Luận văn dãy kép và chuỗi kép

•ПǤ QUAПǤ ҺUƔ ận LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П - П‹M 2015 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ D‚Ɣ K̟’Ρ Ѵ€ ເҺUÉI K̟’Ρ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I HÅC TH•I NGHUY–N TRìNG I HC KHOA HC ã QUA U n v n ih uả : ữ Ă T0Ă s Ơ M số: 60.46.01.13 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S.TS TƯ ữ TĂi Пǥuɣ¶п - 2015 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n th cs ĩ D‚Ɣ K̟’Ρ Ѵ€ ເҺUÉI K̟’Ρ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Mử lưເ Lίi ເ¡m ὶп ii Mð ¦u iii ận ເҺuéi k̟²ρ 2.1 Sü Һëi ƚö ເõa ເҺuéi k̟²ρ 2.1.1 Mð ¦u ѵ· ເҺuéi k̟²ρ 2.1.2 ເҺuéi k̟²ρ k̟Һæпǥ ¥m 2.1.3 Sü Һëi ƚö ƚuɣ»ƚ èi 2.2 T½ເҺ ເauເҺɣ 2.2.1 T½ເҺ ເauເҺɣ ເõa ເҺuéi ὶп 2.2.2 T½ເҺ ເauເҺɣ ເõa ເҺuéi k̟²ρ 1 12 12 15 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ D¢ɣ k̟²ρ 1.1 Sü Һëi ƚư ເõa d¢ɣ k̟²ρ 1.1.1 iợi Ô, iợi Ô l ừa d k 1.1.2 D¢ɣ k̟²ρ ເauເҺɣ 1.1.3 Mở số lỵ à sỹ Һëi ƚö 1.2 D¢ɣ k̟²ρ ὶп i»u ѵ d¢ɣ ເ0п 1.2.1 D¢ɣ k̟²ρ ὶп i»u 1.2.2 D¢ɣ ເ0п ເõa d¢ɣ k̟²ρ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i 20 20 20 22 27 33 33 39 Ká luê 48 T i liằu am kÊ0 49 Li Ăm T0 quĂ ẳ ê, iả u iằ luê ô, Ă iÊ Â ê ữủ sỹ iả, kuá kẵ Ô0 iÃu kiằ i ù ừa Ă Đ l Ô0, ừa Ă Ư iĂ0, ổ iĂ0, Ô ỗ iằ ia ẳ ẳ Êm Ơ Đ, Ă iÊ i ỷi li Êm ợi: a iĂm iằu Tữ Ôi K0a - Ôi TĂi uả, K0a T0Ă - Ti, ỏ Ô0 - Tữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi cs uả, Ă Ư ổ iĂ0 ỹ iá iÊ dÔ,  Ô0 iÃu kiằ i ù u Đ Ă kiá i Ă iÊ ê, iả u iằ, Ă n v n ih c lu n ỹ iá ữợ dă k0a  ê Ơm Ê0, i ù, õ ỵ Ă iÊ iằ luê ô TĂ iÊ i Ơ Êm l Ô0 S iĂ0 dử Ô0, Tuả Qua, a iĂm iằu Tữ TT ATK TƠ T ợi ữi Ơ Ô ỗ iằ  ê ẳ i ù, Ô0 iÃu kiằ uê lủi Ă iÊ suố quĂ ẳ ê, iả u luê ô Ơ l lƯ Ưu iả ê l m iả u ả Ê luê ô kổ Ă kọi iáu sõ, Ă iÊ Đ m0 ê ữủ sỹ õ ỵ Ơ ừa Ă Ư ổ Ô ỗ iằ iằ a Ê luê ô Mở lƯ a, Ă iÊ i Ơ Êm ! TĂi uả, Ă ôm 2015 iả Qua u L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th ǥi£ ເôпǥ i ỷi li iá sƠu s- ợi S TS TƯ ữ- ữi Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ii Mé U Ă kiá à d uội số l kiá s Đ que uở, ữủ iÊ dÔ ữ ẳ 0Ă Ă ữ TT Ê ê Ôi Ưu Ă Ã ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi ເ§ρ TҺΡT, 0lɣmρiເ ƚ0¡п Һåເ siпҺ iả Ãu õ i ê à d uội Đ Ã iả u ẵ ối ợi d uội l sỹ ởi ử, ẳm iợi Ô ừa Ă d sỹ ởi ử, ẵ ừa Ă uội (áu õ) Ta ỵ Ă Ư ỷ ừa mở d ( ) a số Ô quĂ ừa mở uội ( ) ữ uở mở số ỹ iả (ữ l Һ m mëƚ ьi¸п sè) ѵ ເҺόпǥ ƚa х²ƚ sü ởi ử, Ơ ký ừa d uội lu n v n ẵ Đ uở ừa Ă Ư ỷ ừa d số Ô quĂ ih ọc ເõa ເҺuéi k̟Һæпǥ ເҺ¿ ѵ mëƚ sè ƚü пҺi¶п m пâ ເâ ƚҺº ѵ Һai Һ0°ເ ận v n iÃu Ă số ỹ iả ị ữ l m uĐ iằ kĂi iằm à d k uội k Kẵ iằu l ê Ă sè ƚü пҺi¶п k̟Һ¡ເ 0, Һ m sè s : ì a mở d k, ữ kẵ iằu l (s(, m)) Ta ụ Ơ dỹ ÷đເ k̟Һ¡i пi»m ເҺi k̟²ρ ƚҺỉпǥ qua ƚêпǥ Һ¼пҺ ƚҺὺເ m,=1 s(, m) Đ Ã ỹ iả a ối ợi d k uội k ụ l sỹ ởi ử, ẵ iợi Ô ừa Ă d sỹ ởi ử, ẵ ừa Ă uội (áu õ) T0 quĂ ẳ iả u à d k s uĐ iằ Đ Ã mợi m d ( ) kổ õ, Ô: sỹ ởi Ãu, iợi Ô l,  õ mở số Ă iÊ ẳ kiá mëƚ sè ƚ i li»u ƚi¸пǥ aпҺ ѵ ເơпǥ ເâ mở số ổ ẳ e0 ữợ iả u ữủ ô Êi ả Ă Ô ẵ 0Ă ợi m0 muố ẳm iu Đ Ã d uội k̟²ρ, ເҺόпǥ ƚỉi ເҺåп · ƚ i D¢ɣ k̟²ρ ѵ uội k Mử ẵ ẵ ừa luê ô lờ ủ mở số ká quÊ iả u à sỹ ởi ƚư ເõa d¢ɣ ѵ ເҺi k̟²ρ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ƚҺe0 sè ƚü пҺi¶п Ti ia Ư Ơ õ iÃu Ă iÊ ¢ mð гëпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iii ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c  ữủ Ă 0Ă iả u i ia Ư Ơ Luê ô iv ỗm õ ữ ữ sau: ữ 1: D k T0 ữ ổi ẳ mở số ởi du à d k: sỹ ởi ử, ẵ iằu, d k au d ừa d k ữ 2: uội k ເҺ÷ὶпǥ п ɣ ເҺόпǥ ƚỉi ƚêпǥ Һđρ mëƚ sè пëi duпǥ пǥҺi¶п ເὺu ѵ· ເҺi k̟²ρ: sü Һëi ƚư, Һëi ƚư ƚuɣ»ƚ èi, ເҺi k̟²ρ k̟Һỉпǥ ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n v n th cs Ơm ẵ ເauເҺɣ ເõa ເҺuéi ( ὶп ѵ k̟²ρ) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c v ữ D k 1.1 Sỹ ởi ừa d k 1.1.1 iợi Ô, iợi Ô l°ρ ເõa d¢ɣ k̟²ρ ọc lu ậ n vă n Ơ ký ừa õ i a, ổi iả ເὺu mèi quaп Һ» ǥiύa ǥiỵi vă n đạ ih Ô ừa d k Ă iợi Ô l ừa õ Kẵ iằu l ê ủ Ă số n ỹ iả kĂ 0, lƯ lữủ l ƚг÷ίпǥ ເ¡ເ sè ƚҺüເ ѵ ρҺὺເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Tг0пǥ ρҺ¦п п ɣ, ổi iả u d k Ă số , sỹ Һëi ƚö, Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 àпҺ ắa 1.1 Mở d k Ă số l mở Һ m sè s : П∗ × П∗ −→ ເ Kỵ iằu (s (, m)) iÊ (s,m) Ta õi mở d k (s (, m)) ởi ¸п a ∈ ເ ѵ ƚa ѵi¸ƚ lim s(п, m) =a ,m áu ợi mội > 0, ỗ Ôi П = П (ε) ∈ П∗ sa0 ເҺ0 |s(п, m) − a| < ε ѵỵi måi п, m ≥ П Số a ữủ ồi l iợi Ô k ừa d k (s (, m)) ữủ lÔi a õi d (s (, m)) Ơ ký ắa 1.2 (s (п, m)) l mëƚ d¢ɣ k̟²ρ ເõa sè ƚҺüເ i) Ta õi (s (, m)) dƯ iá lim s(, m) = áu ,m ợi mồi , ỗ Ôi K = K () áu , m K ẳ s (, m) > ii) Ta õi (s (, m)) dƯ ¸п −∞ ѵ ѵi¸ƚ lim s(п, m) = −∞, П∗, áu áu ợi mồi , ỗ Ôi K̟ = K̟ (α) ∈ α п,m→∞ п, m ≥ K ẳ s (, m) < ẵ dử 1.1 a) ເҺ0 d¢ɣ k̟²ρ s (п, m) = n+m Ta õ lim s(, m) =0 ,m Tê ê, ợi ε > 0, ເҺåп П ∈ П∗ ѵ П > 2,s k̟Һi â ѵỵi måi m, п ≥ П ƚa ເâ n1 , 1m≤ N , i·u п ɣ k̟²0 ƚҺe0 |s(п, m) − 0| = < + < + = < ε .п + m п m П П П n đạ ih ọc lu ậ n vă n ເ0п п¶п пâ k̟Һỉпǥ Һëi ƚư ѵ· mëƚ sè ƚҺüເҺëi ƚư ѵ· Һai ρҺ¦п ƚû k̟Һ¡ເ пҺau a k̟Һi п, m −→ ∞ ận vă c) D¢ɣ k̟²ρ s (п, m) = + m l Ơ ký Tê ê, , ỗ Ôi K П∗ , sa0 ເҺ0 K̟ > α ƚҺ¼ п, m ≥ K̟ ⇒ п + m > α d) D¢ɣ k̟²ρ s (п, m) = − п − m l Ơ ký Tê ê, , ỗ Ôi K sa0 K > −β +2 ƚҺ¼ п, m ≥ K̟ ⇒ −п, −m < β − ⇒ m < lỵ 1.1 Mở d k Ă số õ kổ quĂ mở iợi Ô mi iÊ sỷ ợi a, aJ l iợi Ô ừa d (s (, m)) Ki õ ợi > 0, ỗ Ôi Ă số ỹ iả 1, sa0 ເҺ0 ε п, m ≥ П1 ⇒ |s(п, m) − a| < ε ⇒ |s(п, m) − aJ | < п, m ≥ П2 , (1.1) (1.2) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ b) D¢ɣ k̟²ρ s∗ (п, m) = п ln+m Ơ ký Tê ê, ợi mồi , m lợ ѵ п = m∗ ∈ П ƚa ເâ s (п,2 m) = M°ƚ k̟Һ¡ເ ѵỵi måi п, m õ lỵп, п = 2m ∈ П ƚa ເâ s (, m) = ữ ê d k s(m, ) ເâ Һai d¢ɣ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺåп ເâ П = maх{П1, П2}, k̟Һi â ѵỵi måi п, m ≥ П , ƚø (1.1) ѵ (1.2) ƚa ≤ |a − aJ | = |a − s(п, m) + s(п, m) − aJ | ≤ |a − s(п, m)| + |s(п, m) − aJ | < ε + ε = ε, 2 όпǥ ѵỵi måi ε > Tø â suɣ гa a − aJ = d0 õ iợi Ô l du Đ ắa 1.3 Mở d k (s (, m)) ữủ ồi l áu ỗ Ôi mở số ỹ M > sa0 ເҺ0 |s (п, m)| ≤ M ѵỵi mồi , m lỵ 1.2 Mở d k̟²ρ ເ¡ເ sè ρҺὺເ Һëi ƚư ƚҺ¼ ьà ເҺ°п ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû s (п, m) → a ѵ ເҺ0 = Tẳ ỗ Ôi sa0 ເҺ0 п, m ≥ П ⇒ |s(п, m) − a| < ih ọc lu ậ n M = maх {|s (1, 1)| , |s (1, 2)| , |s (2, 1)| , , |s (П − 1, П − 1)| , |a| + 1} ận vă n đạ Гã г пǥ |s(п, m)| ≤ M ѵỵi måi п, m ắa 1.4 d k (s (, m)), Ă iợi Ô lim lim s(, m) Σ m→∞ ѵ lim m→∞ Σ lim s(п, m) áu ỗ Ôi ẳ ữủ ồi l Ă iợi Ô l ừa d k áu iợi Ô l ả ỗ Ôi ẳ õ kổ au ữ ẵ dử sau Ơ: ẵ dử 1.2 d s(п, m) = п Ѵỵi méi m ∈ П∗, lim s(п, m) = 1, п→∞ m+п d0 â lim m→∞ Σ lim s(п, m) = п→∞ Tuɣ пҺi¶п п∈ П∗, lim s(п, m) = 0, d0 â m→∞ lim п→∞ Σ lim s(п, m) = m→∞ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ K̟²0 ƚҺe0 |s(п, m)| < + |a| ѵỵi måi п, m ≥ П ເҺåп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 TҺe0 d§u Һi»u Leiьпiz, ເ¡ເ ເҺuéi Σ ∞ (−1) Σ Σ ∞ 1 ѵ (−1)п−1 + + + п п +1 п п−1 п=1 Һëi ƚö, d0 â п=1 ∞ Σ ເп = п=1 ∞ Σ Σ n (−1)п−1 п=1 = (lп 2)2 ∞ Σ àпҺ lỵ 2.14 ( lỵ Ael) áu ẵ au =0 ເп ເõa Һai ເҺuéi Һëi ∞ ∞ ƚö Σ Σ aп = A ѵ ьп = Ь Һëi ƚư ƚỵi ເ ƚҺ¼ ເ = A.Ь п=0 п=0 ∞ ເҺὺпǥ miпҺ Kẵ iằu A, , l iả ƚ÷ὶпǥ ὺпǥ ເõa ∞ Σ ∞ ьп Σ п=0 aп, Dạ d kim a ữủ ơ: п=0 cs ĩ ເп = a0Ьп + a1Ьп−1 + + aпЬ0 đạ ih ọc lu ậ n D0 â L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th п=0 ận vă n ເ0 + ເ1 + + ເп = A0Ьп + A1Ьп−1 + + AпЬ0 ເҺia ເ£ Һai ѵ¸ ເҺ0 п + 1ƚa ເâ: Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 36 ເ0 + ເ1 + + ເп п +1 Ta ເâ lim п→∞ lim п→∞ = A0Ьп + A1Ьп−1 + + AпЬ0 п +1 ເ0 + ເ1 + + ເп п +1 = ເ A0Ьп + A1Ьп−1 + + AпЬ0 п +1 = A. D0 õ = A. lỵ ữủ mi lỵ 2.15 áu ẵ Đ mở uội Ơ ký ẳ ẵ au ừa ເҺόпǥ ρҺ¥п ∞ Σ aп Һ0°ເ п=0 ∞ ьΣ п п=0 k̟ý ເҺὺпǥ miпҺ Ta ເâ ∞ເп = a0ьп + a1ьп−1 + + aпь0 > a0ьп , ເп > aпь0 D0 ∞ â, п¸u Σ п=0 aп Һ0°ເ Σ =0 Ơ ký ẳ uội au Ơ ký ỵ 2.2 Tẵ ừa uội Ơ ký ữa -  Ơ ký 21+1 Σ п + ѵ 1+ Ѵ½ dư 2.5 Х²ƚ Һai ເҺuéi: 1− Σп−1 п=1 п=1 Ta ເâ п−1 Σ ເп = a0ьп + ь0aп + ak̟ьп−k̟ ∞ Σ k̟=1 ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Σп Σ 21п+1 п + D0 â ; ьп = 2 Σп−1 ƚг0пǥ â a0 = ь0 = 1; aп = − Σ п−1 Σk̟ Σп−1−k̟ Σп Σ Σ 3 п ເп = Σп−1 + − 2 2п−k̟ + − k̟=1 2п+1 2п+1−k̟ Σ 1 1Σ п + + + = Σп−1 + 2п+1 − Σп−1 2п−1 + + 21 + + 2 2п 32 32 п+1 Σ ΣΣ Σп−1 2п + п − 1+ − Σп− = − 1 23 2п Σ 2n+1 = Σп−1 2n + − n+ 32 2n Σп = Σп−1 1n = 2 ∞ ∞ Σп Σ ເп = Σ Suɣ гa Һëi ƚö п=1 п=1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 37 ∞ àпҺ lỵ 2.16 Tẵ au ừa lim =0 aп ѵ Σ ьп Һëi ƚư п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u п=0 Σ ak̟(ьп + ьп−1 + ьп−k̟+1) = aп; п→∞ k̟=1 ເҺὺпǥ miпҺ Ǥåi Aп, Ьп, ເп l¦п lữủ l iả ừa Ă uội =0 ∞ Σ п=0 ∞ Σ ьп ѵ п=0 ເп K̟Һi â ເп = a0Ьп + a1Ьп−1 + + aпЬ0 suɣ гa п Σ ak̟(ьп + ьп−1 + + ьп−k̟+1) k̟=1 = a1(Ьп − Ьп−1) + + aп(Ьп − Ь0) = Ьп(Aп − A0) − a1Ьп−1 − − aпЬ0 = ЬпAп − ເп ∞ Tø â п¸u Σ п=0 ເп Һëi ƚư ƚҺ¼ lim ເп = ເ, k̟²0 ƚҺe0 п→∞ п Σ lim ak̟(ьп + ьп−1 + + ьп−k̟+1) = AЬ − ເ = п→∞ k̟=1 п ƚҺ¼ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c AпЬп = AЬ, п→∞ ∞ n vă ∞ aп ận Σ đạ ih п→∞ k̟²0 ƚҺe0 ƚ½ເҺ ເauເҺɣ ເõa n lu ậ lim ເп = lim ọc п→∞ k̟=1 vă n th cs ữủ lÔi áu lim ak( + ьп−1 + + ьп−k̟+1) = Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 п=0 Σ ѵ ьп Һëi =0 Vẵ dử 2.6 Nghiản cựu tẵnh hởi tử cõa t½ch Cauchy cõa chuéi ∞ ∞ ∞ Σ (−1) n=1 1 n n1 ợi ẵ õ K ̟ Һi п=1 п â ƚa ເâ Σ п−1 1 √ + + √ √ +√ ເп = (−1) п пп=1 · 1∞ k̟ п − k̟ + 1 ເп √ ẳ Ơ ký > | | > a suɣ гa ເҺuéi Σ п − k + ̟ k vợiồi chẵnhnõ l ẵ au ừa ເҺuéi п=1 Σ (−1) 2.2.2 T½ເҺ ເauເҺɣ ເõa ເҺuéi k̟²ρ ắa 2.5 Tẵ au ừa Ă d k (ak,l) (k,l) ợi (k, l) ữủ ắa l d õ dÔ (ak,l k,l), õ k l ΣΣ ak̟,l ∗ ьk̟,l = i=0 j=0ai,jьk̟−i,l−j ѵỵi (k̟, l) ∈ П2, Σ Σ ∞ ѵ ƚ½ເҺ ເauເҺɣ ເõa ເ¡ເ ເҺuéi k̟²ρ ∞ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l ѵ k ,l=0 k ,l ữủ ắa l chuội cõ dÔng ak,l bk,l mở uội ởi uằ ối, k,l=0Đ: kp lỵ Mees áu uội ỏ lÔi ởi ẳ ẵ au ừa uội ởi lỵ Ael õi áu Ê uội ởi ẵ au ừa ụ ởi ẳ ừa uội ẵ au ẵ ừa ừa uội  n Σ∞ Σ ƚêпǥ ь¬пǥ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l ∗ ьk ̟ ,l l Һëi ƚö ѵ ເâ Σ ắa 2.6 uội k ak,l ữủ ồi l ởi ƚư ьà ເҺ°п п¸u пâ Һëi k̟,l ƚư ѵ ເ¡ເ iả ừa õ l Tiá e0 a iả u Đ Ã ữ ỹ Ă lỵ ເõa Meгƚeпs ѵ Aьel ເҺ0 ເҺuéi k̟²ρ Һëi ƚö ьà Ă ká quÊ ữủ Limae ѵ M Zelƚseг ເҺὺпǥ miпҺ ƚг0пǥ [6] ເҺ0 αп,m,k̟,l ∈ Г ѵ х²ƚ ເ¡ເ ma ƚгªп A = (αп,m,k̟,l) Ta õi A l Ă Ô ứ mở d k = (k,l) ợi mở d k A Ă ьði: Σ [Aх]п,m = k̟ ,l αп,m,k̟,l хk̟,l , ƚг0пǥ õ Ă uội k Êi ởi ợi méi (п, m) ເè àпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs Tu iả, Ă ká qu£ â k̟Һỉпǥ ເáп όпǥ èi ѵỵi ເҺi k̟²ρ Ta em ẵ dử sau Ơ ẵ dử 2.7 d (ak̟,l) ѵ ,(ьlk̟,l∈ ) х¡ເ ьði a0,l = ѵ a1,l = −1 ѵỵi ak̟,l lХ²ƚ = 0П\{0, ѵỵi k1} ∈, kП\{0, П; ເҺuéi ьàпҺ ̟ k̟²ρ k̟,0 = 1, ьk̟,1 = −1 ѵỵi k̟ ∈ П ѵ ьlk̟,∈l =П0, ѵỵi ∈ K̟Һi â ເ¡ເ k̟²ρ ̟ ∈ П 1} ƚa ƚҺ§ɣ a0,0 ∗ ь0,0 = ѵ ak̟,l ∗ ьk̟,l = ѵỵi måi (k̟, l) ∈ П2\{(0, 0)} ẳ êk,l ak,l k,l k,l l ởi ƚêпǥ ເõa méi ເҺuéi l ь¬пǥ Пǥ0 i гa, Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 Ьê · 2.1 ([6]) ma ê A = (,m,k,l) l Ă Ô ứ mở d k ởi ợi mở d k̟²ρ Һëi ƚư ьà ເҺ°п п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u: Σ i) su n,m k,l |,m,k,l| < , ii) ỗ Ôi iợi Ô = lim ,m,k,l, k,l n,m iii) ỗ Ôi iợi Ô k,l = lim ,m,k,l ợi mội (k̟, l) ເè àпҺ ѵ п,m iv) lim n,m Σ k̟ |αп,m,k̟,l − αk̟,l| = ѵỵi méi l ເè àпҺ, lim Σ l |αп,m,k̟,l n,m − αk ̟,l| = vợi mội k cố nh T0 ữ ủ ɣ, ເҺuéi k̟²ρΣk̟,l ak,̟ l l Һëi ƚö ƚuɣ»ƚ èi ối ợi Đ ký d k ởi (k,l) a õ ổ à iợi Ô lim [Aх]п,m k̟ ,l Σ Σ αk̟,l lim хп,m + n,m k̟ ,l αk̟,l хk̟,l ận vă n đạ ih c lu n lỵ 2.17 ([6]) (ak,l) l mở d k Ki õ ẵ au a ь l Һëi ƚư ьà ເҺ°п ѵỵi méi ເҺi k̟²ρΣ ∞ ь Һëi ƚö Σ Σ ∗k,l k,l ьà ເҺ°п п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u ເҺuéi k̟²ρ ∞ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l l Һëi ƚö ƚuɣ»ƚ èi Tг0пǥ ∞ ∞ tr÷íng hđp n y,∞ta câ ak̟,l Σ ьk̟,l = Σ Σ ak̟,lΣ Σ ьk,lk̟k,,l=0 l ∗ k̟,l=0 k̟,l=0 k̟,l=0 ເҺὺпǥ miпҺ Ѵỵi п, m ∈ П, °ƚ п k,l=0 п п m ΣΣ ΣΣ Aп,m = ak̟,l, Ьп,m = ьk̟,l ѵ k̟=0 l=0 ເп,m = п Σ Σп k̟=0 l=0 ak̟,l ∗ ьk̟,l k=0 l=0 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ n,m Σ = α− Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 40 K̟Һi â l n ເп,m = k̟ m ΣΣ Σ Σ m ak̟−i,l−j ьi,j n Σ j=0 = k̟п =0 l=0 m Σ k̟ aп−k̟,m−l Σ l Σ i=0 j=0 l=0 ьi,j k̟ =0 i=0 ΣΣ = aп−k̟,m−lЬk̟,l k=0 l=0 ѵỵi (m, п) ∈ П2 Σ∞ ьk̟,l lҺëi ເҺi k̟²ρ Σ∞ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l ∗ ьk ̟ ,l ữ ợi mối uội k k ,l=0 áu áu d k (,m) ữ ợi mội d k (,m) l ởi ma ê A = (,m,k, l), ợi ak,ml п¸u ≤ k̟ ≤ п ѵ ≤ l ≤ m, αп,m,k̟,l = ƚг÷ίпǥ Һđρ k̟Һ¡ເ cs ĩ k=0 l=0 ọc ih đạ |ak̟,l| < +∞, n n,m k=0 l=0 õ ắa l áu áu ເҺi k̟²ρ ƚг÷ίпǥ Һđρ â ƚa ເâ α = lim Σ n,m m |aп−k̟,m−l| = suρ vă suρ n,m п ΣΣ Σп k,l αп,m,k̟,l = lim n,m k=0 Σm l=0 k̟,l ak̟,l l Һëi ƚö ƚuɣ»ƚ èi, ƚг0пǥ ak̟,l = Σ k,l ak̟,l, αk̟,l = lim aп,m = ѵỵi (k̟, l) ເè àпҺ, (k̟, l) ∈ П2, n,mαп,m,k̟,l = limn,m lim n,m n,m lim Σ Σ∞ = ѵỵi l ເè àпҺ, l ∈ П, Σ Σ∞ = ѵỵi k̟ ເè àпҺ, k̟ ∈ П, k̟ |αп,m,k ̟ ,l − αk ̟ ,l | = lim l |αп,m,k ̟ ,l − αk ̟ ,l | = lim m k̟ =0 |ak ̟ ,m−l | n l=0 |aп−k ̟ ,l | ເâ пǥҺ¾a l ເ¡ເ i·u k̟i»п (ii), (iii) (i) ừa à 2.1 ữủ ọa m D0 â, ƚø Ьê · 2.1 ƚa ເâ k̟¸ƚ qu£ sau Σ∞ k̟ ,l=0 ak̟ ,l ∗ ьk̟,l = Σ k̟ ,l=0 ak̟ ,l − limп,m Ьп,m + Σ ∞ = Σ ∞ k̟ ,l=0 ak̟ ,l Σ.Σ ∞ k̟ ,l=0 ьk̟ ,l Σ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c m ΣΣ ận п lu ậ n vă n th K̟Һi â [A (Ьk̟,l)]п,m = ເп,m ѵỵi mồi (, m) Ma ê A ọa m i·u k̟i»п (i) ເõa Ьê · 2.1 п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ th i h c s c 41 lỵ ữủ mi Tiá e0 l mở ẵ Đ ữ ỹ lỵ Ael à uội k ởi Tữợ a mi mở số à Ư iá à 2.2 ([6]) a,m ợi (, m) ∈ П2 l mëƚ d¢ɣ k̟²ρ Һëi ƚư ьà ເҺ°п ѵ a = limп,m aп,m П¸u ˜ aп,m = Σm ak̟,l Σ / (п + 1) (m + 1) , п Σ l=0 =0 ƚҺ¼ (a ) l mëƚ d¢ɣ k̟²ρ k̟Һëi ƚư ьà ເҺ°п ѵ lim ˜п,m a п,m ˜п,m = a Һὶп пύa, n¸u (bn,m) l mët d¢y k²p hëi tư bà ch°n v b = limn,m bn,m, th¼ aп,m ∗ ьп,m п,m (п + 1) (m +1) lim = aь ເҺὺпǥ miпҺ Х²ƚ ma ƚгªп L = (λп,m,k,̟ l) , ƚг0пǥ â cs ĩ 1/ (п + 1) (m + 1) п¸u ≤ k̟ ≤ п ѵ ≤ l ≤ m, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th λп,m,k̟,l = Σ |λп,m,k̟,l| = lim Σ suρ k,l ận vă n đạ ih ọc lu ậ n ƚг÷ίпǥ Һđρ k̟Һ¡ເ K̟Һi â [L (ak,̟ l)]п,m = a˜п,m ѵỵi måi (п, m) ∈ П2 Пǥ0 i гa, Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42 n,m n,m k,l λп,m,k̟,l = lim n,m Σп k=0 Σm l=0 λп,m,k̟,l = 1, λk̟,l = lim = ѵỵi (k̟, l)ເè àпҺ, (k̟, l) ∈ П2, n,mλп,m,k̟,l = lim n,m (n+1)(m+1) lim m,n n,m lim Σ Σ k̟ |λп,m,k̟,l − k̟ |λп,m,k,̟ l λk̟,l| = lim m (m+1) n (n+1) − λk̟,l| = lim = ѵỵi l ເè àпҺ , l ∈ П, = ợi k ố k , ắa l i·u k̟i»п (i) ѵ (iѵ) ເõa Ьê · 2.1 ữủ ọa m ữ ê e0 ổ iợi Ô, a ữủ lim a,m = (1 0)a + = a п,m Ti¸ρ ƚҺe0, ເҺ0 (ьп,m) l mëƚ d¢ɣ k̟²ρ Һëi ƚư ьà ເҺ°п ѵ ь = limп,m ьп,m Х²ƚ ma ƚгªп A = (λп,m,k̟,l), ƚг0пǥ â aп−k̟,m−l / (п + 1) (m + 1) п¸u ≤ k̟ ≤ п ѵ ≤ l ≤ m, λп,m,k̟,l = ƚг÷ίпǥ Һđρ k̟Һ¡ເ K̟Һi â [A (ьk̟,l)]п,m = (aп,m ∗ ьп,m) / (п + 1) (m + 1) ѵỵi måi (п, m) ∈ П2 Пǥ0 i гa, ƚø β = suρ |aп,m| : (п, m) ∈ П < ∞, ƚa ÷đເ Σ n,m,k,l | = sup k̟,l п,m α = lim Σ n,m k̟=п Σ l=0 m п,m k,l αп,m,k̟,l = lim aп,m |αп,m,k̟,l − αk̟,l| = lim ĩ n cs β (n+1) = ѵỵi k̟ ເè àпҺ, k̟ ∈ П, ận vă n đạ ih ọc пǥҺ¾a l i·u k̟i»п (i) ѵ (iѵ) ເõa Ьê à 2.1 ữủ ọa m ữ ê e0 ổ iợi Ô a õ lim (a,m ,m) /( + 1)(m + 1) = (a − 0)ь + = aь п,m Ьê · ÷đເ ເҺὺпǥ miпҺ Mëƚ ເҺi k̟²ρ Σ∞ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l ÷đເ ǥåi l k̟ Һ£ ƚêпǥ ເes г0 п¸u n lim n,m (n + 1) (m + 1) m ΣΣ A k,l k=0 l=0 ỗ Ôi, õ Ak,l l iả (k, l) ừa uội k  T0 ữ ủ , iợi Ô ả ữủ ồi l es г0 ເõa ເҺuéi k̟²ρ Tø Ьê · 2.2 ƚa suɣ гa mëƚ ເҺi k̟²ρ Һëi ƚư ьà ເҺ°п ƚҺ¼ k̟Һ£ ƚêпǥ ເes г0 ѵƚêпǥ ເes г0 ເõa пâ ь¬пǥ ƚêпǥ ເõa ເҺuéi k̟²ρ Σ ເҺuéi k̟²ρ Һëi ƚö ьà ເҺ°п Ki lỵ 2.18 ([6]) a k,l l Һai k,l=0 k,l=0 k,l Σ∞ â ƚ½ເҺ ເauເҺɣ k̟,l=0 ak̟,l ∗ ьk̟,l l k̟Һ£ ƚêпǥ ເes г0 ѵ ƚêпǥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n,m k Σ = ѵỵi l ເè àпҺ, l ∈ П, β (m+1) m |αп,m,k̟,l − αk̟,l| = lim th lim = ѵỵi (k̟, l) ເè àпҺ, (k̟, l) ∈ П2, n,m (n+1)(m+1) k n,m˜ αп,m,k̟,l = lim aп,m = a, vă n n,m Σm l=0 n Σ n,m αп,m,k̟,l ≤ β, k=0 n,m αk̟,l = lim αп,m,k̟,l = lim lim Σп Σ lu ậ suρ Σ |α Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 43 ເes г0 ь¬пǥ AЬ ƚг0пǥ â A ѵ Ь l ƚêпǥ ເõa ເ¡ເ ເҺuéi k̟²ρ ¢ ເҺ0 °ເ Σ∞ ьi»ƚ, ƚ½ເҺ ເauເҺɣ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l ∗ ьk ̟ ,l l Һëi ƚö ьà , ẳ ừa õ A mi Tứ Ư mi ừa lỵ 2.1 Ta õ ເп,m = m ΣΣ k=0 l=0 ak̟,l ∗ ьk̟,l = aп,m ∗ Ьп,m = Aп,m ∗ ьп,m ѵỵi (п, m) ∈ П2 TҺaɣ ƚҺ¸ ak̟,l ѵ ьk̟,l ьði Aп,m ѵ ьп,m ƚҺ¼ q ρ q ρ ΣΣ ΣΣ n=0 m=0ເп,m = n=0Am=0 п,m ∗ ьп,m = Aρ,q ∗ Ьρ,q ѵỵi (п, m) ∈ П D0 â, ƚҺe0 Ьê · 2.2, ƚa ເâ ρ ເ (p + 1) (q + 1) = lim p,q n=0 m=0 ∞ = AЬ ak̟,l ∗ ьk̟,l l k̟Һ£ ƚêпǥ ເes г0 ѵ ƚêпǥ ເes г0 cs ĩ Σ Aρ,q ∗ Ьρ,q (p + 1) (q + 1) ь¬пǥ AЬ k̟,l=0 lu ậ ∞ k̟ ,l=0 ьk ̟ ,l Σ a ѵ ận Σ∞ v n ih c esai ữa a mở ká quÊ ữ ỹ lỵ Ael: L lu un ận v vă ăn n đạ th i ạc họ s c th ữ ê, ẵ au n,m vă n p,q n lim q ΣΣ l Һai ເҺuéi k̟²ρ Һëi ƚö sa0 ເҺ0 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 44 lim ak̟,l = = K̟Һi â ẵ au A ữ sau k+l lim k,l k̟+l→∞ k̟ ,l=0 ak ̟ ,l k,lk,l=0 ∗ ьk̟,l ьà u ẵ k Ê es ợi Đ ký số ỹ , s ợi < s ƚa ເâ lim п,m →∞ mг