Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN LƯU VỀ ĐA THỨC HỆ SỐ THỰC CÓ CÁC NGHIỆM ĐỀU THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN LƯU VỀ ĐA THỨC HỆ SỐ THỰC CÓ CÁC NGHIỆM ĐỀU THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN LƯU VỀ ĐA THỨC HỆ SỐ THỰC CÓ CÁC NGHIỆM ĐỀU THỰC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu Điều kiện để đa thức với hệ số thực có nghiệm thực 1.1 1.2 1.3 Nghiệm đa thức Một vài điều kiện cần cho đa thức có tất nghiệm thực Điều kiện đủ để nghiệm đa thức thực Một số toán liên quan 2.1 2.2 Mối liên hệ nghiệm thực đạo hàm nghiệm thực đa thức Một số toán sơ cấp liên quan Kết luận 10 19 27 27 32 38 Tài liệu tham khảo 39 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS TS Lê Thị Thanh Nhàn hướng dẫn hoàn thành luận văn Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian tơi thực đề tài Trong trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Cơ ln tận tình bảo tạo điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn Cho đến luận văn thạc sĩ tơi hồn thành, xin cảm ơn Cô Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo trường THPT Gia Viễn A - Ninh Bình nơi tơi cơng tác tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành cơng việc chun mơn nhà trường để tơi hồn thành chương trình học tập cao học Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người khơng ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn PHẦN MỞ ĐẦU Như biết, nghiên cứu đa thức vấn đề nghiệm đa thức yếu tố quan trọng Theo Định lý Đại số đa thức hệ số phức bậc n có đủ n nghiệm phức (tính bội chúng) Tuy nhiên, đa thức hệ số thực khơng có khẳng định Chẳng hạn, đa thức bậc hai p(x) = ax2 + bx + c với hệ số thực có hai nghiệm thực b2 − 4ac ≥ Trong lịch sử toán học, nhà khoa học cố gắng tìm điều kiện hệ số để đa thức hệ số thực có số nghiệm thực cho trước công thức nghiệm theo hệ số Tuy nhiên giải số toán cụ thể hay lớp đa thức đặc biệt Việc nghiên cứu điều kiện hệ số đa thức với hệ số thực để đa thức có nghiệm thực trình bày báo [3] [4] Bài báo [3]: "A sufficient condition for all the roots of a polynomial to be real" trình bày điều kiện đủ hệ số để đa thức hệ số thực có tất nghiệm thực, báo [4]: "Some necessary conditions for a real polynomial to have only real roots" trình bày vài điều kiện cần hệ số để đa thực hệ số thực có tất nghiệm thực Mục đích luận văn trình bày lại kết báo Ngồi ra, luận văn cịn quan tâm khai thác mối liên hệ nghiệm đa thức nghiệm đạo hàm đa thức thơng qua đánh giá bất đẳng thức, nội dung trình bày lại từ báo [5]: "On the roots of the derivative of a polynomial with real roots" Luận văn khai thác số ứng dụng kết để giải tốn sơ cấp tính chất nghiệm thực đa thức với hệ số thực Luận văn chia làm hai chương Chương gồm phần Phần thứ trình bày số kiến thức nghiệm đa thức Định lý Đại số, Công thức Viete, Định lý Rolle, số nghiệm đa thức hệ số tự thay đổi Điều kiện không lồi Newton Phần thứ hai dành để trình bày vài điều kiện cần cho đa thức có tất nghiệm thực, thể Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.8, Định lý 1.2.11 Ngoài ra, Định lý sau phần chứng minh cịn có số phản ví dụ để điều kiện khơng phải điều kiện đủ để đa thức có tất nghiệm thực Phần cuối trình bày điều kiện đủ để nghiệm đa thức số thực, thể Định lý 1.3.2 Định lý 1.3.2 kết đẹp mở rộng tiêu chuẩn có đủ nghiệm thực đa thức bậc hai thành tiêu chuẩn có đủ n nghiệm thực đa thức bậc n Chương gồm hai phần Phần đầu trình bày mối liên hệ nghiệm thực đạo hàm nghiệm thực đa thức, thể Định lý 2.1.1 Phần đưa số toán sơ cấp để áp dụng định lý Chương Chương Điều kiện để đa thức với hệ số thực có nghiệm thực Mục đích Chương trình bày số kết đa thức hệ số thực có nghiệm thực Tài liệu tham khảo Chương [1], [3], [4] 1.1 Nghiệm đa thức Mục tiêu tiết nhắc lại số khái niệm, tính chất quen biết nghiệm đa thức, có Cơng thức Viete, Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM Inquality), Định lý Rolle, số nghiệm đa thức hệ số tự thay đổi, Điều kiện không lồi Newton Cho số nguyên dương n Đa thức p(x) bậc n, hệ số thực biểu thức có dạng p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 với a0 , a1 , , an số thực an 6= Đa thức viết dạng hạng tử bậc giảm dần gọi dạng tắc đa thức Trong tồn luận văn này, khơng có giải thích thêm ta ln quy ước p(x) đa thức bậc n hệ số thực có dạng Khi n = p(x) = a1 x + a0 gọi nhị thức bậc nhất, n = p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 gọi tam thức bậc hai Đây đa thức nghiên cứu nhiều chương trình phổ thơng Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực Số phức a gọi nghiệm đa thức p(x) p(a) = Nếu a số thực ta gọi a nghiệm thực đa thức p(x) Về tính chất nghiệm phức đa thức p(x) bậc n hệ số phức, ta có Định lý đại số 1.1.1 Định lý Cho đa thức p(x) bậc n hệ số phức Trên tập số phức C, đa thức p(x) có đủ n nghiệm, nghiệm tính với số bội Rõ ràng đa thức p(x) bậc n có hệ số thực đa thức p(x) có đủ n nghiệm phức (mỗi nghiệm tính với bội nó) Tuy nhiên, Định lý 1.1.1 chưa làm rõ số nghiệm thực số nghiệm không thực đa thức p(x) Luận văn làm sáng tỏ phần vấn đề Liên quan đến nghiệm đa thức, ta có Định lý Viete mối quan hệ nghiệm hệ số đa thức Nội dung Định lý sau 1.1.2 Định lý (Định lý Viete) Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 bậc n với hệ số phức n ≥ Giả sử p(x) có n nghiệm thực phức, gọi x1 , x2 , , xn Khi an−1 , x1 + x2 + + xn = − a n a x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn = n−2 , an a0 x1 x2 xn = (−1)n an Trong luận văn, ta phát biểu Định lý Rolle ngôn ngữ đa thức Định lý tiếng Rolle định lý liên quan đến tồn nghiệm đạo hàm giá trị đa thức Định lý phát biểu sau 1.1.3 Định lý (Định lý Rolle) Nếu có hai số thực a < b thỏa mãn p(a) = p(b) tồn số thực c thuộc khoảng (a, b) cho p′ (c) = Do a < b nghiệm đa thức p(x) tồn số thực c ∈ (a, b) nghiệm đa thức đạo hàm p′ (x) Vì đa thức p(x) có tất nghiệm thực đa thức p′ (x) có tất nghiệm thực Vì ta có Hệ sau 1.1.4 Hệ Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất nghiệm thực Khi đạo hàm cấp k đa thức p(x) có tất nghiệm thực, với ≤ k ≤ n − Chứng minh Ta ký hiệu p(k) (x) đạo hàm cấp k đa thức p(x) với ≤ k ≤ n − Hiển nhiên p(k) (x) đa thức bậc n − k hệ số thực Giả sử đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất nghiệm thực Bằng quy nạp theo k, ta cần chứng minh đa thức p′ (x) có tất nghiệm thực Nếu đa thức p(x) có a nghiệm bội m a nghiệm bội m − đa thức p′ (x) Do đó, ta cần xét trường hợp đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần x1 , x2 , , xn Đa thức p′ (x) có bậc n − nên có tối đa n − nghiệm thực Theo Định lý Rolle, tồn số thực ck thuộc khoảng (xk , xk+1 ) cho p′ (ck ) = với ≤ k ≤ n − Do c1 , c2 , , cn−1 nghiệm thực đa thức p′ (x) Vậy đa thức p′ (x) có n − nghiệm thực Điều ngược lại Hệ 1.1.4 không Chẳng hạn, đa thức p(x) = x4 − 4x2 + khơng có nghiệm thực, đạo hàm p′ (x) = 4x3 − 8x2 có tất nghiệm thực Với đa thức, hệ số thay đổi số nghiệm nghiệm đa thức thay đổi Tuy nhiên, có hệ số tự thay đổi miền số nghiệm đa thức khơng đổi Đó nội dung Bổ đề 1.1.5 sau 1.1.5 Bổ đề Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt Khi đó, tồn số thực ǫ > cho với ≤ λ < ǫ, đa thức p(x) + λ có n nghiệm thực phân biệt Chứng minh Giả sử đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần x1 , x2 , , xn Theo Hệ 1.1.4, đa thức p′ (x) có n − nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần t1 , t2 , , tn−1 ti ∈ (xi , xi+1 ) với i = 1, 2, , n − Ngoài ra, t1 , t2 , , tn−1 điểm cực trị hàm số p(x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 Do đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt nên giá trị cực trị p(ti ) 6= với i = 1, 2, , n − Đặt ǫ = min{|p(t1 )|, |p(t2 )|, , |p(tn−1 )|} Rõ ràng ǫ > với ≤ λ < ǫ đa thức p(x) + λ có n nghiệm thực Ngồi ra, số chứng minh, ta cần sử dụng Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân sau 1.1.6 Mệnh đề (Bất đẳng thức AM - GM) Với n số thực không âm a1 , a2 , , an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an 1.1.7 Định lý (Điều kiện không lồi Newton) Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0