan, định lý Fourier để khảo sát số nghiệm cho hàm khả vi k lần Cuối luận văn định lý Hurwitz định lý Sturm xác định số nghiệm đa thức thực dựa vào phân bố dấu dãy hệ số thực đa thức cho Luận văn gồm chương: Chương Trình bày số kiến thức liên quan để chứng minh cho định lý chương Chương Trình bày số quy tắc, định lý nghiệm thực đa thức số ví dụ áp dụng quy tắc để xác định số nghiệm đa thức Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô, người tận tâm giảng dạy bảo suốt trình học tập thực luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Tuyết Mai Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm nhắc lại số kiến thức sử dụng luận văn, kiến thức tham khảo số tài liệu [7], [?] 1.1 Sơ lược không gian metric Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho X tập hợp Một ánh xạ khoảng cách d xác định X ánh xạ d : X × X → [0, ∞), (x, y) 7→ d(x, y) thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X : (1) d(x, y) = x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (ii) Một không gian metric cặp (X, d) X tập hợp d ánh xạ khoảng cách xác định X Ví dụ 1.1.2 +) Tập số thực R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = |x − y| không gian metric +) Tập R = R ∪ {−∞, ∞} với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| không gian metric Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d) (i) Cho điểm x ∈ X số thực ε > Một hình cầu mở B(x, ε) xác định B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} (ii) Một tập U X gọi tập mở x ∈ U tồn ε > cho B(x, ε) ⊆ U Một tập V X gọi tập đóng X \ V tập mở (iii) Một lân cận điểm x ∈ X tập A X thỏa mãn hai điều kiện: (a) x ∈ A; (b) A chứa cầu mở B(x, ε) (với số thực ε > đó) (iv) Một dãy (xn ) không gian metric (X, d) gọi hội tụ a ∈ X với ǫ > tồn n0 ∈ N để d(xn , a) < ǫ với n > n0 (v) Không gian metric (X, d) gọi compact dãy X có dãy hội tụ X Ví dụ 1.1.4 Tập R với ánh xạ khoảng cách d(x, y) = | arctan x − arctan y| không gian metric compact Định nghĩa 1.1.5 (Điểm giới hạn) Cho tập hợp A không gian metric (X, d) x ∈ X Ta nói x điểm giới hạn (hoặc điểm dính) A lân cận U x có giao với A điểm khác x Định nghĩa 1.1.6 (Điểm cô lập) Cho tập hợp A không gian metric (X, d) x ∈ A Ta nói x điểm lập A tồn lân cận U x mà U khơng giao với A điểm khác x 1.2 Hàm liên tục, hàm khả vi Tiếp theo ta nhắc lại số khái niệm hàm liên tục hàm số biến số thực Định nghĩa 1.2.1 Cho X ⊆ R, hàm số f : X → R điểm x0 ∈ X Nếu với ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ X : |x − x0 | < δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói hàm f liên tục x0 Nếu f liên tục điểm x ∈ X ta nói f liên tục X Như vậy, cách phát biểu tương đương, ta thấy f hàm số liên tục điểm x0 lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Định nghĩa 1.2.2 Cho A ⊆ R, hàm số f : A → R gọi liên tục bên phải điểm x0 ∈ A ε > tồn δ > cho với x ∈ {x ∈ A : x0 ≤ x < x0 + δ} ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Tương tự ta nói f liên tục bên trái x0 ∈ A với ε > tồn δ > cho x ∈ {x ∈ A : x0 − δ ≤ x < x0 } ta có |f (x) − f (x0 )| < ε Như hàm số f : A → R liên tục x0 ∈ A f liên tục bên phải liên tục bên trái x0 Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số f : [a, b] → R Nếu f liên tục (a, b), liên tục bên phải điểm a liên tục bên trái điểm b ta nói f liên tục đoạn [a, b] Tiếp theo nhắc lại khái niệm hàm khả vi Xét hàm số y = f (x) xác định lân cận điểm x0 ∈ R Cho x0 số gia ∆x bé cho x0 + ∆x ∈ U Khi ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia đối số ∆x điểm x0 (x0 ) ∆y Định nghĩa 1.2.4 Nếu tỉ số ∆x = f (x0 +∆x)−f có giới hạn hữu hạn ∆x ∆x → giới hạn gọi đạo hàm hàm f x x0 kí hiệu f ′ (x0 ); ta nói hàm f khả vi x0 Như vậy, ta có f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x f ′ (x0 ) = lim Định nghĩa 1.2.5 Cho U tập hợp mở R, f : U → R hàm xác định U Hàm f gọi khả vi U f khả vi điểm U Khi ta nói hàm số f có đạo hàm f ′ U Tiếp theo ta nhắc lại định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi Định lý 1.2.6 (Định lí Lagrange) Giả sử f hàm liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm điểm khoảng (a, b) Khi tồn điểm c ∈ (a, b), cho f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) Định lý 1.2.7 (Định lí Cauchy) Giả sử f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm điểm khoảng (a, b), g ′ (x) 6= với x ∈ [a, b] Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) f ′ (c) = ′ g(b) − g(a) g (c) Định lí Lagrange trường hợp riêng Định lý Cauchy với g(x) = x f (x0 +∆x)−f (x0 ) ∆x ∆x→0− Định nghĩa 1.2.8 Nếu giới hạn lim tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên trái f (x) x0 , ký hiệu f− (x0 ) Nếu ∆y giới hạn lim + ∆x tồn hữu hạn giới hạn gọi đạo hàm bên phải ′ ∆x→0 f (x) x0 , ký hiệu f+ (x0 ) ′ Quy tắc 1.2.9 Quy tắc L’Hospital (đọc Lơ-pi-tan) quy tắc ∞ tốn học dùng để khử dạng vô định 00 ∞ tính giới hạn nhiều (x) có ứng dụng khác Quy tắc L’Hospital phát biểu sau: Nếu lim fg(x) x→a dạng 0 có giới hạn giới hạn f ′ (x) g ′ (x) ′ (x) lim fg′ (x) x→a tồn Định lý 1.2.10 Giả sử f g hàm liên tục tập [a, b] khả vi (a, b) Giả sử g ′ (x) khác (a, b), limx→a+ f ′ (x)/g ′ (x) tồn tại, limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = Khi lim+ x→a 1.3 f ′ (x) f (x) = lim+ ′ g(x) x→a g (x) Ước chung lớn hai đa thức Mục ta xét k trường xét đa thức vành k[x] Định lý 1.3.1 (Định lý phép chia dư) Cho đa thức f (x), g(x) ∈ k[x] với g(x) 6= Khi tồn cặp q(x), r(x) ∈ k[x] cho f (x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) 6= deg(r(x)) < deg(g(x)) Ta gọi q(x) thương gọi r(x) phần dư phép chia f (x) cho g(x) Định nghĩa 1.3.2 (Ước đa thức) Trong phép chia p(x) cho q(x), phần dư r(x) đồng ta nói đa thức p(x) chia hết cho đa thức q(x) Như vậy, p(x) chia hết cho q(x) tồn đa thức s(x) cho p(x) = q(x).s(x) Trong trường hợp ta nói q(x) chia hết p(x), q(x) ước p(x) Định nghĩa 1.3.3 (Ước chung hai đa thức) Nếu g(x) chia hết p(x) g(x) chia hết q(x) ta nói g(x) ước chung p(x) q(x) Định nghĩa 1.3.4 (Ước chung lớn nhất) Cho p(x) q(x) đa thức không đồng thời Ước chung lớn p(x) q(x) đa thức d(x) thoả mãn đồng thời hai điều kiện: (1) d(x) ước chung p(x) q(x); (2) Nếu d′ (x) ước chung p(x) q(x) d′ (x) ước d(x) Chú ý 1.3.5 (Thuật toán Euclide) Cho đa thức f0 , f1 ∈ k[x] với f1 6= Đặt f2 phần dư chia f0 cho f1 , tiếp tục quy nạp, ta đặt fi+1 phần dư chia fi−1 cho fi (nếu fi 6= 0) Rõ ràng dãy f0 , f1 , , fi , (dãy gọi dãy phần dư đa thức f0 , f1 ) hữu hạn, trái lại fi 6= nên ta có dãy giảm vơ hạn số tự nhiên deg(f1 ) > deg(f2 ) > > deg(fi ) > điều không xảy Lấy d(x) phần dư fr cuối khác không, ý r ≤ min{deg(f0 ), deg(f1 )} Khi d(x) ước chung lớn f0 f1