Chuyên đề phương pháp toạ độ trong mặt phẳng kết nối tri thức

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 19 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I LÝ THUYẾT I PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Vectơ pháp tuyến đường thẳng   1.1 Định nghĩa: Vectơ n ¹ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) D giá vng góc với D 1.2 Nhận xét:   a) Nếu n vtpt đường thẳng d k n ,  k   vtpt d   b) Nếu n VTPT đường thẳng d u VTCP đường thẳng d  n.u  c) Một đường thẳng xác định biết VTPT mộ điểm qua Phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng ax  by  c  , với a b không đồng thời Ngược lại, phương trình dạng ax  by  c  , với a b khơng đồng thời , phương trình đường  thẳng, nhận n  a; b  vectơ pháp tuyến  2.1 Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có VTPT n   A; B  có phương trình tổng qt A  x  x0   B  y  y0   Page 301 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 2.2 Ngược lại, mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy phương trình dạng Ax  By  C   A2  B   phương trình tổng quát đường thẳng d có  VTPT n   A; B  2.3 Một số trường hợp đặc biệt PTTQ Ax  By  C   A2  B   C đường thẳng song B C  song với trục hoành Ox cắt trục tung Oy điểm M  0;   B  a) Nếu A  phương trình trở thành By  C   y   b) Nếu B  phương trình trở thành Ax  C   x   C đường thẳng song A  C  song với trục tung Oy cắt trục hoành Ox M   ;   A  c) Nếu C  phương trình trở thành Ax  By  đường thẳng qua gốc tọa độ O  0;0  d) Đường thẳng có dạng y  ax  b , (trong a gọi hệ số góc đường   thẳng ) có VTPT n   a; 1 Ngược lại đường thẳng có VTPT n   A; B  có hệ số góc  A B e) Đường thẳng d qua điểm A  a;0  B  0; b  có phương trình x y   a b II PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Véc tơ phương đường thẳng   1.1 Định nghĩa Vectơ u ¹ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng D giá song song trùng với D 1.2 Nhận xét:   a) Nếu u vtcp đường thẳng d k u ,  k   véc tơ phương d Page 302 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG b) Một đường thẳng xác định biết vtcp điểm mà qua Phương trình tham số đường thẳng  Cho đường thẳng  qua điểm A  x0 ; y0  có vectơ phương u  a; b  Khi   điểm M  x; y  thuộc đường thẳng  tồn số thực t cho AM  tu , hay  x  x0  at   y  y0  bt (2) Hệ (2) gọi phương trình tham số đường thẳng  (t tham số)  2.1 Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp u   a; b  có phương trình  x  x0  at ( Mỗi điểm M thuộc đường thẳng  d  tương ứng với tham số   y  y0  bt số thực t   ngược lại) Nhận xét : A Ỵ D  A(x + at ; y + bt ), t Ỵ   x  x0  at 2.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phương trình dạng  với  y  y0  bt  a  b  phương trình đường thẳng d có vtcp u   a; b  Phương trình tắc đường thẳng  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp u   a; b  với a  0, b  có phương trình tắc là: x  x0 y  y0  a b III LIÊN HỆ GIỮA VTCP VÀ VTPT   Từ nhận xét “Nếu n VTPT đường thẳng d u VTCP đường thẳng   d n.u  ” ta rút được: n   A; B  VTPT đường thẳng d VTCP   d u   B;  A  ( u    B; A  )   Từ nhận xét “Nếu n VTPT đường thẳng d u VTCP đường thẳng   d n.u  ” ta rút được: u   a; b  VTCP đường thẳng d VTPT   d n   b; a  (hoặc n   b; a  ) Hai nhận xét giúp ích nhiều việc chuyển đổi qua lại dạng phương trình đường thẳng Từ PTTQ ta chuyển sang PTTS ngược lại BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA   7.1 Trong mặt phẳng tọa độ, cho n   2;1 , v   3;  , A 1;3 , B  2;1 Page 303 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng 1 qua A có vectơ pháp tuyến n  b) Lập phương trình tham số đường thẳng  qua B có vectơ phương v c) Lập phương trình tham số đường thẳng AB 7.2 Lập phương trình tổng quát trục tọa độ  x   2t  :2 x  y   7.3 Cho hai đường thẳng 1 :   y   5t a) Lập phương trình tổng quát 1 b) Lập phương trình tham số  7.4 Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A 1;  , B  3;0  C  2; 1 a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 7.5 (Phương trình đọan chắn đường thẳng ) Chứng minh rằng, đường thẳng qua hai điểm A  a;0  , B  0; b  với ab   H 7.3 có phương trình là: x y   a b 7.6 Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21, Bắc, kinh độ 105,8 Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1 Bắc, kinh độ 108, Đông Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay vị trí có vĩ độ x Bắc, kinh độ y Đơng tính theo cơng thức 153   x  21,  40 t   y  105,8  t  a) Hỏi chuyến từ Hà Nội đến Đà Nẵng giờ? b) Tại thời điểm kể từ lúc cất cánh, máy bay bay qua vĩ tuyến 17 ( 17 Bắc) chưa? II HỆ THỐNG BÀI TẬP Page 304 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG DẠNG 1: XÁC ĐNNH VTCP, VTPT CỦA ĐƯỜNG THẲNG { Tích vơ hướng hai vt, góc hai vt, độ dài vt, độ dài đường trung tuyến, phân giác,đường cao, diện tích tam giác, chu vi tam giác…} PHƯƠNG PHÁP Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy phương trình dạng Ax  By  C   A2  B    có VTPT n   A; B   x  x0  at Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , phương trình dạng  với  y  y0  bt  a  b  phương trình đường thẳng d có vtcp u   a; b    Nếu đường thẳng d có n   A; B  VTPT VTCP d u   B;  A   (hoặc u    B; A  )   Nếu đường thẳng d có u   a; b  VTCP VTPT d n   b; a   (hoặc n   b; a  )  Đường thẳng qua điểm A, B nhận AB làm VTCP Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  x   3t Một vectơ phương đường thẳng  là:  y  3  t    A u1   2; –3 B u2   3; –1 C u3   3; 1  D u4   3; –3 Một vectơ pháp tuyến đường thẳng x  y   :    A n4   2;  3 B n2   2;3 C n3   3;   D n1   3;  x y Vectơ phương đường thẳng   là:    A u   2;3 B u   3;   C u   3;   D u1   2;3 Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A  3;  B 1;  ?  A u1   1;  Câu 5:  B u2   2;1  C u3   2;6   D u4  1;1 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A  2;3 B  4;1 ?  A n1   2; 2   B n2   2; 1 Page 305  C n3  1;1  D n4  1; 2  CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 6: Cho phương trình: ax  by  c  1 với a  b  Mệnh đề sau sai?  A 1 phương trình tổng quát đường thẳng có vectơ pháp tuyến n   a; b  B a  1 phương trình đường thẳng song song trùng với trục ox C b  1 phương trình đường thẳng song song trùng với trục oy D Điểm M  x0 ; y0  thuộc đường thẳng 1 ax0  by0  c  Câu 7: Mệnh đề sau sai? Đường thẳng  d  xác định biết A Một vecto pháp tuyến vec tơ phương B Hệ số góc điểm thuộc đường thẳng C Một điểm thuộc  d  biết  d  song song với đường thẳng cho trước D Hai điểm phân biệt thuộc  d  Câu 8:  Đường thẳng  d  có vecto pháp tuyến n   a; b  Mệnh đề sau sai?  A u1   b; a  vecto phương  d   B u   b; a  vecto phương  d   C n   ka; kb  k  R vecto pháp tuyến  d  D  d  có hệ số góc k  Câu 9: b b  0 a Cho đường thẳng (d): x  y   Vecto sau vecto pháp tuyến (d)?     B n2   4; 6  C n3   2; 3 D n4   2;3 A n1   3;  Câu 10: Cho đường thẳng  d  : 3x  y  15  Mệnh đề sau sai?  A u   7;3 vecto phương  d  B  d  có hệ số góc k  C  d  không qua góc tọa độ   D  d  qua hai điểm M   ;  N  5;0     x   3t 7  điểm A  ; 2  Điểm A   d  ứng với giá trị Câu 11: Cho đường thẳng  d  :  2   y  1  2t t? 1 A t  B t  C t   D t  2 2 Page 306 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  x   3t Điểm sau không thuộc  d  ? Câu 12: Cho  d  :   y   4t A A  5;3 B B  2;5 C C  1;9  D D  8; 3 Câu 13: Một đường thẳng có vectơ phương? A B C D Vô số Câu 14: Một đường thẳng có vectơ pháp tuyến? A B C D Vô số x  ? Câu 15: Vectơ vectơ phương đường thẳng d :   y  1  6t     A u1   6;0  B u2   6;0  C u3   2;6  D u4   0;1  x   t Câu 16: Vectơ vectơ phương đường thẳng  :  ?  y  3  3t     x y A u1   1;3 B u2   ;3  C   D x  y   2  Câu 17: Cho đường thẳng  có phương trình tổng qt: –2 x  y –  Vectơ sau vectơ phương đường thẳng  A  3;  B  2;3 C  –3;  D  2; –3 Câu 18: Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát: –2 x  y –  Vectơ sau không vectơ phương   2 A  1;  B  3;  C  2;3 D  –3; –2   3 Câu 19: Đường thẳng  :5 x  y  15 tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích bao nhiêu? A 7,5 C 15 B Page 307 D CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC { Tính chất cho trước giúp tìm được: điểm thuộc đường thẳng VTCP (hay VTPT); tìm hệ số A, B, C phương trình tổng quát; …} PHƯƠNG PHÁP  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp u   a; b  có phương trình tham  x  x0  at ( Mỗi điểm M thuộc đường thẳng  d  tương ứng với số   y  y0  bt số thực t   ngược lại)  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp u   a; b  với a  0, b  có phương trình tắc là: x  x0 y  y0  a b  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có VTPT n   A; B  có phương trình tổng quát A  x  x0   B  y  y0   BÀI TẬP TỰ LUẬN 2.1 Viết PTTS đường thẳng Câu 1:  Viết phương trình tham số đường thẳng  qua A  3; 1 có VTCP u   2;3 Câu 2: Viết PTTS đường thẳng AB biết A  3;1 , B  1;3 Câu 3: Viết PTTS đường thẳng  qua M  1;7  song song với trục Ox Câu 4: Câu 5: x2 y Viết PTTS đường thẳng  qua I  2017; 2018 song  5 song với đường thẳng d Cho đường thẳng d : Cho A  3;1 B  3;5  Viết PTTS đường thẳng  trung trực đoạn thẳng AB 2.2 Viết PTTQ đường thẳng Câu 1:  Viết PTTQ đường thẳng d qua K  1;5 có VTPT n   2;1 Câu 2: Viết PTTQ đường thẳng  qua K  3; 2  song song với đường thẳng d : x  y  2017  Câu 3: Viết PTTQ  đường trung trực đoạn thẳng AB với A  4; 1 , B  2;3 Câu 4: Viết PTTQ đường thẳng qua hai điểm A  5;0  B  0; 2  Câu 5: Cho tam giác ABC có A  2; 1 ; B  4;5 ; C  3;  Viết phương trình tổng quát đường cao AH tam giác ABC 2.3 Bài toán chuyển đổi qua lại dạng phương trình Page 308 CHUN ĐỀ VII – TỐN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 1: Câu 2:  x   2t Cho đường thẳng   Viết PTTQ đường thẳng y  3t Cho đường thẳng  : x  y   Viết PTTS đường thẳng 2.4 Bài tập tổng hợp viết phương trình đường thẳng Câu 1: Cho tam giác ABC với A  2;3 ; B  4;5  ; C  6; 5  M , N trung điểm AB Câu 2: AC Phương trình tham số đường trung bình MN là: Phương trình đường thẳng qua điểm M  5; 3 cắt hai trục tọa độ hai điểm A B Câu 3: cho M trung điểm AB là: Cho ba điểm A 1;1 ; B  2;0  ; C  3;4  Viết phương trình đường thẳng qua A cách hai điểm B, C x y   , với a  , b  , qua điểm M  1;6  tạo với tia Ox , Oy a b tam giác có diện tích Tính S  a  2b Câu 4: Đường thẳng d : Câu 5: Cho tam giác ABC biết trực tâm H 1; 1 phương trình cạnh AB : x  y   , phương trình cạnh AC : x  y  21  Phương trình cạnh BC Câu 6: Câu 7: Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình cạnh đường cao tam giác AB : x  y   ; BH : x  y   ; AH : x  y   Phương trình đường cao CH tam giác ABC Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : x  y   0, 2 : x  y   điểm P  2;1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm P cắt hai đường thẳng 1 , 2 hai điểm A , B cho P trung điểm AB Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 d có phương trình: d1 : x  y  1, d : x  y   Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d qua đường thẳng d1 Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ΔABC có đỉnh A  3;0  phương trình hai đường cao  BB ' : x  y    CC ' : 3x  12 y   Viết phương trình cạnh BC Câu 10: Cho tam giác ABC , đỉnh B  2;  1 , đường cao AA : x  y  27  đường phân giác góc C CD : x  y   Khi phương trình cạnh AB Câu 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vng góc Oxy , cho ABC có điểm A  2;  1 hai đường phân giác hai góc B, C có phương trình   B  : x  y   0,  C  : x  y   Viết phương trình cạnh BC Câu 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vng góc Oxy , cho ABC vng cân A  4;1 cạnh huyền BC có phương trình: x  y   Viết phương trình hai cạnh góc vng AC AB Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A , có đỉnh C  4;1 , phân giác góc A có phương trình x  y   Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Page 309 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 14: Cho ABC có A  4; 2  Đường cao BH : x  y   đường cao CK : x  y   Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A Câu 15: Viết Phương trình đường thẳng qua điểm M  2; 3 cắt hai trục tọa độ hai điểm A B cho tam giác OAB vuông cân Câu 16: Gọi H trực tâm tam giác ABC Phương trình cạnh đường cao tam giác là: AB : x  y   0; BH :2 x  y   0; AH : x  y   Phương trình đường cao CH tam giác ABC là: Câu 17: Cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) phương trình cạnh AB : x  y   , phương trình cạnh AC : x  y  21  Phương trình cạnh BC Câu 18: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Viết phương trình tham số đường thẳng qua A  3;  có vectơ phương u   3; 2   x   3t A   y  2  4t  x   6t B   y  2  4t  x   2t C   y   3t  x   3t D   y   2t Câu 19: Phương trình tham số đường thẳng qua M 1; 1 , N  4;3 x   t A  y  t  x   3t B   y   4t  x   3t C   y   3t  x   3t D   y  1  4t  Câu 20: Phương trình tổng quát đường thẳng qua A 1;   nhận n   1;  làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình A  x  y  B x  y   C x  y   D x  y    Câu 21: Đường thẳng qua điểm A 1; 2  nhận n   2;  làm véctơ pháp tuyến có phương trình A x  y   B x  y   x  1 t A  y  3t  x   2t B   y   3t C x  y   D 2 x  y   Câu 22: Đường thẳng d qua A 1;1 có véctơ phương u   2;3 có phương trình tham số x   t C  y  3 t  x  2t D   y  3t Câu 23: Phương trình đường thẳng qua hai điểm A  2;  , B  6;1 A 3x  y  10  B 3x  y  22  C 3x  y   D 3x  y  22   Câu 24: Đường thẳng qua A  1;  , nhận n   2; 4  làm vectơ pháp tuyến có phương trình A x  y   B x  y   Page 310 C x  y   D  x  y   CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Gọi M  m;0  , N  0; n  với m, n   MN  m  n Đường thẳng MN : x y   m n Cách 1: Dùng điều kiện tiếp tuyến elip tắc +) Elip tắc ( E ) : x2 y   đường thẳng  : Ax  By  C  tiếp xúc với a b a A2  b2 B2  C +) Phương trình tiếp tuyến elip tắc M ( x0 ; y0 ) là: x0 y x  20 y  a b 16 16 (4  3)      Ta có m2 n m2 n2 m2  n2  m  n  49  MN  MN tiếp xúc với ( E )  Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Đường thẳng MN : x y n    y   x  n tiếp xúc với elip phương trình m n m  n   x  n 2  x  m   có nghiệm kép    n  x  2n x  n   có nghiệm kép    9m 16  16 9m   '  n2 n2 9m 2     n  9m 144 m  16 Khi MN  m  n  m  9m m  56m  784 (m  28)   49   49  2 m  16 m  16 m  16 Nhận xét: Cả cách làm khơng có chương trình phổ thơng, người tốn khơng nắm chương trình DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP Cho Elip có phương trình tắc:  E  : x2 y   với b  a  c a b2 ● M  x; y    E  Khi MF1  a  ex : bán kính qua tiêu điểm trái MF2  a  ex : bán kính qua tiêu điểm phải Câu 1: BÀI TẬP TỰ LUẬN x2 y2   Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm 25 16 Elip; A , B hai điểm thuộc  E  cho AF1  BF2  Tính AF2  BF1 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : Page 35 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y   Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm Elip F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho MF1  2MF2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm Elip F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho MF1  MF2  c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : Lời giải a) Ta có a  25  a  Do A, B   E  nên AF1  AF2  2a  10 BF1  BF2  2a  10 Suy AF1  AF2  BF1  BF2  20   AF2  BF1  20  AF2  BF1  12 b) Ta có a   a  b   b  Suy c2  a  b2   c  a a2 Gọi M  x; y    E  Ta có MF1  MF2  a  ex   a  ex   x    Thay vào 3e 3c  E  , ta y2 15 15    y2   y 4.9 3  15  15  Vậy M  ;    M  ;  2  2 c) Ta có a   a  2 b2   b  Suy c2  a  b2   c  Gọi M  x; y    E  Ta có MF1  MF2   a  ex   a  ex    x  Thay vào  E  , ta Vậy M Câu 2:   a 2    2 e c y2    y2   y   2;  M   2; x2 y   Tìm điểm M thuộc  E  cho nhìn hai tiêu điểm  E  góc vng a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2  y  với hai tiêu điểm F1 , F2  Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho góc F MF2  60 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   với hai tiêu điểm F1 , F2 100 25  Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho góc F MF2  120 Page 36 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2 d) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  :   với hai tiêu điểm F1 , F2 25  F có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc  E  cho góc MF F  1200 1 Lời giải a) Ta có a   a  b   b  Suy c  a  b2   c  2 2  Gọi M  x; y    E  Ta có F MF2  90 nên F1 F2  MF1  MF2  4c   a  ex    a  ex   32  2a  2e2 x 2 63  32  18  .x  x  x 2 Thay vào  E  , ta y  1  y 2 3  3      ; ; ; ; Vậy M   , M   , M    M    2 2 2 2 2 2  2 2  2 2 b) Ta có a   a  b   b  Suy c  a  b   c  Gọi M  x; y    E  Ta có F1 F2  MF12  MF2  MF1.MF2 cos 600 2  4c   a  ex    a  ex    a  ex  a  ex   12  2a  2e x  a  e2 x 2 12  a 32  x2    x 3e Thay vào  E  , ta 32 1  y2   y2   y   9.4  1  1  1  1 ;  , M  ;   , M   ;  M   ;   Vậy M  3 3 3  3    c) Ta có a  100  a  10 b  25  b  Suy c  a  b  75  c  Gọi M  x; y    E  Ta có F1 F2  MF12  MF2  MF1.MF2 cos1200 2  1  4c   a  ex    a  ex    a  ex  a  ex      300  2a  2e x  a  e2 x  2 2 2 2  300  3a  e x  300  300  e x  x   x  Thay vào  E  , ta y2    y  25  y  5 100 25 Vậy M  0;5 M  0; 5  d) Ta có a  25  a  b   b  Suy c  a  b  16  c  Page 37 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Gọi M  x; y    E  Ta có MF2  MF12  F1 F2  MF1.F1 F2 cos1200 2  1   a  ex    a  ex   4c   a  ex  2c     2 65  4aex  4c  2ac  2ecx   x   14 Thay vào  E  , ta y  243  y 196 14  65   65  Vậy M   ;  M   ;   14 14 14 14     Câu 3: x2 y2   điểm C  2;0  Tìm tọa độ điểm A , B thuộc  E  , biết A , B đối xứng với qua trục hoành tam giác a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : ABC tam giác x2 y2   Tìm tọa độ điểm A B thuộc  E  có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y   điểm A  3;0  Tìm tọa độ điểm B , C thuộc  E  cho tam giác ABC vuông cân A , biết B có tung độ dương c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : Lời giải a) a có a   a  b   b  Suy c  a  b   c  Giả sử A  x; y  suy B  x;  y  Theo giả thiết, tam giác ABC AC  AB    x   y  y    x   y 1 Hơn A   E   x2 y    x2  y   2 Từ 1   , ta có 2    x2   x 2  y2 y   x   x   x        2 x y   7 x 16x    y   y  y        2 3   2 3 2 3  , B  ;   A  ;   B  ;    7   7 7  Vì A , B khác C nên A ; Page 38 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG b) Do tam giác OAB cân O A , B có hồnh độ dương nên A , B đối xứng qua O x Giả sử A  x; y  với x  , suy B  x;  y  Gọi H hình chiếu O lên AB Khi ta có S  OAB  1 AB OH  y x  x y 2 Áp dụng bất đẳng thức C a u ch y , ta có  Do x2 x  y  y  x y SOAB 1 Dấu ''  '' xảy khi: Thay vào  E  , ta Suy x   x  x2  y2 x2 y 1    y2  y2   y2   y   2         Vậy A  2;  B  2;    A  2;   B  2; 2 2 2 2     c) Gọi B  x; y  với x  Do tam giác ABC vuông cân A , suy B C đối xứng qua O x nên C  x;  y    Ta có AB  AC  AB AC    x  3  y  1 x2 y 1 2 Hơn nữa, B   E    Từ 1   , ta có  x    y     x2 y2 1   9  x2  y      x     x    x2  y     10 x  x     12  x  x    y  y     12   12  ;  , C ;   5  5 Vì A , B khác C nên B  Câu 4: x2 y2 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  :   hai điểm A 5; 1 , 16 B (  1;1) Xác đinh tọa độ điểm M thuộc  E  cho diện tích tam giác MAB lớn Page 39 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y2   hai điểm A 3;4 , B (5; 3) Tìm  E  điểm C cho tam giác ABC có diện tích 4,5 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : x2 y2   Tìm  E  điểm cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d : x  y   lớn Lời giải a) Gọi M  x; y   E  nên x2 y   Phương trình đường thẳng AB : x  y   16 Ta có x  2y  1 AB.d  M , AB    x  2y  2 SMAB  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta  x  2y 2 2 2 y     y        x  y  36  1.36  36   x     x         16            Suy x  y  nên x  y   y 1  x Dấu ''  '' xảy khi:    2   x  y   8 3   x   y    5 3 Vậy M  ;   thỏa yêu cầu toán b) Gọi C  x; y    E   x2 y   1 Phương trình đường thẳng AB : x  y  11  Ta có SABC  x  y  11 1 AB.d  C , AB   4,5   4,5  x  y  11  2  x  y  11      x  y  11  9   Page 40 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  x  y  11   x  20  y  x  20  y      20  y 2 y  Từ 1   , ta có  x : vơ y2 _  2 y  20 y  100    1  8  nghiệm x  1 x  1  x  y  11  9  x   y     2    y  y2      Từ 1   , ta có  x y _ 1 y    1  y  8     Vậy C 1 3;  1  3 1   C 1 3;     c) Gọi M  x; y    E   d M ,d   2x  3y 1 13 x2 y    x2  y2  Ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có 2x  3y  2   y    x2    x        9 17 y       17   2 Suy 2x  y  17 nên x  y   17  x 2y  x   3  17 2   Dấu ''  '' xảy khi:   y   2 x  y  17  17 Vậy d  M, d  lớn Câu 5: 17    M  ;  13 17   17 x2 y2 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  :   điểm A 3;0 , I  1;0 Tìm tọa độ điểm B , C thuộc  E  cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x2 y2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  :   có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm 25 tọa độ điểm M thuộc  E  cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Page 41 MF1F2 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 y2   có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm 25  48   N   ;0  tọa độ điểm M thuộc  E  cho đường phân giác góc F MF2 qua điểm  25  c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip  E  : Lời giải a) Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I  1;0 , bán kính R  IA  là:  C  :  x  1  y2  Theo giả thiết, ta có B, C   E    C  nên tọa độ điểm B, C nghiệm hệ  x2 y 2 2 2 1   4 x  y  36 4 x  y  36 4 x  y  36    9 2 2 5 x  18 x    x  12  y  9  x  1  y  36 9  x  1  x      x    6  y y   5   x  3   y    x 6  6  6  6 Vậy B   ;  , C ;  B   ;  ,   ;     5     5   b) Ta có a  25  a  b2  b  Suy c  a  b  16  c  Hai tiêu điểm Elip là: F1  4;0  F2  4;0 Gọi M  x; y   E  Ta có SMF1F2  p.r MF1  MF2  F1F2 F1 F2 d  M , F1 F2   r 2 4  2c y   a  c   y   y   y  3 3  x2  1 x  Thay vào phương trình  E  , ta 25 Vậy M  0;3 M  0; 3 c) Ta có a  25  a  b2  b  Suy c  a  b  16  c  Hai tiêu điểm Elip là: F1  4;0  F2  4;0  Gọi M  x; y   E  Theo giả thiết MN phân giác F MF2 , suy Page 42 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG F1 N F1M 52 a  ex     12a  25ex   12.5  25 x   x  3 F2 N F2 M 148 a  ex y2 12  1  y   Thay vào phương trình  E  , ta 25   Vậy M  3; Câu 1: 12  12    M  3;   5 5  BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Cho Elip  E  : x  y  Với M điểm nằm  E  , khẳng định sau 16 khẳng định đúng? A  OM  B OM  C OM  D  OM  Lời giải Chọn D 2 Từ  E  : x  y  , suy a  4, b  16 Với điểm  E  , ta ln có b  OM  a   OM  Câu 2:  3 Elip qua điểm M 1;   có tiêu cự   A x2 y  1 B x2 y  1 có phương trình tắc là: C x2 y  1 D x2 y  1 4 Lời giải Chọn B Giả sử  E  có PTCT là: x ²  y ²  a² b² a  b  0   3 1 M 1;     E  x2 y a    1    1 Vậy PTCT  E  : Ta có:      a 4b  b     a  b   2c  Câu 3: 2 Cho Elip  E  : x  y  điểm M nằm  E  N ếu điểm M có hồnh độ 13 169 144 khoảng cách từ M tới tiêu điểm  E  bằng: A 8; 18 B 13  C 10;16 Lời giải Chọn A Ta có a  13 , b  12  c  Page 43 D 13 10 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy MF1  a  c x M  MF2  a  c x M  18 a Câu 4: a Cho Elíp có phương trình 16x  25y2  100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hồnh độ x  đến hai tiêu điểm A 10 B 2 C D Lời giải Chọn C 2 Phương trình tắc elip có dạng  E  : x  y   a , b   a Ta có : a  , b  , b c Sử dụng cơng thức bán kính qua tiêu MF1  6  , MF2   5 MF1  MF2  Cách 2: dễ thấy Câu 5: MF1  MF2  2a  2 Cho Elip  E  : x  y  Đường thẳng  d  : x  4 cắt  E  hai điểm M , N Khi đó: 25 A MN  B MN  18 25 C M N  18 25 D MN  Lời giải Chọn C Theo giả thiết: x  4 nên ta có phương trình:  9  y   M  4;   5  4   y   y   81   y2   25 9 25 25 9   y    N  4;   5   2 2  9  18 Khi đó: MN   4  4      5 5 Câu 6: 2 Cho Elip có phương trình: x  y  M điểm thuộc  E  cho 16 tọa độ điểm M là: A M1  0;1 , M2  0; 1 B C M1(0;2) , M2 (0; 2) M1(4;0) , M2 (4;0) D M1(0;4) , M2 (0; 4) Lời giải Chọn B Page 44 MF1  MF2 Khi CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 2 Phương trình tắc elip có dạng  E  : x  y   a , b   a b N ên a  4; b  Vì MF1  MF2 nên M thuộc đường trung trực FF trục Oy M điểm thuộc  E  nên M giao điểm elip trục O y Vậy Câu 7: M1(0;2) , M2 (0; 2) 2 Dây cung Elip  E  : x  y    b  a  vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài a b A 2c B 2b a C 2a a D a c c Lời giải Chọn B Gọi dây cung MM hình vẽ 2 2 Giả sử M1  c; y  y  0 , M   E   c  y   y  b  a 2 c  b  y  b a  b   b2   , M  c;    a   a  a b a a Khi đó, M1  c; Câu 8: M 1M  2b a 2 Cho  E  : x  y  điểm M thuộc  E  Khi độ dài OM thỏa mãn 16 A OM  B  OM  C  OM  D OM  Lời giải Chọn B 2 Vì M  x; y   E  nên x  y  OM  x  y 16 2 2 2 Ta có x  y  x  y  x  y  O M   O M 16 Câu 9: 16 16 9 16   OM  16   OM  2 Cho  E  : x  y  Đường thẳng d : x  4 cắt  E  hai điểm M , N Khi đó, độ dài 25 đoạn MN A B C 18 25 D 18 25 Lời giải Chọn C Thay x  4 vào phương trình đường elip ta được: 16  y   y   25   9 5   9 5 Tọa độ hai giao điểm M  4;  , N  4;   Page 45 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Do đó, M N  18 Câu 10: 2 Đường thẳng y  kx cắt  E  : x  y  hai điểm M , N phân biệt Khi M , N A Đối xứng qua O  0;  a b B Đối xứng qua O y D Đối xứng qua I  0;1 C Đối xứng qua O x Lời giải Chọn A Đường thẳng y  kx qua O  0;   E  nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Do đường thẳng y  kx cắt  E  M , N phân biệt M , N đối xứng qua O  0;  Câu 11: 2 Cho elip  E  : x  y  điểm M thuộc  E  có hoành độ 169 144 xM  13 Khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm  E  A 10 B 18 C 13  D 13  10 Lời giải Chọn B xM  13  yM   M  13;0 M   E  Ta có  Ta có a  169 ; b  144  c  25  c  Các tiêu điểm  E  F1  5;0  , F2  5;0 , suy Câu 12: Cho elip ( E ) : x ²  y ²  , với tiêu điểm 25 16 MF1  , MF2  18 F1, F2 Lấy hai điểm A, B  ( E ) cho AF1  BF1  Khi đó, AF2  BF2  ? A C 12 B D 10 Lời giải Chọn C Do ( E ) : x² y²    a ²  25  a  25 16 Do A(E)  AF1  AF2  2a 10 Do B(E)  BF1  BF2  2a 10 ( AF1  BF1)  ( AF2  BF2 )  20 8  ( AF2  BF2 )  20  AF2  BF2 12 Câu 13: Cho elip ( E ) : x ²  y ²  Tìm toạ độ điểm M  ( E ) cho M nhìn 25 vng: Page 46 F1, F2 góc CHUN ĐỀ VII – TỐN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG   9 5 B  4;   A (  5; 0) C (0; 4) 5 9 ;  4  D  Lời giải Chọn D M(xM ; yM ) nhìn F1, F2 góc vng OM  OF1 Do ( E ) : x ²  y ²   a  25; b   c ²  25   16  c  25 Để OM  OF1  Mặt khác M  (E)  xM2  y M2   x M2  y M2  16 xM2 yM2    9xM2  25 yM2  225 25  x  y M2  16 Ta có hệ:  M  2 9 xM  25 y M  225 Câu 14:   175  xM    xM  16   81  y2  y   M M 16   2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  E  : x  y  hai điểm A 5; 1 , B  1;1 Điểm M 16 thuộc  E  , diện tích lớn tam giác MAB là: A 18 C B D Lời giải Chọn B  Ta có: AB   4;  , AB Phương trình đường thẳng  qua A , B : x  y     M cos  ; sin    E     2  S  MAB  AB d  M ,   Diện tích lớn d  M,  lớn Ta có: d M ,   d M ,    Câu 15: 4cos  sin     2 5  3   4cos  sin   Vậy S  MAB  AB d  M ,    Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip  E  : x2  4y2   Tìm tất điểm  N elip  E  cho: F NF2  60 ( F1, F hai tiêu điểm elip  E  )  1  1  1  1 ;   N   ;  N  ;   N  ;  A N   3 3 3  3    Page 47 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  1  1  1 ;   N   ;  N  ;  B N   3 3    3  1  1  1 ;  N  ;   N  ;  C N   3 3  3    1  1 ;   N  ;  D N   3   3 Lời giải Chọn A x2  E  :  y   a  4, b2   c   c   x02  y02   3  x0 Xét tam giác F1 NF2 theo hệ thức Gọi N  x0 ; y0    E    NF1   x0 ; NF2   2   F1 F2   lượng tam giác ta có:  F1F2   NF12  NF22  NF1 NF2 cos600     2           x0     x0     x0   x0   2 2          x0   y0     3  32  3   12   x02    x02   x02   x02   y02     9   y   x0   3  Vậy có tất điểm thỏa  1  1  1  1 N   ;   N   ;  N  ;   N  ;  3 3 3  3    Câu 16: Các hành tinh chổi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo đường elip tâm mặt trời tiêu điểm Điểm gần mặt trời gọi điểm cận nhật, điểm xa mặt trời gọi điểm viễn nhật Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo đường elip có độ dài nửa trục lớn 93.000.000 dặm Tỉ số khoảng cách điểm 59 cận nhật điểm viễn nhật đến mặt trời Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời 61 trái đất điểm cận nhật Lấy giá trị gần Trái dát Mat troi A Xấp xỉ 91.455.000 dặm B Xấp xỉ 91.000.000 dặm Page 48 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG C Xấp xỉ 91.450.000 dặm D Xấp xỉ 91.550.000 dặm Lời giải Chọn C Ta có a  93.000.000 Và a  c 59 a 93.000.000   61a  61c  59a  59c  c    1.550.000 a  c 61 60 60 Suy khoảng cách từ trái đất đến mặt trời trái đất điểm cận nhật là: 91.450.000 Câu 17: Ơng Hồng có mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn trục nhỏ 60m 30m Ông chia thành hai nửa đường tròn tiếp xúc với elip để làm mục đích sử dụng khác N ửa bên đường trịn ơng trồng lâu năm, nửa bên ngồi đường trịn ơng trồng hoa màu Tính tỉ số diện tích T phần trồng lâu năm so với diện tích trồng hoa màu Biết diện tích elip tính theo cơng thức S   ab a, b đọ dài nửa trục lớn nửa trục bé elip Biết độ rộng đường elip không đáng kể A T  B T  C T  Lời giải Chọn B Diện tích hình trịn: ST   152 , diện tích elip S E   15.30 Tỉ số diện tích T  ST  152 15    30  15 S E  ST  15.30   15 Page 49 D T 