Cái nhìn sơ lược về nền toán học hiện đại

Nền toán học hiện đại là một lĩnh vực nghiên cứu toán học phát triển từ thế kỷ 20 đến nay, đặc trưng bởi sự mở rộng và sự phức tạp hơn so với các hệ thống toán học truyền thống. Nó tập trung vào việc khám phá và phân tích các khái niệm trừu tượng, sử dụng các phương pháp logic và lý thuyết tập hợp để xác định các quy tắc và mối quan hệ giữa các khái niệm này. Nền toán học hiện đại đặc biệt quan tâm đến việc xác định các khái niệm cơ bản, xây dựng các hệ thống lý thuyết chặt chẽ và chứng minh các định lý. Nó đã đóng góp mạnh mẽ cho sự phát triển của các lĩnh vực ứng dụng như khoa học máy tính, vật lý, kỹ thuật, kinh tế học và nhiều lĩnh vực khác.

CÁI NHÌN SƠ LƯỢC VỀ NỀN TỐN HỌC HIỆN ĐẠI THỜI KÌ CỔ ĐẠ I TỐN HỌC SƠ CẤP THỜI KÌ TỐN HỌC GẮN LIỀN VỚI CÁC YẾU TỐ , ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN Thời kỳ đầu, thời kỳ toán học đại lượng bất biến, tức đại lượng lấy giá trị cố định Trước hết, tốn học đóng góp vào hình thành sở lơgic hình thức, nhờ tư có lập luận xác, chặt chẽ Điều góp phần hình thành nên nguyên tắc tư khoa học Thí dụ từ quan hệ a=b,b=c suy a=c Tuy nhiên, khái niệm bất biến, bất động, cố định Đối với lĩnh vực tri thức khác, thời kỳ có học thiên văn học tương đối phát triển Tốn học thơng qua hai khoa học góp phần vào cách mạng Copecních thay hệ địa tâm hệ nhật tâm Sự phát triển giới quan gắn liền với cách mạng mà Copecních thực địi hỏi phải có toán học mang tư tưởng chất đời (đó tốn học đại lượng biến đổi thời kỳ cổ điển) CHƯƠNG GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC GẮN LIỀN VỚI HƠI THỞ CỦA TRIẾT HỌC QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN ĐƯỢC CHIA LÀM THỜI KÌ THỜI KÌ CỔ ĐẠI TỐN HỌC SƠ CẤP Đây giai đoạn toán học đại lượng bất biến (từ kỷ thứ V trước cơng ngun đến kỷ XVII) THỜI KÌ CỔ ĐIỂN TỐN HỌC CỔ ĐIỂN Giai đoạn tốn học nghiên cứu đại lượng biến đổi (từ kỷ XVIII đến cuối kỷ XIX) THỜI KÌ HIỆN ĐẠI TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI Trong giai đoạn đại, thành tựu bật toán học tư tưởng cấu trúc Thực chất tư tưởng cho phép ta tiếp cận cách trừu tượng khái quát đối tượng có chất khác để vạch quy luật chung chúng CÁC KHUYẾT ĐIỂM TOÁN HỌ C CỔ ĐẠ I Tuy nhiên, thời kỳ này, quan niệm học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét vật, tượng giới xung quanh Do học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định toán học làm chuẩn mực để tính tốn khối lượng nó, nên quan điểm tạo sở cho hình thành chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Thế giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc ảnh hưởng lâu dài đến phát triển toán học lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Mặt khác, thành tựu phát triển số học, hình học tạo mối liên hệ với quan niệm phép biện chứng ngây thơ cổ đại Chẳng hạn, vấn đề quan hệ số thực số ảo, vô hạn hữu hạn Như thời kỳ này, tốn học có đóng góp vào hình thành phát triển số yếu tố biện chứng, song nhìn chung dừng lại việc góp phần hình thành củng cố giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Do phát triển thực tiễn nhận thức, tất yếu dẫn tới đời toán học đại lượng biến đổi THỜI KÌ CỔ ĐIỂN TOÁN HỌC CỔ ĐIỂN SỰ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC GẮN LIỀN VỚI CÁC ĐẠI LƯỢNG BIẾN ĐỔI Ở thời kỳ này, nhà kinh điển ý đến toán học, trước hết tư tưởng vận động, mối liên hệ, phát triển toán học sớm khoa học tự nhiên thực nghiệm khác Thật vậy, lập luận giải tích tốn phép tính vi phân, người ta dùng khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vơ hạn, hữu hạn Nói theo ngơn ngữ tốn học, tức có tương tự cấu trúc hay đẳng cấu lĩnh vực có chất khác Có thể nói tư tưởng cấu trúc sở lý luận cho đời khoa học tổng hợp logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, sở tương tự cấu trúc trình diễn giới tự nhiên vô sinh, sống xã hội (tư duy) người ta chế tạo hệ thống máy tự động, hoạt động theo chế tương tự não giác quan người CÁI HAY CỦA THỜI KÌ CỔ ĐIỂN SO VỚI CỔ ĐẠ I Vào thời kỳ trước đó, điều kiện lịch sử định, giới quan siêu hình máy móc thống trị khoa học tự nhiên, đời phát triển tư tưởng vận động, liên hệ tốn học giáng địn mạnh mẽ vào giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm quan niệm tính bất di bất dịch tuyệt đối tự nhiên” Thật vậy, đời phép tính vi phân, giải tích tốn học tạo cho nhà khoa học phương tiện nhận thức tượng, vật, trình tự nhiên Nhờ đó, người ta phát định luật vạn vật hấp dẫn kỷ XVII, quy luật truyền sóng truyền nhiệt kỷ XVIII Sự đời thuyết tương đối Anhxtanh kỷ XIX nhờ phát triển từ trước hình học phi Ơclít Như vậy, tốn học thơng qua vật lý học, đóng góp vào cách mạng giới quan, thay chủ nghĩa vật siêu hình máy móc dựa học Niutơn (với đặc điểm khối lượng bất biến, không gian thời gian tách biệt nhau) chủ nghĩa vật biện chứng mà đời thuyết tương đối Anhxtanh lý thuyết khoa học đại khác ví dụ (với đặc điểm khối lượng, khơng gian thời gian không tách rời nhau) XÁC SUẤT Một thành tựu quan trọng khác toán học thời kỳ đời tưởng thống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định tồn khách quan ngẫu nhiên Thế giới khơng có tất nhiên mà có ngẫu nhiên Ngẫu nhiên tất nhiên liên hệ chặt chẽ bổ sung cho Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta quan niệm mềm dẻo xác phụ thuộc lẫn nhau, vật, tượng, q trình Nó vượt hẳn quan điểm định luận chặt chẽ coi phụ thuộc liên hệ vật đơn chặt chẽ tính tất nhiên thống trị tuyệt đối giới tự nhiên Sự tồn ngẫu nhiên bổ sung vào tranh khoa học chung giới NHẬN XÉT CHUNG KẾT LUẬN GIAI ĐOẠN TOÁN CỔ ĐIỂN GIẢI PHÁP MẠNH HÙNG Như vậy, tư tưởng vận động, liên hệ thống kê – xác suất góp phần hình thành tư biện chứng sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng Tuy nhiên, toán học thời kỳ mang hạn chế định Nó chưa đáp ứng nhu cầu sản xuất từ khí hố chuyển sang sản xuất tự động hoá, phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp trình độ lý thuyết Những địi hỏi tất yếu dẫn toán học tới thời kỳ phát triển – toán học nghiên cứu cấu trúc thuật tốn THỜI KÌ HIỆN ĐẠ I SỰ HÌNH THÀNH TƯ DUY TRỪU TƯỢNG NỀN TỐN TƯ DUY TRỪU TƯỢNG GẮN LIỀN VỚI CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trong kỉ XIX, ngành khoa học cao cấp cổ điển tiếp tục phát triển Tuy nhiên tiến hóa từ trực giác sang tính chặt chẽ có thành tựu đáng kể, tốn học giải phóng khỏi ràng buộc truyền thống khái quát trừu tượng trở thành khuynh hướng thời đại Nói theo ngơn ngữ tốn học, tức có tương tự cấu trúc hay đẳng cấu lĩnh vực có chất khác Có thể nói tư tưởng cấu trúc sở lý luận cho đời khoa học tổng hợp logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, sở tương tự cấu trúc trình diễn giới tự nhiên vô sinh, sống xã hội (tư duy) người ta chế tạo hệ thống máy tự động, hoạt động theo chế tương tự não giác quan người Định đề hai đường song song Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho Đây “định đề hai đường song song” tiếng Nó thể thiên tài Euclid nhận cần thiết Một hệ logic định đề Định lí Pythagoras phát biểu tổng ba góc tam giác ln 180 độ Hình học Lobachewsky Định đề vừa nói hiển nhiên nên người ta chưa nghĩ có lẽ nên thay đổi Nhưng vài nhà tốn học, Lobachewsky số đó, nghĩ tới xảy định đề thay định đề sau đây: " Qua điểm cho trước nằm đường thẳng cho trước, vẽ hai đường thẳng khác song song với đường thẳng cho" Chúng ta vẽ sau, hai đường thẳng tách biệt vẽ qua điểm P, hướng sang trái hướng sang phải Nó giả thiết lạ hay sao? Nói cho hợp lí chẳng có sai giả sử người ta có quyền tự lựa chọn giả thiết miễn chúng khơng mâu thuẫn Nhưng hai đường thẳng hình vẽ trơng khơng song song với đường thẳng cho! Nguyên nhân hai đường thẳng hình vẽ trên, hướng sang phải hướng sang trái, khơng song song với đường thẳng cho hình vẽ mặt phẳng bình thường, nơi có hình học Euclid cịn hình học khơng! Vậy lại gọi hình học Lobachewsky? Gauss, nhà tốn học tiếng thời ấy, không dám mạo hiểm với quan niệm sợ ảnh hưởng đến danh tiếng ơng Bolyai dũng cảm xơng pha, ơng không phát triển khái niệm sâu sắc trọn vẹn Lobachewsky Lobachewsky người giới thiệu khái niệm cách rộng rãi, cịn phát triển chúng sau số báo Vì thế, mơn hình học gọi hình học Lobachewsky Hình học Riemann gì? Riemann, nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, nghĩ tới việc thay định đề hai đường song song định đề sau đây: " Qua điểm cho trước không thuộc đường thẳng cho trước, không vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho" Một hệ logic giả thiết đưa ơng đến với mơn hình học tổng ba góc tam giác lớn 180 độ Bộ mơn hình học gọi hình học Riemann Những định lí ba mơn hình học? Những định lí hình học Euclid khơng phụ thuộc vào định đề hai đường song song khơng thay đổi Ví dụ, định lí sau ba mơn hình học: (i) Hai góc đối đỉnh (ii) Hai góc đáy tam giác cân Đâu chỗ khác ba mơn hình học? Trong hình học Euclid: (i) Tổng ba góc tam giác ln 180 độ (ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, cho dù có kéo dài bao xa, luôn cách khoảng không đổi (iii) Hai tam giác có ba góc diện tích khác Hai tam giác gọi tam giác đồng dạng, tam giác hình phóng to tam giác (iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng (v) Tỉ số chu vi đường trịn đường kính p Trong hình học Lobachewsky: (i) Tổng ba góc tam giác nhỏ 180 độ, lượng nhỏ tỉ lệ với diện tích tam giác (ii) Hai đường thẳng song song khơng gặp nhau, khoảng cách chúng nhỏ dần kéo dài chúng xa (iii) Chỉ hai tam giác diện tích có ba góc nhau, hai tam giác có diện tích khác khơng đồng dạng Trong mơn hình học này, tam giác tăng diện tích, tổng số đo ba góc giảm (iv) Qua điểm nằm đường thẳng, vẽ đường vng góc với đường thẳng giống hình học Euclid (v) Tỉ số chu vi đường trịn đường kính ln lớn p, tỉ số lớn diện tích vịng trịn lớn Trong hình học Riemann: (i) Tổng ba góc tam giác ln lớn 180o (ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm mặt phẳng phải cắt (iii) Tam giác lớn góc lớn (iv) Có thể vẽ vơ số đường vng góc từ điểm đến đường thẳng cho trước (v) Tỉ số chu vi đường trịn đường kính ln nhỏ p, giảm diện tích vịng trịn tăng Bộ mơn hình học đúng? Mỗi mơn hình học mặt mà có nghĩa thơi Hình học Euclid áp dụng cho hình vẽ tờ giấy mặt phẳng Hình học phi Euclid Riemann gần cho hình vẽ bề mặt hình cầu Hình học phi Euclid Lobachewsky cho hình vẽ mặt gọi giả cầu Mặt giả cầu mặt tròn xoay thu cách quay đường cong gọi tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy Các tam giác vẽ mặt khác thể hình bên dưới: Sự kiện thứ hai ĐẠI SỐ KHƠNG GIAO HỐN NĂM 1843 Sự kiền thứ hai ba kiện xảy đại số học sáng tạo đại số khơng giao hốn vào năm 1843 Đầu kỉ XIX, Peacook, Morgan người ý tồn cấu trúc đại số Năm 1843, Hamilton thông qua nghiên cứu vật lý, phát đại số quaternionn , luật giao hốn khơng cịn Một năm sau, Gausmann cho xuất Audehnungslehre tiếng phát triển tồn lớp cấu trúc đại số có cấu trúc khác với cấu trúc số học VỀ MẶT TƯ DUY Năm 1857, Caylay nghĩ đại số ma trận loại đại số khơng giao hốn Các cơng trình hệ thống đại số khác phản ánh ý thức khái quát hóa trừu tượng hóa cao độ Bằng cách thay tiên đề khác đại số thông thường tiên đề quán với tiên đề lại ta có hệ thống đại số khác cần nghiên cứu Sự kiện thứ ba SỐ HỌC HĨA GIẢI TÍCH TỪ NĂM 1821 Sự kiện thứ ba kiện toán học sâu sắc kỉ XIX xảy lĩnh vực giải tích tốn học việc số học hóa giải tích Năm 1821, Cauchy đạt bước tiến khổng lồ thực hành công gợi ý D’Alembert cách phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận đươc sau định nghĩa hội tụ, tính liên tục, tính khảvi tích phân xác định lý thuyết giới hạn Năm 1874, Weierstrass đưa ví dụ hàm liên tục mà khơng có đạo hàm Riemann đưa hàm liên tục số vơ tỉ gián đoạn số hữu tỉ VỀ MẶT TƯ DUY Vào cuối kỉ XIX, Dedekind, Cantor, Peano thiết lập sở cho giải tích hệ thống số tự nhiên đơn giản nhiều so với sỡ hệ thống số thực Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp ngành toán học bị ảnh hưởng lý thuyết Các thủ tục tiên đề tốn học nhiều khơng gian trừu tượng đời, lý thuyết tổng quát thứ nguyên độ đo tạo xuất ngành tốn học Topo học CHƯƠNG TỐN HỌC HIỆN ĐẠI QUA CÁC GIẢI THƯỞNG FIELD GIẢI THƯỞNG FIELDS ĐƠN VỊ TRAO: HỘI LIÊN HIỆP TOÁN HỌC QUỐC TẾ Được trao lần đầu tiên: 1936 Giải thưởng Fields giải thưởng mang tên nhà toán học Canada John Charles Fields trao năm lần Đại hội Toán học giới kể từ năm 1936 Canada cho nhà toán học 40 tuổi Thời kì đầu vào năm 1930, Huy Chương Fields có mục Lịch sử giải tiêu khác biệt: bắt nguồn từ việc làm dịu căng thẳng thưởng Fields quốc gia tơn vinh học giả có thành tích lời mời gọi bật Thật vậy, hội đồng cố tình tránh việc chọn nhà tốn học ngày suy nghĩ cách nhà toán học trẻ xuất sắc mà thay vào khích lệ cá nhân chưa có tên tuổi Họ dùng giải thưởng để định hình ngành tốn học tương lai, không đánh giá kết khứ sáng tạo tương lai thông Tuy nhiên, với ngành toán học Năm 1966 Ủy ban Huy chương ngày lớn mạnh mở rộng, Fields định trao giải số lượng nhà toán học truyền tải thơng cho nhà tốn học 40 tuổi đa dạng xuất thân họ qua giải thưởng Và danh tiếng, thay điều khiến hội đồng khó để đạt tiếng kiện loại trừ ứng cử viên trước đồng thuận việc đây, lại trở thành điều kiện chọn lựa phù hợp với lựa chọn tiên tiêu chí mơ hồ: “rất tiềm năng, điệp họ muốn chưa có tên tuổi” TRAO GIẢI Nguyên tắc xét trao giải thưởng Fields Có hai nguyên tắc xét trao giải thưởng Fields: giải toán lớn, hai đưa lý thuyết có nhiều ứng dụng tốn học Hai ngun tắc quan trọng phát triển tốn học Rõ ràng, chúng khơng hồn tồn độc lập Thường lời giải tốn cụ thể phải dựa sáng tạo lý thuyết (nếu dùng cơng cụ sẵn có có người giải được!) Ngược lại việc sáng tạo lý thuyết có ý nghĩa lớn giúp giải số toán cổ điển tồn đọng tốn học Ngồi giải thưởng Fields trao năm 1936, giải thưởng liên quan đến toán học nửa sau kỷ 20, số năm kỷ 21 CHIẾN TRANH RANH GIỚI MONG MANH GIỮA CÁC NGÀNH TRONG TOÁN HỌC Kể từ năm 1936 đến nay, thành tựu đạt cơng trình nhà tốn học giải thưởng Fields phản ánh xu hướng phát triển toán học 70 năm qua Cũng nhiều ngành khoa học khác, toán học phát triển cách “liên tục, khơng khả vi”, có cột mốc mà qua có thay đổi đột biến Nếu nhìn vào đồ thị phát triển tốn học, ta thấy có chuyển biến rõ ràng mối quan tâm qua thời kì chiến tranh Để lý giải điều này, nhắc đến câu nói Nietsche, tư tưởng lớn xuất giới với bước khẽ khàng, chúng phải chống lại cản trở to lớn, địi hỏi q trình thử nghiệm lâu dài, “câu đùa” Max Planck “chân lý khoa học khơng tồn thắng nhờ chinh phục người chống lại nó, mà thường người chống lại chết dần, hệ lớn lên với nó!” Những chiến tranh giới tàn khốc cướp sinh mạng hệ nhà khoa học, điều vơ tình thúc đẩy trình khách quan thừa nhận quan điểm ĐỒNG NHẤT QUÁ TRÌNH NHẤT THỂ HĨA TRONG TỐN HỌC Nếu nhìn vào giải thưởng năm 1936 1950, ta chưa thấy bùng nổ mối quan tâm đến tôpô đại số hình học đại số năm đầu sau Đại chiến giới thứ II Giải thưởng năm 1950 trao cho Laurent Schwartz lý thuyết phân bố, Alte Selberg thành tựu xuất sắc lý thuyết số N h n g n ă m , S e r r e v K o d a i r a n h ậ n đ ợ c g i ả i th n g v ì n h ữ n g t h n h t ự u đ t đ ợ c s a u c h i ế n t r a n h R ấ t k h ó p h â n b iệ t lĩn h v ự c n g h iê n c ứ u c ủ a h a i n h t o n h ọ c đ ợ c g i ả i t h n g , v m ặ c d ù c ó n h ữ n g đ iề u c h u n g n h a u t r o n g p h n g p h p , h ọ c h o l i g i ả i c ủ a n h ữ n g b i to n đ ặ c b i ệ t k h ó k h ă n v h o n t o n k h c n h a u C ó t h ể n ó i r ằ n g , đ â y c h ín h l đ i ể m k h i đ ầ u c h o s ự “ n h ấ t t h ể h o ” t r o n g t o n h ọ c , q u tr ìn h x ó a n h ị a r a n h g i i g i ữ a c c n g n h c ủ a t o n h ọ c t h ể h iệ n r õ r n g q u a c c giải thưởng Fields từ 1954 đến ngày Trong lần tiếp theo, ta thấy có cân hai nguyên tắc việc trao giải Chẳng hạn, năm 1958, Klaus Roth tôn vinh nhờ chứng minh ước lượng tinh tế, làm mạnh định lý Thue-Siegel xấp xỉ cácsố đại số số hữu tỷ Giải thưởng thứ hai giành cho René Thom, người xây dựng nên phương pháp mạnh mẽ tôpô lý thuyết cobordism MỐI QUAN HỆ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ Nhiều thành tựu trao giải thưởng Fields ngày gần với vấn đề vật lý Galileo Galilei bày tỏ rằng: "Cuốn sách tự nhiên viết ngơn ngữ tốn học" Ví dụ điển hình cho xu hướng cơng trình Donaldson Sau cơng trình Milnor cấu trúc vi phân mặt cầu chiều, cơng trình Donaldson xuất năm 1983 có ảnh hưởng đáng kinh ngạc Donaldson chứng minh tồn cấu trúc vi phân khác đa tạp chiều đơn liên Có vẻ kể từ sau năm 1970, thành tựu trao giải thưởng Fields ngày gần với vấn đề vật lý Điều thể rõ rệt cơng trình S Novikov, S T Yau, A Connes, S Donaldson, E Witten, V Drinfeld, M Kontsevich Đặc biệt Witten nhà vật lý nhận giải thưởng Fields Gần nhất, kết tất người giải thưởng Fields năm 2006 2010 liên quan chặt chẽ với vật lý Simon Kirwan Donaldson Mối liên hệ toán học vật lý khơng cịn mối liên hệ truyền thống, vật lý sử dụng tốn học, tốn học xây dựng công cụ mới, lý thuyết để giải thích tượng vật lý Ngày xuất kết toán học sâu sắc dựa tư tưởng vật lý Năm 2014, ông trao giải Giải thưởng đột phá Toán học "cho bất biến mang tính cách mạng đa tạp chiều nghiên cứu mối quan hệ tính ổn định hình học đại số hình học vi phân tồn cục, cho bó cho giống Fano." MỐI QUAN HỆ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ Ngay sau cơng trình Donaldson, Gompf Taubes tồn số vô hạn cấu trúc vi phân không gian thực chiều Kết chứng tỏ không gian “quen thuộc” vật lý (3 chiều không gian chiều thời gian) ẩn chứa nhiều điều chưa biết đến, có hệ quan trọng lý thuyết hấp dẫn, người ta cần lấy tích phân theo mêtric có thể, đó, theo cấu trúc vi phân Chứng minh Donaldson người khác dựa phát trước lý thuyết trường, chủ yếu lý thuyết “gauge” tương tác mạnh yếu Sự tương tác giới hạt mơ tả phương trình phi tuyến có chất tơpơ sâu sắc: phương trình Yang-Mills Quantum field theory Cùng với kết trên, cơng trình Drinfeld nhóm lượng tử lời giải Kontsevich cho giả thuyết Witten lực hấp dẫn minh chứng cho thời kì mối quan hệ toán học vật lý KẾT LUẬN Toán học thể thống Cũng khoa học khác, toán học phát triển cách “liên tục, khơng khả vi” Qua phân tích đây, ta thấy thống nhiều ngành toán học tưởng chừng xa Đặc biệt điều thể rõ cơng trình trao giải thưởng Fields Đại hội gần Đó thống giải tích, hình học số học cơng trình Lafforgue, Voevodsky (Fields 2002), Ngô Bảo Châu (Filds, 2010); mối liên quan tổ hợp, số học, giải tích, xác suất vật lý cơng trình Okounkov, Werner (Fields, 2006), Lindenstrauss, Smirnov (Fiedls 2010), việc Perelman sử dụng cơng cụ giải tích mạnh mẽ để giải trọn vẹn giả thuyết Poincaré, tốn khó tôpô, đồng thời mở nhiều hệ vật lý Các giải thưởng Fields chứng tỏ rằng, q trình phát triển, tốn học đơi ngối đầu nhìn lại q khứ ánh sáng Đó trường hợp người đoạt giải thưởng Fields nhờ giải vấn đề thuộc lĩnh vực cổ điển: Jean Bourgain Tim Gowers giải nhiều vấn đề cổ điển lý thuyết khơng gian Banach; P L Lions phương trình đạo hàm riêng; JeanCristoph Yoccoz, Curtis McMullen hệ động lực; Zelmanov với toán Burnside cổ điển