Nghiên cứu ảnh hưởng của thành phần cross ker lên sự hình thành trạng thái đan rối trong bộ ghép ba dao động tử phi tuyến kiểu ker

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC PHAN THỊ DÂN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA THÀNH PHẦN CROSS-KERR LÊN SỰ HÌNH THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI TRONG BỘ GHÉP BA DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN KIỂU KERR LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THANH HÓA, NĂM 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC PHAN THỊ DÂN NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA THÀNH PHẦN CROSS-KERR LÊN SỰ HÌNH THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI TRONG BỘ GHÉP BA DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN KIỂU KERR LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 8440103 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Dung THANH HÓA, NĂM 2022 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ khoa học (Theo Quyết định số : 1469/ QĐ- ĐHHĐ ngày 04 tháng 07 năm 2022 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức) Học hàm, học vị Cơ quan Công tác Họ tên Chức danh Hội đồng PGS.TS.Lê Viết Báu Trường ĐH Hồng Đức Chủ tịch HĐ TS Nguyễn Thị Thảo Trường ĐH Hồng Đức UV Phản biện TS Bùi Xuân Kiên Trường ĐH Điện Lực PGS.TS Lương Thị Kim Phượng Trường ĐH Hồng Đức Uỷ viên TS Luyện Thị San Trường ĐHBK Hà Nội Thư ký UV Phản biện Xác nhận Người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng Ngày tháng năm 2022 TS Nguyễn Thị Dung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Phan Thị Dân i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời cho phép tơi nói lời cảm ơn đến giảng viên giảng dạy lớp K13 – Cao học Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐH Hồng Đức nói chung tập thể cán giảng viên môn Vật lý trường ĐH Hồng Đức nói riêng ln đồng hành, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo khoa Khoa học tự nhiên, phòng quản lý sau đại học hỗ trợ tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận văn Đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Dung Cô người tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ tơi suốt thời gian nghiên cứu hoàn thiện luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người bạn lớp cao học K13, người thân u gia đình tơi đồng nghiệp trường nơi công tác ủng hộ, động viên, khích lệ giúp đỡ tơi vượt qua khó khăn Trân trọng cảm ơn! Tác giả Phan Thị Dân ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC………………………………………………………………… iii DANH MỤC VIẾT TẮT……………………………………………………v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ…………………… …………vi MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Chương CÁC KHÁI NIỆM VÀ HÌNH THỨC LUẬN CƠ BẢN 1.1 Hình thức luận học lượng tử 1.1.1 Trạng thái tinh khiết trạng thái hỗn loạn lượng tử 1.1.2 Động lực học lượng tử 1.1.3 Dao động tử điều hòa 1.1.4 Các trạng thái số hạt 1.1.5 Trạng thái kết hợp 1.1.6 Các trạng thái nén 1.1.7 Các phép đo lượng tử 10 1.2 Hình thái vật lý Qubit thơng tin lượng tử 11 1.2.1 Biễu diễn Qubit 11 1.2.2 Fidelity lượng tử 12 1.2.3 Rối lượng tử 13 1.2.4 Các trạng thái Bell 14 1.2.5 Các trạng GHZ 15 1.2.6 Lớp trạng thái W 16 1.3 Các phép đo rối lượng tử 16 iii 1.3.1 von Neumann entropy 16 1.3.2 Phép đo concurrence 17 1.3.3 Phép đo negativity 17 1.3.4 Phép rối lượng tử ba thành phần 18 1.3.5 Rối lượng tử biến liên tục 18 Chương RỐI LƯỢNG TỬ TRONG MÔ HÌNH BA DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN KIỂU KERR VỚI KIỂU BIẾN GIÁN ĐOẠN TRONG TRƯỜNG HỢP KHƠNG CĨ MẤT MÁT 21 2.1 Mơ hình ghép 21 2.2 Rối lượng tử song phương 28 2.3 Rối lượng tử hệ qubit 30 Chương RỐI LƯỢNG TỬ TRONG MƠ HÌNH BA DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN KIỂU KERR VỚI KIỂU BIẾN GIÁN ĐOẠN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA HỆ SỐ MẤT MÁT 35 3.1 Ánh xạ lượng tử hệ chịu ảnh hưởng trình mát 35 3.2 Phân bố trạng thái 35 3.3 Phân bổ rối lượng tử 38 KẾT LUẬN 43 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ Đà CÔNG BỐ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 iv DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt EPR Tên đầy đủ tiếng Anh Tên đầy đủ tiếng Việt Einstein-Podolsky-Rosen Nghịch lý Einstein- paradox Podolsky-Rosen GHZ Greenberger–Horne–Zeilinger NQS Nonlinear Quantum Scissors HZ Hillery-Zubairy v Kéo lượng tử phi tuyến DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Nội dung hình vẽ đồ thị TT Trang Hình 2.1 Mơ hình ghép phi tuyến kiểu Kerr bao gồm ba dao động tử, tương tác với kiểu tương tác tuyến tính chịu 20 kích thích trường ngồi mode a mode c Hình 2.2 Tiến triển theo thời gian của: a) biên độ xác suất a b c, a độ xác suất  b c , a b c , and a  r , p ,q 0 b c b) hiệu biên crpq Các tham số lựa chọn   ,   , 24     103 ,   0,8 Hình 2.3 Tiến triển theo thời gian hiệu biên độ xác suất 1  r , p ,q 0 crpq   ,   ,     103 ,   0,8 25 Hình 2.4 Tiến triển theo thời gian fidelity với   1;   103 ,   0,8 25 Sơ đồ Các bước tính ma trận thành phần từ ma trận tổng quát 27 Hình 2.5 Tiến triển theo thời gian negativity suy giảm negativity toàn phần với a)   1,5.103 ; b)   0,5.103   , 28   ,     103 Hình 2.6 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 30 Hình 3.1 Tiến triển theo thời gian biên độ xác suất ảnh hưởng trình mát theo biên độ với   0,5.103 ,   ,   ,     103 ,   0,1 trạng thái ban đầu trạng 34 thái chân không a b c Hình 3.2 Tiến triển theo thời gian biên độ xác suất ảnh hưởng trình mát theo biên độ với   0,5.103 ,   ,   ,     103 ,   0,5 trạng thái ban đầu trạng thái chân không a b c vi 34 Hình 3.3 Tiến triển theo thời gian concurrence toàn phần 10 concurrence suy giảm   0,5.103  1,  1, 36     103 ,   0,1 Hình 3.4 Tiến triển theo thời gian concurrence suy giảm 11 concurrence toàn phần với   0,5.103 ,   ,  1, 36     103 ,   0,5 12 13 Hình 3.5 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 ,   0,1 Hình 3.6 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 ,   0,5 vii 37 38 Trạng thái kiểu W Thời gian (s) Hình 2.6 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 Dựa phân loại Sabín kết thể hình 2.5 ta nhận thấy không chịu ảnh hưởng hệ số mát, khơng có tín hiệu trạng thái GHZ sinh  Nab  Nbc  Nac  0, Nabc  0 Khi giảm độ lớn tương tác tuyến tính hai cặp a-b b-c lên giá trị   0.5.103 độ đan rối ba bên tăng lên đạt tới giá trị ~0.9 (đường nét liền - hình 2.6b) Cường độ tương tác có ảnh hưởng rõ lên tạo thành rối lượng tử bên Cùng với đó, giá trị tác động lên việc sinh trạng thái đan rối dạng 2-3 có fidelity lớn hơn, trạng thái kiểu Wi  i  1:  : (0 a b c + a b c + a b W2 = (0 a b c - a b c + a b W1 = 33 c ), (2.21) c ) Khi so sánh kết với kết thu từ mơ hình trình bày [12] khơng có thành phần tương hỗ) ta nhận thấy hệ lượng tử mang lại hiệu cao việc tạo trạng thái đan rối ba mode kiểu W Mặc dù trạng thái kiểu W trạng thái đan rối cực đại, nhiên lớp trạng thái xác nhận có độ bền cao việc chống lại loại bỏ qubit ba [29], hay nói cách trạng thái W có độ bền việc chống lại mát đảm bảo đặc tính lưu trữ thông tin lượng tử kiểu tập Mơ hình hệ lượng tử đề xuất xem nguồn để tạo đan rối song phương đan rối ba bên vô hiệu 34 Chương RỐI LƯỢNG TỬ TRONG MÔ HÌNH BA DAO ĐỘNG TỬ PHI TUYẾN KIỂU KERR VỚI KIỂU BIẾN GIÁN ĐOẠN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA HỆ SỐ MẤT MÁT 3.1 Ánh xạ lượng tử hệ chịu ảnh hưởng trình mát Trong thực tế, hệ vật lý tránh khỏi tác động môi trường xung quanh hay tác động trình mát Quá trình dẫn đến phá hủy tương quan lượng tử, dẫn đến mát rối lượng tử Trong phần này, kiểm chứng ảnh hưởng trình tương tác hệ với mơi trường ngồi lên việc tạo thành rối lượng tử bảo tồn chúng hệ lượng tử nghiên cứu Ta áp dụng theo nhiều phương pháp khác Ví dụ dựa phương pháp tính tốn quỹ đạo lượng tử, khuếch đại trạng thái lượng tử, hình thức phương trình vật chất Khi hệ lượng tử bị ảnh hưởng bên ngoài, tiến triển theo thời gian hệ mô tả ma trận mật độ, nghiệm phương trình ma trận Phương trình này, phạm vi gần Markov phương trình vi phân thường bậc cho toán tử ma trận mật độ dạng: d ˆ a b c  i Hˆ ˆ  ˆ Hˆ  Lˆloss ˆ  Lˆloss ˆ  Lˆloss ˆ dt   (3.1) 3.2 Phân bố trạng thái Trong phần xem xét ảnh hưởng kiểu mát theo biên độ [30] lên hình thành trạng thái đan rối ba bên, tốn tử Liouville Lˆloss mô tả mát theo biên độ phương trình (3.1) biểu diễn thơng qua ma trận mật độ ˆ dạng sau:  Lˆlossa  ˆ  a  2aˆ ˆ aˆ †  aˆ †aˆ ˆ  ˆ aˆ †aˆ  , (3.2)  Lˆlossb  ˆ  b  2bˆˆ bˆ†  bˆ†bˆˆ  ˆ bˆ†bˆ  ,   (3.3) 35  Lˆlossb  ˆ  b  2cˆˆ cˆ†  cˆ†cˆˆ  ˆ cˆ†cˆ  , (3.4) Trong tham số  k  k  a, b, c  hệ số mát mode k Tương tự trường hợp hệ không chịu ảnh hưởng hệ số mát, giả sử hệ số tương tác tuyến tính cường độ xung bơm nhỏ so với hệ số Kerr  ,  ,  ab ,  bc  a , b , c , ab , ac , bc  , tiến triển theo thời gian hệ giới hạn xuống trạng thái chân không trạng thái photon Sử dụng thủ thuật phương pháp ánh xạ lượng tử ta tìm ma trận mật độ mô tả tiến triển theo thời gian hệ lượng tử từ tính tốn thông số biểu thị độ đan rối hệ Để thuận tiện ta viết rõ ma trận mật độ mô tả hệ theo dạng sau thời điểm t dạng sở:   t   000,000  t  010,010  t  a a b 1b 100,100  t  a b 110,110  t  a b c c c c a b c  001,001  t  0 a b c  011,011  t  a a b c a b 1c  b c a 1b 1c  a b c  101,101  t  a b c 1a b 1c  (3.5) a b c  111,111  t  a b c a b c Để đơn giản hóa bước tính toán, ta giả thiết hệ số mát xuất  a  b   c   Chiều không gian chọn 6, kết tính số phân bố trạng thái tập trung vào bốn trạng thái 000,000 , 001,001 , 100,100 010,010 Kết hình 3.1 3.2 với hệ số mát   0,1   0,5 khẳng định hệ lượng tử thêm vào thành phần cross-Kerr tác động mơi trường ngồi, tiến triển theo thời gian hệ liên quan tới bốn trạng thái a b c , a b c , a b c a b c Hệ lượng tử nghiên cứu áp dụng kéo lượng tử phi tuyến hồn hảo 36 Hình 3.1 Tiến triển theo thời gian biên độ xác suất ảnh hưởng trình mát theo biên độ với   0,5.103 ,   ,     103 ,   0,1 trạng thái ban đầu trạng thái chân không 37 a  1, b c Hình 3.2 Tiến triển theo thời gian biên độ xác suất ảnh hưởng trình mát theo biên độ với   0,5.103 ,   ,     103 ,   0,5 trạng thái ban đầu trạng thái chân không a  1, b c 3.3 Phân bổ rối lượng tử Để tính tốn độ đan rối tạo chúng tơi sử dụng tiêu chuẩn tính concurrence song phương:   C  ˆ ab   max 0, max l   l  l l   (3.6) Với l bậc hai trị riêng ma trận ˆ ab  ˆ y  ˆ y  ˆ ab* ˆ y  ˆ y  ; ˆ y ma trận Pauli tương ứng với qubit đơn Concurrence có giá trị từ trạng thái chia tách trạng thái rối cực đại Cũng việc xác định negativity hệ thành phần phương trình (2.14), chúng tơi tính tốn phép đo rối lượng tử tồn phần hệ dao động tử thơng qua tính concurrence hệ Cabc   Ca bcCbacCc ab  1/3 Trong Ci  jk (3.7) (i, j, k=a, b, c) I-concurrence khác concurrence với tính hệ hai thành phần tinh khiết từ công thức (3.6) chỗ ta coi jk hệ tương đương với i Hình 3.3-3.4 mơ tả tiến triển concurrence có ảnh hưởng q trình mát với tham số     1,     103 trạng thái ban đầu trạng thái chân không a b c Dưới ảnh hưởng hệ số mát, ta quan sát tượng đột ngột “chết” (sudden death) - rối lượng tử dường phân rã nhanh, chúng biến khoảng thời gian đột ngột “tái sinh” (sudden rebirth) sau khoảng thời gian, rối lượng tử lại xuất trở lại cặp dao động tử Tùy theo giá trị hệ số mát, theo thời gian, tượng đột ngột “chết” đột ngột “tái sinh” rối lượng tử xuất hiện, 38 giá trị rối lượng tử giảm dần Điều thú vị phần rối lượng tử song phương cặp dao động tử biên a-c tiếp tục giảm chậm miền thời gian hệ số mát lớn (đường hét chấm hình 3.3, 3.4) Hình 3.3 Tiến triển theo thời gian concurrence toàn phần concurrence suy giảm   0,5.103   ,   ,     103 ,   0,1 39 Hình 3.4 Tiến triển theo thời gian concurrence suy giảm concurrence toàn phần với   0,5.103 ,   ,   ,     103 ,   0,5 Đặc tính thú vị hệ lượng tử có thêm thành phần cross-kerr mà ta nghiên cứu dù có ảnh hưởng mát, rối lượng tử ba bên bền vững, bị suy giảm chậm không thời điểm trường hợp hệ khơng có mát Đặc biệt ngồi trạng thái kiểu W xuất hiện, xuất kiểu trạng thái loại 2-1 (t~ 3300s - 4500s hình 3.6; t~ 2200s; 3000s hình 3.3) loại 2-0 với kiểu trạng thái GHZ (t~2000(s) hình 3.2) Các lớp trạng thái đan rối ba bên xuất phụ thuộc mạnh mẽ vào giá trị tham số mô tả hệ 40 Hình 3.5 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 ,   0,1 Hình 3.5, 3.6 mô tả xuất trạng thái W1 W2 ảnh hưởng hệ số mát   0,1   0,5 , trạng thái kiểu W xuất hiện, với biên độ xác suất nhỏ 50% giảm dần theo thời gian, suy giảm lý giải từ việc suy giảm nhanh trạng thái a b c (đường nét liền hình 3.1 3.2) Việc tính tốn mở hướng nhằm mục đích tạo trạng thái kiểu Werner W  P a b 0 a b c  1  P  W W hướng nghiên cứu 41 Hình 3.6 Tiến triển theo thời gian trạng thái kiểu W   0,5.103   ,   ,     103 ,   0,5 Từ kết ta tin tưởng mơ hình lượng tử ba thành phần dao động tử phi tuyến kiểu Kerr, tương tác với kiểu tương tác tuyến tính, kích thích xung liên tục hai biên, thêm vào thành phần liên kết tương hỗ, tác động mơi trường bên ngồi ta xem kéo lượng tử phi tuyến hoàn hảo nguồn để tạo kiểu trạng thái đan rối vơ phong phú có ứng dụng to lớn lý thuyết thông tin lượng tử 42 KẾT LUẬN Đề tài đề xuất mơ hình ghép lượng tử phi tuyến kiểu Kerr bao gồm ba dao động tử phi tuyến kiểu Kerr tương tác với kiểu tương tác tuyến tính, mơ hình đề xuất thêm vào ảnh hưởng thành phần phi tuyến tương hỗ (coss-kerr) Hệ lượng tử thêm vào thành phần cross-kerr xem kéo lượng tử phi tuyến hoàn hảo, tiến triển theo thời gian hàm sóng giới hạn tập hữu hạn đóng kín gồm trạng thái hệ xem xét hệ 3-qubit hoàn hảo Trường hợp hệ không chịu ảnh hưởng hệ số mát, hệ nguồn để tạo trạng thái đan rối 2-qubit 3-qubit Đối với trường hợp đan rối 2-qubit, ta quan sát khơng đan rối cặp dao động tử có tương tác trực tiếp (a-b b-c) mà ta cịn quan sát đan rối cặp dao động tử không tương tác trực tiếp với (a-c) Rối lượng tử ba bên hình thành tồn kiểu trạng thái W Khi có ảnh hưởng mát, rối lượng tử ba bên bền vững, bị suy giảm chậm, ngồi trạng thái kiểu W xuất hiện, cịn xuất kiểu trạng thái loại 2-1, loại 2-0 lớp trạng thái đan rối ba bên xuất phụ thuộc mạnh mẽ vào giá trị tham số mơ tả hệ 43 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ Đà CÔNG BỐ [1] Nguyen Thi Dung, Phan Thi Dan, Nguyen Van Nghia, “Generation of W-type states in three Kerr-like nonlinear oscillators system”, Hong Duc University Journal of Science E7, Vol 12 (2022), p.5-7 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Hường (2021), Nghiên cứu hình thành rối lượng tử mơ hình kéo lượng tử gồm ba dao động tử phi tuyến kiểu Kerr, Luận văn thạc sĩ vật lí lí thuyết Vật lí tốn Tiếng Anh [2] A Einstein, B Podolsky and N Rosen (1935), “Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete”, Physics Review, 47, pp 777 – 780 [3] A Nguyen Tuan, O Luong Thi Tu, L Chu Van, D Nguyen Thi, D Hoang Minh, K Doan Quoc (2022), “Broadband laser-driven creation of entangled state for a nonlinear coupling coupler pumped in one mode”, Opt Quant Electron,54, 42 [4] A Peres (1996), “Separability Criterion for Density Matrices”, Phys Rev Lett, 77: 1413-1415 [5] C Gerry and P Knight (2004), Introductory quantum optics, Cambridge university press [6] C S Yu, H S Sog H S (2008), “A classification of entanglement in threequbit systems”, Phys Lett, A 330 377 [7] D F Walls and G J Milburn (1984), Quantum Optics, Springer Science & Business Media [8] D M Greenberger, A H Michael; Z Anton (2007), Going beyond Bell's Theorem [9] E Schrödinger (1935), “Die gegenwartige Situation in der Quanten mechanik”, Naturwissenschaften, 23(49), pp 807 – 812 [10] G Vidal and R F Werner (2002), “A computable measure of entanglement”, Phys Rev, A 65:032314 [11] J J Sakurai (1994), Modern quantum mechanics, revised ed, AddisonWesley, Reading, Mass 45 [12] J K Kalaga, A Kowalewska-Kudlaszyk, W Leonski, and A Barasinski (2016), “Quantum correlations and entanglement in a model comprised of a short chain of nonlinear oscillators”, Phys Rev, A 94, 032304 [13] J K Kalaga, A Kowalewska-Kudłaszyk, M Nowotarski, W Leoński (2021), Violation of Leggett–Garg Inequalities in a Kerr-Type Chaotic System, Photonics, 8(1), 20 [14] J Perina (1984), Quantum statistics of linear and nonlinear optical phenomena, Springer Netherlands [15] J K Kalaga, M W Jarosik, R Szczęśniak, A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński (2018), “Kerr-type nonlinear quantum oscillator: quantum correlations, chaotic, and regular dynamics”, Proc SPIE 10976, 21st Czech-Polish-Slovak Optical Conference on Wave and Quantum Aspects of Contemporary Optics, 1097611 [16] K Wootters (2000), “Entanglement of fomation and concurrente, Quantum information and computation J Phys”, B: At Mol Opt Phys, 1(1), 27-44 [17] L M Duan, G Giedke, J I Cirac andp Zoller (2000),” Inseparability Criterion for Continuous Variable Systems”, Phys Rev Lett, 84, pp 2722–2725 [18] L Henderson (2003), “The von Neumann Entropy”, Brit J.Phil Sci, 54(13), pp 291-296 [19] L.T.T Oanh, DQ Khoa, C Van Lanh, H.M Dong, N.T Dung, N.T Thao, N.X Cuong (2020), Generation of entangled states by a linear coupling coupler pumped in two modes induced by broadband laser, Optik 208, 164028 [20] M Daniel Greenberger, A Horne Michael, Anton Zeilinger (1989), Bell's theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, pp 73-76, Kluwer Academics, Dordrecht, The Netherlands [21] M K Olsen (2015), ‘‘Spreading of entanglement and steering along small bose hubbard chains”, Phys Rev, A.92:033627, Asymmetric steering in 46 coherent transport of atomic population with a three-well bose hubbard model J Opt Soc Am, B32:A15–A19 [22] M Hillery and M S Zubairy (2006), „Entanglement Conditions for TwoMode States”, Phys Rev Lett, 96:050503 [23] M Nielsen, I Chuang (2010), Quantum Computation and Quantum Information, pp 13-16, 73-75, 98-100, 105-108, Cambridge University Press [24] P Preiss, R Ma, M Tai, A Lukin, M Rispoli, P Zupancic, Y Lahni, R Islam, M Greiner (2015), Science, 347, 1229 [25] Parker, E Leonard; Toms, J David (2009), Quantum Field Theory in Curved Spacetime, Cambridge University Press [26] R.J Glauber (1963), Coherent and Incoherent States of Radiation Field, Phys Rev 131:2766-2788 1963 [27] Sabín, C., et al (2008), A classification of entanglement in three-qubit systems, Eur Phys, J D 48, 435–442 [28] V Peřinová, A Lukš, and J Křapelka (2013), Dynamics of nonclassical properties of two- and four-mode Bose- Einstein condensates, J Phys B:At Mol Opt Phys., 46:195301 [29] W Dür; G Vidal & J I Cirac (2000), "Three qubits can be entangled in two inequivalent ways", Phys Rev, A 62 (6): 062314 [30] W Gardiner, P Zoller (2000), Quantum Noise, Springer-Verlag 3rd ed [31] W Leoński and A Kowalewska – Kudłaszyk A (2010), Quantum scissors – Finite-dimensional states engineering, aXiv: 1312(118), pp 2-9 [32] W Leoński, A Miranowicz (2004), “Kerr nonlinear coupler and entanglement”, J.Opt B: Quantum Semiclass Opt, 6, pp 37-42 47