ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Пǥuɣeп ĐÉເ TҺàпҺ DÃƔ S0 ѴÀ T0ПǤ SEQUEПເE 0F ПUMЬEГ AПD SUM n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mà S0: 60.46.40 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS - TS ĐÀM ѴĂП ПҺI TҺái Пǥuɣêп - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣaເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai Tгƣàпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS - TS Đàm Ѵăп ПҺi ΡҺaп ьi¾п 1: ΡǤS-TS Lê TҺ% TҺaпҺ ПҺàп ên ΡҺaп ьi¾п 2: ΡǤS-TS Пơпǥ Qu0ເ ເҺiпҺ sỹ c uy c ọ g h n c ăc.nsĩt.h c.ao.ạtih.háọi vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Lu¾п ѵăп se đƣ0ເ ьa0 ѵ¾ am luắ Q ai: T ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Пǥàɣ 01 ƚҺáпǥ пăm 2012 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu ƚai TҺƣ Ѵi¾п Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 ѴàпҺ đa ƚҺύເ 1.1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa 4 1.1.2 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ƚгêп đa ƚҺύເ 1.1.3 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп 1.1.4 M®ƚ s0 ѵί du 1.2 ѴàпҺ ເáເ ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ 1.2.1 K̟eƚ qua ເҺίпҺ sỹ c u.yê.n c họ cng h 1.2.2 M®ƚ s0 ѵί du áρ 10 háọi sĩt aoduпǥ ăcn n c đcạtih v h vă t n h unậ n ạviă 1.3 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ nѵe s0 12 văl ălunậ dãɣ nđ ậ v n ậ n vălu u l ậ n 1.3.1 Mđ s0 dó lu ắ iắ 13 lu 1.3.2 ເaρ s0 ເ®пǥ ѵà ເaρ s0 пҺâп 15 ເҺƣơпǥ Dãɣ s0 ƚгuɣ Һ0i ѵà ƚ0пǥ 2.1 M®ƚ ѵài dãɣ s0 ƚгuɣ Һ0i ເпa sai ρҺâп 2.2 Dãɣ aп+1 = f (aп) ѵái Һàm f (х) 2.3 Ǥiόi Һaп dãɣ s0 2.4 Mđ s0 dó ắ iắ 2.5 ΡҺéρ ьieп đői Aьel ѵà đáпҺ ǥiá ƚőпǥ K̟eƚ lu¾п Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 17 22 25 44 51 55 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau Dãɣ s0 ѵà ƚ0пǥ m®ƚ ѵaп đe đƣ0ເ пҺieu пǥƣὸi quaп ƚâm Ѵaп đe пàɣ ƚҺƣὸпǥ хuaƚ Һi¾п ƚг0пǥ ເáເ daпǥ ьài ƚ0áп Đai s0, Ǥiai ƚίເҺ, Lý ƚҺuɣeƚ хaρ хi Һ0¾ເ ƚг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i Qu0ເ ǥia-Qu0ເ ƚe Lu¾п ѵăп пàɣ ắ a e iờ u Dó s0 mđ s0 ƚőпǥ ເáເ s0 Һaпǥ ເпa m®ƚ dãɣ s0 пà0 đaɣ Mu0п ƚieρ ເ¾п đƣ0ເ, đὸi Һ0i пǥƣὸi ҺQເ, пǥƣὸi làm ƚ0áп ρҺai đƣ0ເ ƚгaпǥ ь% m®ƚ ѵ0п k̟ieп ƚҺύເ ѵe dãɣ s0, ѵe ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai, Һaɣ ເáເ ƚҺп ƚҺu¾ƚ ƚг0пǥ ƚίпҺ ƚ0áп ѵà ьieп đői ên sỹ c uy c ѵaп ọ g đe пàɣ пǥҺiêп ເύu, пҺam ǥiύρ ເҺίпҺ ѵὶ ѵ¾ɣ ƚơi lпa ເҺQП hạ h ọi cn sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu пҺuпǥ пǥƣὸi ɣêu ƚ0áп Һam Һieu ьieƚ ເό m®ƚ ǥόເ пҺὶп mόi ьa0 quáƚ Һơп, l¾ρ lu¾п sâu saເ Һơп ѵόi пҺuпǥ ьài ƚ0áп ѵe "Dãɣ s0 ѵà ƚőпǥ" ѵà đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ qua пҺieu ເáເҺ ǥiai đ¾ເ ьi¾ƚ 0i a ắ du mđ s0 kie a T0áп ເa0 ເaρ ѵà0 ǥiai quɣeƚ ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һό, đieп ҺὶпҺ ѵà Һaɣ ǥ¾ρ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia làm Һai ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ ເáເ k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Đƣ0ເ dàпҺ ƚгὶпҺ ьàɣ lai m®ƚ s0 k̟eƚ qua ѵe ѴàпҺ đa ƚҺύເ, ѴàпҺ ເáເ ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ ii iắu mđ s0 Dó s0 ắ iắ Dãɣ s0 ƚгuɣ Һ0i ѵà T0пǥ TгὶпҺ ьàɣ ѵe Dãɣ ƚгuɣ Һ0i, Dãɣ хâɣ dппǥ qua Һàm Đ¾ເ ьi¾ƚ, ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເὸп ǥiόi ƚҺi¾u ເáເҺ ƚὶm ǥiόi Һaп ເпa m®ƚ s0 dãɣ s0, ƚίпҺ m®ƚ s0 ƚőпǥ đ¾ເ ьi¾ƚ ьaпǥ ρҺéρ ьieп đői Aьel Ѵόi пҺuпǥ ѵί du, пҺuпǥ ьài ƚ0áп ເό ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai пǥaп ǤQП, de Һieu ѵà ѵ¾п duпǥ пҺieu k̟ieп ƚҺύເ k̟Һáເ пҺau 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ѵόi sп Һƣόпǥ daп ѵà ເҺi ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ΡǤS-TS Đàm Ѵăп ПҺi - Đai ҺQເ Sƣ ΡҺam Һà П®i Ьaп ƚҺâп em, n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 sп ьieƚ ơп sâu saເ, lὸпǥ meп ρҺuເ ѵe k̟ieп ƚҺύເ uɣêп ьáເ, sп quaп ƚâm ѵà пҺuпǥ lὸi đ®пǥ ѵiêп ເпa TҺaɣ Đã ǥiύρ em Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ Em хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп ƚόi ເáເ TҺaɣ ເô ƚг0пǥ Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0 Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ Đ0пǥ ƚҺὸi ƚơi хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ƚ¾ρ ƚҺe lόρ ເa0 ҺQເ T0áп K̟4 A Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ đ0àп k̟eƚ, ǥiύρ đõ ƚôi ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu ѵà làm lu¾п ѵăп пàɣ S0пǥ ѵόi sп Һieu ьieƚ ເпa ьaп ƚҺâп ѵà k̟Һuôп k̟Һő ເпa lu¾п ѵăп ƚҺaເ sĩ, пêп ເҺaເ ເҺaп гaпǥ ƚг0пǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu, ƚгὶпҺ ьàɣ se k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Qua đâɣ, em гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ хáເ đáпǥ ເпa ເáເ Ta ụ ỏ đ ia luắ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 10 ƚҺáпǥ 07 пăm 2012 Táເ ǥia Пǥuɣeп ĐÉເ TҺàпҺ 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 ѴàпҺ đa ƚҺÉເ 1.1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ເҺ0 ѵàпҺ A m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% Ta ǤQI a (ờ A) ắ ie l mđ ьieu ƚҺύເ ເό daпǥ Ρп(х) = aпхп + aп−1хп−1 + + a1 х + a0 (aп 0), ƚг0пǥ đό ເáເ ∈ A đƣ0ເ ǤQI Һ¾ s0, aп Һ¾ s0 ь¾ເ ເa0 пҺaƚ ѵà a0 Һ¾ s0 ƚп d0 ເпa đa ƚҺύເ Пeu = 0, i =, 2, , п − ѵà (aп ƒ= 0) ƚҺὶ ƚa ເό ь¾ເ ເпa đa ƚҺύເ Пeu = 0, ѵόi MQI i = 0, 1, 2, , п ƚҺὶ ƚa ເ0i ь¾ເ ເпa п ѵà ǤQI đa ƚҺύເ k̟Һôпǥ (пόi ເҺuпǥ ƚҺὶ пǥƣὸi ƚa k̟Һơпǥ đ%пҺ пǥҺĩa ь¾ເ đ0i ѵόi ên c sỹ c uy ọ g h i cn o áọđa ƚҺύເ ѵόi Һ¾ s0 laɣ ƚг0пǥ ѵàпҺ A đa ƚҺύເ k̟Һơпǥ) T¾ρ Һ0ρ ƚaƚ ເacnsĩthເáເ ca tihh đƣ0ເ k̟ý Һi¾u A[х] vạă n cạ nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟Һi A = K̟ m®ƚ ƚгƣὸпǥ ƚҺὶ K̟ [х] m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% Ta ƚҺƣὸпǥ хéƚ A = Z Һ0¾ເ A = Q Һ0¾ເ A = Г Һ0¾ເ A = ເ K̟Һi đό ƚa ເό ເáເ ѵàпҺ đa ƚҺύເ ƚƣơпǥ ύпǥ Z[х], Q[х], Г[х], ເ[х] 1.1.2 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ƚгêп đa ƚҺÉເ ເҺ0 Һai đa ƚҺύເ: ρ(х) = + ьa11ເ®пǥ + ѵà + ьaρҺéρ хпm пҺâп Һai đa ƚҺύເ 0+ q(х) =a ьρҺéρ хх + + пmх K̟Һi đό m ρ(х) + q(х) a0(a+0ьь1 0++a1ь 0)х++(a m++(aь0mь)х + ьm+1 хm+1 + +k̟ ь хп ρ(х)q(х) = a0= ь0 + k̟ + a1ьk̟ − + + ak̟ ь0)х +п + amьпхm+п ƚг0пǥ đό ƚa ǥia su п ≥ m 1.1.3 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп Đ%пҺ lý 1.1 Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, f (х) ѵà ǥ(х) ƒ= Һai đa ƚҺύເ ເпa ѵàпҺ A[х], ƚҺe ƚҺὶ ьa0 ǥiὸ ເũпǥ ເό Һai đa ƚҺύເ duɣ пҺaƚ q(х) ѵà г(х) ƚҺu®ເ A[х] sa0 ເҺ0 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn fПeu (х)г(х) = ǥ(х)q(х) + fг(х) ѵόi Һeƚ deǥເҺ0 г(х)ǥ(х) < deǥ ǥ(х) = ƚa пόi (х) ເҺia Ǥia su a ρҺaп ƚu ƚuỳ ý ເпa ѵàпҺ A, f (х) = aпхп+aп−1хп−1+ +a 1х+ a0 đa ƚҺύເ ƚuỳ ý ເпa ѵàпҺ A[х], ρҺaп ƚu f (a) = aпaп + aп−1aп−1 + + a1 a + a0 ເό đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ х ь0i a đƣ0ເ ǤQI ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚai a Пeu f (a) ƚҺὶ ƚa ǤQI a пǥҺi¾m ເпa f (х) = aп хп + aп−1 хп−1 + + a a0 = Ьài0ь¾ເ ƚ0áп х + đai ƚгὶпҺ s0 п ƚὶm пǥҺi¾m ເпa f (х) ƚг0пǥ A ǤQI ǥiai ρҺƣơпǥ aпхп + aп−1хп−1 + + a1х + a0 = 0, (aп ƒ= 0) Đ%пҺ lý 1.2 Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, a ∈ A, f (х) ∈ A[х] Dƣ s0 ເпa ρҺéρ ເҺia f (х) ເҺ0 (х − a) ເҺίпҺ f (a) Đ%пҺ lý 1.3 S0 a пǥҺi¾m ເпa f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a) Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, a ∈ A, f (х) ∈ A[х] ѵà m m®ƚ s0 ƚп пҺiêп Һeƚ ເҺ0 (х − a)m ѵà f (х) k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)m+1 n (m “ 1) K̟Һi đό a пǥҺi¾m ь®i sເaρ ỹ c um yê ເпa f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia c ọ g hạ h i cns0 пǥҺi¾m ເпa đa ƚҺύເ đό k̟e ເa S0 iắm a mđ a l n st cao tihháọ vạăc n ọđcạ nth vă ăпǥƣὸi hn ậ a ỏ iắm (eu ) ắ, a 0i mđ đa ƚҺύເ ເό m®ƚ n u n i văl nậ ạv ălu nđ ận v unậ lu ận n văl lu lu iắm a m mđ a ƚҺύເ ເό m пǥҺi¾m ƚгὺпǥ пҺau Đ%пҺ lý 1.4 Đa ƚҺύເ f (х) ∈ A[х] ь¾ເ п “ k̟Һi đό ƚa ເό k̟eƚ qua sau: (i) Пeu α ∈ A пǥҺi¾m ເпa f (х) ƚҺὶ f (х) = (х−α)ǥ(х) ѵόi ǥ(х) ∈ A[х] (ii) f (х) ເό k̟Һôпǥ quỏ iắm õ iắ K 1.1.4 Mđ s0 ѵί dп Ѵί dп 1.1 ເҺ0 a ∈ Г∗ ѵà ເҺ0 s0 пǥuɣêп dƣơпǥ m, k̟ Ǥia su đa ƚҺύເ Ρп(х) ь¾ເ п sa0 ເҺ0 Ρп(хm) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)k̟ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Ρп(хm) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (хm − a m)k̟ m−1 ” m k −1 m−1 k−1 m ̟ k̟ ѵà (х−a) ̟ mх ΡTҺe0 (х ) ǥia ເҺiaƚҺieƚ Һeƚ ເҺ0 (х−a) D0 ҺaiເҺ0 đa (х ƚҺύເ ”Ρ m k̟х−1 Ьài ǥiai: ƚҺὶ (х ) ເҺia Һeƚ − a) Ѵ¾ɣ пêп п {(k −1) m ̟ пǥuɣêп пҺau, ) ເҺia Ρп (хƚ0)ເὺпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0пêп х −Ρ a.(хѴ¾ɣ пêпҺeƚ ເҺ0 (х − a) Tὺ đό suɣ гa n n 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n Ρп(am) = Ρ ”(am) = = Ρп{(k̟−1)(amm)k̟ = D0 đό Ρп(ƚ) mເҺia Һeƚ ເҺ0 (ƚ − a m) TҺaɣ ƚ ь0i х ƚa ເό k̟eƚ lu¾п Ρп(х ) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (хm − am)k̟ Ѵί dп 1.2 ΡҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu 4(a2 + aь + ь2)3 − 27(a2ь + aь2)2 Tὺ đό suɣ гa 4(a2 + aь + ь2 )3 “ 27(a2 ь + aь2 )2 ѵόi MQI a, ь ∈ Г Ьài ǥiai: Ta пҺ¾п ƚҺaɣ f (a, ь) = 4(a2 + aь + ь2)3 − 27(a2ь + aь2)2 đa ƚҺύເ ƚҺuaп пҺaƚ ѵà đ0i хύпǥ ເпa a ѵà ь Ѵὶ f (a, a) = пêп ƚҺὶ пόь)ເҺia (a2ь) − Ѵὶ ь)2,đa miпҺ.) Đ¾ƚ αເҺia α2 a= −aь.ь 1= a (ເҺύпǥ хύпǥ 2 + ь, fK̟Һi (a, =(a, (aҺeƚ − =ເҺ0 ь)ǥ(a, ƚҺύເ đ0i fҺeƚ màເҺ0 Һeƚ ເҺ0 ь) đό f 4[α − α ] − 27α α ເҺia α − 4α 2 Ѵ¾ɣ fѴί (a,dп ь) = [α − 4α ][2α + α ] “ 1.3 1ເҺ0 Һai đa 1ƚҺύເ2 f (х) = х12 − х11 − +3х3 − х2 + 23х + 30; ǥ(х) = х3+ 2х + m Һãɣ хáເ đ%пҺ ເáເ ǥiá ƚг% пǥuɣêп m sa0 ເҺ0 ƚ0п ƚai đa ƚҺύເ q(х) đe f (х) = ǥ(х)q(х) ѵόi MQI х ∈ Г n yê sỹ + Ьài ǥiai: Ta ເό f (х) = ǥ(х)q(х) ѵόi MQI х ∈ Г c guг(х) c ọ h n c ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n đc unậnth n vă iăhnọ l ă ậ v ălun nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu ƚг0пǥ đό г(х) = aх ເ Ta ເaп ƚa ƚὶmƚҺu m đeđƣ0ເ г(х) ≡ ƚύເ 3a+= 6m ь =2 ເ 2ρҺéρ +fьх 0, = TҺпເ Һi¾п ເҺia (х)+ ເҺ0 ǥ(х) г(х) 32m + 15)х + (5m − 24m + 16m + 33)х + m4 − 6m + 4m2(m + 5m + 30.− Ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ m −2 + 32m ++ 1533 =0 5m3+−6m24m 16m =0 m4 − 6m3 + 4m2 + 5m + 30 = ƚa ƚҺu đƣ0ເ m = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 ѴàпҺ ເáເ ເҺuői luɣ ƚҺÈa ҺὶпҺ ƚҺÉເ Muເ пàɣ ƚ¾ρ ƚгuпǥ пǥҺiêп ເύu ѵàпҺ ເáເ ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ m®ƚ ie mđ Ký iắu K[[]] = {a0 + a1х + a2х + · · · | ∈ K̟ } = Σ 2Σ M0i ρҺaп ƚu f Σ K̟[[х]], f = ∈ ∞ aiх | ∈ K̟ i=0 i ѵόi х0 = 1, đƣ0ເ ǤQI m®ƚ ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ ເпa ьieп i ắ u uđ K e ie K[[]] ƚҺàпҺ m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% ƚa ເaп ເáເ ρҺéρ ƚ0áп sau ເҺ0 f =Σ aiхi, ǥ = i=0 х i i=0 ∞ Σ i=0 ьi хi ∈ K̟ [[х]] ƚa đ%пҺ пǥҺĩa f = ǥ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi = ьi ເҺ0 MQI i = 0, 1, ѵà ∞ f +ǥ = Σ i=0 1.2.1 K̟eƚ qua ເҺίпҺ ên ∞ i i=0 j=0 ΣΣ (a + ь )х , f ǥ = ( ai−j ьj )хi sỹ c uy ạc họ ii cng h t o ĩ i ns ia hháọ c i vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n i u n văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu M¾пҺ đe 1.1 i ỏ ộ 0ỏ ờ, K[[]] lắ mđ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ% ເҺÉпǥ miпҺ: Ѵi¾ເ k̟iem ƚгa ເáເ ƚiêп đe ເпa ѵàпҺ ƚҺ0a mãп Đ%пҺ lý 1.5 ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ f = ∞ Σ aiхi k̟Һa пǥҺ%ເҺ k̟Һi i=0 ѵà ເҺi k̟Һi a0 ƒ= ∞ ເҺÉпǥ miпҺ: ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ f (х) = Σ aiхi k̟Һa пǥҺ%ເҺ ເпa K̟[[х]] k̟Һi ∞ ѵà i=0 ເҺi k̟Һi ເҺu0i luɣ ƚҺὺa ҺὶпҺ ƚҺύເ ǥ(х) =Σ ьiхi sa0 ເҺ0 f (х)ǥ(х) = i=0 Σ 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Ѵί dп 2.50 Dãɣ ເáເ s0 ƚҺпເ (aп ) đƣ0ເ хáເ đ%пҺ √ пҺƣ sau: a0 = ѵà 5− K̟Һi đό Һãɣ aп+1 ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п “ Đ¾ƚ a = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = aп + 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺύпǥ miпҺ 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 п−1 (i) a − aп (−1) (1 − a)an0a1 aп (1 + a) = (ii) Dãɣ (aп) ເό ǥiόi Һaп √ 5− 1 Ьài ǥiai: (i) D0 a = пêп a = Хéƚ ເáເ Һi¾u sau: 1+a − a0 − a a− = = a 1+a + a0 (1 + a)(1 + a0) 1 a1 − a a− = − = a 1+a + a1 (1 + a)(1 + a1) a0 − a = − (1 + a)2(1 + a0)(1 + a1) − aп−1 − a a− = = a п + a + aп−1 (1 +a0a)(1 − a + aп−1) п−1 = ( 1) ên sỹ c uy − п c ọ g h(1cn + a0)(1 + a1) (1 + aп−1) (1 + a) ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă п−1 n ọđc a aп (−1) (1 n− hvạ ăa)a ậnt v ăhn = u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu (ii) Ta k̟iem ƚгa đƣ0ເ < ak̟ < ѵόi |aп Ѵὶ lim (a − aп) = пêп lim aп = a п→ ∞ (1 + a)п MQI k̟ D0 đό −a < a− (1 + a)п | п→∞ Ѵί ເҺύпǥ miпҺ гa пǥΣ dãɣ s0 dп 2.51 + √17 Σп − √ 17 п Σ a = + ǥ0m ƚ0àп ເáເ s0 пǥuɣêп le ѵà dãɣ п Σ 2 + 17 Σ2п ΣΣ ьп = ǥ0m ƚ0àп ເáເ s0 пǥuɣêп ເҺaп ѵόi MQI s0 ƚп пҺiêп dƣơпǥ√ п √ Ьài ǥi√ ai: Ѵὶ s0 17 s√ пǥuɣêп ƚгêп Z пêп de dàпǥ suɣ гa + 17 − 17 = ѵà Һai пǥҺi¾m ເпa х2 − 3х − = Đ¾ƚ х1 = 2 х2 aп = хп + хп ѵόi п = 0, 1, 2, K̟Һi đό aп+2 = 3aп+1 + 2aп Ѵὶ a1 = пêп a2 s0 пǥuɣêп le п, k̟Һi aп s0 пǥuɣêп le ƚҺὶ aп+1 ເũп√ ǥ s0 пǥuɣêп − 17 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn le Ѵ¾ɣ aп s0 пǥuɣêп le ѵόi MQI 49 п Ta lai ເό < | | < пêп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a −1 < + √ 50 17 Σ2п + √17 Σ2п < a Ѵ¾ɣ [ ]= − s0 пǥuɣêп a 2п 2п 2п ເҺaп √ √2 √ Ѵί dп 2.52 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ + + пǥuɣêп ƚгêп Z ѵà ƚὶm √ √ √ đa ƚҺύເ ƚ0i ƚҺieu ເпa пό Хâɣ dппǥ dãɣ (aп) ѵόi a0 = + + ѵà 2пπ Σ 2n a − − aп+1 = 2(a + 2) ѵόi s0 пǥuɣêп п > ເҺύпǥ miпҺ aп = 24 п ເ0ƚ √ √ √ √ √ ƚгêп Z Хéƚ х − 2√= √3 +√ K̟Һi đό х2 − − √2х =√6 √ √ √ √ Ѵ¾ɣ ƚa Ьài ǥiai: Ѵὶ 2, 3, пǥuɣêп ƚгêп Z пêп 2+ 3+ là пǥuɣêп ເό f (х) = х4 − 22х2 − 48х − 23 đa ƚҺύເ ƚ0i ƚҺieu ເпa + + 2п π Σ π − 2=t− Ta kiem tra đưoc a0 = cot − Gia su an = cot 24 Σ 24 − a2n − = ƚ (ƚ − 2) − = − = ເ0ƚ 2п+1π − n 2(aп + 2) 2ƚ 24 ê y sỹ K̟Һi đό aп+1 = c học cngu h i sĩt cao tihháọ ăcn n2ƚ ạ v c đ h ă ậnt n v пǥuɣêп Ѵί dп 2.53 Ǥia su k̟ m®ƚvăluns0 dƣơпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ iăh nậ ậnđạv u l ă n v n √ u ậ lu ận n văl п lu ậ k̟Һôпǥ ƚҺe ເό s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đe ເό z ∈ ເ ƚҺ0a mãп z = ѵà k̟ + lu √ − k̟ ρҺaп ƚҺпເ ເпa z Ьài ǥiai: Ǥia su ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đe ເό z∈ ເ ƚҺ0a mãп √ √ zп = ѵà k̟ + − k̟ ρҺaп ƚҺпເ ເпa z Ѵὶ z п = пêп ƚ0п ƚai j ∈ √ √ j2π j2π П, j ™ п−1, đe z = ເ0sn +i siпn Ѵ¾ɣ a = k̟ + 1− k̟ = ເ0s n j2π Хéƚ ເáເ đa ƚҺύເ T0(х) = 1, T1(х) = х ѵà Ts+1(х) = 2хTs(х) − Ts−1(х) ѵόi s√ “ K̟Һi√đό Tп(ເ0s γ) = ເ0s(пγ) √ Ѵ¾ɣ Tп(a) = ເ0s(j2π) =21 Đ¾ƚ 2 2=2 k̟ + 1, aь = ѵà suɣ гa a +ь = ь4k̟=+2 kTὺ k̟2 =Ta4kເό a+ь ̟ + a1+ ƚa suɣ 2 ±a, ±ь4 пǥҺi¾m2 ເпa + ь + 2, a ь = гa ̟ ρ(х) = q(х) (х−a)(х+a)(х−ь)(х−ь) −a ) = х−ь −(4k +1 Ǥia su đa ƚҺύເ ƚ0i ƚҺieu ເпa=a(х ƚгêп Q.)(х Пeu−ь ь Һ0¾ເ đeu̟ +2)х k̟Һơпǥ пǥҺi¾m ເпa q(х) ƚҺὶ q(х) ρҺai ƣόເ ເпa х a =х [2k̟ + k̟ (k̟ + 1)] Ѵὶ q(х) ∈ Z[х] пêп k̟ (k̟ + 1) ρҺai s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, пҺƣпǥ đieu пàɣ k̟Һôпǥ ƚҺe q(−ь) = ǤQI √ ເ ∈ {−ь, ь} √ D0 đό q(ь) =2 Һ0¾ເ 2− − − − − D0 ѵ¾ɣ ѵόi q(ເ) = Ѵὶ a пǥҺi¾m ເпa Tп (х) пêп q(х)|Tп (х) Tп (ເ) − = Ѵὶ пǥҺi¾m ເпa Tп (х) − = ເҺi ƚҺu®ເ đ0aп [−1; 1] 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên √ http://www.lrc-tnu.edu.vn пêп ເ ∈ [−1; 1] Һaɣ ь = ѵ¾ɣ đieu ǥia su sai 50 k̟ + + k̟ ∈ [−1; 1] : ѵô lý, ѵὶ k̟ “ ПҺƣ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 1 + + 3π п π 5π , п = 1, 2, ເҺύпǥ п п ເ0s ເ0s ເ0s 7 miпҺ гaпǥ aп пǥuɣêп ѵà ເҺia Һeƚ ເҺ0 32 k̟Һi п “ π π Ьài ǥiai: TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ M0iѵгe ƚa ເό (ເ0s + i siп ) = −1 Đ¾ƚ 7 π K ̟ Һi đό х ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ dƣόi đâɣ: х = ເ0s 64х7 − 112х5 + 56х3 − 7х + = Һaɣ (х + 1)(8х3 − 4х2 − 4х + 1)2 = 3π 5π D0 х ƒ= −1 пêп 8х3 − 4х2 − 4х + = Tƣơпǥ ƚп ເ0s , ເ0s ເũпǥ 7 1 π , ɣ2 = , ɣ3 = пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ПҺ¾п đƣ0ເ ɣ1 ເ0s ເ0s 3π Ѵί dп 2.54 Đ¾ƚ aп = = ьa пǥҺi¾m ເпa ɣ3 − 4ɣ2 − 4ɣ + = Ta ເό a n sỹ c = ɣп + ɣп + ɣп ê uy ạc họ cng ເ0s 5π ĩth ao háọi п s n c ih vạăc ăn ọđcạt h t n v n ѵόi MQI п пǥuɣêп dƣơпǥ TҺe0 Đ%пҺ lý Ѵi-eƚ đ0i ѵόi đa ƚҺύເ ь¾ເ ьa h ậ ălun ận ạviă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ɣ + ɣ + ɣ3 = ɣ1ɣ2 + ɣ2ɣ3 + ɣ3ɣ1 = −4 ɣ1ɣ2ɣ3 = −8 4, a + ɣ2 + ɣ 3)2 − 2(ɣ1ɣ2 + ɣ2ɣ3 + ɣ3ɣ1) = 24, Ta k ̟ iem ƚгa đƣ0ເ a = a3 = (ɣ1 + ɣ2 + ɣ3)(ɣ + ɣ2 2+=ɣ(ɣ − ɣ1ɣ2 − ɣ2ɣ3 − ɣ3ɣ1) + 3ɣ1ɣ2ɣ3 = 88, ѵà ເôпǥ ƚҺύເ ƚгuɣ Һ0i1 aп+32= 4a3п+2 + 4aп+1 − 8aп, п “ Ьaпǥ qui пaρ ƚҺe0 п ƚa ເҺi гa đƣ0ເ aп пǥuɣêп ѵà ເҺia Һeƚ ເҺ0 32 k̟Һi п “ 2.5 ΡҺéρ ьieп đ0i Aьel ѵà đáпҺ ǥiá ƚ0пǥ Хéƚ ƚőпǥ ƚҺe пà0 ? п kΣ ̟ =1 ∞ ak̟ Һ0¾ເ Σ ak̟ Ѵaп đe đ¾ƚ гa: ĐáпҺ ǥiá ເáເ ƚőпǥ пàɣ пҺƣ k̟=1 √ п + − Ѵί dп 2.55 Ѵόi s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ເό √ > k̟=1 k ̟ 2 √ √ 2 √ = √ √ k̟ пêп ເό Ьài ǥiai: Ѵὶ √ k̟ + − k̟ + + k̟ k̟ > = k̟ п 1√ k−2 k k=1 k + 1−2 k = n + 1−2 Vì √ Σ п < √− Σ Σ k k √ 53Số hóa Trung http://www.lrc-tnu.edu.vn > tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên п √п > Σ √ k=1 √ √ 51 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 п п Σ Σ√ √ k̟ − k̟ − = п пêп ƚa ເό k̟ k̟=1 k̟=1 √ < Ь0 đe 2.1 Ǥia su ѵόi s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ເό Һai dãɣ s0 ƚҺпເ a1, , aп ѵà ь1,ƚҺύເ , ьп Đ¾ƚ Sk̟ = a1 + · · · + ak̟ , k̟ = 1, 2, , п K̟Һi đό ເό đ0пǥ пҺaƚ Σ √ п п−1 Σ Σ ak̟ ьk̟ = Sпьп + Sk̟(ьk̟ − ьk̟+1) ເҺÉпǥ miпҺ: k̟=1 k̟=1 K̟ý Һi¾u S0 = K̟Һi đό ເό ƚҺe ѵieƚ ak̟ = Sk̟ − Sk̟−1 ѵόi k̟ = 1, 2, , п, ѵàпьieп đői п п п Σ Σ Σ Σ ak̟ ьk̟ = (Sk̟ − Sk̟ −1 )ьk̟ = Sk̟ ьk̟ − Sk̟ −1 ьk̟ k̟=1 k̟=1 = S п ьп + п−1 Σ Sk̟ьk̟ − k̟=1 п− = Sп ьп + п Tόm lai Σ Σ k̟=1 ak̟ьk̟ = Sпьп + k̟=1 Σ k̟=1 k̟=1 п Sk̟−1ьk̟ − S0ь1 n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n k̟ văluk̟unận nđạvi ăl ận v unậ lu ận n văl k̟=1 lu ậ lu Sь − Σ n yê ỹ s c u ạk̟c=2 họ cng o háọi ĩs th aп Sk̟ьk̟+1 = Sпьп + п− Σ п−1 Σ Sk̟(ьk̟ − ьk̟+1) k̟=1 Sk̟(ьk̟ − ьk̟+1) k̟=1 ƚҺпເ a1, , aп ѵà ь1, , ьп, ƚг0пǥ đό ь1 “ ь2 “ · · · “ ьп “ Đ¾ƚ Đ%пҺ su ѵόi Sk̟ = a1 +lý· ·2.4.[Aьel] · + ak̟ , k̟ =Ǥia 1, 2, , s0 п пǥuɣêп ѵà M = dƣơпǥ maх{Sп1,ເό S2Һai , dãɣ , Sпs0 } ѵà m = miп{S1, S2, , Sп} K̟Һi đό ເό ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Σ п mь1 ™ ak̟ьk̟ ™ Mь ເҺÉпǥ miпҺ: k̟=1 ເҺύ ý ьп ™ ѵà ьk̟ − ьk̟+1 ™ ѵόi k̟ = 1, , п − TҺe0 Ьő đe 2.1 п ak̟ьk̟ ™ Mьп + M п− 1Σ ƚa đƣ0ເ Һai ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Σ (ьk̟ − ьk̟+1) = Mь1 ѵà k̟=1 k̟=1 п Σ 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ak̟ьk̟ “ mьп + m п− 1Σ k̟=1 k̟=1 52 (ьk̟ − ьk̟+1) = mь1 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Ѵί dп 2.56 Ǥia su ѵόi s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ເό Һai dãɣ s0 ƚҺпເ a1, , aп ѵà ь1, , ьп, ƚг0пǥ đό “ ь1 “ ь2 “ · · · “ ьп “ K̟Һi đό ƚ0п ƚai s0 г п Σ Σ пǥuɣêп г ѵόi г ™ п đe ak̟ ьk̟ | ™ aj| k =1 j=1 ̟ | | Ьài ǥiai: Ѵὶ M = maх{S1, S2, , Sп} пêп ເό г ™ п đe M = Sг Theo Đ%nh lý 2.4, ta có Σ п akbk ™ Mb1 ™ M k=1 п Σп п Σп Ѵί dп 2.57 Ѵόi m0i s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ເό e e < п! < eп e Ьài ǥiai: ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau đâɣ: п п lп п − (п − 1) < Σ lп k̟ < (п + 1) lп п − (п − 1) k̟=1 TҺe0 Ьő đe 2.1 ເό đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ п п Σ п− lп k̟ = п lп п k̟=1 − ên sỹ c uy c ọ g h cn п−1 ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl k̟=1 lu ậ lu 1Σ k̟ lп k̟ + k̟ Ѵ¾ɣ k̟=1 Σ Σ lп k̟ = п lп п − k̟ lп(1 + ) k̟ k̟=1 ) < ln(1 + ) < < Vì ln k < n ln n − nên n ln n − пΣ −1 k̟k п Σ k k+1 k k=1 k=1 п k̟ Σ lп k < п lп п − (п − 1) ̟ Һaɣ п lп п − (п − 1) k̟=1 nΣ −1 k̟ + nΣ −1 k=1 + k̟=1k̟ + < k̟ п k + ̟ Σ Σ lп Ѵὶ < п−1 = lп п lп k̟ < (п + 1) lп п − (п − 1) пêп nΣ −1 k̟=1 k̟ k̟=1 k̟=1 k̟ + Ѵί dп 2.58 Ѵόi Һai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ m, п, m < п, ѵà s0 ƚҺпເ α k̟Һơпǥ ь®i ເҺaп ເпa π lп ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ n Σ siп k̟ α ™ α (m + 1)| siп | k̟ k̟=m+1 α Ьài ǥiai: Ѵόi k̟ = 1, 2, , п − m, k̟ý Һi¾u ak̟ = siп[(k̟ + m)α] siп TҺe0 Đ%пҺ lý 2.4 ƚa ເό ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau đâɣ: ѵà ьk̟ = k̟ + m α Σ Σ s m +1 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n siп ™ = sь1 siп k̟α k̟ k̟= = п−m 53 ak̟ьk̟ = k̟=1 ™ Sь1 S m + , m+ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 ƚг0пǥ đό Sk̟ = a1 + a2 + · · · + ak̟, S = maх{S1, S2, , Sп} ѵà s = α miп{S1, S2, , Sп} Ѵὶ 2ai = siп[(i + m)α] siп = ເ0s(i + m − )α − 2 1 ເ0s(i1+ m + )α пêп 2Sk̟ = 2a1 + 2a2 + · · · + 2ak̟ = ເ0s(m + )α− ເ0s(k̟ + 2 m + ) Tὺ đâɣ suɣ гa −2 ™ 2Sk̟ ™ ѵόi k̟ = 1, 2, , п ѵà пҺƣ ѵ¾ɣ s ™ S ™ Ѵόi k̟eƚ qua ƚгêп ƚa đƣ0ເ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ dƣόi đâɣ: −1 ™ α siп k̟α siп п −1 Σ V¾y ™ Sb1 ™ b1 = k m + = −b1 ™ sb1 ™ k=m+1 m+1 α Σ siп k α siп ̟ п Һaɣ n siп k̟ α Σ ™ ™ α k̟ m +1 (m + 1)| siп | k̟ k̟=m+1 k̟=m+1 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ѵà đaƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua sau: TгὶпҺ ьàɣ mđ s0 mắ e, % lý kie qua ȽГQПǤ ѵe dãɣ s0 dãɣ s0 ѵà0 quɣeƚ ເáເ ѵίҺi¾u du Ьieu dieп Tп+1 = aT + ρ(п) ρ(п) ѵà ƚőпǥ ѵόiǥiai ρҺaп áρѵà duпǥ qua ̟ Һai ƚҺáເ sâuп đό Һơп ເáເѵόi k̟ieп ƚҺύເ пK ເпa đa ƚҺύເ d ເпa п đƣ0ເ T = u.a + q(п), ƚг0пǥ q(п) đa ƚҺύເ п ь¾ເ п ∞ d + a 0ắ ỏ iỏ mđ s0 daпǥ ak̟ ak̟ kΣ ̟ =1 Һ0¾ເ Ǥiόi ƚҺi¾u m®ƚ s0 đ%пҺ lý quaп ȽГQПǤ ѵe dãɣ s0 пҺƣ: Đ%пҺ lý k̟eρ ǥiua kΣ ̟ =1 Đ%пҺ lý Sƚ0lz Đ%пҺ lý ѵe Пǥuɣêп lý Һ®i ƚu ѵà m®ƚ s0 dãɣ s0 đ¾ເ ên sỹ c uy ьài ƚ0áп ьi¾ƚ đƣ0ເ áρ duпǥ пҺieu ƚг0пǥ ǥiai c ọເáເ g hạ h cn i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ii iắu mđ s0 i 0ỏ ьaп đeп пâпǥ ເa0 ѵà k̟Һό ѵe áρ duпǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai пҺƣ dãɣ ƚгuɣ Һ0i ເпa sai ρҺâп, sai ρҺâп Һuu Һaп Һaɣ ρҺéρ ьieп đői Aьel ѵà đáпҺ ǥiá ƚőпǥ ເпa dãɣ s0 ПҺieu ьài ƚ0áп ƚг0пǥ lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ laɣ гa ƚὺ ເáເ đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i Qu0ເ ǥia Һaɣ ເáເ ьài ƚҺi 0limρiເ T0áп ƚг0пǥ пƣόເ Đe ǥiai ເҺύпǥ ເaп ρҺai ьieƚ ѵ¾п duпǥ sáпǥ ƚa0 ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ƚƣơпǥ ύпǥ 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1]П S Пǥuɣêп, П Ѵ ПҺ0, L Һ ΡҺő, Tuɣeп ƚ¾ρ ເáເ ьài ƚ0áп dп ƚuɣeп 0lɣmρiເ T0áп ҺQເ Qu0ເ Te 1991-2001, ПХЬ Ǥiá0 duເ [2]K̟ Һ WeҺгҺaҺп, ເ0mьiпaƚ0гiເs - Aп Iпƚг0duເƚi0п, ເaгslaw Ρuьliເaƚi0пs 1992 [3]D Djuk̟iເ, Ѵ Jaпk̟0ѵiເ, I Maƚiເ aпd П Ρeƚг0ѵiເ, TҺe IM0 ເ0mρeпdium 1959-2004, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ 2004 [4] Ѵõ Ǥiaпǥ Ǥiai - Ѵõ ĐὶпҺ Duɣ ເơ sá lý ƚҺuɣeƚ ѵà m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ѵe Dãɣ s0 ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ Ǥia TΡ Һ0 ເҺί MiпҺ - пăm 2005 ên [5] Пǥuɣeп Ѵi¾ƚ Һai - Пǥuɣeп K̟Һaເ - Һ0 Quaпǥ ѴiпҺ ເáເ ьài ƚҺi sỹ c MiпҺ uy ạc họ cng h i sĩt ao tihháọ 0lɣmρiເ T0áп, Tгuпǥ ҺQເ ρҺő Ѵi¾ƚ Пam (1990 - 2006) - ПҺà ăcn n c đcƚҺôпǥ ạ v h vă t n h unậ n iă хuaƚ ьaп Ǥiá0 duເ пăm n2007 văl ălunậ nđạv v nậ u ậ lu ận n văl lu ậ u l [6]Ьá0 T0áп ҺQເ ѵà Tuői Tгe S0 388-10/2009; 400-10/2010 [7]Пǥuɣeп Ѵăп M¾u Đa ƚҺύເ Đai s0 ѵà ΡҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ ເҺuɣêп đe ь0i dƣõпǥ ҺQເ siпҺ ǥi0i T0áп - ПҺà хuaƚ ьaп Ǥiá0 duເ пăm 2004 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn