Bài học về toán cao cấp đầu tiên cho người mới học đại học hoặc các bạn trẻ muốn học sớm chương trình đại học rất hay được rất nhiều bạn trẻ theo học và được đánh giá cao sẽ mang lại những điểm số cao cho các bạn trên đại học
Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ LIVESTREAM BUỔI – TOÁN CAO CẤP DÃY SỐ THỰC - GIỚI HẠN DÃY SỐ I DÃY SỐ Định nghĩa Định nghĩa: Một dãy số thực (nói ngắn gọn dãy số) ánh xạ từ N* vào R: n N* → xn R Người ta thường dùng ký hiệu: xn ; n = 1, 2, , x1 ,x2 , ,xn , để dãy số Số i = 1, 2, …, n, … gọi số Chú thích: Trong nhiều tài liệu, dãy số số 0, đó, tập N* định nghĩa nói thay N Ví dụ: a) xn ; xn = 1 ; x1 = 1; x2 = ; ; xn = ; n n b) xn ; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; ; xn = 1; c) xn ; xn = ( −1) ; x1 = −1; x2 = 1; ; xn = ( −1) ; n n d) xn ; xn = n2 ; x1 = 1; x2 = 4; ; xn = n2 ; 2 1 1 e) xn ; xn = + ; x1 = 2; x2 = ; ; xn = + ; n n f) xn ; xn = n ( −1) ; x1 = −1; x2 = 2; x3 = −3; ;n ( −1) ; n n ● Dãy đơn điệu: • Dãy tăng: xn+1 xn : n N * • Dãy giảm: xn+1 xn : n N * ● Dãy bị chặn: Dãy (xn) gọi bị chặn ( dưới, bị chặn) tập hợp xn : n N bị chặn (dưới, bị chặn) nghĩa là: C R, n N : xn C ( C,C ) _ Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ Giới hạn dãy số ( Định nghĩa: Dãy {xn} gọi hội tụ a ε nε n nε xn − a ε ) Ta nói dãy {xn} hội tụ đến a, hay a giới hạn dãy {xn} viết xn → a n → hay lim xn = a n → ● Nếu dãy {xn} khơng hội tụ, ta nói phân kỳ Chú ý: Ta hồn tồn sử dụng định nghĩa để chứng minh giới hạn dãy số Ví dụ 1: Chứng minh: lim =0 n Ví dụ 2: Chứng minh lim k n = 0, k N Các tính chất phép toán dãy hội tụ a) xn → a,xn → a' a' = a (tính chất nhất) b) xn → a ( xn − a ) → c) n : xn = c xn → c ( c = const ) d) xn → a, zn → a, xn yn zn ( yn → a ) : nguyên lý kẹp e) xn → a c 0, n : xn c f) xn → a, a p ( p ) n0 , n n0 : xn ( p ) g) xn → a, yn → b xn yn → a b h) xn → a, yn → b xn yn → a.b i) xn → a, yn → b,b 0, xn / yn → a / b Bài tập ví dụ: Tìm giới hạn dãy số lim 7n2 + 5n + 5n2 + lim sin n n lim n cos n n+1 _ Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA Học online tại: https://mapstudy.edu.vn _ Giới hạn vô hạn dạng vô định a) Giới hạn vô hạn Định nghĩa: Dãy (xn) gọi có giới hạn dương vơ (âm vơ cùng) nếu: M 0, n0 , n n0 M( − M0 ) Ký hiệu: lim xn = + ( −) hay xn → + ( −) Các tính chất: xn → + ( − ) , n; yn xn ( xn ) yn → + ( − ) xn → + ( − ) , n : yn c xn + yn → + ( − ) xn → + ( − ) , yn → + ( − ) xn + yn → + ( − ) xn → + ( − ) , yn → a ( a ) , xn yn → + ( − ) − ( + ) xn → + ( − ) , yn → + ( − ) − ( + ) xn yn → + ( − ) xn → + ( − ) 1/ xn → 0; xn → xn ( ) 1/ xn → + ( − ) Ví dụ: xn ; xn = 2n + 1 xn ; xn = n xn ; xn = n3 + n 2n2 − xn ; xn = n2 + + n3 + n − n b) Các dạng vô định Xét hai dãy xn yn , dạng vơ định có dạng: ; ; 0. ; − → Khi tìm giới hạn, gặp dạng ta phải biến đổi để khử chúng đi, sau áp dụng tính chất dãy hội tụ ta tìm giới hạn cụ thể Ví dụ: ( xn ; xn = n − n − n + n ) 4n4 − 10n3 xn ; xn = + 2n + 5n + _HẾT _ _ Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA