buena exposición de matemáticas discretas

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35 Matemáticas Discretas TC1003 Teoría de Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35 El Argumento del Elemento Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x, x ∈ X → x ∈ Y. Una estrategia sería: Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35 El Argumento del Elemento Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X ⊆ Y recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x, x ∈ X → x ∈ Y. Una estrategia sería: ■ Para manejar el para todo se usa el método de generalización: suponga un elemento arbitrario x, ■ para probar que muestre que x ∈ X → x ∈ Y seguiremos la estrategía del método de prueba directo: ◆ supondremos que x ∈ X para x arbitrario, ◆ mostraremos que x ∈ Y. Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35 Ejemplo Pruebe que Z ⊆ Q. Demostraci ´ on Sea z un elemento cualquiera de Z. Así z = z 1 Por lo tanto, z puede ser visto como la división entre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z es un racional. Por tanto z está en Q. Por el argumento del elemento arbitrario Z ⊆ Q. Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35 Versiones Operativas de las Operaciones Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal U , y suponga que x y y con dos elementos de U : ■ x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y) ■ x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y) ■ x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x  Y) ■ x ∈ X c ≡ x  X ■ (x, y) ∈ X × Y ≡ (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y) ■ x ∈ P(X) ≡ x ⊆ X Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 5/35 Indique en orden los conjuntos que completan las afirmaciones: ■ Decir que un elemento x pertenece a B ∩ ( A ∪ C ) significa que x pertenece a B y que x pertenece a (a). ■ Decir que un elemento x pertence a ( B − C ) ∪ A significa que x pertenece a A o que x pertenece a (b). ■ Decir que un elemento x pertenece a C − ( B ∪ A ) significa que x pertenece a (c) pero que x no pertenece a (d). Dentro de la opciones: 1. C − B 2. B − C 3. A ∪ C 4. B ∪ A 5. C 6. C − A Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35 Prueba de Igualdad entre Conjuntos Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que X = Y: ■ pruebe que X ⊆ Y, ■ pruebe que Y ⊆ X. Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 7/35 Leyes Conmutativas Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: ■ A ∪ B = B ∪ A ■ A ∩ B = B ∩ A Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 8/35 Leyes Asociativas Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: ■ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ■ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 9/35 Leyes Distributivas Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces: ■ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ■ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) [...]... Leyes Identidad d) E ∪ E = E :Idempotencia Leyes e) B ∩ (B ∪ (C ∪ D)) = B :Absorción Complemento Leyes dentro de la lista: Idempotencia 1 Ley de Complemento 2 Ley de Idempotencia Leyes Dominaci´ n o 3 Ley Asociativa 4 Ley del Doble Complemento De Morgan Absorci´ n o 5 Propiedad Distributiva 6 Ley de Absorción Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas. .. Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas - p 11/35 Leyes de Idempotencia Sean A un conjunto cualquiera, entonces: s A∪ A = A s A∩ A = A Conjuntos: Propiedades de. .. Conjuntos: Propiedades de las Operaciones por por por por por Matemáticas Discretas - p 21/35 Ejemplo Indique en orden la simplificación de cada conjunto: a) B ∪ ∅ b) B ∪ B c) B − ∅ d) B ∩ Bc e) B ∪ Bc dentro de la lista: 1 B 2 U 3 ∅ Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento...Leyes de Identidad Sean A un conjunto cualquiera, entonces: s A∪∅ = A s A∩U = A Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas - p 10/35 Leyes de Complemento... Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas - p 16/35 Ley de Diferencia Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: s (A − B) = A ∩ Bc Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad... Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas - p 12/35 Leyes de Dominación Sean A un conjunto cualquiera, entonces: s A∪U = U s A∩∅ = ∅ Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento... Ejemplo Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados A − (A ∩ E) = A ∩ (A ∩ E)c = A ∩ (Ac ∪ E c ) = (A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ E c ) = ∅ ∪ (A ∩ E c ) (A ∩ E c ) ∪ ∅ = = A ∩ Ec = A−E Conjuntos: Propiedades de las Operaciones por Ley de Diferencia por De Morgan por Ley Distributiva por Ley de Complemento por Ley Conmutativa por Ley de Identidad por Ley de Diferencia Matemáticas Discretas - p 19/35... Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas - p 13/35 Leyes de De Morgan Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: s (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc s (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento... también elemento de Sea x un elemento cualquiera de E ∪ D Existen sólo dos casos para x: i) x ∈ E ii) x ∈ D Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas. .. Diferencia Matemáticas Discretas - p 29/35 Ejemplo Sean A y B conjuntos cualquiera Si A ⊆ Bc , entonces A ∩ B = ∅ Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci´ n o De Morgan Absorci´ n o Complemento Base Ley Diferencia Matemáticas Discretas . Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35 Matemáticas Discretas TC1003 Teoría de Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema. Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 10/35 Leyes de Identidad Sean A un conjunto cualquiera, entonces: ■ A ∪ ∅ = A ■ A ∩ U = A Argumento del Elemento Ejemplo 1 Operativa Prueba de igualdad Conmutatividad Asociatividad Distributividad Leyes. Identidad Leyes Complemento Leyes Idempotencia Leyes Dominaci ´ on De Morgan Absorci ´ on Complemento Base Ley Diferencia Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35 Prueba de Igualdad