Đang tải... (xem toàn văn)
Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên không gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại
9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T oá n h ọc h iện đại Giới thiệu bó Bắt đầu nm linh1 , -05-2 02 - 0:3 bó , Đã g ửi -0 -2 - :3 nmlinh16 Khái niệm bó (sheaf) thể ý tưởng bản: để hiểu khơng gian hình học, ta nghiên cứu hàm khơng gian Bó vốn có nguồn gốc từ Tơ pơ đại số hình học vi phân (Leray xây dựng để chứng minh định lý điểm bất động PDE) Sau này, người ta sử dụng bó cách có hệ thống hình học đại số đại "Hàm" "điểm" Trước đến với nội dung chính, ta bắt đầu phiên baby định lý biểu diễn Gelfand-Naimark Nếu A vành (giao hốn có đơn vị), ta ký hiệu Spm(A) phổ cực đại A, tức tập hợp tất ideal cực đại A Trên tập hợp có tơ-pơ gọi tơ-pơ Zariski, tập đóng tập hợp V (I ) := {m ∈ Spm(A) : I ⊆ m}, I ideal A Thật vậy, ∅ ⋂ V (Ii ) = V (∑ Ii ) i , , = V ((1)) Spm(A) = V ((0)) V (I ) ∪ V (J ) = V (I J ) Tơ-pơ sinh tập mở có dạng i D(f ) := {m ∈ Spm(A) : f ∉ m}, với f , gọi tập mở Như vậy, ta coi phần tử A hàm không gian tô- ∈ A pơ Spm(A) Các ideal cực đại A điểm Việc tính giá trị hàm f điểm m việc tính f , phần tử trường thặng dư A/m Như vậy, hàm f nhận giá trị trường biến mod m thiên theo điểm. Quote Slogan: Trong hình học, điểm mà ta tính giá trị hàm, giá trị nằm trường Cho X không gian tô-pô Ký hiệu C(X) vành hàm liên tục X → R (phép cộng phép nhân định nghĩa cách hiển nhiên) Nhóm phần tử khả nghịch vành ∗ C(X) Với điểm x , tập hợp mx ∈ X = {f ∈ C(X) : ∀x ∈ X, f (x) ≠ 0} := {f ∈ C(X) : f (x) = 0} ideal C(X) Chính xác hạch tồn cấu C(X) → R, Nó ideal cực đại C(X)/mx ≃ R f ↦ f (x) trường Ta có ánh xạ X → Spm(C(X)), x ↦ mx Mệnh đề Nếu X Hausdorff compact ánh xạ phép đồng phơi (trong tơ-pơ Spm(C(X)) tơ-pơ Zariski) Chứng minh https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 1/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học T ính tồn ánh Cho m ideal cực đại C(X) Ta chứng minh tồn x thế m = mx chúng ideal cực đại) Thật vậy, ngược lại với x Lấy Ux fx (x) ≠ ⊆ X cho X = ⋃ Ux Đặt f f khả nghịch C(X)× , suy m = ≠ y Thế f (y) > với y , ∈ X x∈S , mâu thuẫn C(X) hai điểm X Vì X Hausdorff compact nên chuẩn tắc Theo định lý Urysohn, : X → R cho f (x) = f (y) ≠ 0, suy mx T ính liên tục. Xét tập mở D(f ) Spm(C(X)), với f X → Spm(C(X)), {x (và mx cho ∈ m := ∑ fx ∈ m x∈S tồn hàm liên tục f cho m ⊆ lân cận mở x cho fx nhận giá trị khác tồn Ux Vì X compact nên ⊆ X tồn tập hữu hạn S T ính đơn ánh. Cho x ∈ X , tồn fx ∈ X ≠ my : X → R liên tục Ảnh ngược ánh xạ x ↦ mx , hiển nhiên tập mở Các tập mở sở cho tơ-pơ Zariski trên ∈ X : f (x) ≠ 0} Spm(C(X)) nên ánh xạ liên tục T ính đóng. Cho Y tập đóng X Ta chứng minh {mx : x ∈ Y } = V (I ), với I = ⋂ mx = {f ∈ C(X) : f | = 0} Y Hiển nhiên ta có {mx Ngược lại, xét m ∈ : x ∈ Y } ⊆ V (I ) Ta có V (I ) x∈Y m = mx với x ∈ X Nếu x ∉ Y tắc, nói riêng quy) Khi đó, f có {mx tồn f ∈ I f ∉ mx : X → R liên tục cho f (x) ≠ Nhưng mx ∈ V (I ) nên I ⊆ mx f | Y = Tóm lại, x (vì X chuẩn ∈ Y ta là tập đóng □ : x ∈ Y } = V (I ) Đã g ửi -0 -2 - :2 nmlinh16 Tiền bó Cho X khơng gian tô-pô Như trước, ta thấy nghiên cứu X thông qua vành hàm liên tục X hàm toàn X → R Hausdorff compact ta X (mà khơng bị thông tin) Tuy nhiên, việc xét nói chung khơng đủ (chẳng hạn, hình học đại số, không gian tô-pô mà xét lược đồ (scheme), chúng không Hausdorff) Từ người ta nghĩ đến việc xét hàm xác định tập mở , sở khái niệm bó X Để gọn gàng, trình bày định nghĩa ngôn ngữ phạm trù hàm tử, giải thích định nghĩa cho người đọc chưa biết đến ngơn ngữ hiểu Ký hiệu O(X) phạm trù tập mở , cấu xạ phép bao hàm (như vậy, X tập mở có cấu xạ U → V Một tiền bó (presheaf) nhóm abel X cách cụ thể, tiền bó F X U ⊆ V , khơng có cấu xạ U → V U, V ⊆ X ngược lại) hàm tử phản biến từ O(X) vào phạm trù nhóm abel Một cho liệu sau với tập mở U X, nhóm abel F (U ); với V ⊆ U tập mở X, đồng cấu nhóm rU →V , thường gọi phép hạn : F (U ) → F (V ) chế từ U vào V cho tính chất sau thỏa mãn với tập mở U ⊆ X rU →U : F (U ) → F (U ) với W tập mở X, ta có rV →W ⊆ V ⊆ U , cấu xạ đồng nhất; ∘ rU →V = rU →W : F (U ) → F (W ) Tương tự, ta nói tiền bó tập hợp, tiền bó vành, tiền bó module Ví dụ. Ta có (tiền) bó C hàm liên tục X cho U tục U → R ↦ C , C (U , R) vành hàm liên (U , R) Các phép hạn chế hiểu theo nghĩa thông thường Tương tự, cho X đa tạp trơn Ta có (tiền) bó C ∞ hàm khả vi X cho U ↦ C ∞ (U , R) Tương tự, cho X đa tạp giải tích phức (chẳng hạn, diện Riemann) Ta có (tiền) bó O hàm chỉnh hình) U ↦ O(U , C) https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 2/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học pre Cho A nhóm abel Tiền bó A – – đồng A Cho x ∈ X X cho U Các phép hạn chế cấu xạ ↦ A → A A nhóm abel (Tiền) bó chọc trời ix,∗ A X cho U Các phép hạn chế hiển nhiên (cấu xạ đồng A , A → A Cho A vành (giao hốn, có đơn vị) Khơng gian tô-pô X = Spec(A) , → ↦ { ế ế A n u x ∈ U , n u x ∉ U ) → định nghĩa tập hợp ideal nguyên tố A với tơ-pơ Zariski (tương tự Spm(A)), phổ (nguyên tố) A Có bó (sẽ định nghĩa bó sau) vành OX X cho tập mở , , ta có OX (D(f )) = D(f ) = {p ∈ Spec(A) : f ∉ p} f ∈ A {1, f , f Af , địa phương hóa A tập nhân tính Các phép hạn chế tập mở cấu xạ địa phương hóa Bó OX gọi bó , …} cấu trúc X Đây viên gạch hình học đại số: cặp (X, OX ) gọi lược đồ affine Một lược đồ xây dựng cách "dán" lược đồ affine Cho F tiền bó (nhóm abel) Với tập mở U , ta dùng ký hiệu X nhóm F (U ) Các phần tử nhóm gọi lớp cắt (section) tập mở lớp cắt, ta dùng ký hiệu s ∈ Γ(U , F ) s| V để hạn chế F Γ(U , F ) U Nếu H (U , F ) V ⊆ U để Một lớp cắt rU →V (s) X đưuọc gọi lớp cắt toàn cục (global section) Cho X F tiền bó G Theo định nghĩa, chúng hàm tử phản biến từ phạm trù tập mở X vào phạm trù nhóm abel Một cấu xạ ϕ : F → G biến đổi tự nhiên hai hàm tử Một cách cụ thể, cho họ đồng cấu nhóm ϕ(U ) : tập mở U , cho X V ⊆ U F (U ) → G (U ) tập mở X đồng cấu nhóm, đánh số ta có biểu đồ giao hoán (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-69131500-1621865564.png) Nếu U tập mở của G tiền bó U X s lớp cắt F U , ta ký hiệu Tính giao hốn biểu đồ viết lại thành X ϕ(s| ϕ(s) V thay cho ) = ϕ(s)| V Đó lớp cắt ϕ(U )(s) với s Các ∈ Γ(U , F ) cấu xạ chúng tạo thành phạm trù mà ta ký hiệu PSh(X) Đây phạm trù tiền cộng tính: ϕ, ψ : F → G cấu xạ hai tiền bó , cấu xạ X ϕ + ψ : F → G định nghĩa cách hiển nhiên, (ϕ + ψ)(U ) := ϕ(U ) + ψ(U ) Một cách thủ tục, ta kiểm tra PSh(X) phạm trù abel Tổng trực tiếp hai tiền bó F G tiền bó F ⊕ G : U ↦ F (U ) ⊕ G (U ) Nếu ϕ : F → G đồng cấu hai tiền bó hạch (tương ứng, đối hạch; tương ứng, ảnh) Kerϕ : U ↦ Ker(ϕ(U )) ϕ (tương ứng, Cokerϕ ; tương ứng, Imϕ : U ↦ Coker(ϕ(U )) đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) phạm trù đơn cấu (tương ứng, toàn cấu; tương ứng, đẳng cấu) với tập mở U tập mở U ta gọi F tiền bó ⊆ X G tiền bó ) Cấu xạ ϕ(U ) PSh(X) Nói riêng, ⊆ X tiền bó thương ϕ : U ↦ Im(ϕ(U )) G /F F (U ) ⊆ G (U ) với cho U ↦ G (U )/F (U ) Hình gửi kèm https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 3/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-69131500-1621865564.png) Đã g ửi -0 -2 - 2 :2 nmlinh16 Thớ bó Ta cho không gian tô-pô X Cho F tiền bó Cho X T hớ (stalk) của x ∈ X F x giới hạn xuôi F x := lim F (U ) −→ U ∋x Cụ thể, ta có đồng cấu tắc F (U ) → đồng cấu ký hiệu sx ∈ Fx Fx với lân cận mở U x Ảnh lớp cắt s , gọi mầm (germ) mầm lớp cắt xác định lân cận x Nếu t ∈ Γ(V , F ) sx = tx tồn lân cận mở W U, V s lân cận mở của ⊆ U ∩ V x ∈ Γ(U , F ) x Mỗi phần tử cho s| W x = t| W Fx , s ∈ Γ(U , F ) Ví dụ Xét tiền bó O hàm chỉnh hình C (Đây tiền bó C-đại số) Với a ∈ C , thớ Oa đẳng cấu với vành C{z − a} chuỗi lũy thừa với tâm a bán kính hội tụ dương. pre Cho A nhóm abel Tiền bó A – – Cho A nhóm abel x : U ↦ A X có thớ A điểm Tiền bó chọc trời ix,∗ A có thớ A điểm y ∈ X ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (các điểm đặc biệt ∈ {x} hóa x) điểm khác Cho A vành (giao hốn, có đơn vị) X , với ideal nguyên tố p = Spec(A) , thớ OX ,p bó ∈ X cấu trúc OX địa phương hóa Ap A p Một tiền bó phủ mở U F gọi bó thỏa mãn hai điều kiện sau với tập mở U X = ⋃ Ui X i∈I (Tính địa phương) Nếu s (Tính dán được) Nếu si s ∈ F (U ) cho s| U i ∈ F (U ) ∈ F (Ui ) = si cho s| U với i với i ∈ I = với i ∈ I s = i ∈ I cho si | U ∩U i j = sj | Ui ∩Uj với i, j ∈ I tồn (lớp cắt s tính địa phương) Nhận xét Từ tính địa phương, ta suy với tập mở U F (U ) → ∏ Fx đơn cấu (nói riêng, x∈U Fx với x cận mở Ux ∈ U ⊆ U F (U ) = 0) Thật vậy, giả sử s x cho s| U x Áp dụng tính dán cho U Phạm trù Sh(X) bó X ∈ F (U ) cho sx Vì tập mở Ux phủ U nên ta có s = = ∅ = với x ∈ U Tồn lân = , ta thấy F (∅) = định nghĩa phạm trù đầy phạm trù đầy phạm trù Psh(X) tiền bó Nói cách khác, đồng cấu hai bó đơn giản đồng cấu hai tiền bó tương ứng https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 4/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học Ví dụ Tiền bó hàm liên tục, tiền bó hàm khả vi tiền bó hàm chỉnh hình bó Tiền bó chọc trời bó Nếu A vành giao hốn có đơn vị X Cho X = {0, 1} tiền bó cấu trúc OX bó = Spec(A) pre với tơ-pơ rời rạc A abel khác Tiền bó A – – Bó A khơng gian tô-pô X cho U – – ằ ↦ {h m h ng A bó. địa phương U → A} Việc lấy thớ có tính hàm tử Cho có cấu xạ ϕ x : F x → Gx ϕ x (s x ) = ϕ(s)x cấu xạ hai tiền bó ϕ : F → G mô tả sau Nếu Cho X lân cận mở U x Lấy giới hạn, ta x ∈ X s ∈ F (U ) Sau tính chất bó kiểm tra thớ Mệnh đề Cho ϕ : F Nếu ϕx = cấu xạ hai bó → G với x ∈ X ϕ X = ϕ đơn cấu (theo nghĩa tiền bó) ϕx đơn cấu với x ∈ X ϕ đẳng cấu (theo nghĩa tiền bó) ϕx đẳng cấu với x ∈ X Chú ý tính tồn cấu (theo nghĩa tiền bó) nói chung khơng kiểm tra thớ Chứng minh Giả sử ϕx = với x Cho ∈ X U tập mở Thật vậy, cho ϕ(U ) = : F (U ) → G (U ) bó nên G (U ) → ∏ Gx , ta cần chứng minh X Khi s ∈ F (U ) đơn cấu, suy ϕ(s)x = ϕ x (s x ) = với x ∈ U Mà G ϕ(s) = x∈U Giả sử ϕ đơn cấu Cố định s ∈ F (U ) V ⊆ U x cho Lấy α ∈ x ∈ X ϕ(s| V ) = ϕ(s)| V ∈ U , suy Cho ∈ X sx = s ∈ F (U ) = tx với t cho ∈ G (U ) , suy t = ϕ(s) U ϕx X V , suy = cho ∈ F (U ) sx = , ta chứng minh X Thế ϕx (sx ) = ϕ(s) = ϕ(s)x = s = toàn cấu với x Thật vậy, xét β ∈ X ∈ Gx Ta lân cận mở x Vì ϕ(U ) tồn cấu nên tồn β = tx = ϕ(s)x = ϕ x (s x ) Ngược lại, giả sử ϕx đẳng cấu với x mở tùy ý ϕx s| tập mở tùy ý x đơn cấu Vì F bó nên Giả sử ϕ đẳng cấu Ta cần chứng minh viết β U với sx , nên tồn lân cận mở Vì ϕ(V ) đơn cấu nên đơn cấu Thật vậy, xét s ϕ(U ) : F (U ) → G (U ) Ta viết α = ϕ x (α) = = ϕ x (s x ) = ϕ x (α) = = Ngược lại, giả sử ϕx đơn cấu với x với x cho Fx lân cận mở x Thế ϕ(s)x U Ta cần tìm s t ∈ G (U ) Ta cần chứng minh ∈ X cho ∈ F (U ) ϕ toàn cấu. Cho U tập Ta thấy tính tồn cấu t = ϕ(s) chưa đủ Với x ∈ U , tồn αx ∈ Fx lân cận mở x Thế tx x ϕ(r )| Ux = t| Ux cho ϕ x (αx ) = tx Viết αx x x = ϕ x (αx ) = ϕ x (rx ) = ϕ(r )x Ta thu phủ mở U = ⋃ Ux U x = rx , với rx ∈ F (Vx ) , nghĩa tồn lân cận mở Ux Đặt sx x := r | Ux ⊆ U Với x, y ∈ F (Ux ) Vx ⊆ U cho ∈ U , ta có x∈U ϕ(s x | Ux ∩Uy ) = ϕ(s x )| x Ux ∩Uy = ϕ(r )| Ux ∩Uy = t| Ux ∩Uy Tương tự, y ϕ(s | Vì ϕ(Ux ∩ Uy ) đơn cấu (theo phần 2.) nên cắt s thành lớp cắt s x bó nên Với x ∈ F (U ) Ux ∩Uy s ∈ U x | ) = t| Ux ∩Uy y Ux ∩Uy , ta có = s | t| Ux ∩Uy ( Ux Vì F bó nên ta dán lớp x = ϕ r )| Ux = ϕ(s x ) = ϕ(s| Ux ) = ϕ(s)| Ux Vì G t = ϕ(s) □ Bài v iết chỉnh sửa nội dung nmlinh16: -05-2 02 - 2 :3 Đã g ửi -0 -2 - :3 nmlinh16 Bó hóa https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 5/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Cho X không gian tô-pô Ta dễ dàng kiểm tra rằng, F G bó tiền bó tổng trực tiếp X F ⊕ G : U ↦ F (U ) ⊕ G (U ) bó Tương tự, ϕ : F → G cấu xạ tiền bó hạch Kerϕ : U ↦ Ker(ϕ(U )) bó Nếu đơn cấu cảm sinh đẳng cấu ϕ tiền bó ảnh F Imϕ : U ↦ Im(ϕ(U )), Imϕ bó Tuy nhiên, nói chung Imϕ khơng phải bó Điều tương tự xảy với tiền bó đối hạch thương Cokerϕ G /F (khi F bó G Để khắc phục điều này, ta xây dựng hàm tử bó hóa (sheafification) sau Cho tập mở Một U ⊆ X tiền bó F Cho X gọi mầm tương thích (compatible germ) (αx )x∈U ∈ ∏ F x F x∈U với x U ∈ U , tồn lân cận mở V Các mầm tương thích F U ⊆ U lớp cắt s x ∈ F (V ) lập thành nhóm tích trực tiếp cho ∏ Fx s y = αy với y ∈ V Ta ký hiệu nhóm x∈U F # Nếu (U ) V ⊆ U tập mở, phép chiếu ∏ Fx → ∏ Fx x∈U F # # (U ) → F cảm sinh đồng cấu hiển nhiên x∈V Dễ thấy ta có tiền bó (V ) F Ta khẳng định bó Thật vậy, cho # : U ↦ F U = ⋃ Ui # (U ) phủ mở Cho i α i = (αx )x∈Ui ∈ F # với (Ui ) i∈I i , cho ∈ I α = (αx )x∈U j i với i, j αx = αx sau: với x ∈ U ∈ I x , lấy số ∈ Ui ∩ Uj i ∈ I Điều cho phép ta định nghĩa tùy ý cho đặt αx x ∈ Ui mầm tương thích (do tính "địa phương" định nghĩa mầm tương thích), α ∈ α| i Ui = α với i ∈ I i := αx F # (U ) Hiển nhiên thỏa mãn Hiển nhiên lớp cắt thỏa mãn tính chất Định nghĩa Bó F # gọi bó liên kết với tiền bó Bó hóa có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên: Mỗi đồng cấu ϕ ϕ # # # : F → G # Cụ thể, # (α) = (ϕ x (αx ))x∈U ∈ G U tập mở X F ϕ : F → G cảm sinh đồng cấu bó α = (αx )x∈U ∈ F # (U ) mầm tương thích (U ) Ta có cấu xạ tiền bó # i : F → F sau: với tập mở U X , s ∈ F (U ) i(s) = (s x )x∈U Mệnh đề Cấu xạ i cảm sinh đẳng cấu thớ Nói riêng, F bó i đẳng cấu Chứng minh Cố định Với lân cận mở U x, ký hiệu x ∈ X thay đổi, cấu xạ # px : F x → Fx Hợp thành # Fx # (U ) → F x tương thích với đồng cấu hạn chế pU pU ∘ i(U ) : F (U ) → F x tính chất phổ dụng đối giới hạn Từ suy Tiếp theo, xét α ∈ pU : F ix F # s y = βy Nếu F với y đồng cấu tắc s tùy ý Thế α mầm x lớp cắt β ∈ V , nghĩa i(s)| V = β| x ∈ U Khi U ↦ sx Do px ∘ i x = idF x theo đơn cấu = (βy )y∈U ∈ F lân cận mở x Vì β mầm tương thích nên tồn lân cận mở V cho phép chiếu lên tọa độ , chúng cảm sinh đầu cấu Từ ta có V ⊆ U x # (U ) đó, với U lớp cắt s ∈ F (V ) , ix toàn cấu i x (s x ) = i(s)x = α bó i đẳng cấu, tính chất "là đẳng cấu" kiểm tra thớ □ Tính chất phổ dụng bó liên kết. Với cấu xạ ϕ : F tồn cấu xạ ϕ ′ : F # → G cho ′ ϕ = ϕ ∘ i → G , G bó , X Chứng minh Cấu xạ bó hóa thế, cấu xạ ϕ ′ j : G → G # đẳng cấu (theo mệnh đề trước) Tính tốn trực tiếp, ta có thỏa mãn ′ ϕ = ϕ ∘ i ϕ ′ = j −1 ∘ ϕ # ϕ # ∘ i = j ∘ ϕ Vì □ Như vậy, ta có đẳng cấu tự nhiên # (−) : Psh(X) → Sh(X) https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ Hom Sh(X ) (F # Nói cách khác, hàm tử bó hóa , G ) ≃ Hom Psh(X ) (F , G ) liên hợp bên trái hàm tử quên Vì thế, bó hóa hàm Sh(X) → Psh(X) 6/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học tử khớp phải bảo tồn đối giới hạn Nếu cấu xạ bó hóa ϕ F → F # đơn cấu F # đơn cấu hai tiền bó với x ϕ : F → G , ∈ X đơn cấu (xem chứng minh Bài 3; bước không cần dùng đến tiên đề bó ϕx : F → G Tuy nhiên, hàm tử quên # # G → G G # cảm sinh đẳng cấu thớ, bó Tóm lại, bó hóa (−)# Sh(X) → Psh(X) # ϕx : F # → G # F ) Các đơn cấu, suy hàm tử khớp : Psh(X) → Sh(X) nói chung khớp trái Sử dụng tính chất phổ dụng bó hóa, ta chứng minh đồng cấu hai bó (Cokerϕ) # ϕ : F → G trù ) Tương tự, (Imϕ# ảnh Sh(X) F (U ) ⊆ G (U ) ϕ Sh(X) phạm trù abel Hơn nữa, đối hạch theo nghĩa bó Nếu với tập mở U ) (G /F )# thương F G ϕ theo nghĩa bó (i.e phạm bó G (nghĩa F theo nghĩa bó Kể từ nay, ta dùng ký hiệu Cokerϕ , Imϕ G /F để đối hạch, ảnh thương theo nghĩa bó Các đối tượng tương ứng theo nghĩa tiền bó ký hiệu (Cokerϕ) pre , (Imϕ) pre pre (G /F ) Mệnh đề. Cho ϕ : F → G cấu xạ hai bó Các khẳng định sau tương đương ϕ tồn cấu (theo nghĩa bó) ϕx tồn cấu nhóm với x : Gx → F x Với tập mở U cho s ∈ F (V ) , lớp cắt t ⊆ X ϕ(s) = t| ∈ G (U ) ∈ X x ∈ U , tồn lân cận mở V ("một cách địa phương, lớp cắt V G ⊆ U x lớp cắt ảnh lớp cắt F ") Chứng minh ⇒ Cho U Cố định x ∈ X đặt A tập mở Nếu X = Cokerϕ x x ∈ U Ta xây dựng cấu xạ , ta đặt ψ(U ) : ψ từ G vào bó chọc trời ix,∗ A sau G (U ) → i x,∗ A(U ) = A hợp thành Trong trường hợp này, ta có biểu đồ giao hốn G (U ) → Gx → Cokerϕ x = A (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-08837800-1621892237.png) Vì hợp thành Nếu x ∉ U ϕx Fx − → Gx → A , ta đặt ψ(U ) = , suy ψ ∘ ϕ = ψ = , suy Cho ϕ x (α) = tx ′ ′ t| V Mà ψx , nghĩa ψ(U ) ∘ ϕ(U ) = phép chiếu , nên Gx → A toàn cấu ′ sx ∈ G (U ) với s ′ x ∈ U ′ ∈ F (U ) Vì ϕx tồn cấu nên tồn α ∈ đó, , nghĩa tồn lân cận mở V ⊆ U ′ U ⊆ U ′ cho Fx lân cận mở x, từ x cho t| ′ V = ϕ(s )| V Lấy s ′ = s | V , ta Giả sử ψ : G → H Với x t ∈ G (U ) suy Trong trường hợp, ta có ψx = = ϕ(s) ⇒ X ϕx Ta viết α = tx = ϕ x (s x ) = ϕ(s )x có : G (U ) → i x,∗ A(U ) = tập mở, t U ⊆ X ψ(U ) ∘ ϕ(U ) = ϕ tồn cấu Từ Cokerϕ x = A = ⇒ 0, nên ta có ψ(t)| Ux = ψ(t| Vậy ψ ψ(t) = Ux ϕ H , tồn lân cận mở Ux ) = ψ(ϕ(s , suy = cấu xạ (trong ∈ U x Mà )) = bó) cho ⊆ U {Ux }x∈U x Cho ψ ∘ ϕ = lớp cắt sx phủ mở U ∈ F (Ux ) H U tập mở cho ϕ(s x ) = t| Ux , bó nên ta có tồn cấu □ Từ kết trên, ta có mơ tả dễ chịu sau cho ảnh (theo nghĩa bó) đồng cấu bó Cho ϕ đồng cấu bó Ký hiệu I tiền bó G xây dựng sau Với tập mở U lớp cắt t ϕ(s) = t| ∈ G (U ) cho với mỗi x ∈ U Tiền bó I bó; U V , tồn lân cận mở V = ⋃ Ui ⊆ U phủ mở ti x lớp cắt s ∈ F (V ) ∈ I (Ui ) ⊆ G (Ui ) : F → G , ⊆ X I (U ) là nhóm cho với i ∈ I cho i∈I ti | Ui ∩Uj = tj | Ui ∩Uj với i, j ∈ I ta dán lớp cắt ti thành lớp cắt t phương, lớp cắt ti ảnh ϕ lớp cắt F , nên t vậy, nghĩa t xạ ϕ : F → G có phân tích F → I → G , F → I Một cách địa ∈ G (U ) Hiển nhiên, cấu ∈ I (U ) toàn cấu (mệnh đề trên) I → G đơn cấu (đơn cấu theo nghĩa bó tiền bó nhau!) Theo định nghĩa, I đẳng cấu với bó ảnh Imϕ Sau kết quan trọng Mệnh đề Tính khớp dãy đồng cấu bó kiểm tra thớ https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 7/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Chứng minh ϕ Cho ψ F → G → H ϕ Nếu dãy F Cố định dãy đồng cấu bó. ψ → G → H khớp Kerψ = Imϕ Bó hóa bảo tồn thớ, nên ta có x ∈ X pre khớp, nên ta có Imϕ x = (Imϕ)x ϕx (như bó pre (Imϕ)x Nói riêng, ψ ∘ ϕ ∈ X Từ đó, ta có đơn cấu hai tiền bó Imϕ → Kerψ =→ Kerψ ψx pre (Imϕ) → Kerψ , (ψ ∘ ϕ)x = = ψ x ∘ ϕx = Theo chất phổ dụng, cảm Đây đẳng cấu cảm sinh đẳng cấu thớ (bó hóa bảo ϕ tồn thớ) Vậy Imϕ Imϕ Lấy đối giới hạn hàm tử , nghĩa dãy F x − → Gx − → H x khớp ψx ∈ X sinh cấu xạ hai bó , ta dùng mơ tả bó ảnh ϕx = (Kerψ)x = Kerψ x Ngược lại, giả sử dãy F x − → Gx − → H x khớp với x với x G = (Imϕ)x = (Kerψ)x , nghĩa dãy F ψ → G → H khớp □ Ví dụ. Xét X = C Xét O bó hàm chỉnh hình C Phép đạo hàm chỉnh hình cho ta cấu xạ ∂ /∂ z : O → O Ta có dãy khớp bó C -khơng gian véc-tơ ∂/∂z → C → O− − − → O → – – (một hàm chỉnh hình có đạo hàm khắp nơi hàm địa phương; hàm chỉnh hình có nguyên hàm địa phương) Ta chứng minh điều cách kiểm tra thớ (nhắc lại với a ∈ C Oa , vành chuỗi lũy thừa với tâm a bán kính hội tụ dương) = C{z − a} Nếu ta xét vành lớp cắt U = C × ta có dãy khớp ∂/∂z → C → O(C Cấu xạ cuối không tồn cấu hàm z × )− − − → O(C ↦ 1/z × ) × chỉnh hình C khơng có ngun hàm (tồn cục) × Tương tự, xét O bó hàm chỉnh hình khơng triệt tiêu Hàm mũ cho ta cấu xạ exp : O → O × Ta có dãy khớp bó nhóm abel exp → 2πiZ → O − − → O ––––– Nếu ta xét vành lớp cắt U = C × × → ta có dãy khớp exp → 2πiZ → O(C Cấu xạ cuối khơng tồn cấu hàm z ↦ z × )− − → O × (C × ) × chỉnh hình khơng triệt tiêu C khơng có lơ- ga-rít (tồn cục) Hình gửi kèm (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-08837800-1621892237.png) Đã g ửi -0 -2 - :5 nmlinh16 Ảnh ngược https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 8/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học Ở này, ta cố định ánh xạ liên tục f hai không gian tô-pô : Y → X Cho F bó Với tập mở V Ta muốn dùng X , Y để kéo lùi thành bó f Y Xây dựng giống với bó hóa gọi mầm f -tương thích của (αy )y∈V ∈ ∏ F f (y) F V y∈V với y , tồn tập mở U ∈ V với y αy ′ = s f (y ′ ) ′ ′ ∈ V ⊆ X V ′ ⊆ V ∩ f Các mầm f -tương tích −1 F (U ) với y V ∈ V ′ lớp cắt s ∈ F (U ) lập thành nhóm cho ∏ F f (y) , ta ký y∈V hiệu nhóm f −1 F (V ) Nếu W ⊆ V tập mở Y , phép chiếu ∏ F f (y) → ∏ F f (y) y∈V f −1 F (V ) → f −1 Hiển nhiên ta có tiền bó F (W ) f −1 Ta khẳng định bó Thật vậy, cho cảm sinh đồng cấu hiển nhiên y∈W Y , −1 F : V ↦ f F (V ) phủ mở (gồm tập mở V = ⋃ Vi Y ) Cho i∈I i α i = (αy )y∈V i ∈ f −1 F (Vi ) phép ta định nghĩa i αy := αy α ∈ f −1 với i α = (αy )y∈V ∈ I , cho j i αy = αy sau Với y ∈ V với i, j , lấy số y ∈ I ∈ Vi ∩ Vj tùy ý cho i ∈ I Điều cho y ∈ Vi đặt Đây mầm f -tương thích (vì tính địa phương định nghĩa mầm f -tương thích), F (V ) thỏa mãn α| i Vi = α với i ∈ I Hiển nhiên α lớp cắt f −1 F V thỏa mãn tính chất Định nghĩa Bó f −1 gọi ảnh ngược (hay kéo lùi) bó F Ảnh ngược có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên Mỗi đồng cấu cấu f −1 ϕ : f −1 F → f −1 F mầm f -tương thích f ′ bó −1 Y f F ′ ϕ : F → F bó Cụ thể, với V tập mở ϕ(α) = (ϕ f (y) (αy ))y∈V Y X cảm sinh đồng α = (αy )y∈V ∈ f −1 F (V ) Bước đầu tiên, ta chứng minh phép kéo lùi bó bảo tồn thớ Cho U tập mở Ta có đồng cấu liên hợp (adjunction map) X a U : F (U ) → f Với y ∈ f F (U ) → (f −1 −1 −1 F (f −1 (U )), s ↦ (s f (y) )y∈f −1 (U ) , hợp thành cấu xạ tắc f −1 F (f −1 (U )) → (U ) F )y a y : F f (y) → (f −1 Cố định F )y y lấy đối giới hạn U ∋ f (y) (f −1 F )y với aU cho ta cấu xạ thay đổi, ta thu cấu xạ Mệnh đề a y : F f (y) → (f −1 F )y đẳng cấu với y ∈ Y Chứng minh Với lân cận mở V y, ký hiệu cấu xạ py : (f pV −1 pV : f −1 F (V ) → F f (y) tương thích với đồng cấu hạn chế F )y → F f (y) tắc s ↦ s f (y) Với lân cân mở U Do py ∘ a y = idF f (y) f −1 F phép chiếu lên tọa độ y ∈ V Khi V thay đổi, , chúng cảm sinh đồng cấu , hợp thành f (y) pf −1 (U ) ∘ a U : F (U ) → F f (y) đồng cấu theo tính chất phổ dụng đối giới hạn Nói riêng, ay đơn cấu Tiếp theo, xét α ∈ (f −1 F )y Thế α mầm y lớp cắt β = (βy )y∈V ∈ f cận mở y Vì β mầm f -tương thích nên tồn tập mở U lớp cắt s ∈ F (U ) cho βy ′ = s f (y ′ ) với y ′ ∈ V ′ , nghĩa ⊆ X a U (s)| V ′ V ′ −1 = β| V ′ , với V lân F (V ) ⊆ V ∩ f −1 , từ (U ) với y ∈ V ′ Mặt a U (s)y = α khác, biểu đồ (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-77437100-1621930333.png) giao hốn, α = https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ a U (s)y = a y (s f (y) , ay tồn cấu □ 9/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Hệ quả. Hàm từ ảnh ngược f −1 : Sh(X) → Sh(Y ) hàm tử khớp Chứng minh Cho F ′ dãy khớp bó ′′ → F → F Với y X ∈ Y , ta có biểu đồ giao hốn (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-78591600-1621930768.png) mũi tên dọc đẳng cấu cảm sinh từ đồng cấu liên hợp Vì tính khớp kiểm tra thớ nên ta có dãy khớp f −1 F ′ −1 → f F → f −1 F ′′ □ Ta có mơ tả khác cho bó f −1 F sau Xét P tiền bó Y cho V ↦ lim −→ F (U ) (các đồng cấu U ⊇f (V ) hạn chế định nghĩa cách hiển nhiên) Với V tập mở có đồng cấu ϕ(V ) : P(V ) → f Với y ∈ Y vào U ⊇ f (V ) tập mở , ta X f −1 (U )→V F (U ) − → f −1 Y r aU −1 F (f −1 U )) −− − − −→ f −1 Chúng cảm sinh đồng cấu F (V ) Khi V thay đổi, ta thu cấu xạ hai tiền bó F (V ) , ta tính thớ Py = Với U lân cận mở tùy ý lim −→ F (U ) Y ϕ : P → f V = f −1 −1 (U ) F lân cận U ⊇f (V ),V ∋y mở y Do đối giới hạn vừa xét cofinal, nên ta có U ⊇ f (V ) Py = lim −→ F (U ) = F f (y) U ∋f (y) Với V lân cận mở y U ⊇ f (V ) tập mở , ta có biểu đồ giao hốn X (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-46810900-1621932421.png) Theo mệnh đề ϕy xạ ϕ ′ : P # → f bó ảnh ngược f −1 −1 F F = ay đẳng cấu Theo chất phổ dụng bó liên kết, ϕ cảm sinh cấu Đây đẳng cấu, cảm sinh đẳng cấu thớ (bó hóa bảo tồn thớ) Như vậy, bó liên kết với tiền bó V ↦ lim −→ F (U ) U ⊇f (V ) Ví dụ Cho U U ′ ⊆ X tập mở i ′ ∈ X Cho Z (f −1 F bó hạn chế F | U F U cho i g −1 phép bao hàm Thế i ↦ F (U ) Cho x g : U → X −1 : {x} → X phép bao hàm Thế i−1 F bó {x} cho ∅ ↦ {x} ↦ Fx f → Y → X ánh xạ liên tục không gian tô-pô Với bó F X, ta có đẳng cấu tự nhiên −1 F ) ≃ (f ∘ g) F Hình gửi kèm https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 10/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-77437100-1621930333.png) (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-78591600-1621930768.png) (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-46810900-1621932421.png) Đã g ửi -0 -2 - :0 nmlinh16 Ảnh xuôi Cho f f∗ G : Y → X ánh xạ liên tục hai không gian tơ-pơ Nếu G bó Y ta định nghĩa tiền bó X f∗ G (U ) = G (f −1 Đây bó, U (U )) = ⋃ Ui phủ mở (gồm tập mở X) i∈I f −1 (U ) = ⋃ f −1 (Ui ) phủ mở (gồm tập mở Y ); sau ta áp dụng tiên đề dán cho bó G phủ i∈I mở để chứng minh tiên đề dán cho tiền bó f∗ G Xây dựng có tính hàm tử: Nếu ϕ f∗ ϕ : f∗ G → f∗ G ′ : G → G ′ đồng cấu hai bó Y ta có đồng cấu bó hai bó X, f∗ ϕ(U ) = ϕ(f −1 (U )) : G (f −1 ′ (U )) → G (f −1 (U )) với tập mở U X Cho F bó X Ở trước, ta xây dựng đồng cấu liên hợp a(U ) : F (U ) → f −1 F (f −1 (U )) = f∗ f −1 F (U ), với tập mở U X Khi U thay đổi, ta thu cấu xạ liên hợp a G s ↦ (s f (y) )y∈f −1 (U ) : F → f∗ f −1 F hai bó X Cho bó Y Ta xây dựng đồng cấu η : Hom Sh(Y ) (f −1 F , G ) → Hom Sh(X ) (F , f∗ G ), ϕ ↦ f∗ ϕ ∘ a Hệ η đẳng cấu, tự nhiên theo F G https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 11/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học Chứng minh η đơn cấu Cho ϕ : F −1 cấu xạ Cố định y → G ∈ Y Với lân cân mở U f (y), ta có biểu đồ giao hoán (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-78069400-1621973963.png) Lấy giới hạn U ∋ f (y) thay đổi, ta thu biểu đồ giao hoán (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-76387400-1621974328.png) Ta biết biết ay đẳng cấu Nếu η(ϕ) = từ ta suy ϕy = với y ∈ Y , ϕ = η toàn cấu. Cho ψ : F → f∗ G cấu xạ Với y đồ giao hoán Cụ thể, U lân cận mở f (y) s xây dựng cấu xạ ϕ f −1 : f F → G ∈ Y , xét cấu xạ by ∈ f∗ G (U ) = G (f sau Cho V tập mở Y α = -tương thích Khi (by (ψ f (y)(αy )))y∈V ∈ ∏ Gy : (f∗ G )f (y) → Gy −1 (U )) (αy )y∈V ) ∈ f biểu by (sf (y)) = −1 F (V ) sy Ta mầm mầm tương thích Vì G bó nên tồn lớp y∈V cắt suy nhất, mà ta ký hiệu ϕ(α) ∈ Ta chứng minh ψ minh ψ(s) = , cho ϕ(α)y G (U ) = f∗ ϕ ∘ a : F → f∗ G ϕ(a(s)) ∈ G (f −1 = by (ψ f (y) (αy )) với y ∈ V Thật vậy, cho U tập mở X s : với y (U )) ∈ f −1 Ta cần chứng ∈ F (U ) , ta có (U ) ϕ(a(s))y = by (ψ f (y) (a(s)y )) = by (ψ f (y) (s f (y) )) = by (ψ(s)f (y )) = ψ(s)y , ψ(s) = Vậy ψ ϕ(a(s)) = f∗ ϕ ∘ a = η(ϕ) η tự nhiên theo F G Cho ψ : F ′ → F đồng cấu hai bó X θ : G → G ′ đồng cấu hai bó Y Ta cần chứng minh biểu đồ (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-74849000-1621976149.png) giao hoán Cho ϕ : f https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ −1 F → G cấu xạ Ta cần chứng minh 12/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học f∗ θ ∘ f∗ ϕ ∘ a ∘ ψ = f∗ (θ ∘ ϕ ∘ f Vì tính hàm tử f∗ nên ta cịn phải chứng minh a ∘ ψ −1 = f∗ f ψ) ∘ a −1 ψ ∘ a : F ′ → f∗ f −1 F Đây tính tự nhiên cấu xạ liên hợp a □ Mệnh đề Ảnh xuôi f ∗ liên hợp bên phải hàm tử ảnh ngược f −1 Nói riêng, f∗ khớp trái Ví dụ. g Cho Z f ánh xạ liên tục không gian tô-pô Từ định nghĩa f∗ g∗ , ta có → Y → X (f ∘ g)∗ = f∗ ∘ g ∗ : Sh(Z) → Sh(X) −1 (f ∘ g) (theo H ≃ g −1 ∘ f −1 = Hom Sh(Y ) (g −1 ∘ g) −1 f F , H ) = Hom Sh(X ) (F , (f ∘ g)∗ H ) = Hom Sh(X ) (F , f∗ g ∗ H ) = Hom Sh(Y ) (f −1 ∈ X F ≃ g ix −1 F , g∗ H F , H ), −1 f −1 F theo bổ đề Yoneda Đẳng cấu tự nhiên theo F đẳng cấu vậy, hai hàm tử (f Cho x cách hiển nhiên Từ đây, ta có chứng minh đơn giản Thật vậy, cho F bó X Với bó H Z , ta có đẳng cấu tự nhiên ) Hom Sh(Z ) ((f ∘ g) từ (f −1 : {x} → X −1 ∘ g) g −1 ∘ f −1 đẳng cấu phép bao hàm Cho A nhóm abel, mà ta xem bó ∅ ↦ 0, {x} ↦ A X Khi đẩy xi ix,∗ A bó chọc trời x X Hình gửi kèm (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-78069400-1621973963.png) (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-76387400-1621974328.png) https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 13/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0-74849000-1621976149.png) Bài v iết chỉnh sửa nội dung nmlinh16: -05-2 02 - :09 Đã g ửi -0 -2 - :2 nmlinh16 Đối đồng điều Cho X không gian tô-pô Mệnh đề Phạm trù Sh(X) bó X có đủ nội xạ Chứng minh Cho F bó X Với x bó I X U ↦ ∏ Dx , nhúng F x vào nhóm abel chia (i.e nội xạ) Dx Ta định nghĩa tiền ∈ X , đồng cấu hạn chế phép chiếu Dễ thấy I bó x∈U Vì F bó nên hợp thành F (U ) → ∏ F x ↪ ∏ Dx = I (U ) x∈U U thay đổi, ta thu đơn cấu F ↪ I Ta cịn phải chứng minh I bó nội xạ Cho ϕ ψ : G → I : G → H cấu xạ tùy ý Ta cần xây dựng cấu xạ θ phép chiếu I (U ) → Dx lân cận mở x α = đơn cấu với tập mở U X Khi x∈U : H đơn cấu hai bó X, → I cho θ ∘ ϕ (với U lân cận mở x) cảm sinh đồng cấu jx (dx )x∈U ∈ I (U ) jx (αx ) = dx (nói cách khác, α = đơn cấu Dx nhóm abel chia nên tồn cấu xạ θx θ(ϕ(s)) = (θ Vậy θ ∘ ψ x : H → I (ϕ(s)x ))x∈U = (θ x Với s Các ∈ X Cụ thể, U ) Vì θx cho θx : Gx → H x ∘ ϕx = jx ∘ ψ x Với x x∈U θ Khi U (U ) → ∏ H x − − − −→ ∏ Dx = I (U ) x∈U thay đổi, ta thu cấu xạ θ Cố định x (j x (αx ))x∈U : H x → Dx ∏ tập mở U X, ký hiệu θ(U ) đồng cấu hợp thành H = ψ : Ix → Dx x∈U , ta có ∈ G (U ) (ψ x (s x )))x∈U = (j x (ψ x (s x )))x∈U = (j x (ψ(s)x )x∈U = ϕ(s) = ϕ □ Hệ quả. Phạm trù Psh(X) tiền bó X có đủ nội xạ Hàm tử quên ι : Sh(X) → Psh(X) bảo toàn nội xạ Chứng minh Cho I bó nội xạ X Ta có đẳng cấu tự nhiên Hom Psh(X )(−, I ) = # (−) # Hom Sh(X ) ((−) Vì bó hóa , I) Hom Sh(X )(−, I ) hàm tử khớp nên Hom Psh(X )(−, I ) vậy, nghĩa I nội xạ với tư cách tiền bó Ngồi ra, P tiền bó X ta nhúng bó P # vào bó nội xạ I Tính đơn cấu theo nghĩa tiền bó kiểm tra thớ, bó hóa bảo tồn thớ, nên tiền bó P nhúng vào tiền bó nội xạ i I qua cấu xạ hợp thành P → P # → I □ Hàm tử quên ι : Sh(X) → Psh(X) liên hợp bên phải hàm tử bó hóa (−)# ϕ hàm tử khớp trái Cụ thể, : Psh(X) → Sh(X) nên ψ dãy khớp bó X dãy dãy khớp → F → G → H tiền bó Vì ϕ đơn cấu nên tiền bó ảnh U ↦ Imϕ(U ) bó, ϕ(U ) , nghĩa ta có dãy khớp 0 Im(ϕ(U )) = Imϕ(U ) = Kerψ(U ) = Ker(ψ(U )) ψ(U ) → F (U ) − − − → G (U ) − − − → H (U ) Tóm lại, hàm tử lớp cắt Γ(U , −) : Sh(X) → Ab, https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ F ↦ F (U ) 14/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học khớp trái Vì Sh(X) có đủ nội xạ, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải q q H (U , −) := R Γ(U , −), q ≥ Định nghĩa Cho F bó X U tập mở X Với q ≥ 0, nhóm H q (U , F ) gọi nhóm đối đồng điều thứ q U với hệ số F Vì hàm tử dẫn xuất, hàm tử đối đồng điều Hq (U , F ) thỏa mãn tính chất tổng quát từ đại số đồng điều Để tính Hq (U , F ), chọn giải nội xạ → F → I d 0 d − → I − → ⋯ Áp dụng hàm tử khớp trái Γ(U , −), ta thu phức 0 d (U ) → I d (U ) (U ) − − − → I (U ) − − − → ⋯, q 0 Ker(d (U )) q H (U , F ) = Ker(d (U )) = F (U ), H (U , F ) = Im(d Một dãy khớp ngắn → F → G → H q−1 , q ≥ (U )) bó X cảm sinh dãy khớp dài → 1 → F (U ) → G (U ) → H (U ) → H (U , F ) → H (U , G ) → H (U , H ) → ⋯ Một bó A gọi U -acyclic Hq (U , A ) = với q (nghĩa A Γ(U , −)-acyclic) Các bó ≥ nội xạ U -acyclic Các hàm tử Hq (U , F ) định nghĩa thông qua giải nội xạ, để tính chúng ta cần sử dụng giải U acyclic (định lý đẳng cấu de Rham-Weil) Thật vậy, trước hết nhận xét → F → G → H → dãy khớp ngắn bó X, G U -acyclic ta có dãy khớp dài q q q+1 ⋯ → H (U , G ) → H (U , H ) → H Vì Hq (U , G ) = q+1 H với q ≥ q (U , F ) = H (U , H ) nên ta có H1 (U , F ) = với q q (U , G ) → ⋯ Coker(G (U ) → H (U )) Bây giờ, giả sử ≥ → F → A dãy khớp dài, A q+1 (U , F ) → H → A → ⋯ U -acyclic Ta chẻ thành dãy khớp ngắn 0 → F → A → I → I → A → I → → ⋮ với I q = Im(A q → A q q+1 ) = Ker(A q−1 H (U , F ) = H Vì Γ(U , −) khớp trái nên I đơn cấu, nên Im(A q−1 q H (U , F ) = Coker(A (U , I q−1 q+2 → A Từ nhận xét trên, ta có ) ) = ⋯ = H (U , I (U ) = Ker(A (U ) → I q−1 q+1 q−1 (U ) → I q (U ) → A (U )) = Im(A q−1 q−1 q+1 q−1 (U ) → I Tương tự, I (U )) I (U )) = q−1 q−1 q q−1 q−1 (U )) (U ) → A q (U ) Do đó, (U )) (U ) (U ) → I Ker(A q−1 = (U )) Im(A q (U ) → A q−1 q+1 (U ) → A q (U )) (U )) ≥ Nhắc lại hàm tử quên ι q ) = Coker(A (U ) → A Im(A với q q−2 : Sh(X) → Psh(X) khớp trái Với q , ta xét hàm tử dẫn xuất bên phải thứ ≥ ι, H q q := R ι Ta rằng F bó X Hq (F ) tiền bó Hq (−, F ) : q U ↦ H (U , F ) https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 15/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học Mệnh đề. Cho F bó X U tập mở X. Với q ≥ 0, ta có đẳng cấu tự nhiên q q H (F )(U ) = H (U , F ) Chứng minh Ta sử dụng lý thuyết ∂ -hàm tử, tham khảo Tôhoku paper Grothendieck Nếu 0 → F → G → H → dãy khớp ngắn bó X với tập mở U , ta có khớp dài nhóm abel, 1 → F (U ) → G (U ) → H (U ) → H (U , F ) → H (U , G ) → H (U , H ) → ⋯ Dãy khớp dài tự nhiên theo U , cho ta dãy khớp dài tiền bó X, → F → G → H 1 → H (−, F ) → H (−, G ) → H (−, H ) → ⋯ Nói riêng, ta có đồng cấu nối Hq (−, G ) → q+1 H Các hàm tử F (−, F ) cấu nối tạo thành ∂ -hàm tử từ Sh(X) vào Psh(X), H X H q (−, I ) = tử dẫn xuất R q ι = H q với q = ι q ↦ H (−, F ) với đồng Mặt khác, I bó nội xạ , ∂ -hàm tử nói khớp phổ dụng, trùng với hàm ≥ □ Cho f : Y → X ánh xạ liên tục không gian tơ-pơ Ảnh xi f∗ trái (vì liên hợp bên phải hàm tử ảnh ngược f −1 : Sh(Y ) → Sh(X) hàm tử khớp : Sh(X) → Sh(Y ) Định nghĩa. Với q ≥ 0, ta gọi dẫn xuất bên phải thứ q f ∗ , q R f∗ : Sh(Y ) → Sh(X) hàm tử ảnh xuôi bậc cao thứ q (higher direct image) Mệnh đề. Cho G bó Y Khi R q f∗ G bó liên kết với tiền bó U q ↦ H (f −1 (U ), G ) X. Chứng minh Trước hết, ta định nghĩa hàm tử ảnh xuôi tiền bó fp f∗ : Psh(Y ) → Psh(X) cách hoàn toàn tương tự , fp P(U ) = P(f −1 (U )) Đây hàm tử khớp (tính khớp theo nghĩa tiền bó kiểm tra tập mở Nhắc lại bó hóa # (−) : Psh(X) → Sh(X) ι : Sh(Y ) → Psh(Y ) Mặt khác, rõ ràng fp hàm tử khớp, hàm tử (−)# ∘ fp : Psh(Y ) → Sh(X) gửi bó nội xạ vào tiền bó nội xạ Y , nói riêng ((−)# ∘ ι = ι ∘ f∗ , nghĩa G bó Y f∗ G khớp Hàm tử quên -acyclic ∘ fp ) # = fp G = (fp ιG ) Nói cách khác, hàm tử ảnh xi f∗ phân tích thành # (−) ι ∘f p Sh(Y ) → Psh(Y ) − − − − − → Sh(X) Vì ta có dãy phổ Grothendieck E pq Dãy phổ suy biến, cụ thể E2 pq p q q = R ((−)# ∘ fp )(H (G )) ⇒ R f∗ G = với p , (−)# > ∘ fp hàm tử khớp Từ suy đồng cấu edge q q # R f∗ G → (fp H (G )) đẳng cấu với q Nói cách khác, Rq f∗ G tiền bó liên kết với bó ≥ q q U ↦ fp H (G )(U ) = H (f −1 (U ), G ) X □ Một tính chất khác ảnh xi bảo tồn nội xạ Thật vậy, cho I bó nội xạ Y Ta có đẳng cấu tự nhiên Hom Sh(X )(−, f∗ I ) = Hom Sh(Y ) (f −1 Vì ảnh ngược f −1 Hom Sh(Y )(−, I ) hàm tử khớp (−), I ) nên Hom Sh(X )(−, f∗ I ) vậy, nghĩa f∗ I bó nội xạ X https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 16/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học g Chẳng hạn, Z f → Y → X ánh xạ liên tục khơng gian tơ-pơ g∗ gửi bó nội xạ Z vào bó f∗ -acyclic Y Từ ta có dãy phổ Grothendieck E pq p q = (R f∗ (R g ∗ H )) ⇒ R p+q (f ∘ g)∗ H với bó H Z Cho f Γ(f : Y → X −1 ánh xạ liên tục hai không gian tô-pô Với tập mở U X, ta có (U ), −) = Γ(U , −) ∘ f∗ Mặt khác, f∗ gửi bó nội xạ Y vào bó nội xạ (nói riêng U -acyclic) Do ta có dãy phổ X E pq p q p+q = H (U , R f∗ G ) ⇒ H (f −1 (U ), G ) với bó G Y , gọi dãy phổ Leray Bài v iết chỉnh sửa nội dung nmlinh16: -05-2 02 - :4 Đã g ửi -0 -2 - :4 nmlinh16 Bó flasque Cho X không gian tô-pô Một bó F X gọi flasque (hoặc flabby) (nhũn?) đồng cấu hạn chế toàn cấu Dễ thấy điều tương đương với việc lớp cắt F hạn chế lớp cắt toàn cục Mệnh đề Cho → F ϕ ψ → G → H → dãy khớp bó X, F flasque Thế dãy khớp phạm trù tiền bó Chứng minh Đây định lý ZFC Cho U tập mở, ta cần chứng minh dãy ϕ(U ) ψ(U ) → F (U ) − − − → G (U ) − − − → H (U ) → khớp Tính khớp trái đảm bảo hàm tử Γ(U , −) nên ta cần chứng minh ψ(U ) toàn cấu Cố định t Xét tập hợp S (s, V ) với V ∈ H (U ) ⊆ U tập mở s ∈ G (V ) cho ψ(s)| = t| V Ta giả sử U khác rỗng Thế tập hợp S khác rỗng ψ cảm sinh tồn cấu thớ Xét quan hệ thứ tự ≤ S cho (s, V ) ≤ ′ ′ (s , V ) V ⊆ V ′ s′ | V = s Nếu họ {(si , Vi )}i∈I phần tử S thứ tự tồn phần ta dán lớp cắt si thành lớp cắt s G V := ⋃ Vi ⊆ U Ta có i∈I ψ(s)| i Vi = ψ(s| ∈ I Vi ) = ψ(s i ) = t| Vi với i ∈ I , suy ψ(s) = t|V , (s, V ) ∈ Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại (s, V ) Ta khẳng định V toàn cấu nên tồn α ∈ Gx Thế ψ(r)x r ∈ G (W ) ψ(r)| W S Rõ ràng (si , Vi ) ≤ (s, V ) với = t| cho ψ x (α) = Vì F flasque nên tồn lớp cắt w ), ta suy s| V ∩W ′ = r| , V (s, V ) ≤ (s , V ∪ W ) Ta viết α = = ψ x (rx ) = ψ x (α) = tx Bây giờ, ψ(s| V ∩W ) = W ψ ∘ ϕ = tx t| W ∩W = U Thật vậy, xét x , với W ∈ U V ∩W , nên s| V ∩W ) = v = r| V ∩W + ϕ(v) Vì ψ x với v ∈ V ∩ W Thay r r − ϕ(w) (ta có ψ(r) = Do s r dán thành lớp cắt s′ V ∩W ∪ W = V ∈ U lân cận mở x Thu nhỏ W cần thiết, ta giả sử = ψ(r| cho w| V ∩W ∈ W rx t| W Nói riêng, ∈ G (V ∪ W ) (s, V ) phần tử tối đại, nghĩa x ∈ W ⊆ V □ Hệ Cho 0 → F ϕ ψ → G → H → dãy khớp bó X, F G flasque Khi H flasque Chứng minh Dùng bổ đề đại số đồng điều □ Xây dựng Godement Cho F bó X Tiền bó C F X cho U ↦ ∏ Fx (các đồng x∈U cấu hạn chế phép chiếu) hiển nhiên bó flasque Với tập mở U , F (U ) → cấu, ta có đơn cấu bó F ↪ C F C F (U ) đơn Vậy, bó nhúng vào bó flasque. https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 17/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học Mệnh đề. Mỗi bó nội xạ flasque Chứng minh Cho F bó nội xạ X Nhúng F vào bó flasque ϕ ψ : G → F Nói riêng, với tập mở U ψ(U ) ∘ ϕ(U ) = : F ↪ G idF (U ) Vì F nội xạ nên ϕ có rút gọn , nên ψ(U ) toàn cấu Với V ⊆ U tập mở X, ta có biểu đồ giao hốn (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0- 74278600-1622028176.png) Vì ψ(U ), ψ(V ) hạn chế G (U ) → G (V ) toàn cấu nên F (U ) → F (V ) tồn cấu □ Mệnh đề. Mỗi bó flasque acyclic tập mở Nói riêng, đối đồng điều bó tính giải flasque Chứng minh Cho F bó flasque X Nhúng F vào bó nội xạ G gọi H bó thương G /F Khi ta có dãy khớp → F → G → H → Bó G nội xạ nên flasque, suy H bó flasque. Cố định tập mở U Ta chứng minh Hq (U , F ) = với bó flasque F và q ≥ chiều (dimension shifting) Thật vậy, G nội xạ nên U -acyclic, nói riêng, ta có Hq+1 (U , F ) = q ≥ (xem trước) Điều cho phép ta thực bước quy nạp Ở bước q H (X, F ) = Coker(G (U ) → H (U )) = (vì F flasque nên G (U ) → nhảy q H (U , H ) với , ta có = H (U ) toàn cấu) Điều kết thúc chứng minh □ Cho F bó tùy ý X Ta dùng xây dựng Godement để thu dãy khớp → F → C bó C q F flasque Ở đây, C F q+1 C F = C Coker(C q−1 q F → C F) = C với q F → C F → ⋯, Coker(F → C F) và Nó gọi giải tắc Godement của F Với ≥ tập mở U , ta có q Ker(C F (U ) → C q H (U , F ) = Im(C q−1 q+1 F (U )) , q q ≥ F (U ) → C F (U )) Về mặt lịch sử, định nghĩa nhóm đối đồng điều H q (U , F ) mà Godement đưa Ví dụ. Cho X đa tạp trơn Với q ≥ 0, ký hiệu Ω q bó q-dạng vi phân trơn X (Ω0 = C ∞ Các bó flasque (sử dụng phân hoạch đơn vị!) Ta có dãy khớp d → R → C – – d : Ω q → Ω q+1 ∞ → Ω d d → Ω → ⋯, phép đạo hàm (theo bổ đề Poincaré, tính chất điểm X sở lân cận gồm tập mở hình sao) Áp dụng hàm tử lớp cắt toàn cục, ta thu đối đồng điều de Rham q H dR Vì đối đồng điều de Rham đẳng cấu với đối đồng điều với hệ số bó R, (X) – – q H q dR (X) = H (X, R ), – – q ≥ q Tương tự, xét tiền bó Csing (−, R) q-đối dây chuyền kỳ dị với hệ số thực, q → R – – pre δ Ta có dãy khớp ≥ δ → C sing (−, R) → C sing (−, R) → ⋯ tiền bó X, δ đồng cấu đối biên (kiểm tra thớ, lấy giới hạn sở lân cận gồm tập mở hình sao) Sau bó hóa, ta thu giải flasque khác bó R Từ ta có chứng minh – – https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 18/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Tốn học (khơng dễ!) đối đồng điều Betti đẳng cấu với đồng điều với hệ số bó hằng, q q H (X, R ) = H (X, R), sing – – q ≥ Ta thu định lý de Rham cổ điển (so sánh đối đồng điều de Rham đối đồng điều Betti)! Hình gửi kèm (https://diendantoanhoc.org/uploads/monthly_05_2021/post-172305-0- 74278600-1622028176.png) Bài v iết chỉnh sửa nội dung nmlinh16: -05-2 02 - :3 Trở lại Toán học đại Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T oá n h ọc h iện đại https://diendantoanhoc.org/topic/189298-giới-thiệu-về-bó/ 19/19 ... bó tương ứng https://diendantoanhoc.org/topic/189298 -giới- thiệu- về- bó/ 4/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Ví dụ Tiền bó hàm liên tục, tiền bó hàm khả vi tiền bó. .. Bó hóa https://diendantoanhoc.org/topic/189298 -giới- thiệu- về- bó/ 5/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Tốn học đại - Diễn đàn Toán học Cho X không gian tô-pô Ta dễ dàng kiểm tra rằng, F G bó tiền bó. .. C) https://diendantoanhoc.org/topic/189298 -giới- thiệu- về- bó/ 2/19 9/6/2021 Giới thiệu bó - Toán học đại - Diễn đàn Toán học pre Cho A nhóm abel Tiền bó A – – đồng A Cho x ∈ X X cho U Các phép