geometría usb

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Departamento de Matemática Puras y Aplicadas Guías de estudio para el curso audiovisual GEOMETRÍA MA1511 Enrique Planchart (USB) II Universidad Simón Bolívar Apartado de Correos 89000 Baruta, Estado Miranda MAT117 - GEOMETRÍA Redacción: Enrique Planchart. Primera Edición: Septiembre 1978 Segunda Edición: Septiembre 2004 Tercera Edición: Septiembre 2005 Cuarta Edición: Septiembre 2006 COPYRIGHT c 1978, Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Universidad Simón Bolívar Totalmente editada e impresa en la Universidad Simón Bolívar Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio gráfico o audiovisual, sin previa autorización escrita. Queda hecho el depósito legal No. 2126 III RECONOCIMIENTO (Septiembre 1978) Este curso audiovisual de Geometría MAT117, es el fruto del trabajo de profesores y estudiantes del De- partamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación y personal de la Unidad de Medios Audio- visuales, que trabajaron en equipo bajo mi dirección durante los años académicos 1976-1977 y 1977-1978. Colaboraron en el dictado del curso y en la producción del mismo los profesores Vicente Tinoco y Roberto Lavieri, éste último era en esa época estudiante de Post-Grado. Por tiempos más cortos también trabajaron los estudiantes de Post-Grado, Eduardo Gómez y Gerardo Mendoza. Numerosos prepara- dores prestaron valiosísima colaboración en el dictado del curso, haciendo muchas observaciones que contribuyeron a mejorar las versiones previas; grabando todos los programas audiovisuales y haciendo los dibujos de este libro. Al esfuerzo coordinado de todo este equipo se debe gran parte de los aciertos y del éxito del curso. No ocurre así con las fallas y errores que pueda tener, los cuales son de mi entera responsabilidad. La realización de los programas audiovisuales estuvo a cargo del personal de la Unidad de Medi os Audiovisuales bajo la experta dirección del señor Martín Hruskovec y del profesor Manuel Benavides. Quiero expresar mi agradecimiento también a la señora Fanny Acuña de Castro y a la señorita Alma Rueda quienes mecanografiaron e hicieron todos los dibujos correspondientes a las dos primeras versio- nes de estas Guías. Finalmente, al personal del Taller de Estudios Libres que tuvo a su cargo la edición e impresión de este libro. Enrique Planchart PRESENTACIÓN DEL CURSO MA1511 EDICIÓN Septiembre 2005 FINALIDAD DEL CURSO El curso audiovisual de Geometría, MA1511, se dictó por primera vez en el trimestre septiembre- diciembre de 1975 bajo el código MAT117 y ahora se dictará con algunas variantes y cambios en la tecnología. Desde el principio se presentó como una necesidad para mejorar la formación en Geome- tría que trae de bachillerato el estudiante med io. Esta necesidad fue planteada principalmente por los Coordinadores de las distintas ramas de Ingeniería que se enseñan en la Universidad, pues se detecta una falta enorme de intuición geométrica en la mayoría de los estudiantes y aún en estudiantes muy avanzados. El principal objetivo de este curso es subsanar la falla dejada por la escuela secundaria en la ense- ñanza de la Geometría, no debe extrañar entonces que buena parte del contenido del curso figure, o figuraba hasta hace poco, en los programas oficiales de educación media y diversificada. Por otro lado se quiere agudizar la intuición geométrica del estudiante. Como frecuentemente el exceso de formalismo destruye la intuición, si se administra muy temprano sin la madurez matemática necesaria para digerirlo, hemos tratado de reducir el formalismo al mínimo y hemos hecho la exposición de la materia lo más intuitiva posible. Finalmente se quiere motivar e interesar al alumno en el estudio de la Geometría, más allá del nivel elemental de este curso. Por esta razón se tratan algunos temas e n el texto y en los ejercicios cuyo desarrollo completo no es posible a este nivel, pero que intuitivamente son sencillos de entender. METODOLOGÍA La metodología del curso MA1511 es distinta a la usual en secundaria o en la Universidad. El curso está presentado en forma de 20 capítulos de estudio y 20 programas audiovisuales, y además de esto hay sesiones de consulta que están a cargo de preparadores. Los preparadores son estudiantes más adelan- tados que han sido entrenados previamente tanto en la materia como en metodología de la enseñanza. V VI PRESENTACIÓN DEL CURSO MA1511 [1CM] EDICIÓN SEPTIEMBRE 2005 Es muy importante hacer notar que la responsabilidad del aprendizaje en este curso, como en cualquier otro, es fundamentalmente del estudiante. Lo único que ofrece la Universidad son recursos que pone a disposición del estudiante para que él mismo logre su aprendizaje. En este caso los recursos son de tres tipos distintos: 1. GUIAS ESCRITAS: Constituyen la médula del curso ya que contienen todo el material: textos, ejercicios, problemas, bibliografía y notas. Las Guías han sido escritas especialmente para el curso y son autocontenidas, no es necesario recurrir a la bibliografía para entender y asimilar las Guías. El curso consta de 20 Capítulos o Lecciones. 2. PROGRAMAS AUDIOVISUALES: Cada Guía está acompañada de un programa audiovisual, en el cual se desarrolla el tema de la Guía en forma rápida e intuitiva. El programa audiovisual sirve para motivar el estudio de la Guía y para dar ideas muy rápidas pero muy efectivas. No se debe esperar del programa audiovisual una explicación completa del material, ésta corresponde a la Guía. El programa sirve para obtener muy rápidamente, en aproximadamente 30 minutos, una visión global del tema de cada Guía y facilita enormemente su estudio. 3. PRÁCTICAS Y CONSULTAS: Se han planificado las clases prácticas, de resolución de ejercicios y consulta de problemas. Cada clase práctica corresponde a uno de las 20 Lecciones, y tendrán lugar dos veces por semana. El preparador encargado de cada sección conducirá la clase prác- tica únicamente para orientar al estudiante y para estimularlo en su trabajo, no para resolver los problemas de la Guía. En consecuencia, el estudiante no debe esperar ni exigir que el pre- parador resuelva los problemas, esto debe ser hecho por el estudiante mismo. Tampoco será posible hacer todos los problemas de la lección en una clase; muchos quedarán como tarea para ser resueltos en casa. 4. FORO EN LA RED: se dispondrá de una dirección en la Internet, accesible para todos los es- tudiantes, en la cual se apoyará el aprendizaje de los temas del curso. Se ha planificado un foro electrónico, para formular preguntas y respuestas en línea, además de una dirección en la red con la información general del curso, las autoevaluaciones y avisos urgentes para los estudiantes. FUNCIONAMIENTO DEL CURSO Los estudiantes deben atender a los siguientes recomendaciones para seguir el curso: 1. En la primera semana, comprar la Guía (o guías) de Geometría y un disco compacto con los programas audiovisuales. FUNCIONAMIENTO DEL CURSO VII 2. Atender los programas audiovisuales indicados para cada semana. Para esto los estudiantes disponen de los siguientes opciones: a) Con un computador provisto de equipo multimedia, en su hogar, residencia, cibercafé etc. . . en el momento que el estudiante disponga. b) En las salas computarizadas del campus universitario, reservadas para los estudiantes del cursos de geometría. Las aulas y horarios disponibles se anunciarán oportunamente. c) En las salas multimedia donde con un video-beam se proyectarán los programas para gru- pos de unos 30 estudiantes a la vez. Las salas y horarios se anunciarán oportunamente. Como cada programa audiovisual tiene una duración de 30 minutos aproximadamente, quedará un tiempo libre al final de cada proyección para hacer alguna consulta al prepara- dor, relativas al programa o la lección correspondiente. Los programas audiovisuales quedan, e n cualquier caso, constantemente a disposición de los alumnos y pueden ser vistos individualmente o en grupos en las salas multimedia provistas por la DSM (Dirección de Servicios Multimedia). 3. Estudiar las lecciones en la Guía, despues de haber atendido la lección audiovisual. Después de haber visto el programa audiovisual, ese mismo día, se debe comenzar el estudio de la Guía. 4. Plantear soluciones a todos los ejercicios o problemas propuestos para cada lección. 5. Consultar en el foro electrónico, o en las clases prácticas, las soluciones a los problemas encon- trados con la lección correspondiente. 6. Resolver los cuatro exámenes de autoevaluación propuestos con tres días de antelación a los cuatro exámenes del curso. 7. Cada sección de MA1511, tiene asignadas dos horas de clase práctica semanales en un aula (con pizarra). Asistir a esas clases prácticas (consultas) dirigidas por los preparadores y ase- soradas por profesores. También es conveniente que se haga un repaso de la Guía y todos los problemas posibles antes de la clase práctica correspondiente. Esto permitirá a los estudiantes aprovechar al máximo la clase taller y obtener ayuda del preparador en los puntos que real- mente les cuestan más trabajo y que no hayan podido resolver solos. Ese tiempo será utilizado por el preparador para aclarar dudas y preguntas. En algún caso se podrá utilizar parte del tiempo para la resolución de problemas que aún queden pendientes de Guías anteriores, pero esto debe ser hecho con el mismo método general de las clases prácticas. 8. En las semanas 3, 6, 9 y 12, se han fijado los cuatro exámenes parciales. Estos exámenes tienen una hora de duración, adicional a las clases prácticas de esas semanas. VIII PRESENTACIÓN DEL CURSO MA1511 [1CM] EDICIÓN SEPTIEMBRE 2005 EDICIÓN Septiembre 2005 En esta edición se han agregado las nociones de producto escalar y producto vectorial y su aplicación en la determinación de ecuaciones de planos y rectas en el espacio. Se agregaron respuestas a muchos ejercicios y se hicieron correcciones tipográficas. EDICIÓN Septiembre 2006 En esta edición, sólo se hizo el cambio al formato retrato, manteniéndose el contenido de la edición anterior. Índice general PRESENTACIÓN DEL CURSO MA1511 EDICIÓN Septiembre 2005 V FINALIDAD DEL CURSO V METODOLOGÍA V FUNCIONAMIENTO DEL CURSO VI EDICIÓN Septiembre 2005 VIII EDICIÓN Septiembre 2006 VIII Capítulo 1. INTRODUCCIÓN 1 LA RECTA REAL 1 MEDIDA DE UN SEGMENTO DE RECTA 4 ÁNGULOS Y SU MEDIDA 4 CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 9 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN Y ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES 10 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 12 Capítulo 2. REPASO DE TRIGONOMETRÍA 19 DEFINICIÓN DE SENO, COSENO Y TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO γ 20 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA 21 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 25 EJEMPLOS Y APLICACIONES 26 EJERCICIOS Y APLICACIONES 28 Capítulo 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBTUSÁNGULOS Y ACUTÁNGULOS 33 TEOREMA DEL COSENO 33 IX X ÍNDICE GENERAL TEOREMA DEL SENO 34 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 39 AUTOEVALUACIÓN 43 Capítulo 4. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 47 ARCO CAPAZ 55 POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA 57 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 59 Capítulo 5. PROBLEMAS Y APLICACIONES 67 MEDIDA DE LA TIERRA 67 DISTANCIA DE LA TIERRA A LA LUNA 68 RADIO DE LA LUNA 69 DISTANCIA DE LA TIERRA AL SOL 70 DISTANCIA DEL SOL A UNA ESTRELLA 71 AUTOEVALUACIÓN 73 Capítulo 6. CONCEPTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO 77 INTRODUCCIÓN 77 BIBLIOGRAFÍA 87 EJERCICIOS Y PROBLEMAS 87 Capítulo 7. POLÍGONOS Y POLIEDROS 89 Capítulo 8. TRANSFORMACIONES I: TRASLACIONES, ROTACIONES, SIMETRÍAS Y SEMEJANZAS 103 BIBLIOGRAFÍA 113 EJERCICIOS 113 PROBLEMAS 115 Capítulo 9. TRANSFORMACIONES II: GRUPOS DE TRANSFORMACIONES 121 EJEMPLOS 124 NOTAS 125 BIBLIOGRAFÍA 130 EJERCICIOS 131 [...]... bibliografía necesaria Al comenzar el estudio desde este punto de vista intuitivo, lo primero que se nos ocurre preguntarnos es ¿qué es lo que queremos estudiar? ¿qué es la Geometría? Ingenuamente buscamos un diccionario y leemos: GEOMETRÍA f Parte de las Matemáticas que trata de las propiedades, relaciones y medida de la extensión Bueno, la verdad es que aún no nos queda muy claro ¿Qué es la extensión?,... una idea de lo que quiere decir la definición de Geometría que da el diccionario, suficiente como para comenzar nuestro estudio Más adelante tendremos ocasión de dar una definición más precisa Para terminar volvamos a la recta real, a la correspondencia que habíamos establecido entre números reales y puntos de la recta Esta correspondencia es esencial en Geometría y es uno de los grandes inventos de la... AUTOEVALUACIÓN 340 AUTOEVALUACIÓN 344 AUTOEVALUACIÓN 344 AUTOEVALUACIÓN 344 AUTOEVALUACIÓN 345 AUTOEVALUACIÓN 345 CAPíTULO 1 INTRODUCCIÓN El objeto de este curso es presentar y desarrollar algunos temas de Geometría desde un punto de vista puramente intuitivo, no desde el punto de vista formal Esto no quiere decir que vamos a dejar por completo de hacer “demostraciones", sólo que no vamos a llevarlas al . estudio para el curso audiovisual GEOMETRÍA MA1511 Enrique Planchart (USB) II Universidad Simón Bolívar Apartado de Correos 89000 Baruta, Estado Miranda MAT117 - GEOMETRÍA Redacción: Enrique Planchart. Primera. ocurre preguntar- nos es ¿qué es lo que queremos estudiar? ¿qué es la Geometría? Ingenuamente buscamos un diccionario y leemos: GEOMETRÍA f. P arte de las Matemáticas que trata de las propiedades,. Planchart PRESENTACIÓN DEL CURSO MA1511 EDICIÓN Septiembre 2005 FINALIDAD DEL CURSO El curso audiovisual de Geometría, MA1511, se dictó por primera vez en el trimestre septiembre- diciembre de 1975 bajo el