Logic vị từ - Trần Văn Hoài

Logic vị từ - TS. Trần Văn Hoài

Logic vị từ

Điểm yếu của logic mệnh đề (1)

☞ Không thể hiện được các phát biểu có các biến

Điểm yếu của logic mệnh đề (2)

☞ Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằnglogic mệnh đề

"Không phải tất cả bánh đều ăn được" và "Chỉ một số bánh ăn

được"

"Not all integers are even" và "Some integers are not even"

Để suy diễn, mỗi mệnh đề phải được liệt kê riêng lẽ

Predicate là vị từ mô tả tính chất của những đối

tượng, hoặc quan hệ giữa chúng

☞ Ký hiệu phát biểu P (x)

Ví dụ

Xét các câu sau

• "The car Tom is driving is blue"

• "The sky is blue"

• "The cover of this book is blue"

Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B

B(x) nghĩa là "x is blue"

Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau

• B(The car Tom is driving)

• B(The sky)

Dạng tổng quát

☞ Một phát biểu có n biến x1, x2, , xn được ký hiệu là

P(x1, x2, , xn) được gọi là hàm mệnh đề (propositionalfunction)

P được gọi là vị từ

Ví dụ:

P (x, y, z) : x + y = z

P (x1, x2, , x n ) : Pni =1 x i = 1

Vị từ không phải là mệnh đề

☞ Phát biểu x > 1 không phải là mệnh đề

☞ Để biến x > 1 thành mệnh đề, một trong 2 cách sau phảithực hiện

➠ Gán giá trị cụ thể cho x

➠ Chuyển phát biểu sang dạng

There is a number x for which x > 1

hoặc là

For every number x, x > 1 holds

Lượng từ (quantifier)

☞ Gán giá trị cho tất cả các biến của P ⇒ mệnh đề

☞ Cách khác là dùng các lượng từ

• ∀: với mọi ∀xP (x) = P (x) là Tvới mọi x

• ∃: tồn tại ∃xP (x) = Tồn tại x sao cho P (x) là T

⇒ Cần một miền giá trị cho x (universe of discourse)

Miền giá trị là tập các đối tượng quan tâm của một

biến

Mệnh đề chỉ có giá trị Thay Fnếu miền giá trị đã được xácđịnh

Ví dụ toán tử "với mọi" (∀)

☞

Ví dụ: Mọi sinh viên máy tính phải học môn logic

P (x) = "x phải học môn logic"

Mệnh đề: ∀xP (x)

☞

Ví dụ: Chính xác hơn

S (x) = x là sinh viên máy tính

P (x) = x phải học môn logic

Mệnh đề: ∀x(S(x) → P (x))

Tầm vực của lượng từ

☞ Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là côngthức nhỏ nhất ngay sau lượng từ

☞ Biến x là bound nếu

• Biến x được gán giá trị

• Biến x được lượng từ hóa

☞ Biến x là free nếu nó không bound

Ví dụ:

➳ ∀xP (x, y) thì x là bound và y là free

➳ ∀x(∃yP (x, y)∨Q(x, y)) thì x, y trong P (x, y) là bound, trong

khi y trong Q(x, y) là free

Thứ tự các lượng từ

☞ Thứ tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi

Tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả là "tồn tại"

☞ Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra

Diễn giải ý nghĩa (1)

Diễn giải ý nghĩa (2)

Diễn giải phát biểu sau:

Diễn giải ý nghĩa (2)

Diễn giải phát biểu sau:

∀x(C(x) ∨ ∃y(C(y) ∧ F (x, y))))

Trong đó:

• C(x): x có máy tính

• F (x, y): x, y là bạn

• x, y ∈ tất cả sinh viên trong trường

Với mọi sinh viên x trong trường, hoặc x có máy

tính, hoặc tồn tại sinh viên y có máy tính và sinh

x, y là bạn

Diễn giải ý nghĩa (3)

Diễn giải phát biểu sau:

Diễn giải ý nghĩa (4)

Diễn giải phát biểu sau:

∃x∀y∀z(((F (x, y) ∧ F (x, z) ∧ (y 6= z)) → ¬F (y, z)))

Trong đó:

• F (x, y): x, y là bạn

• x, y, z ∈ tất cả sinh viên trong trường

Tồn tại một sinh viên x, sao cho với mọi sinh viên

y, với mọi sinh viên z khác y, nếu x là bạn của y và

x là bạn của z thì y, z không là bạn của nhau

Hình thức hóa ngôn ngữ (1)

(1) "Có sinh viên nào đó trong lớp đã tham quan Hà Nội"(2) "Mọi sinh viên trong lớp đã thăm Nha Trang hoặc VũngTàu"

Hình thức hóa ngôn ngữ (3)

"Nếu một người là phụ nữ và là cha mẹ, thì người này là mẹcủa ai đó"

Tóm tắt ý nghĩa của lượng từ

Phát biểu Khi nào đúng ? Khi nào sai ?

∀x∀yP (x, y) P (x, y) là T Có một cặp x, y làm cho

∀y∀xP (x, y) với mọi x, y P (x, y) là F

∀x∃yP (x, y) Với mọi x, tồn tại y Có một x sao cho P (x, y)

làm cho P (x, y) là T là Fvới mọi y

∃x∀yP (x, y) Tồn tại x sao cho Với mọi x, tồn tại y

P(x, y) là Tvới mọi y làm cho P (x, y) là F

∃x∃yP (x, y) Tồn tại một cặp x, y P (x, y) là Fvới

∃y∃xP (x, y) sao cho P (x, y) là T mọi x, y

Từ wff sang mệnh đề

☞ P (x): x không âm

• ∀xP (x) là Tnếu universe là {1, 2, 3}

• ∀xP (x) là Fnếu universe là {−1, 2, 3}

• ∀xQ(x, y) có thể Thay Ftùy theo biến free y

(giả thiết Q(x, y) là "x > y")

Đặc tả cụ thể của một universe, vị từ, và việc gán

giá trị cụ thể với các biến tự do trong wff được gọi

là sự giải thích (intepretation)

Một wff là mệnh đề khi nó được gán một giải thích

Những dạng wff

☞ wff là thỏa mãn (satisfiable) nếu tồn tại một giải thíchlàm wff T

Ví dụ: ∀xP (x) là thỏa mãn

☞ wff là hợp lệ (valid) nếu wff đúng với mọi giải thích

Ví dụ: ∀xP (x) ∨ ∃x¬P (x) hợp lệ với mọi P và giải thích

☞ wff là không hợp lệ (invalid) hoặc không thỏa mãn satisfiable) nếu không tồn tại một giải thích làm wff T

(un-Ví dụ: ∀x(P (x) ∧ ¬P (x))

Suy diễn trong logic vị từ

c trong universe và P (c) T Existential generalization P (c) ⇒ ∃xP (x)

c trong universe Negation ¬∃xP (x) ⇔ ∀x¬P (x)

Ví dụ suy diễn trong logic vị từ

A check is void if it has not been cashed for 30 days Thischeck has not been cashed for 30 days Therefore this check

is void You can not cash a check which is void Thereforeyou can not cash this check We now have a check which cannot be cashed

Ví dụ suy diễn trong logic vị từ