Chuyên đề phương pháp toạ độ trong mặt phẳng diệp tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam § BÀI Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến véc tơ phương Véc tơ pháp tuyến: a Định nghĩa : Cho đường thẳng  Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)  giá n vng góc với  n b Nhận xét : Nếu n VTPT  kn  k   VTPT  Ví dụ Cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung trực  đoạn BC ( I trung điểm BC ), M , N trung điểm đoạn AB, AC Tìm véc tơ pháp tuyến đường thẳng: a) BC b) AH c)  d) MN Lời giải Vectơ phương a Định nghĩa : Cho đường thẳng  Vectơ u  gọi vectơ phương (VTCP)  giá u song song trùng với  u u b Nhận xét Nếu u VTCP  ku  k   VTCP  Mối quan hệ vectơ phương u véc tơ pháp tuyến n : Vì VTPT VTCP vng góc với nên ta có hai nhận xét sau: Nếu  có VTCP u  (a; b) n  (b; a) VTPT  Nếu  có VTPT n  ( A; B) u  ( B; A) VTCP  b Nếu  có VTCP u  (a; b) k  hệ số góc  a Nếu  có hệ số góc k VTCP u  (1; k )  n u Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 , B  2;  Tìm véc tơ phương đường thẳng AB Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng II Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát  Cho đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) có VTPT n  ( A; B) , với A2  B  Khi đó: M ( x0 ; y0 )    A( x  x0 )  B( y  y0 )   Ax  By  C  1 (C   Ax0  By0 ) n = ( A;B ) M ( xo;y0 ) 1 gọi phương trình tổng quát đường thẳng  Nhận xét : Nếu đường thẳng  : Ax  By  C  n  ( A; B) VTPT  Ví dụ Cho tam giác ABC biết A  2;0  , B  0;  , C (1;3) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB Lời giải Một số dạng đặc biệt phương trình tổng quát  song song trùng với trục Ox   : by  c   song song trùng với trục Oy   : ax  c   qua gốc tọa độ   : ax  by  Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y  kx  m với k  tan  ,  góc hợp tia Mt  phía trục Ox tia Mx Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng Ví dụ Cho đường thẳng d : x  y   điểm M  1;  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết: a)  qua điểm M có hệ số góc k  b)  qua M vng góc với đường thẳng d c)  đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải Phương trình tham số tắc  a Phương trình tham số đường thẳng: Cho đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) u  (a; b) VTCP  x  x0  at Khi M ( x; y )    MM  t u   t  R  2  y  y0  bt Hệ   gọi phương trình tham số đường thẳng  , t gọi tham số Nhận xét : Nếu  có phương trình tham số   A    A( x0  at ; y0  bt ) b Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) u  (a; b) (với a  0, b  ) vectơ phương phương trình x  x0 y  y0  a b Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân  3 gọi phương trình tắc đường thẳng  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng  Ví dụ Cho điểm A 1; 3 B  2;3 Viết phương trình tham số đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua A nhận vectơ n 1;  làm vectơ pháp tuyến b)  qua gốc tọa độ song song với đường thẳng AB c)  đường trung trực đoạn thẳng AB Lời giải  Ví dụ Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm A  3;0  B 1;3  x   3t b)  qua N  3;  vng góc với đường thẳng d ' :   y   5t Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Phương trình đoạn chắn   qua hai điểm A  a;0  , B  0; b    : Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng x y   với  ab   a b y B ( 0;b ) A( a;0 ) O x Ví dụ Lập phương trình tổng qt đường thẳng  : a) qua A  2;0  B  0;3 b) qua M  5; 8 có hệ số góc k  3 Lời giải Ví dụ Một đường thẳng qua điểm M  5; 3 cắt trục Ox Oy A B cho M trung điểm AB Viết phương trình tổng qt đường thẳng Lời giải Ví dụ Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d qua M  4;1 cắt chiều dương trục Ox , Oy A B cho OA  OB nhỏ Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng  Ví dụ 10 Cho điểm M 1;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox , tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ Lời giải B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG Lập phương trình tổng quát đường thẳng  Phương pháp Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định hai yếu tố: Một điểm M ( x0 ; y0 )   n = ( A;B ) Một vectơ pháp tuyến n   A; B  , A  B   M ( xo;y0 ) Khi phương trình tổng qt  a  x  x0   b  y  y0   Nhận xét:  Đường thẳng  có phương trình tổng qt Ax  By  C  0, A2  B  nhận n   A; B  làm vectơ pháp tuyến  Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng  x  x0 : đường thẳng song song với trục Oy  y  y0 : đường thẳng song song với trục Ox Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng Bài tập minh họa Bài tập Cho tam giác ABC biết A  2;1 , B  1;0  , C (0;3) a) Viết phương trình tổng quát đường cao AH ; b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB ; c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC ; d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với đường BC Lời giải Bài tập Lập phương trình tổng quát đường thẳng: a) qua A  2;0  B  0;3 b) qua M  5; 8 có hệ số góc k  3 Lời giải Bài tập Viết phương trình tổng quát đường thẳng d a) Qua M  1; 4  song song với đường thẳng 3x  y   b) Qua N 1;1 vng góc với đường thẳng x  y   Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng Bài tập Cho hai điểm P  4;0  Q  0; 2  Viết phương trình tổng quát đưởng thẳng a) Qua điểm S song song với đường thẳng PQ b) Trung trực PQ Lời giải Bài tập Viết phương trình đường trung trực tam giác ABC biết M  1;1 , N 1;9  , P  9;1 trung điểm ba cạnh tam giác Lời giải Bài tập Viết phương trình đường thẳng qua M  2;5 cách hai điểm P  1;  , Q  5;  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng Bài tập Đường thẳng d : x  y   cắt trục Ox Oy điểm A B Gọi M điểm chia đoạn AB theo tì số 3 Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với d Lời giải Bài tập Cho đường thẳng d1 : x  y   0; d : x  y   điểm M  3;0  Viết phương trình đường thẳng  qua M , cắt d1 d điểm A B cho M trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải Bài tập Cho đường thẳng d : x  y   điểm M  1;  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết  đối xứng với đường thẳng d qua M Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Đường Thẳng Bài tập luyện tập Bài Cho điểm A 1; 3 Viết phương trình tổng quát đường thẳng  qua A a) Vuông góc với trục tung b) Song song với đường thẳng d : x  y   Lời giải Bài Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng  trường hợp sau: a)  qua điểm M  2;5 song song với đường thẳng d : x  y   b)  qua P  2; 5  có hệ số góc k  11 Lời giải Bài Cho M  8;6  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ A, B cho OA  OB đạt giá trị nhỏ Lời giải 10 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Bài tập 12 x2 y   điểm C  2;0  Tìm tọa độ điểm A , B thuộc  E  , biết A , B đối xứng với qua trục hoành tam giác a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : ABC tam giác x2 y   Tìm tọa độ điểm A B thuộc  E  có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   điểm A  3;0  Tìm tọa độ điểm B , C thuộc  E  cho tam giác ABC vuông cân A , biết B có tung độ dương c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : Lời giải 193 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip 194 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Bài tập 13 x2 y   hai điểm A  5; 1 , 16 B(1;1) Xác đinh tọa độ điểm M thuộc  E  cho diện tích tam giác MAB lớn a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   hai điểm A  3;4  , B(5;3) Tìm  E  điểm C cho tam giác ABC có diện tích 4,5 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   Tìm  E  điểm cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d : x  y   lớn Lời giải c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : 195 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Bài tập 14 x2 y   điểm A  3;0  , I  1;0  Tìm tọa độ điểm B , C thuộc  E  cho I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   có hai tiêu điểm F1 , F2 25 Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MF1F2 x2 y   có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm tọa độ điểm 25  48  M thuộc  E  cho đường phân giác góc F1MF2 qua điểm N   ;0   25  Lời giải c) Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip  E  : 196 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Bài tập 15 Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): Tìm điểm M  E  cho x2 y   có tiêu điểm F1 F2 25 a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ b) MF1  MF2 c) F1MF2  600 d) Diện tích tam giác OAM lớn với A 1;1 Lời giải 197 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip x2 y   C  2;0  Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC Lời giải Bài tập 16 Cho elip (E) : 198 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Câu hỏi trắc nghiệm x2 y2   với a  b  Gọi 2c tiêu cự  E  Trong mệnh đề a b2 sau, mệnh đề đúng? A c  a  b B b  a  c C a  b  c D c  a  b Lời giải Câu 46 Cho elip  E  : Câu 47 Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 có độ dài trục lớn 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A 2a  F1 F2 B 2a  F1 F2 C 2a  F1 F2 D 4a  F1 F2 Lời giải x2 y   Hai điểm A, B hai đỉnh elip nằm hai trục 25 Ox , Oy Khi độ dài đoạn thẳng AB bằng: Câu 48 Cho elip  E  : A 34 B 34 C D 136 Lời giải 199 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Câu 49 Một elip  E  có trục lớn dài gấp lần trục nhỏ Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A e  B e  C e  D e  2 Lời giải Câu 50 Một elip  E  có khoảng cách hai đỉnh gấp e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A e  B e  5 C e  lần tiêu cự Tỉ số D e  Lời giải Câu 51 Cho điểm M  2;3 nằm đường elip  E  có phương trình tắc: Trong điểm sau điểm không nằm  E  : A M1  2;3 B M  2; 3 C M  2; 3 x2 y   a b2 D M  3;  Lời giải x2 y2   Khẳng định sau đúng? a b2 A  E  khơng có trục đối xứng Câu 52 Cho elip  E  : B  E  có trục đối xứng trục hoành C  E  có hai trục đối xứng trục hồnh trục tung D  E  có vơ số trục đối xứng Lời giải 200 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip x2 y2 Câu 53 Cho elip  E  :   Khẳng định sau đúng? a b A  E  khơng có tâm đối xứng B  E  có tâm đối xứng C  E  có hai tâm đối xứng D  E  có vơ số tâm đối xứng Lời giải Câu 54 Elip  E  có độ dài trục bé tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn  E  bằng: A e  B e  C e  D e  Lời giải Câu 55 Elip  E  có hai đỉnh trục nhỏ với hai tiêu điểm tạo thành hình vng Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn  E  bằng: A e  B e  C e  D e  Lời giải Câu 56 Elip  E  có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm elip nằm đường tròn Độ dài trục nhỏ  E  bằng: A B C D 16 Lời giải 201 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip x2 y   M điểm tùy ý  E  Khi đó: 16 A  OM  B  OM  C OM  D OM  Lời giải Câu 57 Cho elip  E  : x2 y2 +  điểm M nằm  E  Nếu M có hồnh độ 13 169 144 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A 10 B 18 C 13  D 13  10 Lời giải Câu 58 Cho elip  E  : x2 y  điểm M nằm  E  Nếu M có hồnh độ Câu 59 Cho elip  E  : + 16 12 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A 3,5 4,5 B C  D  Lời giải Câu 60 Cho elip có phương trình 16 x  25 y  100 Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có hồnh độ đến hai tiêu điểm A B 2 C D Lời giải 202 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip DẠNG Bài Toán Tương Giao Phương pháp x2 y   1 a  b   tương giao với đường thẳng a b2  x2 y  1 có nghiệm, vơ nghiệm    : Ax  By  C  hệ phương trình  a b2  Ax  Bx  C   Phương trình tắc  E  : Bài tập minh họa Bài tập 17 x2 y   điểm M 1;1 25 Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt  E  hai điểm phân biệt A , B cho a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : M trung điểm AB x2 y 2 2   điểm M  ;  Viết phương trình 3 3 đường thẳng qua M cắt  E  hai điểm phân biệt A , B cho MA  MB b) Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip  E  : x2 y   đường thẳng d : x  y   Viết phương trình đường thẳng  vng góc d cắt  E  hai điểm A , B cho tam giác c).Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip  E  : OAB có diện tích d) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x  y  có hai tiêu điểm F1 , F2 F1 có hồnh độ âm Gọi d đường thẳng qua F2 song song với  : y   x  đồng thời cắt  E  hai điểm A , B phân biệt Tính diện tích tam giác ABF1 Lời giải 203 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip 204 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip Bài tập 18 x2 y   đường thẳng d : x  y   Đường thẳng d cắt  E  hai điểm A , B a) Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip  E  : Tìm tọa độ điểm C  E  cho tam giác ABC cân C x2 y   đường thẳng d : 3x  y  12  16 Đường thẳng d cắt  E  hai điểm A , B Tìm tọa độ điểm C  E  cho tam giác b) Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip  E  : ABC có điện tích Lời giải 205 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip x2 y   Qua tiêu điểm  E  dựng đường thẳng song song với 100 36 trục Oy cắt  E  hai điểm M N Câu 61 Cho elip  E  : Tính độ dài MN 64 A B 36 C 25 D 25 Lời giải x2 y   Một đường thẳng qua điểm A  2;  song song với trục hoành 20 16 cắt  E  hai điểm phân biệt M N Tính độ dài MN Câu 62 Cho  E  : A B 15 C 15 D Lời giải Câu 63 Dây cung elip  E  : dài bằng: 2c A a B x2 y2     b  a  vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ a b2 2b a C 2a c D a2 c Lời giải 206 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Elip x2 y  hai điểm phân biệt M Câu 64 Đường thẳng d : 3x  y  12  cắt elip  E  :  16 N Khi độ dài đoạn thẳng MN bằng: A B C D 25 Lời giải Câu 65 Giá trị m để đường thẳng  : x  y  m  cắt elip  E  : phân biệt là: A m  2 C m  2 x2 y   hai điểm B m  2 D 2  m  2 Lời giải 207 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880