libro de matemáticas

[...]... el conjunto M(m n) de todas las matrices de orden m n es, con las operaciones anteriores, un espacio vectorial sobre R Y si lo tuyo es vicio, puedes buscar una base de dicho espacio Cul es su dimensin? Definicin (de producto de matrices)  Dadas una matriz A, de orden m n y otra matriz B, de orden n p (observa que el nmero de columnas de A coincide con el de filas de B), se define la matriz producto... ms cmodo que la aplicacin de la definicin anterior Definiciones (de menor complementario y adjunto) 1) Llamaremos menor complementario del elemento a i j de una matriz A, cuadrada de orden n, y lo representaremos por a i j , al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de prescindir en A de la fila i y de la columna j 2) Llamaremos adjunto del elemento a i j de A, y lo representaremos... sumandos necesarios El clculo de un determinante de orden 4 exigira calcular 24 productos (y sumarlos); el de uno de orden 5, 120 Para calcular un determinante de orden 10 necesitaramos calcular la friolera de 3.628.800 productos, cada uno de ellos de 10 factores Qu hacer llegados a esta situacin? Dos definiciones nuevas nos aportarn un procedimiento para el clculo de un determinante que resultar mucho... llamaremos rango de una matriz nos resultarn triviales; por tanto, tu forma de proceder con los ejercicios de dependencia lineal deber ser distinta si te enfrentas a ellos por primera vez o despus de haber estudiado el tema 2 Ahora no podemos ser ms explcitos, pero no olvides lo que te decimos Volveremos sobre ello - 22 - Espacios vectoriales 7 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Definicin (de base de un espacio... filas del menor que hemos considerado linealmente dependientes y haber, por tanto, una al menos combinacin lineal de las dems, tal menor tendra que ser nulo (propiedad 8ằ de los determinantes), y no distinto de cero como hemos supuesto que era Teorema (otra forma de definir el rango de una matriz)  Si en la matriz A = (a i j) existe un menor de orden r distinto de cero, mientras que todos los de orden... rango de A es 3 Advertencia importante Si hubiramos definido el rango A como el mximo nmero de columnas, y no filas, de A linealmente independientes, habramos visto que tambin en ese caso el rango A coincidira con el orden del menor de A de mayor orden no nulo, luego: da lo mismo definir el rango de A como mximo nmero de filas linealmente independientes que como mximo nmero de columnas linealmente independientes... ẳ a a ẳ arr a r1 r2 r3 ạ 0 fuera uno de los menores de orden r no nulo (si no fuera as, un oportuno cambio en el orden de las filas y columnas de A resolvera la cuestin) , mientras que todos los de orden superior a r fueran iguales a cero Entonces, considerada la fila k de A, cualquiera que sta sea, desde la (r+1) hasta la m, se tendra, para todo valor de j, desde j = 1 hasta j = n: a 11 a a a 12 a... una de sus m filas a 1 , a 2 , , a m puede considerarse, como sabes, como un vector del espacio vectorial (Rn, +, ) Pues bien, llamaremos rango de A al rango de la familia F = { a 1 , a 2 , , a m } o, si prefieres, al mximo nmero de filas de A que, como vectores de R n , son linealmente independientes O sea, que el concepto de rango de una matriz no difiere esencialmente en nada del de rango de una... el rango de A sera como mnimo (r+1) y partiramos de l para formar, ahora, menores de orden (r+2) Si, por el contrario, todos los menores de orden (r+1) obtenidos orlando el inicial de orden r con dicha fila fueran nulos, eso nos permitira prescindir de ella sin que el rango de A se modificara, pues la fila en cuestin sera combinacin lineal de las que intervienen en el menor de orden r Lo entenders mejor... interseccin de las filas segunda y tercera con las columnas segunda y cuarta Pues bien, el 2 8 es un ejemplo de lo que llamaremos menor de la matriz A Menor de determinante 8 1 orden dos, en este caso Definicin (de menor de orden r en una matriz) Si en una matriz A = (a i j), de orden m n sobre R, se eligen las r filas i 1 , i 2 , , i r (en el orden natural) y las r columnas j 1 , j 2 , , j r (en igual orden), . establecido las nociones de dependencia e independencia lineal y de sistema generador; finalmente, hemos definido la dimensi—n de un subespacio vectorial como el nœmero de vectores de un sistema generador. rango de una matriz nos resultar‡n triviales; por tanto, tu forma de proceder con los ejercicios de dependencia lineal deber‡ ser distinta si te enfrentas a ellos por primera vez o despuŽs de haber. a cero? ÀQuŽ suceder’a si, por ejemplo, tomaras a 1 =1, a 2 = -2 ? Definiciones (de independencia y dependencia lineal) ①☞ Se dice que una familia { a 1 , a 2 , , a p } de vectores es libre,