Tieu luan bai toan dung phuong phap xap xi trung binh

§å ¸n tèt nghiƯp Lời nói đầu Toán học môn khoa học chiếm vị trí quan trọng thiếu cc sèng ngi Cïng víi sù ph¸t triĨn néi toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Giải tích số hay gọi phơng pháp số môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần phơng trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối u Việc giải toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay hàm số dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hàm số dới dạng bảng hàm số đơn giản Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứu toán nội suy, toán xấp xỉ toán xấp xỉ trung bình phơng Trong đồ án em đề cập đến toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay gọi phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm thực nghiệm Để hoàn thành đồ án em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đà quan tâm giúp đỡ em tạo điều kiện cho em suốt trình làm đồ án Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đà trực tiếp tận tình hớng dẫn, bảo kinh nghiệm tài liệu suốt trình em làm đồ án tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Bùi Văn Bằng Chơng I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn ®Ò - - Sinh viên thực hiện: Bùi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiÖp -Cã rÊt nhiỊu ph¬ng pháp khác để lập đa thức từ thực nghiệm mà ta đà biết đến nh phép nội suy ®Ó lËp ®a thøc cÊp n:  ( x ) (đại số lợng giác) xấp xỉ hàm số y f ( x ) mà ta đà biết giá trị hàm y yi điểm x xi Phơng pháp nội suy nói sử dụng thực tiễn có điều cần cân nhắc là: + Trong đa thức nội suy ( x ) ta đòi hỏi ( xi ) = yi Tuy nhiên đòi hỏi ý nghĩa nhiều thực tế Bởi số yi giá trị hàm y f ( x ) điểm x xi , thùc tÕ chóng ta cho díi d¹ng bảng thờng thu đợc từ kết đo đạc tính toán thực hành Những số y i nói chung xấp xỉ với giá trị f ( xi ) hàm y f ( x ) t¹i x xi Sai sè mắc phải i yi f ( xi ) nói chung khác không Nếu buộc ( xi ) yi thực chất đà đem vào toán c¸c sai sè  i cđa c¸c sè liƯu ban đầu nói (chứ làm cho giá trị hàm nội suy (x) hàm f ( x ) trùng điểm x xi ) + Để cho đa thức nội suy (x) biĨu diƠn xÊp xØ hµm f ( x ) mét cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy xi (nghĩa làm giảm sai số công thức nội suy) Nhng điều lại kéo theo cấp đa thức nội suy tăng lên đa thức nội suy thu đợc cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập nh dựa vào để tính giá trị gần khảo sát hàm f ( x) 1.1.2 Bài toán đặt Chính lý nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ sát thực thông qua hai toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ) - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -Giả sử đà biết giá trị yi (i 1,2, , n) cđa hµm y  f ( x) điểm tơng ứng x xi Tìm hàm m ( x) xấp xỉ với hàm f(x) ®ã m m ( x)  aii ( x) i 0 (1 - 1) víi  i (x) lµ hàm đà biết, hệ số số Trong giải toán cần chọn hàm m (x) cho trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất thu đợc số liệu yi ) cần phải đợc chỉnh lý trình tính toán Trong toán tìm hàm xấp xỉ việc chọn dạng hàm xấp xỉ m (x ) lµ tïy thc ý nghÜa thùc tiƠn hàm f ( x ) Bài toán (tìm tham số hàm có dạng đà biết) Giả sử đà biết dạng tổng quát hàm Y  f ( x, a0 , a1 , , am ) (1 - 2) ®ã: (i 1,2, , m) số Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị hàm y  yi (i 1,2, , m) øng víi c¸c gi¸ trị x xi đối Vấn đề từ số liệu thực nghiệm thu đợc cần xác định giá trị tham số a0 , a1 , , am để tìm đợc dạng cụ thể biểu thức (1 – 2): y  f ( x) vÒ sù phụ thuộc hàm số y x 1.2 Sai số trung bình phơng phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấp xỉ tốt với hàm 1.2.1 Sai số trung bình phơng - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -Những hàm thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải sai số có tính chất ngẫu nhiên Những sai số xuất tác động yếu tố ngẫu nhiên vào kết thực nghiệm để thu đợc giá trị hàm Chính lý trên, để đánh giá sai khác hai hàm thực nghiệm ta cần đa khái niệm sai số (hoặc độ lệch) cho mặt chấp nhận đợc thực tế, mặt lại san sai số ngẫu nhiên (nghĩa gạt bỏ đợc yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết thực nghiệm) Cụ thể hai hàm thực chất gần sai số đa phải bé miền xét Khái niệm sai số nói có nghĩa không ý tới kết có tính chất cá biệt mà xét miền nên đợc gọi sai số trung bình phơng 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta gọi n sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng hai hàm f ( x) ( x) tập X ( x1 , x2 , , xn ) nÕu n [ f ( xi )   ( xi )]   n = n i 1 1.2.3 ý nghĩa sai số trung bình phơng (2 - 1) Để tìm hiểu ý nghĩa sai số trung bình phơng ta giả thiết f ( x) , (x) hàm liên tục đoạn a, b  vµ X ( x1 , x2 , , xn ) tập hợp điểm cách  a, b  a x1  x2  xn b Theo định nghĩa tích phân xác định ta cã lim  n  (2 - 2) n  Trong ®ã b 2 = b a [ f ( x)   ( x)] dx a (2 - 3) - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 §å ¸n tèt nghiƯp -Gi¶ sö f ( x )   ( x ) có a, b số hữu hạn cực trị số dơng cho trớc Khi a, b có k đoạn riêng biệt , bi (i 1,2, , k ) cho f ( x )   ( x )  (víi x   , bi  , (i 1,2, , k ) ) Gọi tổng độ dài k đoạn nói Với n đủ lớn n ®đ bÐ, tõ (2 – 2) ta suy  <  (  bÐ tïy ý) Tõ(2 - 3) suy k bi b  (b  a ) > Do ®ã [ f ( x)   ( x)] a dx   [ f ( x)   ( x)] dx i 1       (b  a )     NghÜa lµ tổng độ dài đoạn , bi  sÏ bÐ tïy ý Tãm l¹i: Víi  n đủ bé (n lớn) đoạn a, b (trừ điểm đoạn , bi mà có tổng độ dài  bÐ tïy ý), ta cã f ( x)  ( x) Trong số dơng tùy ý cho trớc Từ nhận xét ta rót nh÷ng ý nghÜa thùc tiƠn cđa sai số trung bình phơng nh sau: Nếu sai số trung bình phơng n hai hàm f(x) (x) tập hợp n điểm a, b X (n đủ lớn) mà bé với tuyệt đại đa số giá trị x [a, b] cho sai số tuyệt đối f(x) (x) bé 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng - - Sinh viên thực hiện: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tèt nghiÖp -Tõ ý nghÜa sai số trung bình phơng nói ta nhận thấy giá trị yi (i 1,2, , n) hàm f ( x) điểm xi sai số trung bình phơng n = n  [ yi   ( xi )] n i bé hàm (x) xấp xỉ tốt với hàm f ( x) Cách xấp xỉ hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh giá nh gọi xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng Rõ ràng: Nếu hàm f ( x) thu đợc thực nghiệm (nghĩa yi f ( xi ) ) cách xấp xỉ nói đà san sai lạc điểm (nảy sinh sai số ngẫu nhiên thực nghiệm) Đó lý giải thích lý phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rÃi thực tiễn Ta xét trờng hợp ( x) phơ thc c¸c tham sè a0 , a1 , , am  ( x) ( x; a0 , a , , am ) (2 - 4) Trong sè hàm ( x) có dạng (2 - 4) ta sÏ gäi hµm  ( x) ( x; a , a1, , a m ) (2 - 5) xấp xỉ tốt theo nghĩa trung bình phơng với hàm f ( x) sai số trung bình phơng ( x) với f ( x) bé nhÊt Cơ thĨ lµ  n (a , a1 , , a m ) min  n (a0 , a1, , am ) Trong ®ã n  n (a0 , a1 , , am )    yi   ( x; a0 , a1 , , am )  n i 1 Tõ (2 - 6) ta nhËn thÊy (2 - 5) t¬ng đơng với đẳng thức n y ( x; a , a , , a ) i i 1 m n min   yi   ( x; a0 , a1, , am )  i 1 (2 - 6) (2 - 7) - - Sinh viên thực hiện: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tèt nghiÖp -Tõ ®ã viƯc tìm hàm xấp xỉ tốt (trong số hàm dạng (2 - 4) với hàm n f ( x) ) đa tìm cực tiểu tổng bình phơng i i i  yi   ( x; a0 , a1 , , am ) Bởi phơng pháp tìm xấp xỉ tốt theo nghĩa trung bình gọi phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm thực nghiệm Chơng II Các phơng pháp xấp xỉ 2.1 Xấp xỉ hàm thực nghiệm đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: 0 ( x),1 ( x), , m ( x), Ta gọi hàm m ( x) đa thức suy réng cÊp m nÕu m ( x) cã d¹ng m m ( x)  aii ( x) i 0 (3 - 1) ®ã a0 , a1 , , am hệ số số Hệ hàm {i ( x)} đà cho gọi hệ - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -2.1.2 Néi dung Theo phÇn tìm hàm xấp xỉ giả sử đà biết n giá trị thực nghiệm yi (i 1,2, , n) hàm y f ( x) điểm tơng ứng xi Khi việc tìm đa thức suy rộng có dạng (3 - 1) mà xấp xỉ với hàm f ( x) nói x1, x2 , , xn    a, b sÏ chun vỊ viƯc t×m m+1 hƯ sè (3 - 1) Để trình tính toán đợc đơn giản ta xÐt ®a thøc suy réng m ( x) víi cấp m không lớn Tuy nhiên ta phải chọn n đủ lớn giả thiết n m + Khác với toán nội suy ta không cần xác định m + giá trị từ n phơng trình: yi m ( xi ) (i 1,2, , n) (vì số phơng trình thờng nhiều số ẩn) Ta áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy réng m  m ( x)   i ( x) xÊp xØ tèt nhÊt víi hµm f ( x) trªn  a, b  Trong (2 – 7) ta coi i 0 m  ( x; a0 , a1 , , am ) =  m (x) = Tõ ®ã ta suy  a  ( x) i i i 0  a , a , , a điểm cực tiểu hµm m + biÕn m n F (a0 , a1 , , am ) = [ y i   ( xi )a  1 ( xi )a1    m ( xi )a m ] i 1 (3 - 2) Do ®ã  a0 , a1 , , am  lµ nghiệm hệ phơng trình F F F a = 0; a1 = 0; …; a m = Hoặc dạng tơng đơng với - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp - n y   ( x )a   ( x )a    ( x )a   ( x ) 0  i i i m i m i    i 1  n  2  yi  0 ( xi )a0  1 ( xi )a1    m ( xi )am    1 ( xi ) 0  i 1   n 2  y   ( x )a   ( x )a    ( x )a     ( x ) 0 i i m i m m i  i 1 i (3 - 3) Gọi r véc tơ n chiều với thành phần thứ i r ( xi ) Gọi y véc tơ n chiều với thành phần thứ i yi Theo định nghĩa tích vô hớng véc tơ ta có m n i i 1  y,r   yir ( xi )  r ,s   r ( xi )s ( xi ) ; Do (3 - 3) đợc chuyển vỊ d¹ng (3 - 4)   0 ,0  a0   0 ,1  a1    0 , m   y,     1 ,  a0   1 ,1  a1    1 , m   y,1      m ,  a0    m ,1  a1     m , m   y, m  (3 - 5) Ta nhËn thÊy (3 - 5) hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + hệ số: a , a1 , , a m ®a thøc xÊp xØ  m (x) Ma trËn cña hệ ph[ , ] ơng trình tuyến tính (3 - 5) có phần tử i j , ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán tích vô hớng) Ta gọi hệ phơng trình (3 - 5) hệ phơng trình chuẩn Định thức hệ phơng trình chuẩn có d¹ng G(  , 1 , ,  m ) = [ ,  ][ , 1 ] [ ,  m ] [1 ,  ][1 , 1 ] [1 ,  m ] [ m ,  ][ m , 1 ] [ m ,  m ] (3 - 6) - - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48 Đồ án tốt nghiệp -Ta gọi định thức G (0 ,1 , , m ) định thức Gram hệ véc tơ , , m tập điểm X  x1 , x2 , , xn  Mµ ta đà biết: Nếu hàm sở ( x), 1 ( x), ,  m ( x) lµ hệ hàm độc lập tuyến tính X x1 , x2 , , xn    a, b số đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 - 1) tồn ®a thøc suy réng m  m ( x )  a i  i ( x ) (3 - 1’) i 0 lµ xÊp xØ tèt nhÊt theo nghÜa trung bình phơng hàm f ( x) Ngoài chứng minh hệ së  ( x), 1 ( x), ,  m ( x) độc lập tuyến tính  x1 , x2 , , xn    a, b  th× G (0 ,1 , , m ) Nghĩa trờng hợp hệ phơng trình chuẩn (3 - 5) có nhÊt nghiÖm a , a1 , , a m ứng với hệ số đa thức (3 - 1’) xÊp xØ tèt nhÊt víi hµm f ( x) (theo nghĩa trung bình phơng) Do ta cho hệ hàm sở nghĩa hệ hàm độc lập tuyến tính đoạn a, b 2.1.3 Sai số phơng pháp Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ m (x) cho hàm f ( x) ta cần đánh giá sai số độ lệch hàm f ( x) Sai số hiểu theo nghĩa trung bình phơng Cụ thể ta tìm đại lợng m n [ y i   m ( x )]  n i 1 (3 - 7) Tõ (3 - 1’) ta cã - 10 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng Lớp: Toán Tin_2 – K48