CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Page 1 BÀI 1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ BÀI 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Nhắc lại hệ tọa độ Hệ trục tọa độ ( )O;i , j [.]
CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ BÀI 2: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ I LÝ THUYẾT Nhắc lại hệ tọa độ: Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) gồm hai trục ( O;i ) ( O; j ) vng góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục ( O;i ) gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục ( O; j ) gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy i= = j Hệ trục tọa độ ( O;i , j ) cịn kí hiệu Oxy y O O x Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy Hay gọi tắt mặt phẳng Oxy I TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý y K M b -1 O -1 a x H Từ M kẻ đường thẳng vng góc với trục hồnh cắt trục hoành điểm H ứng với số a Số a hoành độ điểm M Từ M kẻ đường thẳng vng góc với trục tung cắt trục tung điểm K ứng với số b Số b tung độ điểm M Cặp số ( a; b ) tọa độ điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy Ta kí hiệu M ( a; b ) Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I TỌA ĐỘ VECTƠ Tọa độ điểm M tọa độ vectơ OM Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA = u Với vectơ u ta xác định điểm A cho OA = u Với vectơ u mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ u tọa độ điểm A cho OA = u Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , u = ( x; y ) = u x i + y j Ngược lại = u x i + y j u = ( x; y ) Do đó: u = ( x; y ) ⇔ u = x i + y j Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ x = x′ Nếu u = ( x; y ) u ′ = ( x′; y′ ) u= u ′ ⇔ y = y′ Như vậy, vectơ hoàn toàn xác định biết tọa độ III LIÊN HỆ GIỮA TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) AB xB x A ; yB y A IV BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ Cho u ( x; y ) ; v x ; y số thực k Khi ta có : 1) u v x x ; y y 2) k u (kx; ky ) 3) u.v x.x y y x x 4) u v y y x kx 5) v phương u ( u ) có số k cho y ky V TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I ( xI ; yI ) đoạn thẳng AB = xI x A + xB y A + yB = , yI 2 Cho tam giác ABC có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Khi tọa độ trọng tâm Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG G ( xG ; yG ) tam giác ABC tính theo cơng thức x A + xB + xC y A + yB + yC = , yG 3 VI BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai= vectơ a (= a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 ) b a1.b1 + a2 b2 Khi a= = xG Ứng dụng biểu thức tọa độ phép toán vecto Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ = a a1 ; a2 ) , b ( b1 ; b2 ) (= hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) Ta có: 1) a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 = 2) a, b phương ⇔ a1b1 − a2b2 = 3)= a a12 + a22 2 4) AB AB xB x A yB y A 5) cos = a; b ( ) II a.b = a.b a1b1 + a2b2 a12 + a22 b12 + b22 ( a = ( a1 ; a2 ) b = ( b1 ; b2 ) khác ) VÍ DỤ MINH HỌA Câu Trên trục ( O ; i ) cho điểm A , B , C có tọa độ ; −2 ; Tính độ dài đại số vectơ AB ; BC Từ suy hai vectơ AB ; BC ngược hướng? Lời giải Ta có AB =−2 − =−3 , BC = − ( −2 ) = Do vectơ AB ngược hướng với vectơ i vectơ BC hướng với vectơ i Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a = 2i , b = −3 j , = c 3i − j a) Tìm tọa độ vectơ a , b , c , m = 3a − b b) Phân tích vectơ c theo hai vectơ a , b Lời giải c ( 3; − ) a) Ta có a = ( 2;0 ) , = b ( 0; − 3) , = Khi 3a = ( 6;0 ) , −2b = ( 0;6 ) nên m = 3a − 2b = ( + 0;0 + ) = ( 6;6 ) b) Ta có hai vectơ a , b không phương c xa + yb Theo yêu cầu đề ta cần tìm số x , y thỏa mãn = x= 2 x + = Suy x ( 2;0 ) + y ( 0; − 3) = ( 3; − ) ⇔ ⇔ −4 0 − y = y = Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 3 4 Vậy ta viết được= c a+ b Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( 2;1) , B ( −1; − ) , C ( −3; ) a) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AC b) Chứng minh ba điểm A , B , C tạo thành tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải − 1+ −1 ; a) Gọi M trung điểm AC M hay M ; 2 b) Tính AB =( −3; − 3) , AC = ( −5;1) dẫn đến hai vectơ khơng phương Nói cách khác ba điểm A , B , C tạo thành tam giác 1 −1− 1− + ; c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC G hay G − ; 3 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A ( 2;1) , B ( −1; − ) , C ( −3; ) a) Tìm tọa độ điểm E cho C trung điểm đoạn thẳng EB b) Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải 2 x= xE + xB xE = −5 a) Do C trung điểm đoạn thẳng EB nên C ⇔ y y y y = + = E B E C Vậy E ( −5;6 ) b) Gọi D ( xD ; yD ) ⇒ DC = ( −3 − xD ; − yD ) x = −3 − xD =−3 ⇔ −3 y = 2 − yD = Do tứ giác ABCD hình bình hành nên AB = DC ⇔ Ta thấy A , B , C , D không thẳng hàng Vậy D ( 0;5 ) đáp án toán Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) Tìm tọa độ điểm M thỏa AM + AB = 0? Giả sử M ( xM ; yM ) Lời giải = suy AM =( xM − 1; yM − 3) AB ( 3; −3) 3 ( xM − 1) + = xM = ⇒ M ( 0; ) Ta có: AM + AB = 0⇔ ⇔ 3 ( yM − 3) − = yM = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có A ( 3;4 ) , C ( 8;1) Gọi M trung điểm cạnh BC , N giao điểm BD AM Xác định đỉnh cịn lại hình bình 13 ;2 3 hành ABCD , biết N Lời giải A B D N I M C Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Do I tâm hình bình hành ABCD , ta có I trung điểm đoạn thẳng AC nên 11 I ; 2 Xét tam giác ABC BI , AM hai đường trung tuyến nên N trọng tâm tam giác ABC 13 + xB + = xB = 3 Do , B ( 2;1) ⇔ y y + + = B B 2 = + xD 11 = 2= xD nên D ( 9; ) ⇔ + yD = 1= yD Gọi D ( xD ; yD ) Do I trung điểm BD nên Vậy B ( 2;1) , D ( 9; ) BÀI TẬP Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M (1;3) , N ( 4; ) a) Tính độ dài đoạn thẳng OM , ON , MN b) Chứng minh tam giác OMN vuông cân Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho vectơ a =− 3i j , b = ( 4; −1) điềm M ( −3;6 ) , N ( 3; −3) a) Tìm mối liên hệ vectơ MN 2a − b b) Các điểm O, M , N có thẳng hàng hay khơng? c) Tìm điềm P ( x; y ) để OMNP hình bình hành Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điềm A (1;3) , B ( 2; ) , C ( −3; ) a) Hãy chứng minh A, B , C ba đỉnh tam giác b) Tìm toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm điểm D ( x; y ) để O ( 0;0 ) trọng tâm tam giác ABD Câu Sự chuyển động tàu thủy thề mặt phẳng toạ độ sau: Tàu khời hành từ vị trí A (1; ) chuyền động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu thị bời vectơ v = ( 3; ) Xác định vị trí tàu (trên mặt phẳng toạ độ) thời điểm sau khởi hành 1, Câu Trong Hình 4.38, quân mã vị trí có toạ độ (1; ) Hỏi sau nước đi, quân mã đến vị trí nào? Page CHUN ĐỀ VII – TỐN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG III HỆ THỐNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG Oxy Câu 1: BÀI TẬP TỰ LUẬN Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M ( x; y ) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục hoành? Câu 2: Câu 3: Trong không gian Oxy , cho hai điểm A (1; ) , B ( −2;3) Tìm tọa độ vectơ AB ? Vectơ a = ( −4; ) phân tích theo hai vectơ đơn vị ( i; j ) nào? Câu 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I có A(1;3) Biết điểm B thuộc trục Ox BC hướng với i Tìm tọa độ vectơ AC ? Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox = 600 Biết A trùng với BAD xB ≥ 0, yB ≥ Tìm tọa độ đỉnh B C hình thoi ABCD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ i A i = ( 0; ) B i = ( 0; 1) Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 5; ) , B (10; ) Tìm tọa độ vectơ AB ? C i = (1; ) D i = (1; 1) A (15; 10 ) B ( 2; ) C ( 5; ) D ( 50; 16 ) Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A = ( 5; −2 ) , B =(10;8) Tọa độ vectơ AB là: A AB (15;10 ) B AB ( 2; ) C AB ( 5;10 ) D AB ( 50;16 ) Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A (1; ) B ( 3;5 ) Khi đó: A AB =( −2; −1) B BA = (1; ) C AB = ( 2;1) D AB = ( 4;9 ) Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 5;3) , B ( 7;8 ) Tìm tọa độ véctơ AB Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A (15;10 ) Câu 6: B ( 2;5 ) C ( 2;6 ) D ( −2; −5 ) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B ( 9; ) , C (11; − 1) Gọi M , N trung điểm AB, AC Tìm tọa độ vectơ MN ? A ( 2; − ) Câu 7: B (1; − ) D ( 5; 3) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có gốc O làm tâm hình vng cạnh song song với trục tọa độ Khẳng định đúng? B OA − OB, DC hướng A OA + OB = AB C Câu 8: C (10; ) xA = − xC , y A = yC D Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( 3; − ) Gọi xB = − xC , yB = − yC M , M hình chiếu vng góc M Ox, Oy Khẳng định đúng? A OM = −3 C OM − OM =− ( 3; − ) Câu 9: B OM = D OM + OM =( 3; − ) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , C ∈ Ox Khẳng định sau đúng? A AB có tung độ khác B A, B có tung độ khác C C có hồnh độ khác D xA + xC − xB = Câu 10: Trong hệ trục tọa độ ( O,i, j ) , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Gọi xA , xB , xC hoành độ điểm A , B , C Giá trị biểu thức xA + xB + xC bằng: B a A C a D − a Câu 11: Trong hệ trục tọa độ ( O,i, j ) , cho tam giác ABC cạnh a , biết O trung điểm BC , i hướng với OC , j hướng OA Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a 3 A G 0; a 3 B G 0; a ; C G a ; D G Câu 12: Trong hệ trục tọa độ ( O,i, j ) , cho hình thoi ABCD tâm O có= AC 8= , BD Biết OC i hướng, OB j hướng Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC A G ( 0;1) B G ( −1;0 ) 1 2 C ;0 3 2 D 0; DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC DẠNG u + v, u − v, k u BÀI TẬP TỰ LUẬN Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 2: Trong không gian Oxy , cho hai vectơ a (1;3) , b ( 3; − ) Tìm tọa độ vectơ a − b ? c 2a + 3b Cho a = ( x; ) , b = ( −5;1) , c = ( x;7 ) Tìm x để Vec tơ = Câu 3: Cho hai điểm A (1;0 ) B ( 0; −2 ) Tọa độ điểm D cho AD = −3 AB là: Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A (1;3) , B ( 4;0 ) Tọa độ điểm M thỏa AM + AB = Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A ( −3;3) , B (1; ) , C ( 2; −5 ) Tọa độ điểm M thỏa mãn Câu 1: Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: MA − BC = 4CM là: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho a = b ( 5; − ) Tìm tọa độ a − b ( −1; ) ,= A ( 6; − ) B ( 4; − ) C ( −6; ) Cho a =− ( 3; ) , b = ( −1; ) Tìm tọa độ a + b A ( −4; ) B ( 2; − ) C ( 4; − ) D ( −5; − 14 ) D ( −3; − ) Trong hệ trục tọa độ ( O; i; j ) tọa độ i + j là: A ( 0; 1) Câu 4: B (1; − 1) C (−1; 1) D (1; 1) b ( 5; −7 ) Tọa độ vectơ 3a − 2b là: ( −1;3) , = B (13; −29 ) C ( −6;10 ) D ( −13; 23) A ( 6; −19 ) = ) , b ( 3; ) Tọa độ = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,= cho a (1; c 4a − b A c =( −1; − ) B c = ( 4; 1) C c = (1; ) D c = ( −1; ) a ( 2; 1) ,= b ( 3; −2 ) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho = c 2a + 3b Tọa độ vectơ c A (13; − ) B (13; ) C ( −13; ) D ( −13; − ) Cho a ( 2;7 ) , b ( −3;5 ) Tọa độ véctơ a − b A ( 5; ) B ( −1; ) C ( −5; −2 ) D ( 5; −2 ) Trong mặt phẳng Oxy cho a = Cho a ( 3; −4 ) , b ( −1; ) Tọa độ véctơ a + 2b A ( −4;6 ) B ( 4; − ) C (1;0 ) D ( 0;1) A ( 0;1) B (1;1) C (1; −1) D ( −1;1) Trong hệ trục ( O, i, j ) , tọa độ i − j Câu 10: Cho a = (1; ) b = ( 3; ) với = c 4a − b tọa độ c là: c ( 4; − 1) A c = ( −1; ) B.= C c = (1; ) Câu 11: Cho a = (1;5 ) , b = ( −2;1) Tính = c 3a + 2b A c = ( 7; 13) B c = (1; 17 ) C c = ( −1; 17 ) D c = ( −1; − ) D c = (1; 16 ) Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 12: Cho a= 2i − j b =−i + j Tìm tọa độ c= a − b c A = c B.= a (1; −4 ) ; b = Câu 13: Cho hai vectơ = (1 ; − 1) A ( 7;19 ) Câu 14: Tìm tọa độ vectơ u ( ; − 5) C c = ( −3 ; 5) b ( −6;15) Tìm tọa độ vectơ u biết u + a = B ( –7;19 ) C ( 7; –19 ) , b = ( 2; –3) biết u + b = A ( 2; –3) D c = ( ; ) B ( –2; –3) C ( –2;3) D ( –7; –19 ) D ( 2;3) Câu 15: Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2; ) , B (1; 1) , C ( 3; 3) Tìm tọa độ đỉểm E cho = AE AB − AC A ( 3; − 3) a ( 2; − ) , b = Câu 16: Cho= u ( 7; − ) A.= B ( −3; 3) C ( −3; − 3) u 2a − b ( −5; 3) Tìm tọa độ = u ( 9; − 11) u ( 9; − ) B.= C.= A ( –4;0 ) , B ( –5;0 ) , C ( 3;0 ) Tìm điểm M trục Ox Câu 17: Cho điểm MA + MB + MC = D ( −2; − 3) D u = ( −1; 5) cho A ( –2;0 ) B ( 2;0 ) C ( –4;0 ) D ( –5;0 ) Câu 18: Trong hệ trục O , i, j cho vectơ a = ( ; ) , b =−i + j Mệnh đề sau sai? A a= i + j B b = ( −1; ) C a + b = D a − b= ( ; − 3) (2 ; 7) = 2u − 3v tích XY bằng: Câu 19: Cho u= 2i − j , v = −5 i − j Gọi ( X ; Y ) tọa độ w ( ) B 57 C −63 A −57 DẠNG 3: XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ CÁC ĐIỂM CỦA MỘT HÌNH Câu 1: D 63 BÀI TẬP TỰ LUẬN Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3; ) , B (1; ) , C ( 5; ) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ? Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( −2; ) , B ( 3; ) trọng tâm gốc tọa độ O ( 0; ) Tìm tọa độ đỉnh C ? Câu 3: Cho M ( 2;0 ) , N ( 2; ) , P ( −1;3) trung điểm cạnh BC , CA, AB ∆ABC Tọa độ B là: Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M (1; −1) , N ( 5; −3) P thuộc trục Oy , Câu 5: trọng tâm G tam giác nằm trục Ox Toạ độ điểm P Cho tam giác ABC với AB = AC = Tính toạ độ điểm D chân đường phân giác góc A , biết B( 7; − ),C( 1; ) Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 3; −1) , B ( −1; ) I (1;−1) Xác định tọa độ điểm C , D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O hình bình hành ABCD Page CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 1: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho A ( 4; ) , B ( 2; – 3) , C ( 9; ) Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: A ( 3; ) Câu 2: B ( 5; 1) C (15; ) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3; ) , B (1; ) , C ( 5; ) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ? A ( −3; ) Câu 3: B ( 4; ) C B ( 2; 10 ) ) 2; Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC= có A C ( 3; ) D ( 3; 3) A ( −3; ) B ( 4;0 ) D ( 8; − 21) ) , C ( 5; ) Trọng tâm G = ( 3;5 ) , B (1;= tam giác ABC có tọa độ là: Câu 5: ( Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2; − 3) , B ( 4; ) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A ( 6; ) Câu 4: D ( 9; 15 ) C ( ) 2;3 D ( 3;3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A ( 2; 3) , B ( 5; ) , C ( −1; − 1) Tọa độ trọng tâm G tam giác có tọa độ là: A ( 3; 3) Câu 6: B ( 2; ) D ( 4; ) Cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A ( 2;3) , B ( 5; ) , C ( 2; ) Tọa độ trọng tâm G tam giác có tọa độ A ( 3;3) B ( 2; ) C (1;1) B ( 3; ) C ( 5; ) , Toạ độ trung điểm M BC A M = ( –8;3) B M ( 4;3) C M ( 2; ) Câu 7: Cho hai điểm Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Oxy, cho ba điểm tâm ∆ABC là: A G ( 0;11) Câu 9: C (1; 1) B G (1; −1) D ( 4; ) D M = ( 2; –2 ) A ( 5; −2 ) B ( 0;3) C ( −5; −1) , , Khi trọng C G (10;0 ) D G ( 0;0 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 2; −3) , B ( 4;7 ) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: A I ( 6; ) B I ( 2;10 ) C I ( 3; ) D I ( 8; − 21) Page 10 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 16 16 (4 + 3) + = Ta có = + ≥ m2 n2 m2 n2 m2 + n2 ⇒ m + n ≥ 49 ⇒ MN = MN tiếp xúc với ( E ) ⇔ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Đường thẳng MN : x y n + =⇒ − x + n tiếp xúc với elip phương trình y= m n m n − x + n 1 n2 2n n2 x m = x + − =0 có nghiệm kép + có nghiệm kép ⇔ + x − 9m 16 16 9m ⇔ ∆ '= n2 n2 9m 2 − + = ⇔ n = 9m 144 m − 16 Khi MN = m2 + n2 = m2 + 9m = m − 16 m − 56m + 784 + 49 = m − 16 (m − 28) + 49 ≥ m − 16 Nhận xét: Cả cách làm chương trình phổ thơng, người tốn khơng nắm chương trình DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP Cho Elip có phương trình tắc: ( E ) : x2 y 2 + = với b= a2 − c2 a b2 ● M ( x; y ) ∈ ( E ) Khi MF1= a + ex : bán kính qua tiêu điểm trái MF2= a − ex : bán kính qua tiêu điểm phải Câu 1: BÀI TẬP TỰ LUẬN x2 y a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : + = Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm 25 16 Elip; A , B hai điểm thuộc ( E ) cho AF1 + BF2 = Tính AF2 + BF1 x2 y + = Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm Elip F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho MF1 = MF2 b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : + = Gọi F1 , F2 hai tiêu điểm Elip F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho MF1 − MF2 = Lời giải Page 34 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG a) Ta có a = 25 ⇒ a = Do A, B ∈ ( E ) nên AF1 + AF2 =2a =10 BF1 + BF2 =2a =10 Suy AF1 + AF2 + BF1 + BF2 =20 ⇔ + AF2 + BF1 =20 ⇔ AF2 + BF1 =12 b) Ta có a = ⇒ a = b = ⇒ b = Suy c = a − b = ⇒ c = Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có MF1 = MF2 ⇔ a + ex = ( a − ex ) ⇔ x = , ta a a2 Thay vào ( E ) = = 3e 3c y2 15 15 + =⇔ ± y2 = ⇔ y = 4.9 15 3 15 Vậy M ; − M ; 2 2 c) Ta có a = ⇒ a = 2 b = ⇒ b = Suy c = a − b = ⇒ c = Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có MF1 − MF2 = ⇔ a + ex − ( a − ex ) = ⇔ x = Thay vào ( E ) , ta Vậy M Câu 2: ( ) a 2 = = = e c 2 y2 + =⇔ y =⇔ y= ± 2; − M ( ) 2; x2 y + = Tìm điểm M thuộc ( E ) cho nhìn hai tiêu điểm ( E ) góc vng a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 + y2 = với hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho góc F MF2 = 60 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y + = với hai tiêu điểm F1 , F2 100 25 Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho góc F MF2 = 120 x2 y d) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : + = với hai tiêu điểm F1 , F2 25 F có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho góc MF F = 1200 1 Lời giải a) Ta có a = ⇒ a = b =1 ⇒ b =1 Suy c = a − b = ⇒ c = 2 Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có F MF12 + MF2 MF2 = 90 nên F= F2 Page 35 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ⇔ 4c = ( a + ex ) + ( a − ex ) ⇔ 32 = 2a + 2e x 2 63 ⇔ 32 = ± 18 + .x ⇔ x = ⇔ x = 2 1 Thay vào ( E ) , ta y = ⇔ y = ± 2 3 3 ; ; ;− ;− Vậy M , M M − , M − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) Ta có a = ⇒ a = b =1 ⇒ b =1 Suy c = a − b = ⇒ c = Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có F1 F2 = MF12 + MF2 − MF1.MF2 cos 600 2 ⇔ 4c = ( a + ex ) + ( a − ex ) − ( a + ex )( a − ex ) ⇔ 12 = 2a + 2e x − a + e x 2 12 − a 32 ⇔ x2 = = ⇔ x = ± 3e Thay vào ( E ) , ta 32 1 + y =⇔ y2 = ⇔ y = ± 9.4 1 1 1 1 ; − ; − , M − ; , M ; M − Vậy M 3 3 3 3 c) Ta có a = 100 ⇒ a= 10 b = 25 ⇒ b = Suy c = a − b = 75 ⇒ c = Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có F1 F2 = MF12 + MF2 − MF1.MF2 cos1200 2 1 ⇔ 4c = ( a + ex ) + ( a − ex ) − ( a + ex )( a − ex ) − ⇔ 300 = 2a + 2e x + a − e x 2 ⇔ 300 = 3a + e x ⇔ 300 = 300 + e x ⇔ x =⇔ x= 0 y2 Thay vào ( E ) , ta + =⇔ y2 = 25 ⇔ y = ±5 100 25 Vậy M ( 0;5 ) M ( 0; −5 ) d) Ta có a = 25 ⇒ a = b = ⇒ b = Suy c = a − b = 16 ⇒ c = Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có MF2 = MF12 + F1 F2 − MF1.F1 F2 cos1200 2 1 ⇔ ( a − ex ) = ( a + ex ) + 4c − ( a + ex ) 2c − 2 65 0⇔ x= ⇔ 4aex + 4c + 2ac + 2ecx = − 14 243 Thay vào ( E ) , ta y = ⇔ y = ± 196 14 Page 36 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 65 65 Vậy M − ; M − ; − 14 14 14 14 Câu 3: x2 y điểm C ( 2;0 ) Tìm tọa độ + = điểm A , B thuộc ( E ) , biết A , B đối xứng với qua trục hoành tam giác ABC a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : tam giác x2 y + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc ( E ) có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y + = điểm A ( 3;0 ) Tìm tọa độ điểm B , C thuộc ( E ) cho tam giác ABC vuông cân A , biết B có tung độ dương c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : Lời giải a) a có a = ⇒ a = b =1 ⇒ b =1 Suy c = a − b = ⇒ c = Giả sử A ( x; y ) suy B ( x; − y ) Theo giả thiết, tam giác ABC AC = AB ⇔ ( − x ) + y = y ⇔ ( − x ) = y (1) Hơn A ∈ ( E ) ⇔ x2 y + =1 ⇔ x + y =4 ( ) Từ (1) ( ) , ta có 2 x2 x= x= ( − x )2 = 3y2 = − y x = 7 ⇔ ⇔ 2 = y 4 x + y = 7 x − 16 x + = y = y = − 2 3 2 3 2 3 2 3 Vì A, B khác C nên A ; A ; − B ; , B ; − 7 7 7 7 b) Do tam giác OAB cân O A , B có hồnh độ dương nên A , B đối xứng qua Ox Giả sử A ( x; y ) với x > , suy B ( x; − y ) Gọi H hình chiếu O lên AB Khi ta có = S ∆OAB 1 OH 2y x x y AB = = 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có = x2 x + y ≥ y = x y Page 37 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x2 = y2 Do S ∆OAB ≤ Dấu '' = '' xảy khi: Thay vào ( E ) , ta x2 y 1 + = ⇔ y + y =⇔ y2 = ⇔ y = ± 2 Suy x = ⇒ x = Vậy A 2; A 2; − B 2; B 2; − 2 2 2 2 c) Gọi B ( x; y ) với x > Do tam giác ABC vuông cân A , suy B C đối xứng qua Ox nên C ( x; − y ) Ta có AB ⊥ AC ⇔ AB AC =0 ⇔ ( x − 3) − y =0 (1) Hơn nữa, B ∈ ( E ) ⇔ x2 y + = ( 2) Từ (1) ( ) , ta có 12 x2 x2 ( x − 3)2 − y = x= y = 1− = − y x = 9 ⇔ ⇔ ⇔ x2 y 2 = y = y = ± + ( x − 3)2 − + x =0 10 x − x + = 9 9 12 12 ; , C ;− 5 5 Vì A, B khác C nên B Câu 4: x2 y + = hai điểm A ( −5; −1) , 16 B ( −1;1) Xác đinh tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho diện tích tam giác MAB lớn a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y + = hai điểm A ( 3;4 ) , B(5;3) Tìm ( E ) điểm C cho tam giác ABC có diện tích 4,5 x2 y Tìm ( E ) điểm = c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : + cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d : x − y + = lớn Lời giải x2 y + = Phương trình đường thẳng AB : x − y + = a) Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) nên 16 Ta có Page 38 CHUN ĐỀ VII – TỐN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x − 2y + 1 S ∆MAB = AB.d ( M , AB ) = =x − 2y + 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta ( x − 2y) 2 2 x2 y y y = x − ≤ x + + = 16 + 36 =1.36 =36 ( ) Suy x − y ≤ nên x − y + ≤ y 1 x= x Dấu '' = '' xảy khi: = ⇔ − y = − − + = x y 8 3 5 3 Vậy M ; − thỏa yêu cầu toán x2 y + = (1) b) Gọi C ( x; y ) ∈ ( E ) ⇔ Phương trình đường thẳng AB : x + y − 11 = Ta có x + y − 11 1 AB.d ( C , AB ) = 4,5 ⇔ = 4,5 ⇔ x + y − 11 = 2 S ∆ABC = ( 2) x + y − 11 = ⇔ −9 ( 3) x + y − 11 = x 20 − y = x + y − 11 = x 20 − y = 2 ⇔ ⇔ Từ (1) ( ) , ta có x : vô y ( 20 − y ) _ y = y − 20 y + 100 = = + 8 nghiệm x= 1+ x= 1− −9 x= − y x + y − 11 = ⇔ ( − y )2 y ⇔ Từ (1) ( 3) , ta có x y2 1− + = _ =1 y = y = + 8 2 Vậy C 1 − 3; 1− 1+ C 1 + 3; 2 3 x2 y =1 ⇔ x + y =2 Ta có c) Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) ⇔ + d (M ,d ) = 2x − 3y +1 13 Page 39 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có ( 2x − 3y ) 2 y ≤ x2 + = 2.x − ( 9 17 y + = = 17 2 ) Suy x − y ≤ 17 nên x − y + ≤ 17 + x 2y x= = −3 17 2 Dấu '' = '' xảy khi: ⇔ y = − 2 x − y = 17 17 Vậy d ( M , d ) lớn Câu 5: 17 + M ;− 17 13 17 a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y + = điểm A ( −3;0 ) , I ( −1;0 ) Tìm tọa độ điểm B , C thuộc ( E ) cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : x2 y + = có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm 25 tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MF1 F2 x2 y + = có hai tiêu điểm F1 , F2 Tìm 25 48 N − ;0 tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho đường phân giác góc F MF2 qua điểm 25 c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho Elip ( E ) : Lời giải = IA = là: a) Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ( −1;0 ) , bán kính R ( C ) : ( x + 1) + y2 = Theo giả thiết, ta có B, C ∈ ( E ) ∩ ( C ) nên tọa độ điểm B, C nghiệm hệ x2 y = = x + y 36 x + y 36 = 4 x + y = 36 + ⇔ ⇔ ⇔ 2 + y 36 − 4x2 5 x + 18 x + = ( x + 1)2 + y = 9 ( x + 1) = 9 ( x + 1) = 3 = − x x = − x = −3 5 ⇔ y = y = − y = 5 Page 40 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy B − ; − 6 6 6 , , C − ; B − ; 5 5 b) Ta có a = 25 ⇒ a = b = ⇒ b = Suy 6 − ; − c = a − b = 16 ⇒ c = Hai tiêu điểm Elip là: F1 ( −4;0 ) F2 ( 4;0 ) Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Ta có S ∆MF1F2 = p.r MF1 + MF2 + F1 F2 r F1 F2 d ( M , F1 F2 ) = 2 4 y= ⇔ 2c y = ±3 ( a + c ) ⇔ y =9 ⇔ y =⇔ 3 ⇔ x2 + =1 ⇔ x =0 Thay vào phương trình ( E ) , ta 25 Vậy M ( 0;3) M ( 0; −3) c) Ta có a = 25 ⇒ a = b = ⇒ b = Suy c = a − b = 16 ⇒ c = Hai tiêu điểm Elip là: F1 ( −4;0 ) F2 ( 4;0 ) Gọi M ( x; y ) ∈ ( E ) Theo giả thiết MN phân giác F MF2 , suy F1 N F1M 52 a + ex = ⇔ = ⇔ 12a + 25ex = ⇔ 12.5 + 25 x = ⇔ x = −3 148 a − ex F2 N F2 M y2 12 + =⇔ y= ± Thay vào phương trình ( E ) , ta 25 Vậy M −3; Câu 1: 12 12 M −3; − 5 5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 Cho Elip ( E ) : x + y = Với M điểm nằm ( E ) , khẳng định sau 16 khẳng định đúng? A ≤ OM ≤ B OM ≥ C OM ≤ D ≤ OM ≤ Lời giải Chọn D 2 Từ ( E ) : x + y = a 4,= b , suy ra= 16 Với điểm ( E ) , ta ln có b ≤ OM ≤ a ⇒ ≤ OM ≤ Page 41 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 2: Elip qua điểm M 1; − x2 y + = A 3 có tiêu cự có phương trình tắc là: x2 y + = B x2 y + = C x2 y + = D 4 Lời giải Chọn B ² Giả sử ( E ) có PTCT là: x ² + y= a² b² ( a > b > 0) 3 1 a = M 1; − ∈ ( E ) x2 y + = 2 ⇒ + = Ta có: Vậy PTCT ( E ) : ⇒ a 4b = b 2 a − b = 2c = Câu 3: 2 Cho Elip ( E ) : x + y = điểm M nằm ( E ) Nếu điểm M có hồnh độ −13 169 144 khoảng cách từ M tới tiêu điểm ( E ) bằng: B 13 ± A 8; 18 C 10;16 D 13 ± 10 Lời giải Chọn A Ta có a = 13 , b = 12 ⇒ c = c c Vậy MF1 = a − xM = a + xM = MF2 = 18 a a Câu 4: Cho Elíp có phương trình 16x + 25y = 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hồnh độ x = đến hai tiêu điểm A 10 B 2 C D Lời giải Chọn C 2 Phương trình tắc elip có dạng ( E ) : x + y= ( a, b > ) a Ta có : a = , b = , b c= Sử dụng cơng thức bán kính qua tiêu MF1= 6 − + , MF2= 5 MF1 + MF2 = Cách 2: dễ thấy MF1 + MF2 =2a =5 Page 42 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Câu 5: 2 Cho Elip ( E ) : x + y = Đường thẳng ( d ) : x = −4 cắt ( E ) hai điểm M , N Khi đó: 25 A MN = B MN = 18 25 D MN = C MN = 18 5 25 Lời giải Chọn C Theo giả thiết: x = −4 nên ta có phương trình: 9 = ⇒ − y M 4; 5 ( −4 ) + y =⇔ y2 81 = ⇔ y =⇔ 25 9 25 25 9 y =− ⇒ N −4; − 5 Khi đó: MN = Câu 6: 9 18 ( −4 + ) + + = 5 5 2 Cho Elip có phương trình: x + y = M điểm thuộc ( E ) cho 16 tọa độ điểm M là: A M ( 0;1) , M ( 0; −1) B C MF1 = MF2 Khi M (0;2) , M (0; −2) M (−4;0) , M (4;0) D M (0;4) , M (0; −4) Lời giải Chọn B 2 Phương trình tắc elip có dạng ( E ) : x + y= ( a, b > ) a Nên= a 4;= b Vì b MF1 = MF2 nên M thuộc đường trung trực F1F2 trục Oy M điểm thuộc ( E ) nên M giao điểm elip trục Oy Vậy Câu 7: M (0;2) , M (0; −2) 2 Dây cung Elip ( E ) : x + y2 = 1( < b < a ) vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài a b C 2a B 2b A 2c a D a c c a Lời giải Chọn B Gọi dây cung M 1M hình vẽ 2 a2 − c2 b4 b2 Giả sử M ( c; y )( y > ) , M ∈ ( E ) ⇒ c + y2 = = ⇒ y =b ⋅ y ⇒ = 2 a b a a a b b2 2b , M c; − ⇒ M 1M = a a a Khi đó, M c; Câu 8: 2 Cho ( E ) : x + y = điểm M thuộc ( E ) Khi độ dài OM thỏa mãn 16 Page 43 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A OM ≤ B ≤ OM ≤ C ≤ OM ≤ D OM ≥ Lời giải Chọn B 2 Vì M ( x; y ) ∈ ( E ) nên x + y = = OM 16 x2 + y 2 2 2 2 Ta có x + y ≤ x + y ≤ x + y ⇔ OM ≤ ≤ OM ⇔ ≤ OM ≤ 16 ⇔ ≤ OM ≤ 16 Câu 9: 16 16 9 16 2 Cho ( E ) : x + y = Đường thẳng d : x = −4 cắt ( E ) hai điểm M , N Khi đó, độ dài 25 đoạn MN B A 25 D 18 C 18 25 Lời giải Chọn C Thay x = −4 vào phương trình đường elip ta được: 16 + y =⇔ y= ± 25 9 5 9 5 Tọa độ hai giao điểm M −4; , N −4; − Do đó, MN = 18 Câu 10: 2 Đường thẳng y = kx cắt ( E ) : x + y2 = hai điểm M , N phân biệt Khi M , N A Đối xứng qua O ( 0;0 ) a b C Đối xứng qua Ox B Đối xứng qua Oy D Đối xứng qua I ( 0;1) Lời giải Chọn A Đường thẳng y = kx qua O ( 0;0 ) ( E ) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Do đường thẳng y = kx cắt ( E ) M , N phân biệt M , N đối xứng qua O ( 0;0 ) Câu 11: 2 Cho elip ( E ) : x + y = điểm M thuộc ( E ) có hồnh độ 169 144 xM = −13 Khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm ( E ) A 10 B 18 C 13 ± D 13 ± 10 Lời giải Chọn B Page 44 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG xM = −13 ⇒ yM = ⇒ M ( −13;0 ) M ∈ E ( ) Ta có Ta có a = 169 ; b = 144 ⇒ c = 25 ⇒ c = Các tiêu điểm ( E ) F1 ( −5;0 ) , F2 ( 5;0 ) , suy Câu 12: Cho elip ( E ) : x ² + y ² = , với tiêu điểm 25 Khi đó, 16 MF1 = , MF2 = 18 F1 , F2 Lấy hai điểm A, B ∈ ( E ) cho AF1 + BF1 = AF2 + BF2 = ? A C 12 B D 10 Lời giải Chọn C Do ( E ) : x² y ² + =1 ⇒ a ² =25 ⇒ a =5 25 16 Do A ∈ ( E ) ⇔ AF1 + AF2 =2a =10 Do B ∈ ( E ) ⇔ BF1 + BF2 =2a =10 ⇒ ( AF1 + BF1 ) + ( AF2 + BF2 ) = 20 ⇔ + ( AF2 + BF2 ) = 20 ⇔ AF2 + BF2 = 12 Câu 13: Cho elip ( E ) : x ² + y ² = Tìm toạ độ điểm M ∈ ( E ) cho M nhìn 25 vng: 9 5 B 4; − A (−5; 0) C (0; 4) F1 , F2 góc 5 9 ; 4 D Lời giải Chọn D M ( xM ; yM ) nhìn F1 , F2 góc vuông OM = OF1 Do ( E ) : x ² + y ² =1 ⇒ a = 25; b = ⇒ c ² = 25 − =16 ⇒ c = 25 Để OM =OF1 ⇔ xM2 + yM2 =4 ⇔ xM2 + yM2 = 16 Mặt khác M ∈ ( E ) ⇒ xM2 yM2 xM2 + 25 yM2 = 225 + =⇔ 25 175 x = xM = ± M x + y = 16 16 Ta có hệ: ⇔ ⇒ 2 81 225 9 xM + 25 yM = y2 = y = ± M M 16 M Câu 14: M 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( E ) : x + y = hai điểm A ( −5; −1) , B ( −1;1) Điểm M 16 thuộc ( E ) , diện tích lớn tam giác MAB là: Page 45 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A 18 C B D Lời giải Chọn B Ta có: AB = ( 4; ) , AB = Phương trình đường thẳng ∆ qua A , B : x − y + = ( ) M cos ϕ ; sin ϕ ∈ ( E )( ≤ ϕ ≤ 2π ) S ∆MAB = AB.d ( M , ∆ ) Diện tích lớn d ( M , ∆ ) lớn = Ta có: d( M ,∆ ) ⇔ d (M , ∆) ≤ Câu 15: cos ϕ − sin ϕ + ( 42 + −2 5 ) +3 = cos ϕ − sin ϕ + ≤ Vậy = S ∆MAB AB.= d (M , ∆) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : x2 + y − = Tìm tất điểm N E elip ( E ) cho: F NF2 = 60 ( F1 , F hai tiêu điểm elip ( ) ) 1 1 1 1 ; − N ; N ; ; − N − A N − 3 3 3 3 1 1 1 ; ; N ; − N − B N − 3 3 3 1 1 1 ; ; N ; − N C N − 3 3 3 1 1 ; ; − N D N − 3 3 Lời giải Chọn A x2 2 ⇒ c =3 E : ⇒ a = 4, b = ⇔ c = ( ) + y2 = x02 + y02 = 3 x0 ; NF2= − x0 Xét tam giác F1 NF2 theo hệ thức Gọi N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ NF1 =+ 2 F1 F2 = lượng tam giác ta có: ( F1 F2 ) = NF12 + NF22 − NF1 NF2 cos600 ⇔ ( ⇔ ) 2 = + x0 + − x0 − + x0 − x0 2 2 Page 46 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG x0 = − y0 = − 3 32 3 ⇔ 12 =8 + x02 − − x02 ⇔ x02 = ⇔ x02 = ⇔ ⇒ y02 =⇔ 9 y = x0 = 3 Vậy có tất điểm thỏa 1 1 1 1 N − ; − N − ; − N ; ; N 3 3 3 3 Câu 16: Các hành tinh chổi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo đường elip tâm mặt trời tiêu điểm Điểm gần mặt trời gọi điểm cận nhật, điểm xa mặt trời gọi điểm viễn nhật Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo đường elip có độ dài nửa trục lớn 93.000.000 dặm Tỉ số khoảng cách điểm 59 cận nhật điểm viễn nhật đến mặt trời Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời trái 61 đất điểm cận nhật Lấy giá trị gần A Xấp xỉ 91.455.000 dặm C Xấp xỉ 91.450.000 dặm B Xấp xỉ 91.000.000 dặm D Xấp xỉ 91.550.000 dặm Lời giải Chọn C Ta có a = 93.000.000 Và a − c 59 a 93.000.000 = ⇔ 61a − 61c = 59a + 59c ⇔ c = = = 1.550.000 60 a + c 61 60 Suy khoảng cách từ trái đất đến mặt trời trái đất điểm cận nhật là: 91.450.000 Câu 17: Ơng Hồng có mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn trục nhỏ 60m 30m Ông chia thành hai nửa đường tròn tiếp xúc với elip để làm mục đích sử dụng khác Nửa bên đường trịn ơng trồng lâu năm, nửa bên ngồi đường trịn ơng trồng hoa màu Tính tỉ số diện tích T phần trồng lâu năm so với diện tích trồng hoa màu Biết diện tích elip tính theo cơng thức S = π ab a, b đọ dài nửa trục lớn nửa trục bé elip Biết độ rộng đường elip không đáng kể A T = B T = C T = D T = Page 47 CHUYÊN ĐỀ VII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VII – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Lời giải Chọn B Diện tích hình trịn: ST = π 152 , diện tích elip S E = π 15.30 ST π 152 15 Tỉ số diện = tích T = = = S E − ST π 15.30 − π 15 30 − 15 Page 48