Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)Dãy kép và chuỗi kép (LV thạc sĩ)
ì P P ì P P Pữỡ sỡ số ữớ ữợ P r Pữỡ ử ỡ ỹ tử ợ ợ ởt số ỵ sỹ tử ỡ ỡ ộ ỹ tử ộ ộ ộ ổ ỹ tử tt ố ộ ỡ ộ t t ỡ r q tr t ự t t ữủ sỹ t ú ù t ổ ỗ t t t t ỷ ỡ tợ rữớ Pỏ t rữớ t ổ trỹ t t ú ù tự ú t t ự t t ụ ỷ t ỡ s s tợ P r Pữỡ ữớ trỹ t ữợ t t ú ù õ ỵ t t t ỡ t t rữớ P r ũ ợ ữớ t ỗ t t ú ù t t ủ t tr sốt q tr t ự t t t ự ổ t tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ õ ỵ t t ổ ỗ t ỡ ỳ ởt ỳ t t ỡ t é tự ộ số ỳ tự sỡ q tở ữủ tr ữỡ tr t trữớ P t tr t s ọ P t s õ ỳ t tú ộ ỳ ự ố ợ ộ t sỹ tử t ợ t sỹ tử t tờ ộ õ ỵ r tỷ ởt ỡ số tờ qt ởt ộ ỡ tữớ tở ởt số tỹ ữ ởt số ú t t sỹ tử ý ộ t số tỹ õ t rở t t tở tỷ số tờ qt ộ ổ ởt số tỹ õ õ t ỡ số tỹ ị tữ t ộ N t số tỹ số s : N ì N C t ởt tữớ (s(n, m)) ụ ỹ ữủ ộ tổ q tờ tự m,n=1 s(n, m) ỳ tỹ t r ố ợ ộ ụ t sỹ tử t ợ t sỹ tử t tờ ộ õ r q tr ự s t ỳ ợ ỡ ổ õ sỹ tử ợ õ ởt số t tr ỳ tự ởt số t t ụ õ ởt số ổ tr t ữợ ự ữủ t tr t t ợ ố t ỳ ộ ú tổ t ộ tờ ủ ởt số t q ự sỹ tử ộ ữủ t ự tr tớ ỗ õ ữỡ ữ s ữỡ r ữỡ ú tổ tr ởt số sỹ tử t ỡ ữỡ ộ ữỡ ú tổ tờ ủ ởt số ự ộ sỹ tử tử tt ố ộ ổ t ộ ỡ ữỡ ỹ tử ợ ợ r ú tổ ự số ự sỹ tử ý õ r ú tổ ự ố q ỳ ợ ợ õ N t ủ số tỹ R C ữủt trữớ số tỹ ự ởt số ự ởt số s : N ì N C ỵ (s (n, m)) ỡ (sn,m ) õ r ởt (s (n, m)) tử a C t t lim s(n, m) = a n,m ợ ộ > tỗ t N = N () N s |s(n, m) a| < ợ n, m N ố a ữủ ợ (s (n, m)) ữủ t õ r (s (n, m)) ý (s (n, m)) ởt số tỹ i) õ r (s (n, m)) t lim s(n, m) = n,m ợ R tỗ t K = K () N n, m K t s (n, m) > ii) õ r (s (n, m)) t lim s(n, m) = n,m ợ R tỗ t K = K () N n, m K t s (n, m) < a) s (n, m) = n+m õ lim s(n, m) = n,m t ợ > N N N > õ ợ m, n N t õ n1 , m N t |s(n, m) 0| = 1 1 < + = < < + n+m n m N N N n b) s (n, m) = n+m ý t ợ n, m ợ n = m N t õ s (n, m) = 12 t ợ n, m ợ n = 2m N t õ s (n, m) = 32 ữ s(m, n) õ tử tỷ õ ổ tử ởt số tỹ a n, m c) s (n, m) = n + m ý t R tỗ t K N s K > t n, m K n + m > d) s (n, m) = n m ý t R tỗ t K N s K > + 12 t n, m K n, m < n m < ỵ ởt số ự õ ổ q ởt ợ ự sỷ ợ a, a ợ (s (n, m)) õ ợ > tỗ t số tỹ N1 , N2 s n, m N1 |s(n, m) a| < , n, m N2 |s(n, m) a | < N {N1 , N2 } õ ợ n, m N tứ t õ |a a | = |a s(n, m) + s(n, m) a | a |a s(n, m)| + |s(n, m) a | a< + = , ú ợ > ứ õ s r a a = õ ợ t ởt (s (n, m)) ữủ tỗ t ởt số tỹ M > s |s (n, m)| M ợ n, m N ỵ ởt số ự tử t ự sỷ s (n, m) a = tỗ t N N s n, m N |s(n, m) a| < t |s(n, m)| < + |a| ợ n, m N M = max {|s (1, 1)| , |s (1, 2)| , |s (2, 1)| , , |s (N 1, N 1)| , |a| + 1} ó r |s(n, m)| M ợ n, m N (s (n, m)) ợ lim n lim s(n, m) m lim m lim s(n, m) n tỗ t t ữủ ợ ợ tr tỗ t t õ t ú ổ ữ s t s(n, m) = n m+n ợ ộ m N lim s(n, m) = õ lim m lim s(n, m) = n n N lim s(n, m) = õ m lim n lim s(n, m) = m n r trữớ ủ ợ ổ tỗ t ú ỵ ỹ tỗ t ợ ữ t sỹ tỗ t ợ õ t s t s(n, m) = (1)n+m n + m ó r lim s (n, m) = n,m N < õ t õ + < n m N t ợ ộ > t N N s 1 + n m n, m N |s(n, m)| = (1)n+m ữ lim lim s (n, m) ổ tỗ t lim s (n, m) ổ tỗ t n lim m m lim s (n, m) ổ tỗ t lim s (n, m) ổ tỗ t m n n ỹ tỗ t ợ ợ ợ ự ởt õ ợ ữ õ ợ ữủ ợ ợ tỗ t t ữ ú õ t t tổ q s i) s (n, m) = n + m1 õ lim s (n, m) = n,m t > 0, tỗ t N N s n, m N ụ tỗ t lim n m lim s (n, m) = m lim s (n, m) = lim m < õ 1 1 + < = + n m n m N t tứ lim s (n, m) = n N m n t s r ợ lim s (n, m) = n ii) t s(n, m) = (1)m n1 + m1 ữỡ tỹ ữ tr (1)m õ lim s(n, m) = t lim s(n, m) = m ợ n,m lim m lim n n lim s(n, m) = ữ lim s(n, m) ổ tỗ t n m lim s(n, m) ổ tỗ t m iii) t s(n, m) = (1)n+m ổ tỗ t ợ ụ ổ tỗ t ợ ộ n1 (1) n n=1 (1)n1 n=1 1 + + + n+1 n tử õ cn = n=1 ỵ tử an = A n=0 (1)n1 n n=1 = (ln 2)2 ỵ t bn = B n=0 cn n=0 ộ ở tử tợ C t C = A.B ự An, Bn, Cn tờ r tự n tữỡ ự bn n=0 an n=0 cn tr ữủ r n=0 Cn = a0 Bn + a1 Bn1 + + an B0 õ C0 + C1 + + Cn = A0 Bn + A1 Bn1 + + An B0 n + t õ C0 + C1 + + Cn A0 Bn + A1 Bn1 + + An B0 = n+1 n+1 õ C0 + C1 + + Cn = C n n+1 A0 Bn + A1 Bn1 + + An B0 lim = A.B n n+1 õ C = A.B ỵ ữủ ự lim t t ởt tr ộ ữỡ an bn n=0 n=0 ý t t ú ý ỵ ự õ cn = a0 bn + a1 bn1 + + an b0 > a0 bn cn > an b0 õ an n=0 bn ý t ộ ý n=0 ú ỵ ộ ý ữ ý t ộ n=1 õ n + n1 n=1 2n + 2n+1 n1 ak bnk cn = a0 bn + b0 an + k=1 tr õ a0 = b0 = an = cn = = = = = r n1 3 3 n1 n + 2n+1 n + n bn = n1 n 3 n1 k=1 n1 k 2n + cn = n=1 ỵ n=1 2n+1 õ n1k 2n1 + + 21 + + 2n+1 n1 n1 1 n + n+1 2n + n 2 n1 1 2n + n+1 2n + n 2 n1 n 3 = 2n 2nk + 2n+1k 1 + + + n 2 n tử an n=0 bn n=0 tử n lim n ak (bn + bn1 + bnk+1 ) = k=1 ự An, Bn, Cn ữủt tờ r ộ n=0 an bn n=0 cn õ Cn = a0 Bn + a1 Bn1 + + an B0 s r n=0 n ak (bn + bn1 + + bnk+1 ) k=1 = a1 (Bn Bn1 ) + + an (Bn B0 ) = Bn (An A0 ) a1 Bn1 an B0 = Bn An Cn ứ õ cn tử t lim Cn = C t n n=0 n ak (bn + bn1 + + bnk+1 ) = AB C = lim n k=1 ữủ lim n n k=1 ak (bn + bn1 + + bnk+1 ) = t lim Cn = lim An Bn = AB, n t t n n=0 an ự t tử t ộ ợ õ bn tử n=0 cn t ộ n=1 õ t õ cn = (1)n1 (1)n1 n n=1 (1)n1 ợ õ n n=1 1 + + + n nã1 k nk+1 1 > |cn | > t s r ộ k nk+1 n n=1 cn ý ộ (ak,l ) (bk,l ) ợ (k, l) N2 ữủ õ (ak,l bk,l ) tr õ k l ai,j bki,lj ợ (k, l) N2 , ak,l bk,l = i=0 j=0 k,l=0 ak,l t ộ ộ õ k,l=0 ak,l k,l=0 bk,l ữủ bk,l ỵ rts t ởt tr ộ tử tt ố ộ ỏ tử t t ộ tử ỵ õ r ộ ỡ tử t ú ụ tử t tờ ộ t t tờ ộ t q õ ổ ỏ ú ố ợ ộ t s t (ak,l ) (bk,l ) a0,l = a1,l = ợ l N ak,l = ợ k N\ {0, 1} , l N bk,0 = bk,1 = ợ k N bk,l = ợ l N\ {0, 1} , k N õ ộ k,l ak,l k,l bk,l tử tờ ộ ộ r t t a0,0 b0,0 = ak,l bk,l = ợ (k, l) N2 \ {(0, 0)} k,l=0 ak,l bk,l tử õ tờ ộ ak,l ữủ tử õ k,l tử tờ r õ t t ự ỳ tữỡ tỹ ỵ rts ộ tử t q ữủ tsr ự tr n,m,k,l R t tr A = (n,m,k,l ) õ r A tứ ởt x = (xk,l ) tợ ởt Ax [Ax]n,m = k,l n,m,k,l xk,l , tr õ ộ tử ợ ộ (n, m) ố tr A = (n,m,k,l ) tứ ởt tử tợ ởt tử i) sup k,l n,m ii) iii) |n,m,k,l | < , tỗ t ợ = lim n,m k,l n,m,k,l tỗ t ợ k,l = lim n,m,k,l ợ ộ (k, l) ố n,m iv) lim n,m k |n,m,k,l k,l | = ợ ộ l ố lim l n,m |n,m,k,l k,l | = ợ ộ k ố r trữớ ủ ộ k,l ak,l tử tt ố ố ợ t ý tử (xk,l ) t õ ổ tự ợ lim [Ax]n,m = k,l n,m k,l lim xn,m + k,l n,m k,l xk,l (ak,l ) ởt õ t bk,l tử ợ ộ ộ k,l=0 bk,l tử ộ k,l=0 ak,l tử tt ố r trữớ ủ t õ ỵ k,l=0 ak,l k,l=0 ak,l bk,l = k,l=0 ak,l k,l=0 bk,l ự ợ n, m N t n n An,m = n m ak,l , Bn,m = k=0 l=0 bk,l k=0 l=0 n n ak,l bk,l Cn,m = k=0 l=0 õ m n Cn,m = k l i=0 j=0 k=0 l=0 m n k l ank,ml aki,lj bi,j = m n bi,j i=0 j=0 k=0 l=0 ank,ml Bk,l = k=0 l=0 ợ (m, n) N2 k,l=0 ak,l bk,l tữỡ ự ợ ố ộ k,l=0 bk,l tử (Cn,m ) tữỡ ự ợ ộ (Bn,m ) tử t tr A = (n,m,k,l ) ợ ank,ml k n l m, n,m,k,l = trữớ ủ ộ õ [A (Bk,l )]n,m = Cn,m ợ (n, m) N2 tr A tọ (i) n m n sup |ank,ml | = sup n,m n,m k=0 l=0 õ ộ m |ak,l | < +, k=0 l=0 k,l ak,l tử tt ố tr trữớ ủ õ t õ = lim n,m k,l n,m,k,l = lim n,m n k=0 m l=0 ak,l = k,l ak,l , k,l = lim n,m,k,l = lim an,m = ợ (k, l) ố , (k, l) N2 , n,m n,m lim n,m k |n,m,k,l k,l | = lim k=0 |ak,ml | lim l |n,m,k,l k,l | = lim l=0 |ank,l | n,m m n = ợ l ố , l N, = ợ k ố , k N, õ (ii) (iii) (iv) ữủ tọ õ tứ t õ t q s k,l=0 ak,l bk,l = = k,l=0 ak,l limn,m Bn,m + k,l=0 ak,l k,l=0 bk,l ỵ ữủ ự t ởt t t tữỡ tỹ ỵ ộ tử rữợ t t ự ởt số tt an,m ợ (n, m) N2 ởt tử a = limn,m an,m an,m = n m k=0 l=0 ak,l / (n + 1) (m + 1) , t (an,m) ởt tử limn,m an,m = a ỡ ỳ (bn,m) ởt tử b = limn,m bn,m t lim n,m an,m bn,m = ab (n + 1) (m + 1) ự t tr L = (n,m,k,l ) , tr õ n,m,k,l = 1/ (n + 1) (m + 1) k n l m, trữớ ủ õ [L (ak,l )]n,m = an,m ợ (n, m) N2 r sup n,m k,l |n,m,k,l | = lim n,m k,l n,m,k,l = lim n,m n k=0 m l=0 n,m,k,l = 1, = ợ (k, l)ố , (k, l) N2 , k,l = lim n,m,k,l = lim (n+1)(m+1) n,m n,m lim m,n k |n,m,k,l k,l | = lim (m+1) = ợ l ố , l N, lim k |n,m,k,l k,l | = lim (n+1) = ợ k ố k N, n,m m n (i) (iv) ữủ tọ ữ t ổ tự ợ t ữủ lim an,m = (1 0)a + = a n,m t (bn,m ) ởt tử b = limn,m bn,m t tr A = (n,m,k,l ) tr õ ank,ml / (n + 1) (m + 1) k n l m, n,m,k,l = trữớ ủ õ [A (bk,l )]n,m = (an,m bn,m ) / (n + 1) (m + 1) ợ (n, m) N2 r tứ = sup |an,m | : (n, m) N2 < , t ữủ sup k,l n,m n k=0 |n,m,k,l | = sup = lim n,m n,m k,l n,m,k,l = lim n,m n k=0 m l=0 n,m,k,l , m l=0 n,m,k,l = lim an,m = a, n,m a n,m = ợ (k, l) ố , (k, l) N2 , k,l = lim n,m,k,l = lim (n+1)(m+1) n,m n,m lim n,m k = ợ l ố , l N, |n,m,k,l k,l | = lim (m+1) lim k = ợ k ố , k N, |n,m,k,l k,l | = lim (n+1) n,m m n (i) (iv) ữủ tọ ữ t ổ tự ợ t õ lim (an,m bn,m ) /(n + 1)(m + 1) = (a 0)b + = ab n,m ữủ ự ởt ộ k,l=0 ak,l ữủ tờ sr lim n,m (n + 1) (m + 1) n m Ak,l k=0 l=0 tỗ t tr õ Ak,l tờ r tự (k, l) ộ r trữớ ủ ợ tr ữủ tờ sr ộ ứ t s r ởt ộ tử t tờ sr tờ sr õ tờ ộ k,l=0 ak,l k,l=0 bk,l ộ tử õ t k,l=0 ak,l bk,l tờ sr tờ ỵ sr AB tr õ A B tờ ộ t t k,l=0 ak,l bk,l tử t tờ õ AB ự ứ ự ỵ õ m n ak,l bk,l = an,m Bn,m = An,m bn,m ợ (n, m) N2 Cn,m = k=0 l=0 t ak,l bk,l An,m bn,m t p q p q An,m bn,m = Ap,q Bp,q ợ (n, m) N2 Cn,m = n=0 m=0 n=0 m=0 õ t t õ lim p,q (p + 1) (q + 1) p Cn,m = lim n=0 m=0 ữ t q p,q Ap,q Bp,q = AB (p + 1) (q + 1) ak,l bk,l tờ sr tờ sr k,l=0 AB sr ữ r ởt t q tữỡ tỹ ỵ k,l=0 bk,l k,l=0 ak,l ộ tử s lim ak,l = = lim bk,l k+l õ t k,l=0 ak,l k+l bk,l t t tờ sr AB ữ s ợ t ý số tỹ ữỡ r, s ợ r < s t õ lim n,m mr