Một số tính chất hay dùng trong hình học phẳng oxy

Một số tính chất hay dùng hình học phẳng Oxy tập VÕ QUANG MẪN Ngày tháng năm 2016 Facebook: Võ Quang Mẫn Mục lục TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG 1.1 Đường trịn Apolonius 1.2 Hàng điểm điều hòa 1.3 Phép nghịch đảo, cực đối cực 1.4 Tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vng góc 1.5 Tứ giác ngoại tiếp 1.6 Hai đường tròn trực giao 1.7 Trực tâm, trung điểm tính đối trung 1.8 Tâm nội tiếp tam giác đường cao 1.9 Tập phân tích tốn có đối xứng, yếu tố trung tâm mối liên hệ chúng 3 13 17 17 17 26 28 TÍNH CHẤT MỚI CĨ THỂ PHÙ HỢP VỚI XU HƯỚNG CỦA ĐỀ THI 29 41 TỔNG HỢP CÁC BÀI TRÊN GROUP OXY Do thời gian gấp rút nên số chưa kịp đăng lời giải, số thiếu kiện (lỗi đánh máy) Các em tự làm tự phát tính chất cho khơng có đáp án Do nhiều q nên khơng nhớ hết tác giả tốn Dù cố gắng tránh khỏi nhiều sai sót, mong bỏ qua Sẽ có hoàn thiện cho hai tập Thân chào em đồng nghiệp! Sử dụng gốc tơn trọng tác giả, cịn sử dụng sách lậu tiếp tay cho bọn tội phạm Võ Quang Mẫn Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ Facebook: Võ Quang Mẫn Chương TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG 1.1 Đường tròn Apolonius Định nghĩa Cho tam giác ABC có BC cố định, điểm A di động cho < AB =k đường 11 thẳng AC qua E (10; ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC (Trần Hưng) Đường thẳng AC qua E vng góc D H nên AC : y − 11  C (6; )  11 C (−2; ) 11 11 = Gọi C (c; ), ta có HC = 2H D suy 2  loại Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 259 10 11 11 −−→ −→ ) Ta có B N = BC suy N ( ; ) Đường thẳng AN 3 qua H , N nên AN : x + 2y − = Tọa độ A nghiệm hệ Điểm B đối xứng C qua D nên B (−2;  x + 2y − =  y − 11 = ⇒ A(−4; 11 ) Chứng minh lại tính chất đảo đường trịn Apollonius Tính chất 276 Cho tam giác ABC M cạnh BC N tia đối BC cho ∠M AN = 900 MB NB = Khi AM AN phân giác tam giác ABC MC NC A E C M N B D AE N B M B B D = = = AC NC MC AC suy B D = AE B AE D hình bình hành Mặt khác B E ⊥AM nên B AE D hình thoi hay Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , AN cắt AM , AC D, E Khi AM phân giác ∠B AC suy AN phân giác ngồi Tính chất 277 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi H đối xứng H qua BC Khi H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A 6≡ H 260 Facebook: Võ Quang Mẫn A H E C B D H0 Bài tập 305 Cho tam giác ABC có trực tâm H (5; 5), BC : x + y − = Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm D(7; 3), E (4; 2) Tìm tọa độ điểm A, B,C (Phan Chu Trinh - Đà Nẵng lần 2) Đường thẳng AH qua H vng góc BC nên AH : x − y = Gọi H đối xứng H qua BC suy H (3; 3) Ta có H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua H , D, E nên có phương trình (x − 5)2 + (y − 4)2 = Tọa độ A nghiệm hệ  x − y = (x − 5)2 + (y − 4)2 = " ⇒ A(6; 6) A(3; 3) loại trùng H Tọa độ B,C nghiệm hệ  (x − 5)2 + (y − 4)2 = x + y − = " ⇒ B (3; 5),C (6; 2) B (6; 2),C (3; 5) Tính chất 278 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi D, E trung điểm AB, AH Đường trung trực AB cắt C E F Khi F B ⊥BC Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 261 C K H E D A B F Giả sử hai tiếp tuyến A, B đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt F Dựng HE0 C H KA CK AE = = = = BF0 CB KF0 KF0 AF 0 0 E trung điểm AH hay E ≡ E suy F ≡ F Do F B tiếp tuyến hay F B ⊥C B tiếp tuyến C cắt AF K C F cắt AH E Theo Thales ta có Bài tập 306 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi D, E trung điểm AB, AH Đường trung trực AB cắt C E F (−1; 3) Biết D ∈ 3x + 5y = 0, x D nguyên BC : x − 2y + = Tìm tọa độ A, B,C (Kim Sơn A-Ninh Bình lần 3) Đường thẳng F B qua B vng góc BC nên F B : 2x + y − = Tọa độ B nghiệm hệ  2x + y − = x − 2y + = ⇒ B ( ; ) 5 9 Đường trịn đường kính B F có phương trình (x + )2 + (y − )2 = Tọa độ D nghiệm hệ  (x + )2 + (y − )2 = 5  3x + 5y = Điểm A đối xứng B qua D nên A(− Tọa độ C nghiệm hệ 11 11 ; ) Đường thẳng AC qua A vuông góc AB nên AC : x + = 5  x + 11 =  x − 2y + = 262 ⇒ D(−1; ) ⇒ C (− 11 ; − ) 5 Facebook: Võ Quang Mẫn Tính chất 279 Giả sử B E cắt AC K Khi BC DE , ABC E hình bình hành suy K trung điểm B E , AC C B K D A E Bài tập 307 Cho hình thang ABC D có AD ∥ BC , AD = 2BC , tan ∠ ADC = 0, 5, B (4; 0), AC : 2x − y − = Trung điểm E AD thuộc đường thẳng ∆ : x − 2y + 10 = Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang ABC D (Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên lần 2) Tính chất 280 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABC D nội tiếp đường trịn có BC = C D AB > AD Đường tròn tâm C bán kính C D cắt AD điểm thứ hai E , B E cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC D điểm thứ hai K Khi A trực tâm tam giác K C E Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 263 B C H A F K D E Vì C D = C B nên ∠D AC = ∠B AC Mặt khác tam giác DC E cân C nên ∠ AEC = ∠E DC = ∠ ABC suy 4ABC = 4AEC suy AC trung trực B E hay AC ⊥B E Giả sử AC cắt B E H , AK cắt C E F Ta có ∠ H AF = ∠C AK = ∠C B E = ∠B EC = ∠ H E F suy tứ giác AH F E nội tiếp suy ∠ AF E = ∠ AH E = 900 hay AK ⊥C E Do A trực tâm tam giác K C E Bài tập 308 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABC D nội tiếp đường trịn có BC = C D AB > AD Đường trịn tâm C bán kính C D cắt AD điểm thứ hai E (6; 4), B E cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC D điểm thứ hai K (4; 2) Tìm toạ độ điểm A, B, D biết C (4; −2) A thuộc đường thẳng d : 2x + y = (Vted lần 24) Bài tập 309 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABC D nội tiếp đường trịn có BC = C D AB > AD Đường trịn tâm C bán kính C D cắt AD điểm thứ hai E (6; 4), B E cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC D điểm thứ hai K (4; 2) Tìm toạ độ điểm A, B, D biết C (4; −2) (Võ Quang Mẫn chế lại Vted lần 24) Đường thẳng AK qua K vng góc C E nên AK : x + 3y − 10 = Đường thẳng E A qua E vng góc K C nên AE : y − = Vì A trực tâm tam giác C E K nên tọa độ A nghiệm hệ  x + 3y − 10 = y − = ⇒ A(−2; 4) Điểm B đối xứng với E qua AC nên B (−2; −4) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC D qua A, B,C nên có phương trình x + y = 20 Tọa độ D nghiệm hệ  x + y = 20 y − = 264 ⇒ D(2; 4) Facebook: Võ Quang Mẫn Tính chất 281 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH D điểm đối xứng B qua H M trung điểm HC K trực tâm tam giác −−→ −−→ AD M , AK = AH K B E H D M F C A Ta có K trực tâm tam giác AD M nên ∠ AK M = 180− ∠ AD M = ∠ ADB = ∠ AB M suy tứ giác AB K M nội tiếp đường trịn Do H B.H M = H A.H K mà H B.HC = H A HC = 2H M nên suy −−→ −−→ H A = 2H K hay AK = AH Bài tập 310 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH D điểm đối xứng B qua H M trung điểm HC Biết K (4; −3) trực tâm tam giác AD M đường thẳng BC có phương trình x − y − = 0, diện tích tam giác ABC 40 Tìm toạ độ điểm A, B,C biết B có hồnh độ âm (Vted lần 25) Đường thẳng K H qua K vng góc BC nên K H : x + y − = Tọa độ H nghiệm hệ  x + y − = x − y − = −−→ ⇒ H (2; 1) −−→ Ta có AK = AH suy A(−2; 3) Mặt khác   H B.HC = H A  H A.(H B + HC ) = 2S " ABC = 80 ⇒ p p H B = 2, HC = p p H B = 2, HC = 2 p p • H B = 2, HC = p Gọi B (b; b − 3) Ta có H B = 2 suy " B (0; −3) B (4; 1) loại Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 265 p p • H B = 2, HC = 2 p Gọi B (b; b − 3) Ta có H B = suy " C (4; 1) C (0; −3) loại H nằm ngồi BC " p Gọi C (c; c − 3), ta có HC = 2 suy B (−6; −9) B (10; 7) loại Tính chất 282 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I AI , B I ,C I cắt (I ) điểm thứ hai M , N , P Khi AB ∥ M N , AC ∥ M P, BC ∥ P N A P N I C B M Bài tập 311 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (2; 4).AI , B I ,C I cắt (I ) điểm thứ hai M , N , P Biết M N : x − 3y = 0, M P : x + 2y − 20 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Tính chất 283 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I AI , B I ,C I cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai M , N , P Khi I trực tâm tam giác M N P 266 Facebook: Võ Quang Mẫn A N P I C B M Bài tập 312 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I (2; 4).AI , B I ,C I cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai M , N , P Biết M N : x − 3y = 0, M P : x + 2y − 20 = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC (Đô Lương II - Nghệ An lần 2) Tính chất 284 BC trung trực F G từ suy BG⊥CG A E F H C B D G Ta có ∠F D H = ∠F B H = ∠ HC E = ∠E D H hay D H phân giác ∠F DE mà D H ⊥DB nên DB Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 267 phân giác ∠F DG Mặt khác DF = DG nên BC trung trực F G ∠B FC = ∠BGC hay BG⊥GC Nhận xét: Tính chất trân cịn tam giác ABC tù Bài tập 313 Cho tam giác ABC nhọn Gọi D, E , F chân đường cao hạ từ A, B,C tới cạnh BC ,C A, AB Trên tia đối tia DE lấy điểm G cho DF = DG Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh C ∈ d : 2x + y − 14 = tọa độ đỉnh B (−2; −2),G(4; −4) (Đồn Trí Dũng đề 7) Tính chất 285 M D = B N M D⊥B N AC ⊥M N C B M A D N Bài tập 314 Cho hình bình hành ABC D có C (3; −2) Bên ngồi hình bình hành dựng tam giác B AM , D AN vuông cân A Biết M (2; 7), N (−2; 4), tìm tọa độ đỉnh A, B, D Tính chất 286 Trung trực M N song song với phân giác góc A 268 Facebook: Võ Quang Mẫn P A Q E K F N M C B L Bài tập 315 Cho tam giác ABC , cạnh AB, AC lấy điểm E , F cho B E = C F Trung điểm B F,C E M , N Biết A(1; 1), B (5; 3), M N : 2x +2y −19 = Viết phương trình đường thẳng AB, AC (Chuyên Bắc Ninh lần cuối) Tính chất 287 Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường trịn đường kính AC , tâm I Gọi H hình chiếu A lên B D, E hình chiếu D lên AC M trung điểm B D Khi I M ⊥B D Giả sử AH , I M cắt BC K , L L trung điểm K C H E ∥ BC M H = M E Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 269 B K H L M I C E A D Do I tâm đường tròn suy I M ⊥B D suy I M ∥ AH hay I L đường trung bình tam giác AK C L trung điểm K C Ta có ∠ AH D = ∠ AE D suy tứ giác AH E D nội tiếp suy ∠D H E = ∠D AE = ∠D AC = ∠DBC H E ∥ AC Ta có ∠ I M D = ∠ I E D suy tứ giác I M E D nội tiếp suy ∠D M E = ∠D I E = ∠D IC = 2∠D AC = 2∠M H E tam giác H M E cân M hay M H = M E Bài tập 316 Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường trịn đường kính AC Gọi H (−2; 2) hình chiếu A lên B D, E hình chiếu D lên AC M trung điểm B D Biết BC : x − 2y − = 0, E M : 3x + 4y + = Tìm tọa độ điểm A, B,C , D (chế thêm Đặng Thúc Hứa lần 2) Đường thẳng H E qua H song song BC nên H E : x − 2y + = Tọa độ E nghiệm hệ  x − 2y + = 3x + 4y + = ⇒ E (− 14 ; ) 5 Đường trung trực H E có phương trình 2x + y + = suy tạo độ M nghiệm hệ  2x + y + = 3x + 4y + = ⇒ M (−2; 1) Đường thẳng AH , I M vng góc H M nên AH : y − = 0, I M : y − = Tọa độ K nghiệm hệ  y − = x − 2y − = 270 ⇒ K (6; 2) Facebook: Võ Quang Mẫn Tọa độ L nghiệm hệ  y − = x − 2y − = ⇒ L(4; 1) L trung điểm K C suy C (2; 0) Đường thẳng C E qua C , E nên có phương trình C E : x +3y −2 = Tọa độ A nghiệm hệ  x + 3y − = y − = ⇒ A(−4; 2) Đường thẳng H M qua H , M nên H M : x + = Tọa độ B nghiệm hệ  x + = x − 2y − = ⇒ B (−2; −2) Điểm M trung điểm B D suy D(−2; 4) Group: www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/ 271