Giải tích (Tập III - In lần thứ hai): Phần 1

N G U Y Ễ N THỪA H Ọ P NGUYỄN THỪA HỢP G I Ả I T Í C T ậ p III (In lần thứ hai) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI H LỜI NÓI DẦU Quyền sách tập Giải tích tác giả Tập Ì gồm chương: Chương í: Tập hợp ánh xạ Chương 2: Giói hạn rủa dãy hàm Chương 3: Hàm liên tục hàm sơ cấp Chương ị: Dạo hàm vi phân Chương 5: Các định lý bàn cùa hàm khả vi Chương 6: Hàm nhiều biển Chương 7: Hệ hàm nhiều biến (Ánh xạ tù HI sang ĨR" ) 71 Tập gồm chương: Chương 8: Nguyên hàm Chương 9: Tích phân Chương 10: Tích phân suy rộng Chương li: Chuắi sắ Chương 12: Chuắi hàm Tập gồm chương: Chương 13 chương "Tích phân phụ thuộc tham biến" Chương nói chung dành cho sinh viên ngành Tốn, gồm việc khảo sái tính chất tích phân phụ thuộc tham biến: tính liên tục, khả tích, khả vi nó, tích phàn suy rộng phụ thuộc tham biến, Những sinh viên ngành Vật lý, Kỹ thuật chì cần dùng khái niệm bắn thỉ chi cần xem tiết 9.5 cùa chương Phần đọc thêm chương trình bày gồm " Tích phân Phúc ri ê " Nó tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến Những sinh viên dù thuộc ngành Vật lý, Kỹ thuật cần tới hàm Găm ma rịt), hàm Bê ta Bịp, q) tích phân Phua ri ê thỉ vần cằn đọc cẩn thận phần chương 13 Chương lị chuơng "Tích phân bội" gồm tích phân hai ba lớp Theo kinh nghiệm sinh viên học phần thường hai lúng túng trước việc tính cận tích phân lặp đối thứ ty iv LỜI NÓI ĐẦU biến tích phân Bài tác giả dừng lại chi tiết phương pháp thực hành đề tính cận tích phân trường hợp kê < " Hơn thuờng làm táp liên quan tới việc tinh tích phơ- ^ lớp khối giới hạn mặt cong thường gập (du so lữ mặt cong bậc hai) sinh viên khơng cịn hình dung dược mặt cong Vì phan tập, có trang nhác lại hình dáng mặt cong bậc hai thường gặp Chng 15 chng "Tích phân đường tích phân mặt • Sinh viên học thuờng hay "sợ" tính ịốn nhũng tích phán mặt, nhát la tích phân mặt loại hai, không rõ cách định hướng mặt cong cách biểu diễn tham biến mặt Vì vậy, tác giả cố gàng trinh bay chi tiết rắ ràng vấn đề liên quan tới phần Trong phần đọc thêm, tác giả đề cập tới nhùng điêu lý thuyết mặt cong, cần thiết cho bạn đọc thuộc ngành Cơ Trong phần khác phần đọc thêm, tác già trình bày sơ lược vé dạng vi phán mặt cong Dĩ nhiên phần trình bày khơng thay sụ trình bày đầy đủ kỹ tài liệu chuyên môn viết ván đề Nó chi có mục đích giúp bạn đọc ngành Cơ, Vát lý hiểu nội dung dạng vi phân, bạn đọc ngành Tốn, đọc tài liệu chun mơn gập nhùng khái niệm khó hiểu, khó nhớ đọc tr-uớc phần trình bày đề nắm ý tưởng vấn đe, sau đọc tài liệu chuyên sâu thỉ dễ hiểu Chng 16 chương đề cập Giải tích véctơ, chương quan bạn đọc ngành Vật lý, Kỹ thuật, trình bày khái niệm trường vô hướng, khái niệm gracỉ u, khái niệm trường —> —* ~* véctơ, rót V, div V Cũng nhu tập Ì tập 2, nội dung cùa chương tập đuơc chia làm hai phần: phần dùng chung cho sinh viên nhóm ngành Tốn, Lý, ngành Kỷ thuật, Sư phạm, phần thèm chi dành cho sinh viên ngành Tốn bạn đọc mn tìm hiểu sâu so với yêu cầu ngành Tốn Cuối mồi chng đêu có tập hướng dẫn giải Dề sẻ dụng giáo trình có hiệu quả, bạn đọc sinh nên 1CV 71 a c a c đ ọ c n Ể T ỉ theo trình tự sau đẫy Lời NĨI DẤU V Trước hết, đọc kỳ phần bàn chung (khơng có phần đọc thèm) đề hiểu tất rá khái niệm, quán triệt tất định lý Trong đọc, gặp khái niệm mới, cần suy nghĩ, cân nhắc câu chữ định nghĩa để tránh, hiểu sai, chương có tính lý thuyết (chương 13) Cần đặc biệt hiu ý khơng bả qua thí dụ sè giúp bạn hiểu rõ phần lý thuyết C hì xem phần đọc thêm sau đả hiểu kỳ phần bạn thấy có yêu cầu đọc sâu thêm Cần cố gắng hiểu rõ phần lý thuyết trước làm tập Phần tóm tắt cuối mắi chương giúp bạn đọc thấy vấn đe quan trọng cần phải ý Bảng mục phần cuối sách giúp bạn tìm lại định nqhĩa, định lý khái niệm cần thiết Ký hiệu chẳng hạn 13.3.2.1 có nghĩa chuông 13, tiết 3, mục 2, tiều mục ỉ Ký hiệu * 13.1.2*3 dùng đề đánh số định lý (định lý thứ ba cùa mục 13.1.2), ròn ký hiệu nhu 13.3.1-1 đề đánh số định nghĩa (định nghía thứ cùa mục 13.3.1) Cuối sách, trước phần chì mục, có hướng dẫn phiên âm theo tiếng Việt cách đọc chủ Hy Lạp Tên tác giả nước phiênẵm tiếng Việt (dua theo nguồn gốc tiếng Pháp), đề sinh viên đọc đìtợc Cũng tập Ì tập 2, giáo trình viết khơng q đọng, giải thích cặn kẽ, cốt phục-vụ cho việc tham khảo dê dàng tự học Cũng tập Ì tập 2, sách viết đề nhiều đói tuợng có thề tham khảo, nhu sinh viên ngành Toán bàn, sinh viên ngành Vật lý, Cơ, Kỹ thuật, giáo viên phổ thông muốn củng cố bổ túc thêm kiến thức ợủa Các sinh viên ngành Tốn sè thấy đầy đủ nội dung cần thiết chương trình phần đọc thâm Các bạn đọc sù dụng sách đề dạy môn Giải tích th ì khơng thiết phải dạy đầy đù tiết, mục, mà cần lụa chọn vấn đe cho phù hợp đối, tượng sinh viên Chẳng hạn, sinh viên ngành Tốn, cần trọng dạy phần có lý luận chúng minh chặt chẽ, dạy số phần đọc thêm có chương trinh, cồn sinh viên kỳ thuật có khái niệm , định lý cần nêu mà không cần chứng vi LỜI minh miền rác khái niệm, định lý đưa dỏ rần phải di"" thích cận kẻ cằn ró thí dụ cụ thể Tác giá mong đợi Ị/óp Ị/ cún hạn (lọc lù' /iliưirni/ »" tác già xin tò lời cảm ơn trước l ác yo 13.1.1 13.1.2 13.1.3 13.1.4 13.1.5 13.1.6 Định nghĩa hội tụ Điên kiện hội tụ Giói hạn lặp Sự liên tục cạa hàm giới hạn Tích phân qua giới hạn Đạo hàm qua giới hạn Ì 10 li 12 13.2 Tích phân phu thuộc tham biến 13.2.1 Khảo sát tính liên tục, khả vi, khả tích cùa lự.) 14 13.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham biến (PTTB) 13.3.1 Sự hội tụ cùa tích phân SUY rộng PTTIÌ 17 13.3.2 Sự liêu tục, khả tích, khả vi cùa tích phân suy rộng PTTB 20 13.3.2.1 Qua giới hạn dấu tích phân suy rộng PTTB .20 13.3.2.2 Sự liên tục theo tham biến cạa tích phân suy rộng PTTB 22 13.3.2.3 Tích phân dấu tích phản suy rộng PTTB 22 13.3.2.4 Đạo hàm dấu tích phân suy rộng PTTB 26 13.3.2.5 Thí dụ 27 13.3.3 Tích phân le (Euler) 31 13.3.3.1 Tích phân le loại Ì (hàm Bê ta) 31 13.3.3.2 Tích phân le loại (hàm Găm ma) 33 viii 13.4 Đọc thêm 13.4.1 Tích phân Phua ri ê (Fourier) ị 13.4.1.1 Tích phân Phua ri ê coi Tủm tnrờng hạp giới hạn cùa chuỗi Phua ri ê 38 13.4.1.2 Vài ý ị ,Ị, 40 13.4.1.3 Điều kiện đù 13.4.1.4 Dạng phức cùa tích phân Phua ri ê 13.4.1.5 Biến đổi Phua ri ê 47 13.4.2 Vài tính chất cạa biến đổi Phua ri ê ® 13.4.3 Tích chập 51 Nội dung cần ý chương 13 56 Bài tập Hướng dẫn, đáp số tập chương 13 65 4 : Chương lị TÍCH PHÂN B Ộ I 14.1 Tích phân hai lớp 14.1.1 Định nghĩa tích phân hai lớp 71 14.1.2 Cách tính tích phàn hai lớp tọa độ Đe 73 14.1.2.1 Trường hạp miền hình chữ nhật [a;b\ X \c;d\ 73 14.1.2.2 Trường hợp miền hình chữ nhật cong 77 14.1.2.3 Các trường hợp khác 82 14.1.3 Phép đổi biển số tích phân hai láp 85 14.1.3.1 Tích phân hai lớp tọa độ cực 85 14.1.3.1.1- Trường hạp V phần hình vành trịnRi < r < fí , « < ũ < ^ 14.1.3.1.2 Trường hợp V miền cho tia phát xuất o cắt biên cạa T> hai điềm g 14 1.3.1.3 Trường hợp V miền cho Rố< tọa độ nằm biên 14 Ì Ì Trường hợp T> miền chứa gốc tọa dọ ™ 14 13 Tích phân hai lớp tọa độ tổng quát ^ 14 1.3.2.1 Cong thức đổi biến 95 s ( J 56 Nội dung cần ý chự ợ lụi IU Tưang tự báng nói trên, số báng khác người ta tính toán sẵn số phép biến đối Phua ri ê, Phua ri ê cos Phua ri ê sin cua số hàm thường gặp thiết lập nên báng ánh ánh ngược cùa phép biến đổi vừa nêu hàm đế tiện sử dùng Nội dung cần ý chương 13 Chương chương quan trọng mặt lý thuyết đói vói c ác sinh viên ngành Tốn Nó tổng quát hóa khái niệm hội tụ trường hợp khác Ta có ba trường hạp 1) Dãy hàm hội tụ ịa;b] lu lị) s„(x)ì±ị s(x) ri —* + TC 2) Tích phân phụ thuộc tham biến (cận vô hạn) hội tụ (lều M ri |c;dj f+-x / f(x,t)dxEị / f(x,t)dx Ja !f—>+ac J ti 3) Tích phân phụ thuộc tham biến (cận hữu hạn, hàm không giới nội lân cận X = b) hội tụ [c; dị ri ịc;d] /•* / f(x,t)dxE=Ệ / f(x,t)dx ưa JỊ —>b Ja Cả ba triràng hạp coi trường hạp riêng cạa khái niệm hàm F(T,ỊJ) hội tụ [a;b] ịaM F(x,y)EEị*(x) với Sự tươngứng bàng trang sau Chẳng hạn hàng thứ ba ta coi Ị f(x, t)dx F(x,.(/) Ja (í, í) tng ứng với (x,y) t € [c;d] ttrong ứng với X € [à; bị í -> +O0 tương ứng với y -> yo- Tương tự triràng hạp lại Định lý 13.1.2*2 tồng quát hóa tiêu chuẩn hội tụ đền 12.1.2*2 cạa dãy hàm s*(x), tiêu chuẩn hội tụ 13.3.1*2 cạa tích phim phụ Nội dung cằn ý chương Ĩ3 57 thuộc tham biến / f(x,t)dx Tương tự đối vói định lý 13.1.3*1 Ja qua giới hạn, định lý 13.1.5*1 13.1.6*1 tích phân đạo hàm qua giới hạn mà bạn đọc tự đối chiểu F(x,y) X MI V Vo Sn{x) X [oi 5] n +00 ỉ f(x,t)dx Ja Ì M í + 0O ỉ f(x,t)dx Ja t M í b s(x) /ã+ô/ f(x,t)dx a f(x,t)dx J ti Trong tit 13.1 ta khảo sát hội tụ cạa hàm F(i,y) y -> yo, việc qua giới hạn cạa hàm F(x,y), liên tục cạa hàm giới hạn lim F(x,y), tích phân (lua giới hạn đạo hàm qua giới hạn cạa hàm F(x, y) y -> y Trong tiết 13.2 ta nhắc lại két đả khảo sát chương vê liên tục, tính khả vi khả tích cùa tích phân phụ thuộc tham biến với cận hữu hạn Trong tiết 13.3 ta khảo sát hội tụ cùa tích phân suy rộng r+oo phụ thuộc tham biến / f(x, t)dx, liên tục, tích phân dấu tích Ja phân, đạo hàm dirới dấu tích phân cạa tích phân suy rộng nói Cụ thể, ta có định nghĩa định lý quan trọng sau Định nghĩa 13.3.1-1 Tích phân suy rộng PTTB r+oo '(*)= / ỉ(xj)dx Nội dung cằn ý chương^ 58 gọi hội tụ đầu [c;đ\ giới hạn hội tụ đêu cùa hàm f(t,i) [c;d] £ -+ +00 Nói cách khác =Ị ri MI F(U) =4 f(x,t)dx lự) tương đưcmg với Ve > 0,3JV(fr),V£ > W(e),Vf e [c;d] => Ị y f{x,t)dx < e ì Tiêu chuẩn Cô si Đinh lý 13.3.1*2 Diều kiện cần đủ đề tích phân suy rộng PTTB I(t)= í f(x,t)dx Ja hội tụ đêu [c; dị Ve > 0,3N(e),VỆ',S" > N(e)yt e MI rí" ỉ Ị{x,t)dx < £ l i Định lý qua giới hạn d i dấu tích p h â n suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*1 Giả sử 1) Với mắi í e [c;d], hàm ỉ{x,t) liên tục theo X [n; f 00) 2) Tích phân suy rộng PTTB lự) = /Ị{x,t)dx hội tụ đầu [c;d\ Ja Nội dung cằn ý chương 13 59 3) Với mơi đoạn hữu hạn [a;íỊ c Ịa;+oo), hàm f(x,t.) hội tụ [a;£] tới hàm giới hạn g(x) í -> ío e ịc;đị, cụ thể f(x,t)Eịg(x) t-ita Khi a ) Ị g{x)dx hội tụ a b) lim / f{x,t)dx= / g(x)dx Nói cách khác r+°° lim Ị f(x,t)dx= t-»to Ja I I I Định lý liên tục Ị lim f(x,t)dx / ưa theo tham biển cạa tích phân suy rộng PTTB Định lý 13.3.2*2 Giả sử 1) f(x,t) liên tục miền [a\ +oo) X [c\đị, 2) Tích phân suy rộng PTTB f(x, t)dx hội tụ đầu [c; dị Khi I(t) hàm liên tục t [c; dị IV Đinh lý tích phân dấu tích phân suy rơng PTTB (một tích phân có cận vơ hạn) Định lý 13.3.2*3 Giả sứ 1) /(x,í) liên tục miền [a; +oo) X [c;d], 2) Tích phân suy rộng PTTB 60 Nôi dung ý chương 13 hội tụ đầu [c; dị Khi đó, /(í) tị hàm khả tích \c.\d\ Ị I(t)dt = y "^ /(.T,í)d/^ dx + d nghĩa fd p+oo f+oo rá ị dt Ị f(x,t)dx= Jc Ja / át Ị f(x,t)dt Ja Jc (13.3.2.3) V Định lý tích phân dấu tích phân suy rơng PTTB (hai tích phân có cân vơ han) Định lý 13.3.2*4 Giả sử 1) Hàm f(x,t) liên tục miền [o;+oo) X Ịc;+oo), y+õty 2) ị f{x,t)dx hội tụ đoạn hữu hạn [c\T]\ biến t }+•*• 3) Ị f(x, t)dt hội tụ đầu đoạn hữu hạn [o;í| cùa trì Én X 4) Tồn hai tích phán lập Ị dx / 1/(1,OI*; / di / \ỉ(x,t)\dr da Jc Jc J tí Khi đó, tích phân sau tịn chúng / diỊ f(x,t)dt= / dtỊ f(x,t)dx (13.3.2.4) Ja Jc Jc Ja VI Đinh lý đao hàm dấu tích phân suy rông PTTB Định lý 13.3.2*5 Già sử 1) ĩ(-r.t) —(.r.t) IÌCTI tục [«; +00) X [c;fiỊ i) ị í{jj)d.v hội tụ đổi với t G \c;d\ J (Ì f Nội dung cằn ý tĩvng chương 13 BI 3)Ị -r~(x, t)dx hội tụ theo t ịc:đ\ J a Ĩt Khi đó, tích phân lít) = ị Ja hàm khả vi ịc: d\ ~f{x,t)dx Nói cách khác, ta có d r °° /• °°ơ/ + + ị j f(x,t)dx =Ị ^(x,t)dx (13.3.2.8) Các tích phán suy rộng phụ thuộc tham biến thường Rập áp dụng hàm Bê ta, hàm Găm ma, tích phân Thua ri ê biến đổi Phua ri ê Hàm Bê ta đưạc định nghĩa tích phân suy rộng B(u,v) = ỉ - r)'-\lx u > 0, tì > (13.3.3.1) Đối với hàm ta có cóng thức truy hồi Bịu,v) = —— : B{u,v- 1) khi' (> Ì >0 (13.3.3.2) u l> - Ì Với m,7f ngun (dương), ta có T _ („-!)!(,» Ị)! B{m,n) = —— —— (ni + ri 1)! Hàm Găm ma định nghĩa tích phân suy rộng no = / !•' ( •'y) í í ỉnnF(x,y)dx Hl F x dx 4) Cho yk với y > 0, Ả; > a) Với giá trị cạa k F{x,y) hội tụ đoạn [0; 1] y -> +0? b) Vái giá trị cạa k /•1 _ X rỉ X x T lim / -re ỹ dx = lim -7-e Fdx? »-»+0 Vo ÍT Jo w- +° ÍT c) Từ trả lài câu hỏi sau Điều kiện F(x,y) hội tụ đoạn Ịo;bỊ ụ > Ho 1» » y đạ, vừa cần, vừa đạ để ta có ĩ > c lim / F(x,y)dx = / lim F(x,y)rfj-? v-*i« Vu 5) Cho /(x-,y) = ln(x + y ) đặt •/i/0 F(ff) = ỉ f{x,y)dx a) Tính trực tiếp F'(0) b) Tính trực tiếp / f'Jx,0)dx Jo c) Từ trả lời câu hỏi Tích phân / ln(x + y )dx có thề đạo hàm dấu tích phân theo Jo ụ Ị) = không? 6) Cho hàm F(x,y) — xarctg— 2 Chứng minh 7) Tính F'(.r) a) F(x) = ý e dy zyi b) F{x) = / e^-^dy 8) Tích phân / "/(•'•, ỉ/)r/T Jsin X gọi hội tụ [c; d] 65 Hướng dẫn đáp số tập chương 13 Ve > 0, 3N(e),VA > N{e),Vu € M I * I í \JA f ( j ; ụ)(-r) = OVx e [0; lị Dế xét hội tụ đen '0:1! lùn súp F(x,y) mà trường hạp lim max F( r ĩ !L »- + xẽ|õ:il »->+i>/êjoi > : so với = Ta 67 Hướng dẫn đáp số tập chương 18 8F Ì -2Ỉ / x \ X Ì có -7-— = —re y ị Ì - 2-^ ) = -5- = ^ Từ lim max F(x,y) = dx y \ y / V v->+Oxe[0;i] ÌÌỉl ] lim -7- -7=e = k < Vây F(x,y)zzí *(x) K-++0 Ị/*- v/2 y-n-0 < Jfc < Hơn nữa, ta có 2 k a;6 _ T Vậy {0 k Ngoài / lim —re ỹ* dx = I di = Vậy í X -* f X - * lim / -re ỹ dx= / lim —re y*dx < k < v~*+° Jo V Jo v-*+° V c) Từ kết ta suy điều kiện hội tụ cạa hàm dấu tích phân đạ để chuyển dấu lim từ ngồi tích phân vào tích phân Khi Ì < k < hàm dấu tích phân khơng hội x l ĩ ' tụ đều, chuyển dấu lim từ ngồi tích phân vào I tích phân ỉ I 5) F(0)= / ìnx dx = 2ịxhix-x] ịlo = - 1 F(y) = [\n(x + y )dx = x\n(x + y ) ị - p-^L-dx Jo lo J X +y ịxìn(x + y ) - 2x + 2yarctg- r = ln(l + y ) - + 2t/arctgì V vj '0 ỉ/ V (0) = lim ỈM^M = Um m ± ĩ ă ỉ) = , Ị/A+o ý y-++0 V ỉ / ý/ Tương tự Fi(0) = -lĩ Vậy không tồn F'(0) Nhưng ta lại có f'y(x,0) = 0, y 4(x,0)di = Vậy đạo hàm 2 2 2 + T 2 + a r c t g dấu tích phân theo y hàm y = 6) lim F(x y) = -X »-»0 Hướng dân dày số tập chưưnfíJ3 •2 nên — (lim F(j!,»)ì I = Mt khỏt- ^(x,y) ằôã*ã'* ớ/j- \.ô 'li / lj-=o 2.r y 6>F tức - ĩVậy TTT^ i/) — lim -^-(j-.y) 68 JL (lim/'(.,-, I / lim ^(.r, „) Ị Ta) /•"(. Han í !/ JV, Vy Ẽ e~ " d(-Ị/r) r r = Ì e rí < e, Do (ló tích phân / ị "'di MO Jo hội tụ 1/ c [.Vo: -f oo) Bây già xétỊ) (0; +oo) Để chứng /•+•*• minh tích phân / ỊỊii dx không hội tụ Ị) e (0: +oo), ta cân in tồn Co > 0, (láy 0-.'/lít.—>>+oo mộtnàydãy 1A / c (0;+oo) Điều tháy đitơr • f 00 Í/A- cho (/VÍA- = Ì (khi ĩjk —> 0) vàsin Jo í/ỉ + Ì > Eo- Vì —> 0, nên cần chọn ío với A' đù 2r Vỉ + Ì lớn hất đẳng thức nói tất nhiên thỏa mãn lo) a) Đạo hàm hình thức F(fj) /•+» - / Tí' sin