A NUESTROS LECTORES:
“Mir" edita libros soviéticos traducidos al espaRol, inglés, francés,
Trang 7RESENA
En el folleto se analiza un método, muy singular, de proyección de la esfera sobre un plano, un método de amplia utilizacién, que se caracteriza por las siguientes propiedades: los angulos formados por las lineas en la esfera, al ser proyectados en el plario, se representan por dngulos iguales a los primeros y formados por las lineas en el plano, mientras que los citculos en la esfera se representan en la proyeccién sobre el plano por Jas circunferencias y lineas rectas
En é] se estudia también 1a aplicacién de este método en la astronomia y la geografia En Ja altima parte se trata de la proyeccién analégica del plano de Lobachevski sobre un plano comin
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Introducción
§ 1 Definicién y propiedades principales de la proyecciỏn
estereografica
§ 2 Proyeccion estereografica e inversion
§ 3 Demostracion de las propiedades de la proyeccién estereografica mediante el método de coordenadas § 4 Métrica esférica en el plano Aplicacién de nimeros complejos
§ 5 Representación del giro de una esfera en el plano § 6 Desarrollo histórico de la proyección estereográfica § 7 Proyeccién estereografica én la astronomia y la geografia § 8 Aplicación de la proyeccién estereografica a a geometria
Trang 9INTRODUCCIÓN
El procedimiento đe la proyeccion de figuras sobre un plano se usa en las mateméaticas con mucha frecuencia Para obtener la representacién de una figura, haciendo uso del método indicado, se debe elegir en el espacio un punto, llamado centro de proyeccién, unirlé, mediante rectas, con todos los puntos de ta figura a proyectar y encontrar los puntos de interseccién de las rectas con el plano de proyección; la representación obtenida se denominia proyeccion de la figura en el plano dado
Si la figura a proyectar es una circunferencia, su proyeccién ser la linea de interseccién del plano con una superficie compiesta por las rectas que pasan por el centro de proyeccién y los puntos de la circunferedcia La superficie mencionada se llama corio cireular El cono: circular puede ser recto, sỉ una perpendicular trazada desde el centro dé proyeccién al plano de la circunferencia pasa por el: centro de ésta, y oblicuo, en todos los demas casos Las lineas de interseccién de tal superficie con el plano, en general, no‘ son circunferencias Estas lineas se Haman secciones cénicas y, si el plano secante no pasa por el vértice del cono, se representan por las curvas de tres clases: 1 Elipses, si las lineas son cerradas; 2 Paribolas, sỉ las lineas constan de una rama que se extiende al infinito; 3 Hipérbolas, si las lineas constan de dos ramas que se extienden al infinito (bajo el supuesto dé que las rectas que unen el vértige del cono con Ia circunferencia dada son infinitas) Las circunferencias pueden considerarse como caso particular de las elipses
Existe, sin embargo; ura proyeccién muy singular para la cual las curcunferencias siempre aparecen en Ja proyeccién como circunferencias o lineas rectas Tal proyeccién se obtendrd si
consideramos s6lo las circurferencias situadas en una cierta esfera
{estas circunferencias son las lineas de interseccion de la esfera con los planos), y ademas, como centro de proyeccién tomamos uno de los puntos de fa misma esfera, y como plano de proyeccién, un plano que toca la esfera en cl punto diametralmente opuesto o cualquier otto plano paralelo que no pase por el centro de proyeccién
Trang 10formados por las líneas en la esfera se representan en la proyección por ángulos iguales a los primeros formados por las lincas en el plano La tereera propiedad de la proyección mencionada consiste
en lo siguiente: cuando una esfera se hace girar alrededor del
didmetro que pasa por el centro de proyeccién, las representaciones planas de todas las figuras en la esfera giran en el mismo dngulo, alrededor del punto de interseccién del plano con el didmetro de la esfera
La proyeccién de este tipo, llamada proyección estereogrúfica, se utiliza con frecuencia en diferentes ramas de las matematicas, como también en la astrononiia, cristalografia y geografia
El presente folleto esta dedicado a la demostracién de las propiedades citadas de la proyección cstereográfica y a la exposición de algunas de sus aplicaciones La obra se compone de ocho parrafos En el pdrrafo 1 se da la definicién de la proyeccion estereografica y se demuestran sus principales propiedades En el parrafo 2 se analiza la relación entre la proyecciỏn estereográfica y la admirable transformacion de un plano en si mismo, en la cual las circunferencias se transforman también en circunferencias o lineas rectas, mientras que los angulos formados por las lineas, se transforman en angulos equivalentes a los iniciales: Esta trans- formacién se denomina inversion respecto a la circunferencia Mas adélante, se establece la relacién entre la proyeccién estereografica y una transformacién andloga del espacio, es decir, inversion respecto a lu esfera
Trang 11por medio de las cualcs se representan en la proyección estereo- grafica las revoluciones de Ìa esfera Estas transformaciones tienen su expresion mds ficil también cn numeros complejos En el parrafo 6 se trata del desarrollo histérico de la nociỏn de proyección estereografica que surgid en la antigiicdad y se utilizaba amplia- mente en la Edad Media,
El parrafo 7 da las ilustraciones de la aplicación de la proyeccion estereografica a la astronomia en la que la citada proyeccién sirvié de base para la construccién de los astrolabios medievales, y a la geografia— para levantar cartas de navegacion
En el parrafo 8 se define el plano de Lobacheuski y se muestra cémo por medio de una singular proyección estereografica se puede obtener la representacion del plano de Lobachevski sobre un plano comin En esta representacién las circunferencias y lincas rectas reproducen las circunferencias y algunas otras curvas del plano de Lobachevski, mientras que los angulos formados por lineas' del plano de Lobachevski se representan en el plano comin por
ấngulos iguales
El folleto est4 destinado a los alumnos de años superiores de la escuela y a los estudiantes de la ensefianza superior Al leerlo por primera vez puede omitirse ¢l material mds dificil que viene en cardcteres pequefios Como base de la obra.se han tomado las conferencias dictadas por los autores ante los escolares de Moscú
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DEFINICIÓN Y PROPIEDAĐES ,PRINCIPALES DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
Se denomina proyeccién estereografica una proyeccién de la esfera, desde’ uno de sus puntos S, al plano o, que toca.ia esfera en el punto S$’, diametralmente opuesto al, S (fig 1) Las propiedades de esta proyeccién no cambian sustancialmente al sustituir el plano © por cualquier otro plano paralelo a 6! y que no pase por' el: centro de la proyeccién Con frecuencia se toma como plano de esta naturaleza el plano diametral de la esfera (sera el plano ecuatorial de la esfera, si consideramos como polos de la esfera el centro de proyeccién y el punto diametralmente opuesto)
Demostremos las tres propiedades siguientes dc la proyección estereografica, FIG 1
A) Las circunferencias pertenecientes a la esfera, al ser proyectadas
sobre el plano o, se representan como circunferencias; si las circun- JSerencias situadas sabre la esfera pasan por el centro de proyeccién,
se representan como rectas
Antes de proceder a 1a demostracion de esta propiedad observemos que el paso desde cualquier punto M en la esfera hacia su proyeccién M’ en el plano se realiza en algitn plano que pasa por el didmetro SS’ de la esfera
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estereográfica de 1a circunferencia sobre una recta, que se encuentra en uno de los planos indicados (fig 2), y demostremos para este caso el siguiente lema:
Supongamos que en la proyeccién estereografica de la circun: ferencia sobre una recta, los puntos M y N de lu circunferencia Se representan por los puntos M’ y N’ de la recta, Entonces:
2SMN= <2 SN'M y 2 SNM = 2 SM'N',
Efectivamente, os tridngulos rectangulares SMS' y SS'M’ son semejantes y tienen ef angulo agudo MSS’ como el comin; por lo SM Ss‘ : 7 i SM’ = (58) tanto: So = cm 08 decir, SM - SM” =(SS)2
De esta misma manera, considerando los tridngulos SNS’ y SS'N’ con dngulo agudo NSS’ comin, encontramos que SN - SN’ = (SS'P Comparando las igualdades obtenidas Negamos a la conclusién de que: SM-SN’=SN-SN', (1) de donde: SM SN SN TSM @)
De la proporcion (2) se deduce: que los triangulos SMN y SN’M° qué tienen el dngulo agudo MSN comin, son semejantes; ademds, los ángulos < SMN y «SNM del triangulo SMN son iguales respectivamente a lộ ảngulos ⁄ §N'M“ y ⁄.§M'N' del triángulo
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Ahora, demostremos la propiedad A) de la proyección esierco-
grafica Si una circunferencia de la esfera pasa por el punto S, entonces se halla en el plano que pasa por el mismo punto, y su proyeccién desde el punto S$ al plano o es la linea de intersección de ambos planos, es decir, una linea recta Sỉ la circunferencia en [a esfera no pasa por cl punto S, se puede considerar que el plano que pasa por la recta SS’ y el centro de la circunferencia, es el plano representado en la fig 2, mientras que el segmento MN es el didmetro de la circunferencia dispuesto en el plano, En este caso las lineas que proyectan lés puntos de la circunferencia son generatrices rectilineas de un cono circular oblicuo con vértice en el punto S
Mientras un cono circular recto posee una sola familia de secciones circulares, es decir, las secciones formadas por los planos paralelos a su base, un cono circular oblicuo tiene dos familias de esta especie Una de ellas esta formada por las secciones mediante
FIG 3
Pianos paralelos a la base del cono -Para, obtener otra familia de secciones circulares del cono circular: oblicuo recordemos que, al bajar la perpendicular CD desde el punto arbitrario-C al didmetro AB de la circunferencia (fig: 3) se cumpte la igualdad
AD-BD=CD? @)
y, reciprocamente, si se cumple la igualdad (3) para cualquier punto € de una curva y alguna recta 4B, la curva cs una circunferencia © una parte de ella,
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el vértice del cono hasta su base (fig 4) Hagamos que se intersequen el cono y un plano que sea perpendicular al plano ABC y te corte a éste a lo largo de fa recta HK tal que los puntos H y K se hallen en la superficie del cono y 2 AHK = < ACB y, ademas, 2 AKH = 2 ABC, Este plano cortara la superficie del cono por la curva HJK Demostremos que la curva HK es una circun- ferencia Con este fin examinemos un punto arbitrario J de la curva y un punto cualquiera Len la circunferencia de la base del cono, trazemos las perpendiculares JG y LM al plano ABC, Por supuesto, las rectas JM y LM, que son perpendiculares a un mismo plano, son paralelas, Tracemos una recta DGE (por et punto G), paralela a la.recta BC, y un plano que pase por las rectas DE y JG Dado que la recta DE es paralela a la recta BC, mientras que
FIG 4
la recta JG es paralela a LM, entonces el plano trazado sera paralelo al plano de la base del cono y, al cortar el cono, forma una seccién circular Pero, debido a la propiedad (3), para la seccion circular obtenida se cumple la igualdad
DG-GE = 1G 4
Por otra parte, como 2 AHK = 2 ACB el cual a causa del
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por ia misma razon, < AKH = ⁄ ABC = 2 ADE, entonces 4 HDG= 2 EKG y <2 DHG = 2 KEG Por eso, los tridngulos EGK y HGD, que tienen angulos iguales en sus yértices, son semejantes, Por la semejanza de estos tridngulos se cumple la proporcién HG _ 5G GD ~ GK’ de donde ` ĐG - GE = HG-GK, ` es decir, de la igualdad (4) tenemos: HG-GK =JG} (3)
Ya que la igualdad (5) tiene la misma forma que la (3) y tiene lugar para cualquier punto de la curva HJK y de la recta HK, resulta que la curva HJK es una circunferencia Como la misma propiedad la posee una seccién del cono, obtenida al cortarlo por un plano cualquiera, paralelo al plano HJK, hemos determinado, por consiguiente, la segunda familia de secciones circulares del cono circular oblicuo
Ya que en la fig 2 los tridngulos SM'N’ y SNM estan dispuestos de un modo igual que los triangulos ABC y AHK en la fig 4, entonces, de Ja igualdad de ángulos de los triangulos SM’N’ y SNM se deduce que una seccién del cono circular oblicuo, obtenida al cortar el cono por un plano que toca la esfera en el punto S’, es una circunferencia de didmetro M'N’ (de generatrices rectilineas del cono sirven las rectas que hacen la proyeccién de la circunferencia de diametro MN en la esfera) Asi queda demostrada la propiedad A)
La existencia, en un cono circular oblicuo, de dos familias de secciones
circulares puede ser demostrada usando otro método, esto es, por medio
de plano de simetria de este cono Suete decirse que una figura es
simétrica respecto al plano © (fig 5), si para un punto A de Ia figura
se encuentra otro punto, A‘, de la misma figura que es una reflexion
especular con relacion al plano « En otras palabras, el punto 4’ se encuentra en una perpendicular, trazada sobre et plano & desde el punto A,
a fa misma distancia de « que e] punto A, mas por otro lado del
pluno a En el caso de un cono recto circular, cualquier plano que pasa por el eje de éste, cs un plano de simetria Se puede đemostrar que para
ef cono oblicuo, expuesto en la fig 4, uno de tos planos de simetria
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Este plano corta el cono a lo largo de dos generatrices La bisectriz del
Angulo formado por las generatrices se denomina cje del cono oblicuo
{al que suponemos extendido hasta oc), El segundo plano de simetria del
cono oblicuo ex un plano que pasa por el eje del cono perpendicutar- mente al primer plano, Al reflejarse de éste, todas las secciones circulares del cono se convierten en si mismas al reflejarse del segundo plano, las
secciones de Ja primera familia se transforman en secciones circulares
de la segunda y viceversa La presencia en el cono circular oblicuo de dos
planos de simetria, mutuamente perpendiculares, indica que al cortar el cono por un plano perpendicular a su eje, obtendremos una curva, cuyos
ejes de simetria son mutuamente’ perpendiculares, es decir, una elipse, que
puede obtenerse a partir de una circunferencia, al comprimirla en direccion a uno-de sus didmetros En la fig 6 aparece la elipse ABCD, obtenida
por compresién de la circunferencia AB'CD’ hacia su didmetro AC
La figura 7 nos mmestra dos secciones del cono circular oblicuo del didmetro de base MN:
1) una seccion circular de didmetro M'N’, y
2) una secci6n que tiene forma de eclipse; el segmento M°N° es uno de sus ejes FIG 5 FIG, 6
Debe sefialarse que cualquier circunferencia 0 recta en el plano oes la proyeccién de cierta circunferencia en la esfera: cada recta es una proyeccién de la circunferencia obtenida al cortar la esfera por un plano que pasa por esta recta y el centro de proyeccion; cada circunferencia en el plano o es una circunferencia de la base de cierto cono Circular oblicuo con vértice en el centro de
proyección
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a la familia de secciones circulares del cono que no son paralelas a la base Por consiguiente, toda circunferencia en el plano o es una proyeccién de la circunferencia de la esfera que se obtiene, al intersecarse la esfera y el cono determinado por la circunferencia en el plano oc
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transforma en el centro de la circunferencia dc điámetro MN” Efectivamente, sean: L, centro’ del diametro MN, y L’, proyección de Len el plano (fig 8)
Ya que la recta SL no es perpendicular a la cuerda MN, entonces dividira el arco MN en dos partes desiguales, ML° y ION, siendo ML > LN, Por ello, 2 MSL> ⁄ LSN Tracemos una recta SK que forma con SM el angulo MSK, igual al 2 LSN Esta recta corta la recta M’N’ en el punto K’ En los triángulos
SM'K* y SNLlos ángulos S son iguales por construccién, mientras
que los ángulos M” y N son iguales según lo demostrado anterior- mente Por consiguiente,.los triángulos indicados sọn semejantes NL MK" semejanza de los tridngulos SCN y SN’M’ se deduce la proporcién SN _ MN ; SM’ M'N” NL _ MN NL_ MK" MK MN Y MN MN"
y se cumple la proporcién: ae Por otra parte, de la
por lo que tiene lugar” las proporciones 1
Pero, NL=-> MN, por consi- guiente, MK =5MN, es decir, el punto K’ es el centro del didmetro M'N’ Por esto, el, centro K' del circulo con didmetro M'N’ no es una ‘proyeccion del centro L del circulo con didmetro MN, sino del punto K de este didmetro para el cual 2 MSK =
=< LSN ‘
Demostremos la segunda propiedad de ia proyeccién estereo-
grafica :
B) Eni la proyeccién estereografica, los Gngulos formados por las curvas de una esfera, son representados por angulos iguales, formados por las curvas proyectadas sobre el plano o
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que parten del punto M’; e] ángulo formado por ¢llas es igual al Angulo formado por las tangentes Las tangentes M'K' y M’L: son proyecciones de las tangentes MK y ML y, por consiguiente, lineas de interseccién dejlos planos SKM y SLM con el plano de proyeccién o Pero, los planos SKM y SLM cortan el plano x, paralelo al plano de proyeccién a, a lo largo de las rectas SK y SL Por esto, las rectas M’K’ y M'L‘ son respectivamente paralelas aSKySL,y ademas, 2 K’M'L' = 2 KSL.Como 4 KSL= < KML, resulta que < K’M'L’= 2 KML La propiedad B) queda asi demostrada FIG 9 La tercera propiedad de la proyeccién estereografica consiste én lo siguiente:
C) Cuando la esfera gira alrededor del didmetro que pasa por el polo, en el plano o también tiene lugar el giro en un mismo
dngulo, alrededor def punto donde se tocan la esfera y ef plano
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§2
PROYECCION ESTEREOGRAFICA E INVERSIÓN
En una proyecciớn estereográfica los punfos diametralmente opuestos de una esfera se representan en el plano o mediante ciertos puntos Trataremos de encontrarlos Supongamos que M y N son los puntos de fa esfera, diametralmente opuestos, y se Tepresentan en la proyeccién sobre el plano o por las puntos M’ y N’ (fig 10) Mostremos que, al designar por R el radio de la esfera, tenemos
S$M'-SN' = AR (6)
En efecto, el Angulo MSN que descansa sobre el didmetro MN de la circunferencia, es recto Por ello, el angulo S en el tridngulo
§
FIG 10
M’SN’ es también recto Dado que SS’ es la altura del tridngulo
rectangular M'SN‘, se cumple la igualdad SM’ S'N' = (SSP
Sustituyendo SS’ en esta igualdad por 2R, obtencmos la correlacién (6)
Siendo M’ un punto arbitrario en el plano œ, distinto del punto S‘, podemos encontrar cierto punto N’ en el mismo plano
que corresponderia al punto M’ Para ello, unamos los puntos M’
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dencia a cualquier punto M’‘ del plano, distinto del punto 5, un cierto punto N' del mismo plano
Sefialemos que la transformacién indicada se relaciona estre-
chamente con otra transformacién conocida del plano, ‘Hamada
inversion respecto a la circunferencia Supongamos que en un plano se ha dado una circunferencia con centro en My y radio R (fig 11) Se Hama inversién respecto a la cifcunferencia una trans- formacién del plano en la que cualquier punto M del plano,
FIG 1
diferente de Mo, se transforma en el punto M’ (en la recta MoM, por el mismo lado de My que M) tal que se cumpla la igualdad
MoM - MoM" = R? a
En la inversién, todos los puntos situados dentro de la circun-
ferencia se convierten en puntos fuera dé la misma, y viceversa
Los puntos, pertenecientes a la propia circunferencia, se transforman
en sí mismos
La transformacién considerada, en donde los puntos M’ del plano o distintos def punto S’, pasan a ser N’, es distinta a la inversién respecto a una circunferencia con el centro en S’ y radio 2R La diferencia consiste en que el punto N’ se encuentra en Ja recta M'S’ a una distancia determinada seguin la correlacion (6), pero no por el mismo lado (con relacion al punto S') que el punto M' Esta transformacién puede representarse como una
© Para una informacién más detallada acerca del fendmeno de inversion, el tector puede acudir al folteto “Inversion” por-
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realizacién consecutiva (en cualquier orden) de Ja inversién indicada y de la reflexion del punto 5S’, De aqui proviene que la inversion respecto a cualquier circunferencia de un plano con centro en Mo y radio R puede representarse como realizacion consecutiva de cuatro transformaciones:
~ transformacién, reciproca a la proyeccién estereografica respecto a una esfera de radio R/2 que toca el plano en el punto Mẹ En esta transformaciỏn el punto M del plano o se convierte en un punto de la esfera;
— paso desde esta esfera a un punto diametralmente opuesto de ta misma;
— realización đe la proyección esfereográfica del punto obtenido de la esfera sobre el plano o;
~ obtencion de fa reflexion del punto encontrado en ef plano
del punto Mo
Ya que en virtud de la propiedad A) de la proyeccidn estereo- grafica las circunferencias de una esfera, al ser proyectadas sobre el plano ơ, aparecen en forma de circunferencias y rectas, y viceversa, cada circunfetencia o recta en el, plario o -es la proyeccién de cierta circunferencia en la esfera, Pero, al pasar a los puntos diametralmente opuestos de la esfera (es decir, cuando la esfera se refleja de su centro) tas circunferencias en la esfera se transforman en circunferencias, mientras que cuando el plano se refleja de un punto, las circunferencias y rectas aparecen en forma de circunférencias y rectas A consecuencia de fo enunciado, nuestra representacién de la inversion como resultado de la
realizacion consecutiva de las cuatro transformaciones indicadas
nog lleva a la conclusion de que la inversién posee la siguicrfte propiedad:
A’) En la realizacion de una inversion las circunferencias y rectas se transforinan en circunferencias y rectas,
No es dificil convencerse de que en una inversion las circun- ferencias y rectas se transforman en circunferencias y rectus cuando y sélo cuando ellas pasan por el punto Mo
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de la realizacion consecutiva de cuatro transformaciones se deduce ave la inversién posee también la propiedad
B') En la realizacién de una inversién los angulos formados por
las curvas se expresan por dngulos iguales formados por curvas
transformadas
Los resultados de la realizacién consecutiva de una inversién con relación „a la cireunferencia de radio R y centro en el punto Mẹ y de la reflexi6n de un plano de algun punto (debido a las causas sobre las cuales trataremos mds abajo, en ef § 4) se denominan inuersión respecto a una circunferencia imaginaria de radio imaginario iR y centro en Mo
Observemos que de un modo totalmente igual a la inversion respecto a una circunferencia en el plano se puede definir en el espacio /a inversion respecto a una esfera de radio R y centro en Mo, ¢s decir, la trarisformacién del espacio para la cual cada punto M en el espacio, distinto del punto Mg, se convierte en ef punto M' (situado en ta recta MoM por e] mismo lado con relacion a Mo que el punto M) tal que se cumple la correlacién (7) Sé puede demosirar que la inversién respecto a una esfera en ef espacio tiene lag mismas propiedades A’) y B’) que Ja inversion respecto a una circunferencia en el plano y ademas, una propiedad semejante a la A’)
A") En la inversién las esferas y tos planos se transforman, respectivamente, en esfera y planos
No es difici) convencerse de que en la inversién respecto a una esfera las circunferencias y rectas se transforman en rectas; las esferas y los planos en la misma inversién se convierten en planos en un solo caso, es decir, cuando ellos pasan por el punto Mg Existe una vinculacién singular entre la proyeccion estereografica ¢ inversign respecto a una esfera,-Esta“vinculacién consiste en lo siguiente: si realizamos la inversién respecto a una esfera:de radio SS’ y cemro en el punto S, la esfera de didmetro SS’ se convertird en el plano o, que toca ambas esferas en el punto S'; la reflexion obtenida de la esfera en el plane o coincide con la proyeccién estereografica de la esfera sobre el plano o {fig 12)
Efectivamente, en el parrafo | hemos encontrado que para todo punto M de la esfera que es proyectada sobre el plano o, y para el punto M’ en el plano o, correspondiente a M’, se cumple la correlación
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FIG 12
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§ 3
DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES
DE LA PROYECCION ESTEREOGRAFICA MEDIANTE
EL METODO DE COORDENADAS
Para fos lectores que conocen el método de coordenadas presentamos
la demostracion de las propiedades de la proyeccién estereogralica por
medio de coordenadas {el contenido del parrafo puede ser omitido sin
perjuicio para la comprensién de los temas siguientes) Imaginemos un sistema de coordenadas rectangulares X, Y, Z en el espacio y recordemos que la distancia d entre fos puntos M,(Xy, Y, Z¡) y M;(X;, Y„, Z2) puede ser determinada segin la siguiente formula:
4=: - Xu? +(Y› — NY + (Ze — Z1} (8)
_Para_el Angulo @ formado por los segmentos dirigidos (vectores) OM, y OM,, que parten del origen de-coordenadas O, se emplea la formula
asọ< — XI + T.Y t Z0, ©
- VXTI+Yi+ZiLVXiI+Yi+ Z1”
Examinemos la proyccción estereogrifica de una esfera de radio-1 y centro en el origen de coordenadas O La proyección sẽ cfectúa del punto S (en ei ge OZ) sobre el plano o que toca Ia esfera en el punto diametralmiente opuesto a S En este caso, la ecuacién de la esfera tiene © fom: EP eal, (10) Las coordenadas del punto 5 son 0, 0, 1, y el plano ơ de lá proyección és el plano Z= —1, Sapongamos que el punto M(X, Y, Z) de la esfera, al ser proyectado’ estereogréficamente, se transforma en e) punto M(x, y, ~1) del plano Encontremos la relacién que: existe entre las coordenadas x, y del punto M’, y las coordenadas X, Y, Z del punto AM ‘Como los puntos S, My M’ se hallan en una misma recta, los veclores SM _y SM’ estén orientados en direccin a una misma recta y, por consiguiente, las diferencias en coordenadas (X, ¥, Z~ 1) de los puntos S, My (x, ), —2) de los puntos S, M’ son proporcionales: + Koad Le ae x» 2 Por to tanto: X=kx Y=ly, Z=1~2k
Dado que las coordenadas X, Y, Z satisfacen la ecuacion (10) de la
esfera, encontramos que
Br + y+ (1-2 a1
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Los valores đe k que satisfacen la condición (11), corresponden a los puntos de interscccién de Ja recta SM con la esfera: el valor k=0 corresponde al punto S, y el valor age ae eee td corresponde al punto M Por eso, las eoordcnadas de M, correspondientes al punto M’, son: 24 ye st ie SN FE ia X=—- xty?+4) xety2+4 ; xi +ưy +4 i Ahora usando el método-de coordenadas, demostraremos fas propicdades de la proyecci6n estereografica
A) Dado que las circunfercncias se obtienen al cortar la esfera por unos planos, es -evidente que las coordenadas de los puntos en’ las circunferencias estén subordinadas a las mismas condiciones que las coordenadas de los puntos de los planos, es decir, se determinan por las ecuaciones de éstos, Examinemos un plano que se define por la ecuacion
AX + BY+CZ+D=0 (13)
y encontremos el lugar geométrico de los puntos del plang, correspondieites
a los puntos en gue se intersecan el pland (13) y Ïa csfera (10) Con este fin sustituyamos los valores X, Y, Z de la formula (12) en fa ccuación (13)
Vemỏs que las ‘coordenadas (x, 7) de fos puntos del lugar geométrico
satisfacen la condicion
ax 4y x2 +? ~4
Aas seeped + Ba Se Sey ta ety ta +D=0, lo que se pucde escribir en la forma
AAx + 4By + € (x2 + y? —4) + D(x? + y? + 4) = 05
(C+ Ð)(x? + y?}+ 4Ax + 4By + 4(З €)~ 0 (14)
Sustituyerido las coordenadas del punto S en la ecuacién (13) obtenemos la condicién C+ D =0, la cual es necesaria y suficiente para que el plano
(13) pase por el punto S Por consiguiente, si el plano (13) no pasa por e] punto S, C+ D#0 y la ecuacién, (14) es la ecuacién de una circun-
ferencia Si el plano (13) pasa por el punto S, entonces C+ D=0
y la ecuacion (14) esa de una recta
B) La demostradón de esta propiedad con ayuda del método de coordenadas requiere que el lector esté familiarizado con ef célculo
diferencial E1 Angulo formado por dos curvas en la esfera cs igual al
Angulo formado por las tangentes a estas curvas en el pinto de su
interseccién y, por consiguiente, al dngulo formado por dos vectores
dirigidos a 1o'largo de estas tangentes Si las-coordenadas det punto M
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como vector’ dirigido segun una tangente a la curva en el punto
M(X, Y, Z) el vector cuyas coordenadas son las diferenciales dX, dY, dZ de tas coordenadas del punto M
Designemos: por {dX, d¥, dZ} el vector dirigido segin la tangente a_una de las dos curvas en la esfera; y por {8X, 5Y, 8Z}, el vector, dirigido según la tangente a la otra de fas curvas indicadas,
En virtud de (9), el Angulo ® formado por estos dos vectores y, por consigniente, por las curvas, se determina segin la formula
aX 8X + d¥8Y+ dZ8Z
Vax? + d¥? + dZ* 8X? + 5Y? + 82?
EJ ángulo ¢, formado por dos curvas en el plano, que se obtienea
proyectindolas en ta esfera, es igual al dngulo formado por dos vectores
ldx dy} y {8x, dy}, es decir,
cos = (5)
= dx Bx + dy 3y
J/dx? + dy? 5x? + By?”
Derivando las formulas (12) encontrarémos las diferenciales dX, dY, dZ Estas diferenciales son, respectivamente: Œ? + y? + 4)-4dx — 2(xảx + y dụ) -4x NA (BE TIẾP “TH (x? + y? + 4) ANH T0 - 40ˆ2~ xẻ + 4)dx ~ Bxydy G+ yr 4p , (x? +? +4) 4dy — 2 (dx + yy) ay — Ye ae age cv nh (x? + y? + 4) Aix? — y? +4) dy ~ 8xydx (2+? +4! Gh y? +4): hed + y dy) ~ (x? + y’ —4)-2 (ede + y dy) _ (x? + yp? + 4? cos @ (16) dZ = — Í6(x4x + y4) © Gaye ay
Trang 29Por ello: dX 8X + dY8Y+ dZ8Z cos @ = Vax? + d¥? + dz? VOX? + BY? + 82? ee 8 (17)
y, por ‘lo tanto, el ángulo ®, formado por las curvas en la esfera es igual
al dngulo @, formado por las curvas correspondientes en el plino ở
‘i C) El giro de la esfera alrededor del eje OZ se puede escribir en la forma: X’ =X cos® ~ Ysen ®, Y= X sen@+ ¬ (18) Z=Z EI giro del plano alrededor del origen de coordenadas se expresa asi: x'=x0§ @ — ÿ Sen @, (9) y = xsen@ + ycos o En virtud de la correla n x? py? ax? + yt -
(que se comprueba de una manera muy fáci, las coordenadas de un
punto de la esfera que corresponde ái punto đe] plano de coordcnadas
x,y, —E seran: 4 (x cos @ — y sen @) Xia Fara = X cos @ — Ysen @, ,_— 4{x sen @ + ycos @} Y=—————~ ~X%n Ycos Ọ, Hy ts eats x? +yì—4 Dar" xb yh ed 27,
es decir, coinciden con las coordenadas (18) cuando ® =@, de lo que
Trang 30
§4
MÉTRICA ESFÉRICA EN EL PLANO APLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Ademas de Ja distancia comin entre dos puntos de un plano, se
pucden determinar también otras distancias, definidas segin -ciertas Leyes,
llamadas métricas del plano (ta palabra métrica se proviene de la palabra gtiega “metreo” que significa “mido")
in particular, haciendo proyectar la esfera sobre un plano, podemos
trasladar a este úlimo la métrica de la esfera, si tomamos como distancia
M'N’ del plano la distancia entre los puntos correspondientes My N
de la esfera, Hamada distancia esférica y medida a lo largo de la gran
cireunferencia de la esfera En el caso en que r sea et radio de la esfera
la distancia esférica entre los puntos M y N es igual al Angulo MON:
(formado por tos radios OM y ON de la esfera) multiplicado por r
Cuando r = 1, la distancia esférica es igual al propio angulo MON
La proyeccién estercografica establece una correspondencia biunivoca
entre fos puntos del plano o y los de la esfera, siendo excluido de ésta el punto §
Con el fin de obtener la correspondencia biunivoca entre el plano o y la esfera se debe completar el plano o con un punto que consideraremos
correspondiente at punto S de la: esfera
‘Cuando el punto de la esfera se aproxima a S, el punto correspondiente
del plano se aleja hacia el infinito, razén por la cual el punto aiiadido sé denomina punto infinicamente lejano Designémoslo por el simbolo co La distancia esférica @ entre los puntos M y N en la esfera (10)
đe-radiỏ unitario y coordenadas X, Y, Z y X’, ¥’, Z' es igual al dngulo, formado por tadios OM y ON, es decir:
cos @ = XX' + YY' + ZZ (20)
Sustituyendo X, Y, Z por sus expresiones (I2) a trayés de las coordenadas x, y dél punto cn el plano, y las X’, Y', Z, por la expresion andloga (a través de x’, y), encontramos que Ia distancia @ puede ser
expresada mediante las coordenadas x, y ÿ x, y' según fa formula
16 (xx tye (2 +y2 = A(x? ty? - 4) = (21 ose (?+y!+4)(x” + y + 4) 80 oO sca - 2% _ f+coso _ eS TT - 62+#2+4)(v2+yˆ+4)+ 16 6à +yV)+ŒÊ + y2 =4) (v2 + y2 =4) 262+y2+4)(x7+y +4) es decir, je? © VIR? +7) + 8(xx ty) FIG OS gy OS 2 ere er ed gà
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de una variable compleja, es decir, para cualquier punto M (x, y) del plano o encontraremos un numero complejo correspondiente =x + iy z+ 3 ;
Sustituyendo x e y por 5 (donde 2 = x — iy), podemos
escribir las formulas (12) asi: 2(z+z +4” Ye Ae), 1# + 4) (23) Z8 — 4 Z= ` zz+4 y la formula (22) cog Ha AMEE 2 0?+3)(z2+4)
Encontremos, ahora, jos puntos de! plano ơ, por cuyo intermedio son
expresados en la proyeccién estereouiréfica los puntos diametralmente
opuestos de la ésfera Si los puntos M y AM de ta esfera (10) son dlametralmente opuestos, la distancia esférica entre ellos es igual at,
(24)
y entonces cos 5 = cos 5 = 0, En este caso, el numerador de la expresion (24), siendo igual @ 22’ +4[?, es coro, es decir,
zz+4=0,
Ys por consiguiente, 4
== š (25) (25)
Hacierido uso’ de admerds: complejos escribamos la inversion respecto
a la circunferencia ‘de radio R y centro en Mp Si fos puntos Mo, M
M' se determinan por medio de los números complejos zo, z ÿ 7, Ía condición (7) puede escribirse en la forma
lÈ~ sl-Ì# ~ za| = R*
Y debido a que los vectores MoM y MoM' estin dirigidos a lo largo de una misma recta y se diferencian solo en un factor positivo, la altima correlacion se cumple iambién para los niimeros complejos, z~ zo y 27 — Zp, que les expresan, es decir:
-l£-®lg_ inex
= Tay OTP =ig
Em tt asia
(2 ~ 20) (2 ~ %) vn (B= 20)"
© sea, la inversion que transforma los puntos M en los M’, relacionados
Trang 32complejos en la forma (26) Por eso, la transformacién (25) se compone de una inversion respecto a la circunferencia zz=4 27) de radio 2 y centro en dl punto O y una refiexion 7 = —z
Como (25) puede considerarse como Ia transformacion (26) en la que i =0 y R? = —4, entonces se denomina inversién respecto a la circun- ferencia imaginuria
zz= —4 (28)
de radio 2i y centro en el punto O
Observemos que la circunferencia (27) es la representacién de la
circunferencia grande en la esfera que se obtiene ul cortarla por un plano
diametral, paraieio al plano de proyeccién, es decir, una representacion
del ecuador de fa esfera, en el caso en que los puntos § y S’ se toman por sus polos
Ya que cada pareja de circunferencias grandes de la esfera se
iritérsecan on los puntos diametralmente opuestos y, por otra parte, los
puntos del ecuador de la esfera, diametralmenté opuestos, se éxpresan en el plano por intermedio de los puntos diametralmente opuestos de la esfera (27), entonces las citcunferencias grandes de a esfera se expresan enel plano por aquellas circunferencias 0 Tectas que cortan la circunferencia (27)en los puntos también diametralmente opuestos
«Es sabido que fa suma de los angulos del triingulo esférico, es decir,
de triángulo en la esfera, cuyos lados son constituidos por lòs arcos
de las cireunferencias grandes, es siempre mayor que (se puede demostrar
que-el area del tridngulo esférico es igual al producto del exceso, en el
que la’ suma de sus ảngnlos supera a x, por el cuadrado del radio de la esfera) Ahora estamos en condiciones de convencernos de esto:
dibujetnos el tridngulo esférica ABC en una proyeccién estereografica
{en la fig 13 el lado AB de este tridngulo está representado por un
segmento de] didmetro de fa circunferencia (27); los lados AC y BC —
por los arcos de fas circunferencias que cortan la (27) en sus puntos
diametralmente opuestos) En virtud de kè propiedad B) de la proyeccién
estereografica los angulos det triangulo ABC se representan en ef plano
en su dimension natural Unamos los vértices del tridnguio en ¢f plano
por líneas rectas La suma de los ánguÌos del tridngulo rectangular obtenido en ec} plano es igual a x En la figura (3 se ve claramente que la suma de los angulos del tridngulo esférico ABC es mayor que la suma de los angulos del tridngulo plano, es decir, es mayor quem
Una circunferencia de radio R con el centro en el punto Mo puede ser caracterizada por la ecuacién
lz—zo[=R
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Demostremos las propiedades A’) y ) de la inver§ión respecto a una
circunferencia, haciendo uso de los números complejos Para cllo considere-
mos Ja inversion ?
2 (30)
#
respccto a Ja circunferencia ụ gar 4Ð
con centro en el punto 0 Para demostrar la propiedad A’) conviene escribir ta ecuacidn (29) en la forma Azz + Bš + Bz + C=0 62 (multúplicando los dos miemros de la ecuación (29) por 4 y haciendo HIG 13
B=~Aze, C= A(2a7ạ— R?), y sustituir en cia 2 por su expresién a través de Z đe la ecuaciôn (30) Obtenemos que Art +—+—c+C= Br? | Br? „z z z % es decir, CzZ + BRZ + BR?z + AR* =0 (33)
Cuando C= 0, la circunferencia o la recta pasan por el punto 0 La propiedad B’) se demuestra de manera änáÏoga a la que ya hemos usado en el § 3 para la demostración de la propiedad B) por medio de coordenadas La propiedad B’) proviene también de! hecho de que la
inversion (26) és ef resultado de la realizacién consecutiva de las trans-
formaciones 7 = 2 y
2
Ta es
2 y=
Mas Ia transformacion z’ = Z es la reflexion de un oje real en la que
Trang 34transformacion (34) que es equivalcnte a la función 2 +, 659) w= z1
observemos que quien cstá familiarizando con las funeiones de variable
compleja del curso de “Calculo diferencial” sabe que la función indicada
posee una derivada `
dw RẺ
“de 6n”
Si designamos por k esta derivada, las diferenciales dz y dw estarin
unidas por la correlacién
de = kdz 6)
Por eso, si dos curvas parten del punto M (2), y Jas diferencitiles a lo
largo de ellas son dz y 62, estas curvas se (ransforman, al realizarse fa inversién, en otras dos curvas, que parten del punto M'(w), cuyas
diferenciales son dw =kdz, 5w =k8z Pero, cuando |a|=1, 6, en otras palabras, cuando a = cos @ + ison ợ, la transformaciôn
weaz G7)
en el ‘plano de una variable compleja es ef: giro ¢n ‘un Angulo @
(considerada: en coordenadas, la transformacién (37) tiene la forma de las
ecuaciones (19) Cuando ¢=4=r, la misma transformacion es una đomotecia con el factor r En el caso general la transformacion (37) ‘se compone del giro y de fa homotecia Por ello, sometiendo dz y õz
ala transformacion on para a= k, obtendremos una’ transformacion que
‘no cambia los angulos y, por consiguiente, el dngulo formado por las
diferenciales dw y 8w es igual al angulo formado por dz y 82
(Observemos que la inversion respecto a la circunferencia (32) puede
“Goribirse en, la’ forma
-??+C
AF+B`
Trang 35§ 5
REPRESENTACION DEL GIRO _ DE UNA ESFERA EN EL PLANO
De la, propiedad C) de la proyeccién estereogréfica se desprende que cl giro de fa esfera alrededor del didmetro SS’ se representa cn el plano G por el giro (19), el cual, como hemos visto, puede escribirse mediante ` nhmeros complejos en la forma (37), sĩ
4 = 008 Ø + í sen @
Encontremos la transformacién del plano, por cuyo intermedio se representa el giro arbitrario de Ía esfera En’ esté caso ‘sus ‘circunferencias se transforman también en circunferencias y debido ati propiedad A) de la proyeccin estercografica las, circunferencias en fa esfera sẽ expfcsan en cỉ
plano por circunferencias o lineas rectas, entonces los giros de la esfera
se representan en ‘el plano ampliado de variable compleja por medio de las transformaciones biunivocas del plano indicado qué convierten las
circunferencias en otras circunferericias o tineas rectas
Entre Jas transformaciones mencionadas del plano -s¢ pueden indicar las transformacionés (37) y las transformaciones lineales mas generales w=dz+b, 69) que se componen de {as transformaciones (31) y los traslados w=z+b, asi como también fa feflexién w = y las transformaciones mas generales w=az+b (40) que constan de las transformaciones fineales (39) y la reflexion w = ữ
‘A este grupo de transformaciones pertenecen también !as inversiones
respecte a circunferéncias, las transformaciones (35) y las transformaciones
lineales fraccionarias de tipo mds general azt+b a (41 ca+d ay ¥ yen eb, cz+d (42)
quc constan de las transformaciones lineales (39) y (40): y las inversiones
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sustituyendo z por š, obtendremos Ía misma representación đè lạ trans-
formación (42)
Se puede demostrar que, reciprocamente, cada transformacién biunivoce
del plano de una variable compleja complementado cori el punto o {en la cual las circunferencias se transforman en otras circunferencias © lineas rectas) tiene la forma (41) 6 (42) Efectivamente, supongamos que
la transformacién T traslada et punto co al punto § Examinemos la
invérsién J respecto a una circunferencia con centro en S Entonces Ja
transformacién U, que se compone de las-dos iransformaciones mencionadas, hace trasladar el punto o0 a si mismo y, por consiguiente, transforma
jas lineas rectas en otras rectas Tomemos por conocido que cualquier
transformación biunívoca del plano que convierte las fineas rectas en otras rectas (transformaciones de este tipo se Ilaman afines) se puede escribir en ta forma
x = Ax + By + et 3)
y=Cx+Dy+F
Como, ademas, la tsansformacién U convierte las circunferencias en otras circunferencias, es en realidad una semejanza, es decir, Consiste de un movimiento y una homotecia y, por consiguicnte, puede expresarse
en, el plano de una variable compleja en la forma (39) 6 (40} Por ello,
la transformacién T, compuesta por la transformacién Uy Ja inversia J,
consiste de fa transformacién (39) 6 (40) y la inversién (38) y, por lo tanto,
tiene la forma (41) 6 (42)
Por ésta razén, en la proyeccidn estereografica de una esfera en el
plano et giro de~ésta se expresa por las transformaciones del tipo (41)
© (42) Ya que, al girar la esfera sus puntos diametralmente opuestos
se: Convierten en puntos de la misma naturaleza y en la proyeecion estereografica los puntos mencionados se representan por medio de puntos relacionados mediante la correlacion, (25), entonces el giro de la esfera
“use expresa en el plano por las transformaciones (41) 6 (42) que son permutadas con la transtormacién (25), es decir, los resultados que se
,obtienen como consecuencia de estas transformaciones, son iguales, sea cual fuera el orden en que se realizan ellas
Dado que los resultados de las transformaciones, realizadas en diverso
‘ofden, tienen la forma
entonces, comparando los miembros libres y factores de z en los numeradores
y denominadores de tas fracciones, Slegamos a las correlaciones
L;
daa ce- SẺ, (44)
Las mismas correlaciones (44) se obtienen al realizar en diferente
orden las transformactones (42) y (25) y comparando los miembros libres
y factores de z en las fracciones resultantes Por ello, las revoluciones
Trang 37maciones: az+h (43) -be+a y (46)
Al giro alrededor del ditmeiro SS’ le corresponde la transformacién (45) en la que 7 =, cuando 2 = 0, En-este caso b =0 y la transformacién (45) toma la forma
Trang 38§6 DESARROLLO HISTORICO , DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA
La primera obra en la que aparece nociỏn sobre la proyección estereográfica es “Planisferio” por Pfolomeo Claudio (II siglo a n e.) En el “Planisferio” se đa la descripcién del astrolabio, un instrumento para determinar las coordenadas de los astros en la esfera celeste, en el cual se utiliza el principio de la proyeccion estereografica (véase e] parrafo 7) En el texto de “Planisferio”, conservado hasta nuestros dias, se emplean (sin demostracidn) las propiedades A), B) y C) de la proyeccién estereogrdfica La primera exposicién de la teoria de la proyeccién estereografica, que tiene una demostracién completa de !a propiedad A) pertenece al Ahmad Al-Fergani, sabio bet siglo IX quien nacié en Fergana y trabajé en Bagdad Al-Fergani dedicé a esta teoria el primer ‘capitulo de su obra “Libro sobre ta construccién del astrolabio“ Postériormente los sabios orientales han sefialado que ‘el libro de Al-Fergani sốbre el astrolabio es una de las mejores exposiciones de la teoria de este instrumento Ptolomeo, probablemente, sabia de esta teoria, pero no aparece en el texto de “Planisferio” que conocian: los sabios de la: Edad Media
Trang 39
de un mismo punto de la recta y “contienen e| rectángulo dado” {es decir, el producto de las longitudes de estos scgmentos es una constante) y si, ademds, “un extremo de una de estas rectas describe ‘el lugar geométrico plano, entonces, el extremo de otra recta también describe un lugar geométrico plano del mismo o diferente tipo” Apolonio sefiala también que lo mismo sucede cuando las rectas.parten de’ diferentes puntos paralelamente o bajo un dngulo, es decir, en el caso en que un “lugar geométricé plano” se obtiene a partir de otro, por medio de una transformaciém que consiste de la inversién y el movimiento (en este mismo tratado Apolonio analiza la homotecia y la transformacién comipuesta de la homotecia y movimiento) Es evidente, que Ja mencionada proposicién de Apolonio en “Secciones conicas” prestaba a los griegos la posibilidad de obtener una rigurosa demostraci6n de la propiedad A) de la proyección estereográfica lo que, probablemente, fué hecho, si no en los tiempos de Apolonio, por lo menos en el transcurso de los cuatro siglos que separaron a Apolonio de Ptolomeo
El mẻrto de AlFergani consiste en que, disponiendo sólỏ de la formulacién de la propiedad A), logré establecer de nuevo
su demostración =
Trang 40§ 7 PROYECCION ESTEREOGRAFICA _ EN LA ASTRONOMIA Y LA GEOGRAFIA
Veamos, ante todo, cual es fa estructura del astrolabio medieval, basada en la aplicacién del principio de la proyeccién estereo- grafica Actualmente todos los escolares conocen esie instrumento que representa en si un disco horizontal dispuesto Sobre un tripode (fig 14,4) A lo largo del borde del disco van marcadas divisiones graduales En el centro se encuentra la alidada, una regla con dos pinulas, por medio de las cuales se puede visar la direccién sobre un punto a otro Al dirigir visualés en diferentes puntos, se puede medir angulos formados por las direcciones ¢n la superficie de la Tierra En la Edad Media el astrolabio se usaba para determinar las coordenadas de los astros en la esfera celeste lo que atestigua su propio nombre, proveniente de las palabras griegas “aotep” (astro) y “AaB” (captar) El disco con divisiones y la alidada (palabra drabe, significa “dispositivo”) del astrolabio moderno constituian sélo“una parte del astrolabio medieval El astrolabio se suspendia de un anillo (véase fig 14, b), su alidada se orientaba
FIG, 14
hacia el astro elegido y la flecha de la misma indicaba en la escala graduada la altura del astro en grados