Module chéo và bài toán mở rộng nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ THỊ THU HÀ MODULE CHÉO VÀ BÀI TỐN MỞ RỘNG NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— HÀ THỊ THU HÀ MODULE CHÉO VÀ BÀI TỐN MỞ RỘNG NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Đại số - Lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN TIẾN QUANG THANH HÓA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2020 (ký ghi rõ họ tên) Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hà Thị Thu Hà i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Tiến Quang, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình làm luận văn, Thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K11 cao học Đại số lý thuyết số, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Đại số - Hình học khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân ln động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng 10 năm 2020 Tác giả Hà Thị Thu Hà ii Mục lục Mở đầu Chương Bài tốn mở rộng nhóm 1.1 B - Phép giải 1.2 Mở rộng nhóm abel 1.3 Mở rộng nhóm trường hợp tổng quát Chương Module chéo 13 2.1 Module chéo 13 2.2 Tích nửa trực tiếp 19 Chương Mở rộng nhóm kiểu module chéo 21 3.1 Mở rộng nhóm kiểu module chéo 21 3.2 Trường hợp abel 23 3.2.1 Ánh xạ chéo 23 3.2.2 Đồng cấu chéo 25 3.2.3 Hệ nhân tử 26 3.2.4 Đồng cấu đường chéo 33 3.3 Phân lớp mở rộng 35 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm module chéo sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm lý thuyết đồng luân, đồng điều đối đồng điều nhóm, Klý thuyết đại số, đồng điều cyclic, hình học vi phân, Hiện nay, module chéo xem cấu trúc đại số Việc tìm hiểu tiếp tục nghiên cứu sâu module chéo vấn đề liên quan đến module chéo có ý nghĩa mang tính thiết thực Bài tốn mở rộng nhóm tốn đại số tìm thấy nhiều tài liệu Một cách tiếp cận tốn mở rộng nhóm cho trường hợp abel đưa khái niệm hạt nhân trừu tượng cản trở hạt nhân trừu tượng Tư tưởng nhiều nhà toán học sử dụng để giải tốn mở rộng nhóm Dedeker tìm cách tổng qt tốn mở rộng nhóm với liệu tổng qt hơn, mở rộng với liệu module chéo α : A → Q Và hệ thống lý thuyết module chéo, phức chéo đối đồng điều chéo hình thành mà từ ta áp dụng trường hợp riêng để giải tốn mở rộng nhóm Rất nhiều kết quan trọng tìm trình giải tốn Cùng với việc tổng qt hóa tốn mở rộng nhóm, luận văn cịn bổ sung thêm kết toán phân lớp mở rộng Việc chứng minh tồn tốn mở rộng nhóm tổng qt tương đương với tồn nhóm phủ đơn liên nhóm tơ pơ Do đó, làm rõ vấn đề, hiểu khái niệm, nắm tính chất module chéo ứng dụng tốn mở rộng việc làm ý nghĩa Vì vậy, chúng tơi lựa chọn đề tài “Module chéo tốn mở rộng nhóm” Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài giới thiệu sơ lược tốn mở rộng nhóm (Chương I), khái niệm, tính chất module chéo (Chương II) ứng dụng tốn mở rộng nhóm (Chương III) Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu, trình bày lại theo hiểu biết riêng Nghiên cứu, phân tích tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài; bổ sung chứng minh cần thiết Dự kiến kết đạt • Trình bày tổng quan tốn mở rộng nhóm • Trình bày khái niệm tính chất module chéo • Trình bày ứng dụng module chéo tốn mở rộng nhóm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học người bắt đầu tiếp cận tốn mở rộng nhóm ứng dụng module chéo vào giải toán mở rộng nhóm Cấu trúc luận văn Ngồi lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương 1: Giới thiệu tốn mở rộng nhóm Chương 2: Giới thiệu sơ lược khái niệm, tính chất module chéo, tích nửa trực tiếp Chương 3: Giới thiệu tốn mở rộng nhóm kiểu module chéo Chương Bài tốn mở rộng nhóm Trong chương này, chúng tơi trình bày tốn mở rộng nhóm trường hợp abel trường hợp tổng quát Nội dung chương chủ yếu trình bày bày dựa theo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 B - Phép giải Khái niệm: Π - module trình bày khái niệm sở lý thuyết đối đồng điều nhóm Trước hết ta nhắc lại rằng: Nhóm F gọi nhóm abel tự vớ sở U ⊂ F ánh xạ f : U −→ A, với A nhóm abel, mở rộng thành đồng cấu nhất, nghĩa biểu đồ sau giao hoán: U g F f ϕ A Một cách tương đương, nhóm abel F tự với sở U phần tử F viết cách dạng: a = k1 u1 + + km um , ui ∈ U, ki ∈ Z Bây ta trình bày khái niệm vành nhóm nhóm Π khái niệm Π - module Giả sử Π nhóm nhân Nhóm abel tự Z(Π) sinh phần tử x ∈ Π bao gồm tất tổng hữu hạn ∑ m(x)x, với m(x) ∈ Z Phép nhân x Π cảm sinh phép nhân Z(Π) (∑ m(x)x).(∑ m0 (y)y) = ∑ m(x)xm0 (y)xy x (1.1.1) x,y y Với phép nhân nhóm abel tự Z(Π) vành, gọi vành nhóm Π Một module vành nhóm Z(Π) gọi ngắn gọn Π− module Mệnh đề 1.1.1 Nhóm abel A có cấu trúc Π− module cho hai điều sau: i) Một hàm: Π × A −→ A (1.1.2) (x, a) 7−→ xa cho x(a1 + a2 ) = xa1 + xa2 ; x, x1 , x2 ∈ Π x1 (x2 a) = (x1 x2 )a, 1a = a; a, a1 , a2 ∈ Π (1.1.3) ii) đồng cấu nhóm ϕ : Π −→ AutA (1.1.4) AutA nhóm tất tự đẳng cấu nhóm A Đặc biệt, nhóm abel A xem Π− module tầm thường ϕ(x) = với x ∈ Π, nghĩa xa = a với a ∈ A Để định nghĩa đối đồng điều nhóm Π ta xây dựng phức hợp dây chuyền B(Z(Π)) Π - module tự do, gọi B - phép giải ε → Bn → Bn−1 → → B2 → B1 → B0 −→ Z Ta lấy Bn Π module tự sinh kí hiệu [x1 | |xn ]của n phần tử x1 , x2 , , xn khác nhóm Π Nếu tác động x ∈ Π lên phần tử sinh phần tử x[x1 | |xn ] Bn nhóm abel tự sinh phần tử dạng x[x1 | |xn ] A = 1A (do ta đồng xem A nhóm hai nhóm E E ) Do ta có q : G −→ A với q(1) = cách chọn đại diện E q0 = σ q cách chọn đại diện E Ta có q0 (x)q0 (y) = q0 (xy) f (x, y) = σ q(x)σ q(y) = σ (q(x)q(y)) = σ (q(xy) f (x, y)) = q0 (x, y) f (x, y) → f (x, y) = f (x, y) → f0 ≡ f Nếu E , E cảm sinh hệ nhân tử, gọi q : G −→ A với q(1) = q0 : G −→ A với q0 (1) = tương ứng cách chọn đại diện E E ta xác định ánh xạ Ω : E −→ E q(x)a 7−→ q0 (x)a Hiển nhiên song ánh phép kiểm tra trực tiếp cho thấy Ω đồng cấu Vậy, E E nằm lớp mở rộng Q , Imα A nhóm abel Khi đó, hàm ω cho tương ứng mở rộng A Định lý 3.2.7 Cho module chéo α : A −→ Q đồng cấu θ : G −→ G theo ϕ với lớp tương đương hệ nhân tử tương ứng 1-1 Ext α A−−→Q (G, A, θ ) ←→ Hθ2 (G, A) Dưới tác động phép tương ứng này, tích nửa trực tiếp Gθ n M tương ứng với phần tử Hθ2 (G, A) Chứng minh Ta có, ω xác định đơn ánh Hiển nhiên tích nửa trực tiếp Gθ ×A có hàm tầm thường f (x, y) = hệ nhân tử Ngược lại, ta xác định nhóm E bao gồm cặp (g, a) với tích xác định (3.2.4) (g, x)(g1 , y) = (gg1 , f (g, g1 )[x · g1 ]y) Tính chất tác động điều kiện (3.2.5) cho thấy tích có tính kết hợp Phần tử nghịch đảo (g, a) (g−1 , [[ f (g, g−1 )]x · g− 1]−1 ), nhóm 28 cảm sinh mở rộng với cách chọn đại diện q(x) = (1, x) hệ nhân tử f Do ω tồn ánh song ánh Tiếp theo ta xây dựng phức X : X0 ←− X1 ←− X2 ←− X3 Z(G) module cho nhóm đối đồng điều Hθ1 (G, A), Hθ2 (G, A) Ta chọn X3 Z(G) - module tự sinh ba [x, y, z] cho thành phần khác với [x, y, z] = tồn ba thành phần X2 Z(G) - module tự sinh cặp [x, y] cho phần tử khác vơi [1, y] = = [x, 1] Cuối ta chọn X1 Z(G) - module tự sinh [x] với x 6= 1, [1] = X0 Z(G) Ta xác định ∂i : Xi −→ Xi−1 , i = 1, 2, cho ∂3 [x, y, z] = [y, z] − [xy, z] + [x, yz] − [x, y]z ∂2 [x, y] = [x] · y − [xy] + [y] ∂1 [x] = − · x Ta dễ dàng kiểm tra lại đồng cấu biến X thành dãy khớp Như vậy, đối xích chiều 2, f ∈ HomZ(G)(X,A) Z(G) - đồng cấu f : X2 −→ A mà giá trị xác định giá trị f [x, y] tập phần tử sinh X2 Do đối xích chiều tương đương với hàm f : G × G −→ A cho f (1, y) = = f (x, 1) Như điều kiện để f đối chu trình điều kiện (3.2.5) Tương tự, đối xích chiều có ảnh đối xích chiều mà ánh xạ cảm sinh tương ứng thỏa mãn điều kiện (3.2.6) Như vậy, Hθ2 (G, A) = H (HomZ(G) (X, A)) Tương tự ta có Hθ1 (G, A) = H (HomZ(G) (X, A)) Vậy, ta chứng minh định lý sau: Định lý 3.2.8 Tồn phức X0 ←− X1 ←− X2 ←− X3 nhận Hθ1 (G, A), Hθ2 (G, A) làm nhóm đối đồng điều Từ định lý (3.2.7) ta nhận thấy trang bị cho Ext α A−−→Q (G, A, θ ) cấu trúc nhóm Cho α1 : G1 −→ H1 , α2 : G2 −→ H2 đồng cấu nhóm Khi đó, ta định nghĩa α1 × α2 : G1 × G2 −→ H1 × H2 (g1 , g2 ) 7−→ (α1 (g1 ), α2 (g2 )) Dễ thấy, (α1 , α2 ) đồng cấu nhóm 29 Bổ đề 3.2.9 Nếu E mở rộng A G theo module chéo A −−→ Q, γ : G0 −→ G đồng cấu nhóm, tồn mở rộng nhóm E A G0 đồng cấu Γ = (1A , β , γ) : E −→ E Cặp (Γ, E ) sai α khác lớp tương đương E Nếu A abel có cấu trúc G - module Q A trang bị cấu trúc G0 - module cảm sinh θ : G −→ Imα cảm sinh đồng cấu θ = θ γ Ta định nghĩa E γ = E Khi hệ nhân tử mở rộng E γ f = (γ×) f Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh tồn Ta xây dựng E , i0 , p0 , β làm cho biểu đồ sau giao hoán i E : −−−→ A −−−→ p E −−−→  β y G −−−→  γ y p i E : −−−→ A −−−→ E −−−→ G −−−→ Ký hiệu E bao gồm tất cặp (g0 , h) thỏa mãn p(h) = γ(g0 ), g0 ∈ G0 , h ∈ E Trang bị cho E phép nhân (g0 , h)(g01 , h1 ) = (gg1 , hh1 ) E trở thành nhóm Xác định i0 : A −→ E , a 7−→ (1, ia) p0 : E −→ G0 , (g0 , h) 7−→ g0 β : E −→ E, (g0 , h) 7−→ h Rõ ràng i0 , p0 , β đồng cấu, ta dễ dàng kiểm tra E mở rộng A G0 Bây giờ, ta chứng minh tính nhất.Giả sử E 00 : A  E 00  G0 mở rộng thứ hai A G0 với đồng cấu Γ0 = (1A , β 00 , γ) : E 00 −→ E Xác định β : E 00 −→ E , b00 7−→ (p00 (b00 ), β 00 (b00 )) Hiển nhiên, β đồng cấu Nó đơn cấu Kerβ = Kerp00 ∩ Kerβ 00 = Imi00 ∩ Kerβ 00 = {1}(doβ 00 i00 = i) γ p00 = pβ 00 nên β toàn ánh Từ đó, β đẳng cấu Vậy, tính khẳng định Rõ ràng, với tác động a · g0 = a · γ(g0 ) = a · θ γ(g0 ) A trang bị cấu trúc G0 − module 30 Nếu q : G −→ E cách chọn đại diện E q0 : G0 −→ E x 7−→ (x, qγ(x)) xác định cách chọn đại diện Eγ p0 q0 (x) = x Ta có q0 (x)q0 (y) = (x, qγ(x))(y, qγ(y)) = (xy, q(γ(xy)) f (γ(x), γ(y))) = q0 (xy)(1, f (γ(x), γ(y))) = q0 (xy) f (γ(x), γ(y)) Vậy, f = (γ × γ) f hệ nhân tử Eγ Bổ đề 3.2.10 Với giả thiết Bổ đề (3.2.9), đồng cấu Γ1 = (α1 , β1 , γ) : E1 −→ E mở rộng phân tích dạng (α1 ,β ,1) (1,β ,γ) E1 −−−−−→ E γ −−−−→ E Chứng minh Ta có i p i p i p 1 E1 : −−−→ A1 −−− → E1 −−− →     α1 y β1 y G1 −−−→   γy E : −−−→ A −−−→ E −−−→ G0 −−−→ E : −−−→ A −−−→ E −−−→ G0 −−−→ Như vậy, muốn chứng minh bổ đề ta cần xây dựng β : E1 −→ E cho β β = β1 Ta xác định β : E1 −→ E h1 7−→ (p1 (h1 ), β1 (h1 )) Rõ ràng, β đồng cấu cách xác định β cho β β = β1 Bổ đề chứng minh Q đồng cấu Imα α α0 δ = (δ1 , δ2 ) : (A −→ Q) −→ (A0 −→ Q0 ) module chéo Khi đó, tồn Bổ đề 3.2.11 Cho E ∈ ExtA−→Q (G, A, θ ), θ : Q −→ 31 Q0 đồng cấu Imα Ω = (δ , β , 1G ) : E −→ E Cặp (Ω, E ) sai khác lớp tương mở rộng E ∈ ExtA0 →Q0 (G, A0 , θ ), θ : Q0 −→ đương E Ta định nghĩa E = δ E Và f hệ nhân tử E f = β f hệ nhân tử δ E Chứng minh Ta cần xây dựng i0 , p0 , β làm cho biểu đồ sau giao hoán i p E : −−−→ A −−−→ E −−−→     βy δ1 y α G −−−→ A −→ Q E : −−−→ A0 −−−→ E −−−→ G −−−→ A0 −→ Q0 i0 p0 (*) α0 Xét N = {(i(a), δ1 (a))|a ∈ A} Do A, A0 abel, nên N nhóm chuẩn tắc E × A0 Ta xác định nhóm E × A0 Do đó, ta đặt E = N i0 : A0 −→ E , p0 : E −→ G, a0 7−→ (1, a0 ) (h, a0 ) 7−→ p(h) β : E −→ E , h 7−→ (h, 1) Ta dễ dàng kiểm tra i0 , p0 , β đồng cấu làm cho biểu đồ giao hốn Để kiểm tra tính khớp dòng thứ hai trước tiên ta chứng minh p0 i0 đồng cấu tầm thường Điều suy trực tiếp từ cách xác định i0 p0 Lại có Kerp0 = (Kerp × A0 )N = (Imi × A0 )N = Imi0 Hơn nữa, đồng a0 ∈ A0 với i0 (a0 ) ∈ E ta dễ dàng kiểm tra (1A0 , ρ) : (A0 −→ E ) −→ (A0 −→ Q0 ) đồng cấu module chéo, ρ : (1, a0 ) = α (a0 ) Vậy, E mở rộng A0 theo G α0 module chéo A0 −→ Q0 Để làm sáng tỏ tính cặp Ω, E ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.2.12 Cho E1 ∈ ExtA0 −→Q0 (G1 , A0 , θ1 ) Với giả thiết Bổ đề (3.2.11), đồng cấu (δ , β1 , γ1 ) : E −→ E1 θ1 = θ γ1 phân tích dạng (1,β ,γ1 ) (δ ,β ,1) E −−−−→ δ E −−−−→ E1 32 Chứng minh Để chứng minh bổ đề, ta cần chứng minh tồn đồng cấu β : E −→ E1 cho β β = β1 Ta xác định β0 : E −→ E1 (h, a0 ) 7−→ i1 (a0 )β1 (h) Dễ thấy, β đồng cấu, đồng cấu thỏa mãn β β = β1 Bổ đề chứng minh Bây giờ, giả sử E ” mở rộng thứ hai A0 G theo module chéo α0 A0 −→ Q0 với đồng cấu Ω0 = (δ , β , 1) : E −→ E1 theo Bổ đề 1.14, ta có (δ ,β ,1) (1,β ,1) (δ ,β1 ,1) (1,β 00 ,1) E −−−−→ δ E −−−−→ E1 E −−−−→ E1 −−−−→ δ E Như vậy, ta có β β = β1 , β ”β1 = β , suy β ”(β β ) = β hay β ”β = 1E1 Tương tự, ta có β β ” = 1E Như vậy, β 00 : E1 ∼ = δ E Nếu q : G −→ E cách chọn đại diện E q0 = β q : G −→ E cách chọn đại diện E Ta có q0 (x)q0 (y) = β (q(x)q(y)) = q0 (xy) = β ( f (x, y)) Vậy, f = β f hệ nhân tử δ E Bổ đề chứng minh hoàn toàn Từ Bổ đề (3.2.10), (3.2.12) ta có hệ sau Hệ 3.2.13 Với γ, δ Bổ đề (3.2.10), (3.2.12) ta có tương đương mở rộng δ (E γ) ≡ (δ E )γ Do vậy, ta định nghĩa δ E γ = δ (E γ) = (δ E )γ 3.2.4 Đồng cấu đường chéo Để trang bị cho ExtA−→Q (G, A, θ ) cấu trúc nhóm tương thích với Hθ2 (G, A), ta xác định phép nhân ExtA−→Q (G, A, θ ) tương thích với phép nhân Hθ2 (G, A) Trước hết, ta có khái niệm sau: 33 Đồng cấu đường chéo nhóm G ∆ = ∆G : G −→ G × G g 7−→ (g, g) Đồng cấu đối đường chéo nhóm abel A O = OA : A × A −→ A (a1 , a2 ) 7−→ a1 a2 Cho hai mở rộng i p i0 p0 E : −→ A −→ E −→ G −→ E : −→ A0 −→ E −→ G0 −→ Tích trực tiếp hai mở rộng mở rộng i×i0 p×p0 E × E : −→ A × A0 −→ E × E −→ G × G0 −→ Ta xác định tích hai mở rộng E , E ∈ ExtA−→Q (G, A, θ ) mở rộng E E = OA (E × E )∆G Vì B ∼ = B×A nên phép nhân giao hốn Cấu trúc nhóm ExtA−→Q (G, A, θ ) với phép nhân mô tả định lý sau Định lý 3.2.14 Tập ExtA→Q (G, A, θ ) với phép nhân xác định (i) nhóm abel Chứng minh Nếu f , f hệ nhân tử mở rộng ε, ε Khi f × f tập nhân tử mở rộng ε × ε Theo Bổ đề (3.2.9) (3.2.11), tập nhân tử mở rộng ε × ε 5A (4G × 4g )( f , f ) = f f Như vậy, phép nhân ExtA→Q (G, A, θ ) tương thích với phép nhân Hθ2 (G, A) thông qua phép nhân tương ứng ω Định lý (3.2.7) Do ω cảm sinh cấu trúc nhóm ExtA→Q (G, A, θ ) 34 3.3 Phân lớp mở rộng Định nghĩa 3.3.1 Cho µ : M −→ P, α : A −→ Q module chéo k = µ α (k2 , k1 ), l = (l , l ) đồng cấu từ (M −−→ P) −→ (A −−→ Q) Một đồng luân h : k ' l hàm h : P −→ A thỏa mãn với ∀p1 , p ∈ P; m ∈ M • i) h(p1 p) = (hp1 )l p (hp), • ii) (k1 p) = (l p)(αhp), • iii) (k2 m) = (l m)(hµm) Mệnh đề 3.3.2 Các đồng luân định nghĩa xác định quan hệ tương đương tập đồng cấu(M −→ P) −→ (A −→ Q) module chéo Chứng minh Ta cần kiểm tra quan hệ thỏa mãn tính phản xạ, tính bắc cầu tính đối xứng Tính phản xạ) Xét hàm h : P −→ A, p 7−→ Khi hiển nhiên điều kiện i) → iii) thỏa mãn, nghĩa h đồng luân hay nói cách khác h : k ' k Tính bắc cầu) Giả sử ta có h1 : k ' l h2 : l ' r Xét hàm g : P −→ A p 7−→ g(p) = h2 (p)h1 (p) 35 Khi ta có (p1 p) = h2 (p1 p)h1 (p1 p) 1 = (h2 p1 )r p (h2 p)(h1 p1 )l p (h1 p) = (h2 p1 )r (h2 p)(h1 p1 )r p(αh p) (h1 p) = (h2 p1 )r1 p (h2 p)(h2 p)−1 (h1 p1 )r p (h2 p)(h1 p) = [(h2 p1 )(h1 p1 )]r p [(h2 p1 )(h1 p1 )] = g(p1 )r p g(p) k1 p = (l p)(αh1 p) = (r1 p)(αh2 p)(αh1 p) = (r1 )(αgp) k2 m = (l m)(h1 µm) = (r2 m)(h2 µm)(h1 µm) = (r2 m)gµm Như vậy, g : k ' r Tính đối xứng) Giả sử ta có h : k ' l Xét hàm g : P −→ A, p 7−→ g(p) = h−1 p Khi hiển nhiên điều kiện i) → iii) thỏa mãn Như vậy, g:l'k Định lý 3.3.3 Cho µ : M −→ P, α : A −→ Q module chéo Ta kí hiệu [M −→ P, A −→ Q]0 tập tất lớp tương đương đồng luân đồng cấu k = (k2 , k1 ) : (M −→ P) −→ (A −→ Q) module chéo, cho k2 (Kerµ) = Khi đó, tồn phép nhúng tự nhiên E : [M −→ P, A −→ Q]0 −→ ExtA−→Q (G, A) biến lớp đồng cấu k thành mở rộng −→ A −→ E(k) −→ G −→ đó, E(k) thương nhóm tích nửa trực tiếp P ltimesA, đó, P tác động lên A thơng qua Q, theo phần tử (µm, (k2 m)−1 ), m ∈ M Hàm E tồn ánh P nhóm tự 36 Đặc điểm chứng minh Định lý (3.3.3) từ đồng cấu module chéo µ M −−−→   k2 y P  1 yk A −−−→ Q α cho k2 (Kerµ) = 1, ta xây dựng biểu đồ chéo µ M −−−→   k y P  k y1 i k A −−− → E(k)    ω 1y y k A −−−→ Q α ik phép nhúng chéo chuẩn tắc Ta xây dựng phép chứng minh trường hợp tổng quát cách bỏ điều kiện k2 (Kerµ) = Khi ik trở thành module chéo với hạt nhân k2 (Kerµ) Sự tổng qt khơng cần thiết cho tốn mở rộng, song tiết lộ rõ ràng tính chất phép xây dựng, có ích chứng minh khác Mệnh đề 3.3.4 Cho k = (k2 , k1 ) đồng cấu module chéo µ M −−−→   k y P  1 yk A −−−→ Q α cho K = k2 (Kerµ) Cho G = Cokerµ, cho φ : P −→ G đồng cấu thương Khi tồn biểu đồ giao hốn µ −−−→ Kerµ −−−→ M −−−→     y k2 y −−−→ K φ P −−−→  1 yk i π G −−−→   y k k −−−→ A −−− → E(k) −−− → G −−−→    ω 1y y k A −−−→ α cho 37 Q • (i’) Các dịng khớp, • (ii’) E(k) tác động lên A ik module chéo, • (iii’) (k2 , k1 ), (1, ωk ) đồng cấu module chéo ωk k1 = k1 , • (iv’) Cho biểu đồ giao hốn khác i : A −→ E module chéo (k2 , f ), (1, ω) đồng cấu module chéo µ P −−−→  f y i E −−−→ G −−−→  ω y M −−−→   k y A −−−→   1y φ G −−−→   y1 π A −−−→ Q α với dòng thứ hai khớp, cho ω f = k1 , tồn đẳng cấu fk : E(k) −→ E cho fk k1 = fk ik = i Hơn fk toàn cấu, (Keri) ω fk = ωk Ker fk ∼ = K Chứng minh Trước tiên ta xây dựng E(k) Nhóm P tác động lên A thông qua k1 : P −→ Q dựa vào tác động Q lên A Từ ta lập nhóm tích nửa trực tiếp C(k) = P n A, đặt ξ : M −→ C(k) hàm số theo quy tắc m 7−→ (µm, (k2 m)−1 ) C(k) tác động lên M cho m( p, a) = m p Khi ξ module chéo Đặt E(k) = Cokerξ , ta ký hiệu [[p, a]] thay cho ảnh (p, a) ∈ C(k) E(k) Nếu m ∈ M, E(k); [[µm, 1]] = [[1, k2 m]] Tiếp theo, ta xác định ik , πk sau ik : A −→ E(k) πk : E(k) −→ G a 7−→ [[1, a]] [[p, a]] 7−→ φ p Hiển nhiên ta thấy ik xác định đồng cấu, ta cần chứng tỏ πk đồng cấu Muốn ta cần quy tắc πk xác định ánh xạ, việc kiểm tra đồng cấu mang tính chất thủ tục Ta có: [[p, a]] = [[p1 , a1 ]] 38 ↔ ∃m, (p, a)(p1 , a1 )−1 = (µm, (k2 m)−1 ) → pp−1 = µm → φ (pp1 )−1 = → φ p = φ p1 Như πk ánh xạ, ta dễ dàng kiểm tra đồng cấu Và theo định nghĩa, ta có πk toàn cấu φ toàn cấu Hiển nhiên ta có πk ik đồng cấu tầm thường Giả sử πk [[p, a]] = Khi φ p = =⇒ ∃m, p = µm =⇒ [[p, a]] = [[µm, a]] = [[1, (k2 m)a]] (Vì (µm, a)(1, (k2 m)a)−1 = (µm, aa−1 (k2 m)−1 ) = (µm, (k2 m)−1 )) =⇒ [[p, a]] ∈ Imik Như tính khớp dịng thứ hai chứng minh, cịn tính khớp dịng thứ hiển nhiên Cho E(k) tác động lên A quy tắc a[[p,a]] = b−1 a p b Thật vậy, quy tắc xác định tác động E(k) lên A a[[µm,(k m)−1 ]] = (k2 m)aµm (k2 m)−1 = (k2 m)aαk m (k2 m)−1 = a Tác động chứng minh cho (ii’), ik : A −→ E(k) module chéo Ta xây dựng k1 , ωk sau k1 : P −→ E(k) ωk : E(k) −→ Q p 7−→ [[p, 1]] [[p, a]] 7−→ (k1 p)(αa) Hiển nhiên ta có k1 đồng cấu Hơn nữa, ta có k1 µ(m) = [[µm, 1]] = [[1, k2 m]] = ik k2 (m), m ∈ M; k2 (m p ) = (k2 m)k1 p Do (k2 , k1 ) đồng cấu module chéo Để chứng minh cho phần lại ý (iii’), trước hết ta chứng minh ωk đồng cấu [[p, a]] = [[p1 , a1 ]] 39 ↔ ∃m, (p, a)(p1 , a1 )−1 = (µm, (k2 m)−1 ) → (p, a) = (µm, (k2 m)−1 )(p1 , a1 ) → (p, a) = (µmp1 , ((k2 m)−1 )1p a1 ) → (p, a) = (µmp1 , ((k2 m) p1 )−1 a1 ) → (k1 p)(αa) = (k1 (µmp1 ))(α((k2 m) p1 )−1 a1 ) → (k1 p)(αa) = (α(k2 m))(k1 p1 )(k1 p1 )−1 (α(k2 m))−1 (k1 p1 )(αa1 ) → (k1 p)(αa) = (k1 p1 )(αa1 ) Điều chứng tỏ ωk ánh xạ Hơn ωk [[p, a]][[p1 , a1 ]] = k1 (pp1 )α(a p1 a1 ) = (k1 p)(k1 p1 )(αak 1p )(αa1 ) = (k1 p)(k1 p1 )(k1 p1 )−1 (αa)(k1 p1 )(αa1 ) = ωk [[p, a]]ωk [[p1 , a1 ]] aωk [[p,b]] = a(k p)(αb) = b−1 a(k p)b = b−1 a p b = a[[p,b]] nên (1, ωk ) đồng cấu module chéo, theo cách xác định ta có ωk k1 = k1 Để chứng minh ý (iv’) mệnh đề, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.5 Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu module chéo µ P   yf i0 E0   yω M −−−→   k2 y A −−−→   1y A −−−→ Q α cho ω f = k1 Khi tồn đồng cấu nhóm fk0 : E(k) −→ E cho fk0 k1 = f , fk0 ik = i0 (1, fk0 ) : (A −→ E(k)) −→ (A −→ E ) đồng cấu module chéo 40 Chứng minh • Sự nhất: Nếu fk0 đồng cấu thỏa mãn fk0 k1 = f , fk0 ik = i0 , fk0 [[p, a]] = fk0 [[p, 1]][[1, a]] = ( f p)(i0 a) • Sự tồn fk0 : E(k) −→ E [[p, a]] 7−→ ( f p)(i0 a) xác định đồng cấu Thật vậy, trước tiên với p1 , p ∈ P, a1 , a ∈ A ta có i0 a p = i0 ak 1p = i aω f0p = i0 a f p = ( f p)−1 (i0 a)( f p) [[p, a]] = [[p1 , a1 ]] ↔ ∃m, (p, a)(p1 , a1 )−1 = (µm, (k2 m)−1 ) → (p, a) = (µm, (k2 m)−1 )(p1 , a1 ) → (p, a) = (µmp1 , ((k2 m)−1 )1p a1 ) → (p, a) = (µmp1 , ((k2 m) p1 )−1 a1 ) ↔ ( f p)(i0 a) = ( f (µmp1 ))(i0 ((k2 m) p1 )−1 a1 ) ↔ ( f p)(i0 a) = (i0 (k2 m))( f p1 )( f p1 )−1 (i0 (k2 m))−1 ( f p1 )(i0 a1 ) ↔ ( f p)(i0 a) = ( f p1 )(i0 a1 ) fk0 [[p, a]][[p1 , a1 ]] = f (pp1 )i0 (a p1 a1 ) = ( f p)( f p1 )(i0 a f 0p )(i0 a1 ) = ( f p)( f p1 )( f p1 )−1 (i0 a)( f p1 )(i0 a1 ) = fk0 [[p, a]] fk0 [[p1 , a1 ]] nên fk0 đồng cấu thỏa mãn bổ đề Để chứng minh mệnh đề ta áp dụng bổ đề với i0 : A −→ E , f , ω tương ứng thay i : A −→ E, f , ω Khi tồn đồng cấu fk : E(k) −→ E thỏa mãn điều kiện nêu (iv’) 41 Ta chứng minh fk toàn cấu Thật vậy, x ∈ E φ tồn cấu nên ∃y ∈ P cho φ (y) = π(x) Mà φ (y) = π f (y) = π(x) nên π( f (y)−1 x) = Do Kerπ = Imi nên ∃z ∈ A cho i(z) = f (y)−1 x hay f (y)i(z) = x Như vậy, theo cách xác định fk ta có fk [[y, z]] = f (y)i(z) = x Vì vậy, fk tồn cấu Giả sử [[p, a]] ∈ Ker fk Khi ( f p)(ia) = →φp=πfp=1 → ∃m ∈ M, p = µm → [[p, a]] = [[1, (k2 m)a]] = ik (k2 m)a Mặt khác ( f p)(ia) = ( f µm)(ia) = i((k2 m)a) = 1, ik cảm sinh toàn cấu δ = ik |Keri : Keri −→ Ker fk Vì i(k2 (µ))(Kerµ) = f µ(Kerµ) = nên K ⊂ Keri Do vậy, Kerik |Keri = K nên (Keri) ∼ = Ker fk K 42