II- Bài tập: Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chính tắc nếu có của đường thẳng d trong các trường hợp sau: [r]
(1)NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Chuyên đề: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Chủ đề Tọa độ điểm, phép tính véc tơ I Tãm t¾t lÝ thuyÕt Ngoµi c¸c kiÕn thøc quen thuéc, cÇn chó ý c¸c hÖ qu¶ sau: M lµ trung ®iÓm cña AB, th×: x A xB y yB yM A 2 G lµ träng t©m ABC , th×: x xB xC y yB yC xG A yG A 3 v (x ; y ) Cho u ( x1; y1 ) 2 * u , v cùng phương ( v ) tồn k R : u kv x1 y1 u , v cùng phương 0 x2 y2 * AB, AC cùng phương thì A, B, C thẳng hàng * u v u.v x1 x2 y1 y2 * cos(u , v) , ( u 0, v ) x12 y12 x2 y2 xM II C¸c vÝ dô dô tiªu biÓu VÝdô1: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy vu«ng gãc cho h×nh thoi ABCD cã A(3;1), B ( 2;4) vµ giao cña hai đường chéo thuộc Ox Tìm toạ độ C, D? Hướng dẫn: Gäi I lµ t©m h×nh thoi Gi¶ sö I ( a ;0) Ox Ta cã: IA IB nªn IA.IB a a cã nghiÖm a 1 vµ a * Với a 1 hay I ( 1;0) Do C, D đối xứng với A và B qua I suy C (5; 1) D(0; 4) * Víi a hay I (2;0) C (1; 1) D (6; 4) VËy cã kÕt qu¶ cña C, D VÝ dô 2: Trong mÆt ph¼ng cho hÖ Oxy vu«ng gãc cã A( 6;2) B (2;6) C (7; 8) T×m D Ox cho ABDC là hình thang có đáy AB? Hướng dẫn: D Ox , gi¶ sö D( x;0) suy CD ( x 7;8) Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD nên AB, CD cùng phương x7 Do đó: x 23 VËy D(23;0) VÝ dô 3: a) Cho A( 3;2) B (4;3) T×m M O x cho MAB vu«ng t¹i M b) ABC có A(1;5) B ( 4; 5) C (4; 1) Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài Ta cã AB (8;4) ; cña gãc A Lop12.net (2) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh c) ABC có A(1; 1) B (5; 3) và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox Tìm C và G? Hướng dẫn: a) M Ox , gi¶ sö M ( x0 ;0) ; x0 VËy cã ®iÓm M lµ MAB vu«ng t¹i M MA.MB x0 2 M (3;0), M (2;0) Chó ý: Cã thÓ dïng Pitago tam gi¸c vu«ng b) I - ch©n ph©n gi¸c BI AB BI hay IC AC IC 5 Do I lµ ph©n gi¸c nªn BI IC I 1; 2 Chứng minh tương tự suy chân phân giác ngoài là J (16;5) c) Gọi C (0; y0 ), G ( x0 ;0) Theo công thức tính toạ độ trọng tâm suy ra: 1 x xo VËy C (0;4) G (2;0) y y 0 Ta cã AB 5 AC Theo tÝnh chÊt ta cã VÝ dô 4: Cho ®iÓm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0) CMR: ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Hướng dẫn: AB AD Ta cã: cos BAD , AB AD CB 1 CD cos BCD CB CD cos BCD BAD BCD 1800 VËy ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp cos BAD Cách khác: I(x;y) cách A, B, C, D x y Ta cã: IA = IB = IC = ID, t×m ®îc VËy I(3;0) lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABCD III Bµi tËp luyÖn tËp 1) (§H, C§ khèi D - 2004) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy vu«ng gãc cho ABC cã A(-1;0) C(0;m) m Tìm toạ độ trọng tâm G theo m Tìm m để GAB vuông G B(4;0) §¸p sè: m 3 2) Cho A(-3;2) B(4;3) T×m C thuéc Ox cho ABC vu«ng t¹i C 3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để MAB, OMC cùng cân M a) T×m B Ox, C Oy cho ABC nhËn I lµ träng t©m b) TÝnh S ABC ? 4) Cho A(6;6) I ( ;1) Lop12.net (3) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 5) (§H, C§ khèi B - 2003) Trong mÆt ph¼ng hÖ Oxy vu«ng gãc cho tam gi¸c ABC cã AB = AC, gãc A = 900 M(1;- 1) lµ trung ®iÓm BC vµ G ( ;0) lµ träng t©m ABC T×m A, B, C? Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau) 6) Trªn hÖ §Ò c¸c Oxy cho A(3;1) T×m B, C cho OABC lµ h×nh vu«ng vµ B n»m gãc phÇn t thø nhÊt? 7) (§H,C§ khèi A - 2004): Trong mÆt ph¼ng víi hÖ Oxy vu«ng gãc cho A(0;2) trùc t©m vµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp OAB? B( 3; 1) Tìm toạ độ §¸p sè: T©m I ( 3;1) ; Trùc t©m H ( 3; 1) 8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3) T×m D cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh? 9) ABC cã: A(0;6) B(-2;0) C(2;0) Gäi G lµ träng t©m ACM , víi M lµ trung ®iÓm AB a) T×m G b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) CMR: GI CM §¸p sè: a) G ( ;3) b) I (0; ) 10) Tam gi¸c ABC cã A(2;5) B(4;-3) C(-1;6) a) T×m I cho IA 3IB IC b) T×m D cho 3DB 2CD c) CMR: A, I, D th¼ng hµng? d) Gäi E - trung ®iÓm AB, N lµ ®iÓm cho AN k AC Tìm k để AD, EN, BC đồng quy MA 3MB MC MA MB MC e) T×m quü tÝch M cho §¸p sè: a) I(8;-8) b) D(14;-21) d) k e) Quü tÝch M lµ ®êng trßn t©m I(8;-8) b¸n kÝnh 11) ABC với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5) Tìm quỹ tích M các trường hợp sau: 50 a) (2 MA 3MB )( MA MB ) b) MA MB MC 2 3 15 ; ), R 10 2 b) Quü tÝch M lµ ®êng trßn t©m J(8;13) vµ R 290 12) Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A víi B(-3;0) C(7;0) vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp r 10 T×m t©m I cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC biÕt yI 0? §¸p sè: a) Quü tÝch M lµ ®êng trßn t©m I ( §¸p sè: I1 (2 10;2 10 5) , I (2 10;2 10 5) Chủ đề 2: Phương trình đường thẳng I-Lý Thuyểt A-Phương trình đường thẳng Lop12.net (4) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh )vtpt n (a; b) 1.Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tổng quát (d) là : ) di qua M(x ;y ) a( x x0 ) b( y y0 ) )vtcp u (a; b) x x0 at Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tham số (d) là : ) di qua M(x ;y ) y y0 bt 3.Nếu đường thẳng (d) có phương trình tổng quát: ax+by+c=0 thì (d) có vtpt là n (a; b) và nghiệm phương trình là tọa độ điểm thuộc (d) x x0 at 4.Nếu (d) có phương trình tham số thì (d) có vtcp u (a; b) và ứng với giá trị t y y0 bt cho ta tọa độ điểm thuộc (d) 5.Nếu u (a; b) là vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) thì u (b; a ) là vtpt (hoặc vtcp)của đường thẳng (d) 6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0 - Nếu (d1)//(d) thì phương trình (d1)có dạng :ax+by+m=0 - Nếu (d2) (d) thì phương trình (d2)có dạng :-bx+ay+n=0 7.Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có dạng x y 1(a 0; b 0) a b 8.Phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) có dạng: x xA y yA xB x A y B y A - Nếu xB x A =0 thì (d) có phương trình : x x A =0 - Nếu yB y A =0 thì (d) có phương trình : y y A =0 x x0 at 9.Nếu đường thẳng (d)có phương trình tham số với a 0; b thì ta có phương trình chính y y0 bt tắc (d) là : x x0 y y0 a b B-Vị trí tương đối hai đường thẳng : Cho (d1): a1 x b1 y c1 (d2): a2 x b2 y c2 Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng (d1) và (d2) ta lập hệ Lop12.net (5) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh a1x+b1 y+c1 =0 (I ) a x+b y+c =0 - Hệ (I) vô nghiệm (d1)// (d2) - Hệ (I) có nghiệm (x0;y0) (d1)cắt (d2) điểm M(x0;y0) - Hệ (I) vô số nghiệm (d1) trùng (d2) C-Góc hai đường thẳng : Góc hai đường thẳng luôn kề bù với góc hai vtpt (hoặc góc hai vtcp) Suy ra: Nếu (d1): a1 x b1 y c1 (d2): a2 x b2 y c2 thì cos = a1a +b1b a b12 a2 b2 2 ( là góc hai đường thẳng (d1) và (d2)) D-Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho (d): ax+by+c=0 và điểm M ( x0 ; y0 ) Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng (d): dM / d ax +by +c a b2 Lưu ý: Cho (d): ax+by+c=0 và hai điểm M ( x0 ; y0 ) , N ( x1 ; y1 ) Đặt t = (ax +by +c)(ax1 +by1 +c) Nếu t < thì M,N nằm hai phía (d) Nếu t>0 thì M,N nằm cùng phía với (d) II- Bài tập: Dạng 1:viết phương trình đường thẳng Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chính tắc (nếu có) đường thẳng (d) các trường hợp sau: a) (d) có vtpt n =(2;-3) và qua điểm M(1;2) b) (d) qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):2x-y-1=0 c) (d) qua hai điểm A(1;2) và B(3;4) Giải : a) Ta có : qua M (1; 2) (d): phương trình tổng quát (d): 2(x-1)-3(y-2)=0 vtpt n(2; 3) ↔ (d): 2x-3y+4=0 Lop12.net (6) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh x 3t +) (d) có vtpt n(2; 3) suy (d) có vtcp là u(3; 2) phương trình tham số (d) là: y 2t +) phương trình chính tắc (d) là: x 1 y b) Do (d) (d1):2x-y-1=0 nên (d) có dạng : x+2y+m=0 Vì A(3;2) (d) nên ta có :3+2.2+m=0↔m=-7 Vậy phương trình tổng quát (d) là :x+2y-7=0 +) Phương trình tham số (d): Đặt y=t suy x=7-2t x 2t Vậy phương trình tham số (d): y t +)Phương trình chính tắc (d): x7 y 2 qua A(1; 2) c) Cách 1:Do (d) qua A và B nên (d): phương trình tham số (d) là vtcp AB(2; 2) x 2t y 2t +) Phương trình tổng quát (d):Khử tham số t p tham số ta được: x-y+1=0 Cách 2: Phương trình tổng quát (d): x 1 y x y 1 1 x 1 t Từ đó suy phương trình tham số (d): y t Bài 2:Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trung điểm các cạnh là M(2;1),N(5;3),P(3;-4) Giải: Giả sử M,N,P theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC,AC,AB Ta có: +) phương trình BC xác định qua M(2;1) qua M(2;1) ( BC ) : BC//PN vtcp PN(2; 7) x y 1 ( BC ) : ( BC ) : x y 12 2 7 +) phương trình AC xác định qua N(5;3) qua N(5;3) ( AC ) : AC//PM vtcp PM(1; 5) x 5 y 3 ( AC ) : ( AC ) : x y 28 5 Lop12.net (7) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh +) phương trình AB xác định qua P(3;-4) qua P ( AB) : AB//MN vtcp MN(3; 2) x 3 y ( AB) : ( AB) : x y 18 Kết luận: Vâỵ phương trình ba cạnh tam giác là: (AB):2x-3y-18=0 (BC):7x-2y-12=0 (AC):5x+y-28=0 Bài 3:lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết B(-4;-5) và phương trình hai đường cao tam giác là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0 Giải: Nhận xét:B(-4;-5) không thuộc vào các đường cao.giả sử các đường có phương trình :5x+3y-4 =0 là đường cao xuất phát từ A +) phương trình cạnh AB: Vì (AB) (d2):3x+8y+13=0 phương trình (AB) có dạng:8x-3y+c=0 Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nên :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17 Vậy phương trình (AB): 8x-3y+17=0 +) phương trình cạnh BC: Vì (BC) (d1):5x+3y-4=0 phương trình (BC) có dạng:3x-5y+m=0 Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nên :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13 Vậy phương trình (BC): 3x-5y-13=0 +) phương trình cạnh AC: Điểm A (d1 ) ( AB) nên tọa độ A (-1;3) Điểm C (d ) ( BC ) nên tọa độ C (1;-2) Suy :phương trình cạnh AC là x 1 y 5x y 1 2 Kết luận : phương trình các cạnh tam giác ABC: (AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0 Dạng 2:xét tương giao hai đường thẳng Bài 1:xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau: a) (d1): x+2y+1=0 và b) (d1):x+y+1=0 và (d2): x+4y+3=0 x 1 t (d2): y 1 t Lop12.net (8) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh x 2t x 2u c) (d1): và (d2): y 4t y 2u Giải: x y 1 x a) xét hệ Vậy (d1)cắt (d2) điểm A(1;-1) x y y 1 b) phương trình tổng quát (d2)là :x+y=0 x y Xét hệ : Hệ vô ngiệm Suy (d1)//(d2) x y 1 c) phương trình tổng quát của(d1):x-2y+4=0 (d2):x-y=0 x y x Xét hệ Vậy (d1)cắt (d2) điểm A(4;4) x y y Bài 2: a) Biện luận theo m vị trí tương đối (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0 x x1 mt x x2 pu b) Cho hai đường thẳng (d1): và (d2): y y1 nt y y2 qu Tìm điều kiện m,n,p,q để (d1)và(d2): +) cắt +) song song +) trùng +) Vuông góc với Giải mx y a) xét hệ (I).Ta có x my m D m 1 Dy m m 1; Dx 2 m m m; m 2 m2 m m x m TH1:Nếu D m 1 Hệ phương trình (I)có nghiệm m nên (d1) cắt (d2) A(y m 1 m-1; 2m ) m 1 TH2:Nếu D=0↔ m 1 Với m=1 ta có Dx=Dy=0↔ hệ có vô số nghiệm↔(d1)trùng(d2) Với m=-1 ta có Dx=2↔hệ vô nghiệm↔(d1)//(d2) Lop12.net (9) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh x mt x2 pu mt pu x2 x1 b)xét hệ phương trình y1 nt y2 qu nt qu y2 y1 D Ta có : x x p m p np mq; Dt p ( y2 y1 ) q ( x2 x1 ); n q y2 y1 q Du m x2 x1 m( y2 y1 ) n( x2 x1 ) n y2 y1 a) (d1) cắt (d2) D np mq D np mq b) (d1)//(d2) Dt p ( y2 y1 ) q ( x2 x1 ) D u D np mq c) (d1) trùng (d2) Dt p ( y2 y1 ) q ( x2 x1 ) D u d) Ta có (d1)có vtcp u1 (m; n) và (d2)có vtcp là u ( p; q ) Khi đó (d1 ) (d ) u1 u mp nq Dạng 3:Một số bài toán góc và khoảng cách Bài1:Tính góc hai đường thẳng (d1) và (d2) các trường hợp sau a) x+2y+1=0 và x+4y+3=0 x 2t b) y 4t và x+2y+7=0 x 2t x 2u c) và y 4t y 2u Giải : a) Ta có: (d1) có vtpt n1 (1; 2) và (d2) có vtcp là n (1; 4) Khi đó:gọi là góc hai đường thẳng thì ta có: cos = 1.1+2.4 16 85 b) Ta có: (d1) có vtpt n1 (1; 2) và (d2) có vtpt là n (1; 2) Khi đó:gọi là góc hai đường thẳng thì ta có: cos = -1.1+2.2 Lop12.net (10) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh c) Ta có: (d1) có vtcp u1 (2;1) và (d2) có vtpt là u (2; 2) Khi đó:gọi là góc hai đường thẳng thì ta có: cos = 2.2+2.1 4 40 Bài 2:Viết phương trình đường thẳng (d) các trường hớp sau a) (d) qua M(1;1) và tạo góc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0 x t b) (d) qua M(1;1) và tạo góc 450 với đường thẳng (d2): y 2 t Giải: a) Gọi u1 (2;1) là vtcp (d1) và u (a; b) là vtcp (d) Theo giả thiết:góc (d) và (d1) là 300 nên ta có 2a b a b 4(2a b) 15(a b ) a 16ab 11b k 75 Giải phương trình trên cách đặt a=kb ta k 16k 11 k 75 Với k 75 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đó: x 1 y 1 qua M(1;1) (d): (d ) : (d ) : x (8 75) y 75 k vtcp u (k ;1) Tương tự với k 75 b) Gọi u1 (1;1) là vtcp (d1) và u (a; b) là vtcp (d) Theo giả thiết:góc (d) và (d1) là 450 nên ta có ab a b a 2ab b Với a=0 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đó: qua M(1;1) (d): (d ) : x vtcp u (0;1) Tương tự với b=0 Bài 3:Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d) biết a) M(1;1) và đường thẳng (d):x-y-2=0 x 2t b) M(2;1) và đường thẳng (d): y 4t Lop12.net (11) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Giải: a) Ta có dM / d 11 11 b) ta có:phương trình tổng quát (d):x-2y+8=0 dM / d 10 1 Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1).Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó Giải: Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng thỏa mãn đề bài Điểm P(2;5) thuộc (d) nên ta có:2a+5b+c=0 Khoảng cách từ Q(5;1) tới (d) nên : 5a b c a b 2 5a b c a b Từ đó ta có hệ c 2a 5b b và c=-2a 2a 5b c c 2a 5b b ta 24 2 2 b= a và c= 134 a (3 a b ) 9( a b ) 5a b c a b b 24 a 7 hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0 Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d1)và (d2) A và B cho PA=PB.Viết phương trình (d) Giải Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Khi đó ta có :A thuộc (d1) nên 2xA-yA-2=0 B thuộc (d2) nên xB+yB+3=0 x x xP x x PA=PB A B A B y A yB yP y A yB 11 16 16 Từ các phương trình ta A( ; ) và B( ;- ) 3 3 11 16 y x y 24 Vậy phương trình đường thẳng (d): 11 16 16 3 3 x Lop12.net (12) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Bài 6:Cho tam giác ABC với A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trình đường phân giác góc A Giải: Đường thẳng AB và AC có phương trình là lượt là: 4x-3y+2=0 và y-3=0 Các đường phân giác và ngoài góc A là: 4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0 Do hai điểm B,C nằm cùng phía với đường phân giác ngoài và nằm khác phía với đường phân giác góc A nên ta cần xét vị trí B,C với hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ B,C vào ta được: 4+8-13=-1<0 và -16+6-13=-23<0 suy B,C cùng phía với đường thẳng :4x+2y-13=0 Vậy đường phân giác góc A là :4x-8y+17=0 Bài 7:Cho hai đường thẳng : (d1):x+2y-3=0 (d2):3x-y+2=0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua P(3;1) và cắt d1;d2 A;B cho đường thẳng (d) tạo với (d1) và (d2) tam giác cân cóc cạnh đáy là AB Hướng dẫn: Cách 1:Viết phương trình hai đường phân giác (d1)và (d2).Khi đó (d) vuông góc với các đường phân giác này Cách 2: Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Dựa vào giả thiết:A thuộc (d1),B thuộc (d2),ba điểm A,B,P thẳng hàng ta tìm tọa độ A,B Dạng 4:Tìm điểm liên quan tới đường thẳng Lưu ý:- Tìm hình chiếu H M trên đường thẳng (d) Ta là theo các bước:-Viết phương trình Mx vuông góc với (d) - H là giao Mx và (d) - Tìm điểm N đối xứng với M qua (d) Ta làm theo các bước: -Tìm tọa độ hình chiếu H M trên (d) - H là trung điểm MN - Cho hai điểm A;B và đường thẳng (d).Tìm trên (d) điểm P cho PA+PB nhỏ nhất: Ta xét hai trường hợp: TH1:A,B khác phía thì P chính là giao điểm AB và (d) TH2:Nếu A,B cùng phía với (d):- Ta tìm điểm A1 đối xứng với A qua (d) - Khi đó:PA+PB=PA1+PB Bài 1:Cho đường thẳng (d):x+2y+1=0 và điểm M(1;2) Lop12.net (13) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Tìm tọa độ : a) Hình chiếu M trên (d) b) Điểm N đối xứng với M qua (d) Giải: a) phương trình đường thẳng Mx vuông góc với (d):2x-y+c=0 M(1;2) thuộc Mx nên :2-2+c=0↔c=0 Suy phương trình Mx:2x-y=0.Gọi H là hình chiếu M trên (d).khi đó H là giao điểm Mx và (d) suy tọa đọ H là nghiệm hệ x x y 1 H( ; ) 5 2 x y y b) N đối xứng với M qua (d) suy H là trung điểm MN xN xN y y 14 N N 5 Bài 2:Tìm trên trục hoành điểm P cho tổng khoảng cách từ P tới các đểm A(1;2) và B(3;4) la nhỏ Giải: Nhận xét:A.B cùng phía với 0x Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua 0x suy A1(1;-2) Phương trình A1B: x 1 y 3x y 1 Gọi P0 là giao điểm A1B và 0x suy P0(5/3;0) Ta có :PA+PB>=A1B Vậy PA+PB nhỏ A1,P,B thẳng hàng↔P trùng P0 Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy cho hai điểm A(-1;3) và B(1;1) và đường thẳng (d):y=2x.Tìm trên (d)điểm C cho: a) Tam giác ABC là tam giác b) Tam giác ABC là tam giác cân Giải a) C thuộc (d) nên ta có C(x0;2x0) Lop12.net (14) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 5 x0 10 x0 AB AC Tam giác ABC (vô nghiệm) AC BC 5 x0 x0 Vậy không tồn điểm C thuộc (d) cho tam giác ABC b) C thuộc (d) nên ta có C(x0;2x0) 5 x0 10 x0 AB AC 15 39 x0 , x0 , x0 Ta có: Tam giác ABC cân AC BC 4 x0 5 x x AB BC Vậy có điểm thuộc (d) để tam giác ABC là tam giác cân Bài tập tự làm – Cho trung ®iÓm ba c¹nh cña mét tam gi¸c lµ M(2;1), N(5;3), P(3;-4) a/ Hãy lập phương trình ba cạnh tam giác b/ Lập phương trình các đường trung trực các cạnh tam giác 2: a- Viết phương trình đường thẳng qua (3 ; -4) và song song với đường thẳng: x + 4y – = b- Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm đường thẳng: 3x – 5y + =0 và 5x – 2y + = đồng thời song song với đường thẳng: 2x – y + = 3: Lập phương trình đường trung trực các cạnh tam giác, biết trung điểm các cạnh là: M(-1 ; -1), N(1 ; 9), P(9 ; 1) : Lập phương trình các cạnh tam giác ABC , biết B(-4 ; -5) và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y – = vµ 3x + 8y + 13 = 5: Tam giác ABC có cạnh AB: 5x – 3y + = và hai đường cao xuất phát từ đỉnh A và B có phương trình là: 4x – 3y + = và 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba? 6: Xác định a để các đường thẳng sau đồng quy: 2x – y + = , x + y + = , ax + y – = 7: Cho ®iÓm P(3 ; 0) vµ hai ®êng th¼ng: d1: 2x – y – = , d2: x + y + = Gọi d là đường thẳng qua P cắt d1, d2 A;B Viết phương trình d biết PA = PB 8: Cho ABC ,biết trung điểm BC, CA, AB là M1(2;1), M2(5;3), M3(3;-4) 1/ Lập phương trình các cạnh tam giác? 2/ Tìm toạ độ các đỉnh tam giác? 9: Cho ABC có A(1;3), trung tuyến BM: x – 2y + = 0, CN: y – =0 Tìm toạ độ các đỉnh ABC? 10: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho I(3;2), ®êng th¼ng d ®i qua I, c¾t Ox, Oy t¹i M vµ N (sao cho I M,N ) Xác định đường thẳng d để S OMN nhỏ 11 – Cho hai điểm A(1; 6), B(-3; -4), hãy tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng (d): 2x- y- 1= cho MA + MB bÐ nhÊt 12 - Cho hai ®iÓm A(4; 1), B(0; 4) T×m trªn ®êng th¼ng (d): 3x – y – = mét ®iÓm M cho MA MB lín nhÊt? 13 – TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC cã A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5) 14 – Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(7; -2) cách điểm N(4;-6) khoảng ? 15 – Tam giác có diện tích S = 3, hai đỉnh A(3; 1), B(1; -3), trọng tâm tam giác nằm trên trục Ox Tìm toạ độ đỉnh C ? Lop12.net (15) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 16 - Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2; 1), tạo với đường thẳng 2x + 3y + = mét gãc 450 17 – Lập phương trình các cạnh tam giác biệt đỉnh A(1; 3), và hai trung tuyến có phương trình là: x- 2y+ 1= 0, y- =0 18 – Một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm cạnh và phương trình hai cạnh là: x+ 2y- 2= 0; 2x+ 6y+ = Hãy xác định toạ độ các đỉnh tam giác 19 - Cho ABC , biÕt A(3; -3), ®êng ph©n gi¸c BE: x + 2y – =0, CF: x – 3y – = Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC? 20 - Cho ABC , biÕt A(7; 9), trung tuyÕn CM: 3x + y – 15 = 0, ph©n gi¸c BD: x + 7y – 20 = Lập phương trình các cạnh tam giác 21 – Lập phương trình đường thẳng ( ) qua M(1;2) cach hai điểm A(2; 7), B(5; -5) 22 – Cho điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng ( ): x – 2y – = Tìm điểm M ( ) để: a/ MA MB nhá nhÊt? b/ MA2 + MB2 nhá nhÊt ? 23 – Cho A(2; 1) vµ ®êng th¼ng (d): 2x + 3y + =0 a/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ABC vuông cân A b/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ABC là tam giác 24 – Cho h×nh vu«ng ABCD cã A-4; 5), mét ®êng chÐo n»m trªn ®êng th¼ng (d): 7x – y + = LËp phương trình các cạnh và đường chéo còn lại 25 – Lập phương trình đường thẳng ( ) qua P(2; -1) cho nó cùng với đường thẳng (d1): 2x –y +5 =0, (d2): 3x +6y – 1= tạo tam giác cân có đỉnh là giao điểm (d1) và (d2) 26 – Cho đường thẳng (d1): x – y =0, (d2): 2x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD, biÕt A (d1), C (d2); B,D Ox 27 – Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(1/2; 0), AB: x -2y +2 = 0, AB = AD Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm Chủ đề 3:Đường tròn A-lý thuyết tâm I(a;b) 1.Cho đường tròn (C) có phương trình đường tròn (C) là : ( x a ) ( y b) R bán kính R 2.Cho phương trình : x y 2ax 2by c (1) Với điều kiện a b c thì (1) là phương trình ột đường tròn tâm I(a;b) bán kính R= a b c 3.Để viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) ta xét hai khả Khả 1: Biết tiếp điểm.Khi đó tiếp tuyến là đường thẳng qua tiếp điểm và vuônng góc với đường thẳng nối tâm và tiếp điểm Khả 2: không biết tiếp điểm.Ta thường sử dụng điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (C) là :Khoảng cách từ tâm tới (d) bán kính B-Bài tập: Dạng 1:lập phương trình đường tròn Bài 1:Lập phương trình đương tròn (C) biết: a) (C) có tâm I(2;-4) và qua điểm A(1;3) Lop12.net (16) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh b) (C) có tâm I(-2;2) và tiếp xúc với đường thẳng (d):x+2y+1=0 Giải: a) Bán kính (C) là IA= 49 50 Vậy phương trình (C): (x-2)2+(y+4)2=50 c) Do (C) tiếp xúc với (d) nên ta có: bán kính (C) khoảng cách từ I tới (d).Suy ra: R= 2 Vậy phương trình (C) là: ( x 2) ( y 2) Bài 2: lập phương trình đường tròn (C),biết : a) (C) qua ba điểm A(1;4),B(-4;0),C(-2;-2) b) (C) qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x+y+2=0 Giải: a) Giả sử phương trình (C): x y 2ax 2by c điều kiện a b c Ta có :Điểm A(1;4) thuộc (C) nên 1+16-2a-8b+c=0 (1) Điểm B(-4;0) thuộc (C) nên 16+8a+c=0 (2) Điểm C(-2;-2) thuộc (C) nên 4+4+4a+4b+c=0 (3) Từ (1);(2);(3) ta có hệ.Giải hệ này ta a=1/2;b=1/2;c=-20 Vậy phương trình (C):x2+y2-x-y-20=0 b) Giả sử phương trình (C): x y 2ax 2by c điều kiện a b c Ta có : Tâm I(a;b) thuộc (d):x+y+2=0 nên :a+b+2=0 A(0;1) thuộc (C) nên ta có :1-2b+c=0 B(1;0) thuộc (C) nên ta có:1-2a+c=0 Giải hệ ta được: a=-1;b=-1;c=-3 Vậy phương trình (C):x2+y2+2x+2y-3=0 Bài 3:Lập phương trình đường tròn (C) biết (C) qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục 0x,0y Giải Gọi I(a;b) là tâm (C).Vì (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có : TH1:a=b.Khi đó (C) có dạng :(x-a)2+(y-a)2=a2 A(2;-1) thuộc (C) nên (2-a)2+(-1-a)2=a2↔vô nghiệm TH2:a=-b.Khi đó (C) có dạng (x-a)2+(y+a)2=a2 A(2;-1) thuộc (C) nên (2-a)2+(-1+a)2=a2↔a=1 a=5 Với a=1 phương trình (C): (x-1)2+(y+1)2=1 Lop12.net a b R (17) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Với a=5 phương trình (C): (x-5)2+(y+5)2=25 Bài 4:Viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác OAB với O:gốc tọa độ,A(4;0),B(0;3) Giải Cách 1: Nhận xét (C) tiếp xúc với hai trục 0x và 0y nên ta có :Gọi I(a;b) là tâm (C) thì a=b=r Mặt khác S OAB=p.r=(1/2).OA.OB=6 p=6 Suy r=1 Vậy phương trình (C):(x-1)2+(y-1)2=1 Cách 2: Gọi I(a;b) là tâm (C) Ta có I thuộc các đường phân giác góc AOB và BAO Phân giác AOB là :x-y=0 x y Phương trình AB là x y 12 Suy phương trình đường phân giác góc BAO là :3x+9y-12=0 Tọa độ I là nghiệm hệ tạo hai đường phân giác nên I(1;1) Bán kính r=kc(I,OA)=1.Vậy phương trình (C): (x-1)2+(y-1)2=1 Bài 5: Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng 5y=x;y=x+2,y=8-x Hướng dẫn: Tìm tọa độ ba đỉnh và viết phương trình đường tròn qua điểm Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn Bài 1:Cho đường tròn (C): (x-5)2+(y+5)2=25 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: a) Tiếp tuyến qua điểm M(1;2) b) Tiếp tuyến điểm M(5;0) Giải: a) Ta có (C):Tâm I(5;-5),bán kính R=5 Phương trình đường thẳng qua điểm M(1;2) có dạng: a(x-1)+b(y-2)=0 (d) Để (d) là tiếp tuyến (C) d I /( d ) R a (5 1) b(5 2) a b (4a 7b) 25(a b ) 9a 56ab 24b Lop12.net 4a 7b a b (18) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh 28 10 10 k Giải phương trình trên cách đặt a=kb.Ta có: 9k 56k 24 28 10 10 k Ứng với k Với k 28 10 10 28 10 10 ( x 1) ( y 2) ta có phương trình tiếp tuyến (C): 9 28 10 10 28 10 10 ( x 1) ( y 2) ta có phương trình tiếp tuyến (C): 9 b) Tiếp tuyến điểm M(5;0):Ta có :tiếp tuyến (C) là đường thẳng qua M và có vtpt là IM (0;5) nên phương trình tiếp tuyến (C) M(5;0)là: 0(x-5)+5(y-0)=0↔y=0 Bài 2: Cho đường tròn (C): x y x y Viết phương trình tiếp tuyến (C) các trường hợp sau: a) Tiếp tuyến song song với (d):x-y=0 b) Tiếp tuyến vuông góc với (d1):3x-4y=0 Giải: a) Ta có : (C) có tâm I(1;3) bán kính R=1; Tiếp tuyến (C) song song với (d):x-y=0 nên tiếp tuyến có dạng: x-y+c=0 ( ) Vì là tiêp tuyến (C) d I /( ) 1 c c R 1 c c Vậy ta có hai tiếp tuyến : x y và x y b) Tiếp tuyến (C) vuông góc với (d1):3x-4y=0 nên tiếp tuyến có dạng:4x+3y+c=0 (d2) Vì (d2) là tiếp tuyến (C) d I /( d2 ) 49c 25 c 8 R c 13 c 18 Vậy ta có hai tiếp tuyến : 4x+3y-8=0 và 4x+3y-18=0 Lưu ý :Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: B1:xét tiếp tuyến vuông góc với 0x : x=a+R và x=a-R.Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đầu bài B2:Xét tiếp tuyến không vuông góc với 0x có dạng: y=kx+m Để tìm k và m: Ta giải hệ lập từ điều kiện tiếp xúc Lop12.net (19) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh Chú ý: Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau:có tiếp tuyến chung Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài:có tiếp tuyến chung Nếu (C1) và (C2) cắt nhau:có tiếp tuyến chung Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc trong:có tiếp tuyến chung Nếu (C1) và (C2) lồng nhau:không có tiếp tuyến chung Bài 3: Cho hai đường tròn (C1): x y 10 x 24 y 56 và (C2): x y x y 20 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn Giải: Ta có : (C1): có tâm I1(5;-12),bán kính R1=15 (C2): có tâm I2(1;2),bán kính R2=5 Vì :I1I2= 212 <R1+R2=20 nên ta có (C1) và (C2) cắt * Xét tiếp tuyến vuông góc với 0x : Tiếp tuyến vuông góc với 0x (C1):x=5 15 Tiếp tuyến vuông góc với 0x (C2):x=1 Vậy (C1) và (C2) không có tiếp tuyến chung vuông góc 0x * Xét tiếp tuyến chung không vuông góc với 0x:Giả sử phương trình tiếp tuyến chung là :y=kx+m↔kxy+m=0(d) - (d) tiếp xúc với (C1)↔kc(I1,(d))=R1↔(5k+12+m)2=225(1+k2) - (d) tiếp xúc với (C2)↔kc(I2,(d))=R2↔(k-2+m)2=25(1+k2) 14 10 35+10 và m= k 21 21 Giải hệ ta được: 14 10 35-10 và m= k 21 21 Vậy ta có hai tiếp tuyến chung Chủ đề ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng vào bài toán đại số I ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN A Các công thức độ dài đoạn thẳng kết hợp bất đẳng thức độ dài véc tơ Cho ®iÓm A, B, C: AB BC AC (§¼ng thøc x¶y B n»m gi÷a A vµ C) | AB BC AC (§¼ng thøc x¶y B n»m ngoµi kho¶ng A vµ C) a b a b Đẳng thức xảy hai véc tơ cùng hướng Lop12.net (20) NguyÔn V¨n Hng-Gia b×nh a b a b Đẳng thức xảy hai véc tơ ngược hướng abc a b c u ( x; y ) th×: u x y B Mét sè vÝ dô tiªu biÓu VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y x (3 x) y 22 x 22 (3 x) Trong hệ toạ độ Oxy vuông góc lấy : u (2; x), v (2;3 x) Hướng dẫn: ¸p dông tÝnh chÊt ta cã : y u v u v 42 32 hay y Vậy Miny = u , v cùng hướng => x 2 2 2 VÝ dô 2: CMR: a b c d ( a c) (b d ) Hướng dẫn: Trong hÖ Oxy vu«ng gãc lÊy A(a;b) B(c;d) ¸p dông tÝnh chÊt ta cã: OA OB OA OB BA hay a b c d ( a c) (b d ) VÝ dô 3: (§H, C§ khèi A - 2003) Cho x, y, z dương và x y z 2 2 2 1 2 y z 82 x2 y2 z2 Hướng dẫn: Trong hệ Đề Các Oxy, xét a ( x; ); b ( y; ); c ( z; ) x y z Theo tÝnh chÊt ta cã: a b c a b c x2 CMR: hay 1 1 1 x y z ( x y z )2 x y z x y z 2 (1) Ta cã: 2 1 1 1 1 ( x y z ) 81( x y z ) 80( x y z ) x y z x y z 1 1 (2) 18( x y z ) 80( x y z ) x y z Lop12.net (21)