Trịnh Văn Quang
Cơ sở Phương pháp Phần tử Hữu han trong Truyền nhỉệt
100
Trang 2c ơ SỞ PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN • TRONG TRUYÊN NHIỆTt
T Á C G I Ả
PGS.TS Trịnh Văn Quang
N h à x u ất bản T h ế G iớ i
Trang 3-LỜI NÓI ĐẦU
Q ua nhiều năm e iản e dạy Lý thuyết Truyền nhiệt cho C hương trình Cao học Cơ khí cũn° như tham gia và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy một tài liệu về phương pháp tính nhiệt mới là hết sức cần thiết để phục vụ cho
công tác a iản e dạy và nghiên cứu Cuốn sách “C ơ sớ phưcmg p h á p Phần tử hữu
hạn trong Truyền nhiệt ” được bièn soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên.
M ôn học C ơ sở truyền nhiệt trong chương trình đại học của các nước tiên tiến hiện nay chi mới dừng ờ phương pháp Sai phần hữu hạn, còn phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) chưa được đề cập đến Vì thế, ừ ong tính nhiệt, phương pháp PTHH còn là mới Trèn cơ sở một số bài giảne cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số tro n s các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như
tham khảo các tài liệu trone và ngồi nước, chúng tơi biên soạn cuốn “C ơ s ở ph ư ơ n g p h á p
P T H H trong Truyền nhiệt
Cuốn sách bao gồm 5 chucm?: Chương 1 trình bày khái quát về các phương thức truyền nhiệt và tóm tắt các két quả giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích; Chương 2 nêu các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của chúng; C hương 3 đề cập đèn phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của PTHH trong dẫn nhiệt ổn định Đày là phần lý thuyết toán quan trọng nhất trong phương pháp PTHH để tính nhiệt: Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằng phương pháp PTHH; Chương 5 thiết lập phương trình đặc trưng trong dẫn nhiệt không ổn định, các cách rời rạc theo thời gian cùa bài tốn, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt không ồn định bàng phương pháp PTHH.
Cuốn sách có thề được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, chương trình đại học chuyên ngành nhiệt - lạủh, năng lượng và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng cơng trình, luyện kim
Với suy nghĩ viết sách sao cho bạn đọc sử dụng được thuận tiện nhất, chúng tơi cố gẳng trình bầy các vấn đề một cách chi tiết để bạn đọc có thể dễ dàng theo dõi và từ đó vận dụng trong nghiên cứu các bài toán thực tế Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc.
Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuốn sách vẫn cịn có những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học G TVT Hà Nội hoặc địa chi q uangnhietffiyahoo.com vn.
Chúng tôi xin chân thành cám ơn!
TÁC GIẢ
Trang 4MỤC LỤC
LỜ I N Ó I Đ À U 3
CH Ư Ơ NG 1 M Ờ ĐÀU1.1 K hái q u á t 7
1.2 Phưcmg trình vi phản dẫn nhiệt và điều kiện đơn t r ị 10
1.3 Đ iểm q u a m ột số bài toán dẫn n h iệt cơ b ả n 13
1.4 C ác k h ó k hăn của p h ư ơ n g pháp giải t í c h 25
1.5 T ó m tẳ t c h ư ơ n e 25
CH Ư Ơ NG 2 PH Ư Ơ N G PH Á P PH ÀN T Ử HỮU HẠN2.1 G iớ i th iệ u khái q u á t .26
2.2 P h ân tử m ột ch iều bậc n h ấ t 30
2.3 P h ân tử m ộ t chiều bậc h a i 33
2.4 P h ân tử hai ch iều tam giác bậc n h ấ t 38
2.5 T ọ a độ khu vự c đổi với phần tử tam giác bậc n h ấ t 44
2.6 C ác p hần tử tam giác bậc hai, bậc b a .46
2.7 P h ần tử hai chiều chữ nhật bậc n h ấ t 50
2.8 Các phần từ ba c h iề u 54
2.9 Phần từ đẳng tham số, phần tử quy c h iế u 60
2.10 Tóm tất c h ư ơ n g 74
BÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 2 75
CHƯƠNG 3 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA PHÀN TỬ HỮU HẠN3.1 Phương pháp thiết lập phương trình đặc trưng của phần t ử 77
3.2 P hư ơng pháp biến phân, phương trình Euler - Lagrange 91
3.3 T h iế t lập p h ư ơ ng trình đặc trư ng cùa p h ư ơ n g trìn h vi ph ân dẫnn h iệ t th eo p h ư ơ n g p háp biến p h â n 1 0 13.4 T h iế t lập p h ư ơ ng trìn h đặc trư n g củ a p h ư ơ n g trìn h vi p hân dẫnn h iệ t th eo p h ư ơ n g pháp G a le rk in 109
3.5 X ác định phiếm hàm bài toán dẫn nhiệt qua c á n h 112
Trang 5C H Ư Ơ NG 4 G IẢ I M Ộ T SỐ BÀI T O Á N DẪN N H IỆ T ỎN Đ ỊN H B À N G PH Ư Ơ N G PH Á P PH À N T Ử H ử u HẠN
4.1 D ần nh iệt q ua vách phẳng m ột lớ p .115
4.2 D ần nh iệt qua vách phẳng nhiều l ớ p 118
4.3 D an nh iệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên tro n g 120
4.4 D ẩn nh iệt qua vách t r ụ 130
4.5 D ần nhiệt qua vách trụ có nguồn bên tr o n g 137
4.6 D ần nhiệt qua thanh có tiết diện không đ ổ i .143
4.7 D ẩn nhiệt qua cánh có tiết diện thay đ ổ i 149
4.8 D ẩn nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đ ơ n 154
4.9 D ần nhiệt qua phần tử tam giác lắp g h ép 158
4.10 D an nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đ ơ n 173
4.1 1 Dần nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp g h é p 179
4.12 B ài to án dẫn n h iệt ba c h iề u 190
4.1 3 C ác bài to á n h ìn h khối có trụ c đối x ứ n g 191
4.14 T óm tắ t c h ư ơ n g 194BÀ I T Ậ P C H Ư Ơ N G 4 195CH Ư Ơ NG 5 D Ã N N H IỆ T KHÔNG ỎN ĐỊNH5.1 K hái n iệ m 1995.2 P h ư ơ n g p h áp G a le rk in 2005.3 P h ư ơ n g pháp biến p h â n 2025.4 R ời rạc th eo thời g i a n 204
5.5 Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp sai phân hữu h ạ n 207
5.6 Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp phần từ hữu h ạ n 210
5.7 T ổ ng k ết m ộ t số cô n g th ứ c rời rạc th eo th ờ i g i a n 214
5.8 D ẩn n h iệt k h ô n g ổn định qu a v ách p h ẳ n g 215
5.9 D ần n h iệ t k h ô n g ổn định qu a t h a n h 218
5.10 D an n h iệ t k h ô n g ổn định qu a v ách t r ự 222
5.11 D ần n h iệt k h ô n g ổn định qu a p hần tử tam g iá c 226
5.12 D ẩn n h iệt k h ô n g ổn định qua phần tử ch ữ n h ậ t 241
5.13 T óm tắ t c h ư ơ n g 259
BÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 5 260
H Ư Ớ N G D Á N G I Ả I B À I T Ậ P 263
Trang 6Chương 1 MỞ ĐÀU
1.1 KHÁI QUÁT
1.1.1 Vai trò của truyền nhiệt trong kỹ thuật và tự nhiên
Truyền nhiệt là quá trình truyền năng lượng dưới dạng nhiệt giữa các vật thể hoặc giữa các khu vực khác nhau trong vật thể Có thể gặp hiện tượng nhiệt ở khắp nơi, từ các việc trong đời sống hàng ngày như đun nấu, làm mát hay sưởi ấm khơng khí trong p hòng đến các hiện tượng trong tự nhiên như nắng, mưa, giông bão đều gắn với các q trình nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riène Trong hầu hết các q trình cơng nghệ, từ hoạt động của các loại động cơ nhiệt như động cơ đốt trong, động cơ tua bin, động cơ phản lực đến làm mát động cơ điện, làm mát các bộ phận của các thiết bị điện tử, ln có mặt quá trình truyền nhiệt Bời vậy, có thể nói hiện tượng nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng có vai ừị rất quan trọng trong đời sống, kỹ thuật và trong tự nhiên.
Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề là làm sao khống chế được nhiệt độ làm việc cực đại cùa thiết bị để bào đảm hoạt động bình thường của thiết bị, hoặc khống chế được độ chênh nhiệt độ cục bộ trong các khu vực của vật thể để bảo đảm biến dạng nhiệt cục bộ ư ong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hủy vật thể Điều đó chi có thể thực hiện được khi kiểm soát được quá trình truyền nhiệt của thiết bị và vật thể.
1.1.2 Các phương thức truyền nhiệt, các định luật truyền nhiệt cơ bản
N hiệt có thể truyền từ nơi này tới nơi khác theo các phương thức khác nhau Mỗi phương thức truyền nhiệt có những đặc điểm và cơ cấu riêng Có ba phương thức truyền nhiệt cơ bản là dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, bức xạ nhiệt.
a Dẩn nhiệt
Trang 7Lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong m ột đơn vị thời gian được gọi là mật độ dòng nhiệt, ký hiệu là q (W /m 2) M ật độ đòng nhiệt truyền đi do dẫn nhiệt tuân theo Định luật Fourier:
« = ơn ( U )
Trong đó: q là véc tơ mật độ dòng nhiệt; k là hệ số dẫn nhiệt (W /m K); ỠT/ổn là
gradient nhiệt độ với n là pháp tuyến mặt đẳng nhiệt.
Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu Trị số hệ số dẫn nhiệt của một số vật liệu điển hình như sau:
Vật liệuHệ số dẫn nhiệt (W/mK)Kim loạiBạc nguyên chất410Đồng nguyên chất385Nhôm nguyên chất200Sắt nguyên chất73Hợp kimThép không gi16Nhôm hợp kim168
Phi kim loại
Nhựa0,6Gỗ0,2Chất lỏngNước0,6Chất khíKhơng khí khơ0,025
b Toả nhiệt đối lưu
Toả nhiệt đối lưu là phương thức truyền nhiệt xảy ra giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng hoặc khí, khi giữa chúng có chênh lệch nhiệt độ và tiếp xúc với nhau Do các phần tử chất lỏng tiếp xúc với bề mặt vật rán trao đổi nhiệt với bề mặt vật bàng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng sát bề mật vật thay đổi nhiệt độ và mật độ làm xuất hiện chuyển động tạo thành dòng đối lưu, đồng thời m ang nhiệt đi Chuyển động đó được gọi là đối lưu tự nhiên Chuyển động của chất lòng do tác động của các lực cơ học từ bên ngoài như bơm, quạt, k h u ấy được gọi là đối lưu cưởng bức Toả nhiệt đối lưu cũng xảy ra rất m ạnh trong các quá trinh chất lỏng sôi hay ngưng tụ.
Mật độ dòng nhiệt truyền đi bàng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật N ew ton - Richman:
q = h.(Tw- T ) (1.2)
Trang 8Trị số hệ số toả nhiệt điển hình ữong các chat lỏng như sau:Các chật khí (lững lờ) Các chất khí (chảy) Các chất lỏng (lừng lờ) Các chất lỏng (chày) Các chẩt lòng khi sôiChất lỏngHệ số toả nhiệt (W/m2K) 151 5 -2 5 0Các chất lỏng khi ngưng100 100-200 2000-35.000 2000 - 25.000c Bức xạ nhiệt
Bức xạ nhiệt là quá trình truyền nhiệt bằng sóng điện từ giữa các vật thể Mọi vật thể được cấu tạo bởi các thành phần vi mị mang điện, ln ở trạng thái chuyển động nên tạo ra sóng điện từ, lan truyền trone khòne gian gọi là bức xạ điện từ Khi đập vào bề m ặt vật thể khác, một phần bức xạ điện từ bị vật đó hấp thụ biến thành nhiệt Q uá trình truyền năng lượng nhiệt bàng sóng điện từ đỏ được gọi là trao đổi nhiệt bức xạ Mọi vật luôn tồn tại ở nhiệt độ T > 0K, nên luôn phát ra bức xạ nhiệt và đồng thời cũng hấp thụ các tia bức xạ nhiệt từ các vật khác chiếu tới bởi vậy quá trình trao đổi nhiệt bức xạ là quá trình hai chiều, nhưng vật có nhiệt độ cao hơn năng lượng bị mất đi bởi bức xạ ra sẽ lớn hơn năng lượng nhận được bởi hấp thụ Khi các vật có nhiệt độ bằng nhau, quá trình trao đổi nhiệt bức xạ eiữa chúng vẫn xảy ra nhưne ở thế càn bằng động, tức là ờ mỗi vật có năng lượng bức xạ ra bàng năng lượng hấp thụ vào nên nàng lượng và nhiệt độ của vật đó khơng thay đổi.
N ăng lượng truyền đi bàne bức xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luật Stefan Boltzonmann:
Ở đây, Eo là năng suất bức xạ của vật đen, (W /m 2); ơ0 là hằng số Stefan Boltzcrmann ơo = 5,669.10'8 (W /m2K4); T là nhiệt độ tuyệt đối (K).
N ăng lượng bức xạ từ bề mặt các vật xám nhỏ hơn năng lượng bức xạ từ bề mặt vật đen, xác định bởi:
Ở đây, E là năng suất bức xạ cùa vật xám, (W /m 2); e là hàng số phát xạ của vật xám, còn gọi là độ đen.
Lượng nhiệt trao đổi bàng bức xạ giữa hai bề mặt 1 và 2 được xác định bởi:
F e là yếu tố kể đến bản chất cùa hai bề mặt, Fg là yếu tổ kể đến định hướng hình học cùa hai bề mặt bức xạ.
(1.3)
(1.4)
Trang 91.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẢN NHIỆT VÀ ĐIÈU KIỆN ĐƠN TRỊ
1.2.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt
Đe xác định nhiệt độ ứong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạđộ và thời gian, đó chính là phương ừình vi phân dẫn nhiệt.
Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ xyz Phân tố có kích thước dxdydz, Hình 1.1.
Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng X, y, z sau thời gian dx:
Theo hướng x:
Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất:
d Q*1 = q d y d z d T (1.6)
Lượne nhiệt ra khỏi phân tố qua mặt thứ hai:
í "\CỈQ = q + - 2j- d x ( l y d z d rox (1.7)(1.8)Với q = —k — sẽ CÓ:' õxdQ = — ( k — ) d x d y d z d T x x õ x ) (1.9)‘IQríi I
Trang 10Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân to nhận được:dQy = j -dy/ \k„— ~>dydx.dy.dz.drJyầ a í , ơ t)d z { ’' d z , dx.dy.dz.dT(1.10)(1.11)Theo cả ba hướng X, y, z lượng nhịệt phân tố nhận được là:
dQ = dQx + dQx +dQ = —- — ( L s r }k —- f —ổ ( , ÕT) k _ ^ d ( , ÕT k —
J dx J dy J ô z \ : õz
d x d y d z d r (1.12)
Hệ số dẫn nhiệt trong phương trình trên là một véc tơ Trong trường hợp tổng quát hệ số dẫn nhiệt cỏ thể là một ten sơ:
k =
k X X k x y kx z
k y* k yy kJZk Vk o k=
(1.13)
Nếu bên trong vật thể cỏ nguồn sinh nhiệt qv (W /m 3), lượng nhiệt do nguồn trong sinh ra trong phân tố khảo sát sau thời gian d t là:
q v d x d y d z d T (1.14)
L uợng nhiệt phân tố nhặn do dẫn nhiệt và nguồn nhiệt bên trong sinh ra sau thời gian
d t là:
ÕT
— k—\ + — k —ÕT
d x d y d z d r (1.15)
Do nhận lượng nhiệt trên, nội năng phần tố sau thời gian dx sẽ thay đổi là:
p d x d y d z c ^ - d r r ÕT
(1.16)Theo định luật bào tồn năng lượng thì tổng năng lượng phân tố nhận được do dẫn nhiệt
I 1 _ t 1 J À _ 1 • A • I— 1 V 1 • Ẩ * 5 • A • V _ _ ■> _ I Ạ , Ắ
theo ba hướng và do nguôn nhiệt ừong sinh ra sẽ băng biên đôi nội năng cùa phân tô:
õ_ôx *1 ẽ x-õôzr ÕT\ k -—z +qv =pcp ^ -ÕT_ƠT (1.17)
Phương trình (1.17) được gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt.
Trang 11với f d-T õ2T ô2T
ôx1 ôy2 õz2 = v 2r và a =c p gọi là hệ số khuếch tán nhiệt.
Phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết gọn thành:
Ẽ L = ciV '-t + 3l
-ÔT c p
(1.19)
Trong trường hợp vật khơng có nguồn nhiệt bên trong, phương trình vi phân sẽ trở thành:
ẼL = a ^ T
ÕT
(1.20)Khi nhiệt độ vật không thay đổi theo thời gian, quá trình dẫn nhiệt là ổn định được biểu thị bởi:
V - T = 0
Phươne trình vi phân dẫn nhiệt trong toạ độ trụ là:
Ị_õ_ r õr( , ô t)I f _ 4 1_ _ 5 a r " lrÕT', r d r > 7 d ọAC<p\d ọ ,ôzVzÕZ/ + (Ỉ V = P - CP —ÕT_ÕT
Trong đó: - r là bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát;- cp góc của bán kính r với trục x;
- z độ cao.
Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:
, ÕT q = —k -— ;' õ rÕT<7, = —r d<pẼ Lq = —k —-2 dz
Trong toạ độ cầu, phương ưình vi phân dẫn nhiệt là:
1 õ í k r L ’ 5 7 ' 1 9 ( , õ t ) ự 1 1 õ
í k s i n ỡ ^ ì
r ôr , ' ổr, r2 sin2 9 dtpV ” Õ<p>r2 sin ớ 39 < d ỡ >+ <7v = p -c\
07
ÕT
Mật độ dòng nhiệt theo các hướng xác định theo:
Trang 121.2.2 Điều kiện đơn trị
Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định can phải có các đieu kiện rieng cua moi
bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị Đieu kiện đơn trị bao gom điêu kiện ban đâu va
điều kiện biên giới.
• Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ở thời điểm ban
đầu Điều kiện ban đầu chi cỏ mặt trong q trình khơng ốn định, quá trình ổn định thì khơng cần điều kiện ban đầu.
• Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật
thể, gồm cỏ:
- Điều kiện biên loại 1 còn eọi là điều kiện Dirichlet, cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trên bề mặt vật:
- Điều kiện biên loại 2 còn sọi là điều kiện Neum an, cho biết m ật độ dòng nhiệt tại bề mặt vật:
q = - k — = c tại s2 (1.27)
&n
c là giá trị biết trước có thể khơng đổi, hoặc thay đổi Nếu bề mặt cách nhiệt hay đoạn nhiệt cũng được coi là c = 0.
- Điều kiện biên giới loại 3 cho biết quy luật toả nhiệt giũa bề m ặt vật và mơi trường chất lịng bao quanh vật tuân theo phương trình N ew ton - Richman:
1.3 ĐIỂM QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃN NHIỆT c ơ BẢN
Để tìm phân bố nhiệt độ trong vật, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt cùng với các điều kiện đơn trị Trong giáo trình truyền nhiệt chương trình đại học đã trình bày chi tiết cách giải một số bài toán cớ bản, ở đây chi nêu tóm tắt kết quả của chúng.
1.3.1 Dần nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua các vách mỏng
Khi các vách có bề dày nhỏ hom rất nhiều so vói các kích thước khác, dòng nhiệt truyền theo hướng bề dày là chính nên nhiệt độ chi thay đổi theo hướng bề dày và chỉ phụ thuộc vào một chiều Phương trình vi phân ổn định khơng có nguồn trong, khi k = const có dạng:
T = Tw tại S| (1.26)
- k — = h ( T - T ) trên S3
cn (1.28)
Trang 131 Dan nhiệt qua vách phẳng
Vách phàng dày 5, hệ số dẫn nhiệt k không đổi, biết nhiệt độ hai mặt: Phương trình vi phân:
“dx °
điều kiện biên: T = TW1 tại X = 0; T = TW2 tại X = ỗ.
Sau khi tích phân (1.30) hai lần, thay điều kiện biên (1.31), giải ra nghiệm :
T - TT = T — 1,1 X
ổ
Phàn bổ nhiệt độ trong vách phăng là đường thẳng, Hình 1.2.
(1.30)
(1.31)
(1.32)
Twl
I* »1
Hình 1.2 Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng
Mật độ dòng nhiệt:
ÕT T - T AT
-‘ >- kTr6 R ( W/ m)
(1-33)
Với: ATvv là hiẻu nhiêt đô hai mặt vách; R = — gọi là nhiệt trở dẫn nhiêt của vách
k
phàng.
Đối vách phầng có nhiều lớp, mật độ dòng nhiệt là:
(1.34)
n ỗ s
Với- ý R = y — ; và — là nhiệt trở dẫn nhiệt của lớp thứ i trong vách phẳng.
Trang 142 Dẩn nhiệt qua vách trụ
Phương trình vi phân:
1 dT d 2T - = 0
r dr dr
Điều kiện biên: T = Twi tại r = ri;T = Tw2 tại r = r2
Giải ra nghiệm:
T = T - T" ~ T' - ln —
In— 4
đx
Phàn bổ nhiệt độ trong vách trụ là đường cong logarít, Hình 1.3.
(1.35)
(1.36)
(1.37)
Twi
Two
Hình 1.3 Phân bố nhiệt độ trong vách trụ M ật độ đòng nhiệt dài:
qL = L l L l = È Ll ( w / m )
— l n ^ - R2 nk d,
(1.38)
Với: ATW là hiệu nhiệt độ hai mặt vách trụ
R - —-— ln— gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ I n k dx
Đối vách trụ có nhiều lớp, mật độ dịng nhiệt dài là:
AT<ÌL =■
Ẻ*.
(W/m) (1.39)
""l d 1 d
Với: V /? = V —-— l n - ^ ; và R = —-— nhiêt trở dẫn nhiêt của lớp thứ i trong
Trang 153 Dẩn nhiệt qua vách cầu
Phương ừ ình vi phân:
2 d T + d ^ r = 0 ( 1 4 0 )
r dr d r2
Điều kiện biên:
T = TW, t ạ i r = r,;T = Tw2 t ạ i r = r2 (1-41)Giãi ra nghiệm:T - T'Y _'Y _ w2' 11I _ I V', r , r 2(1.42)
Phàn bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol.Dòne nhiệt qua vách cầu:
Q = LiZ Ll = (w /m 2) (1.43)
1 d1 - d i RI n k d ld2
1.3.2 Dần nhiệt ổn định qua thanh và cánh
Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỳ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài Nếu chi tiết có kích thước m ặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong trường hợp ngược lại gọi là cánh Tuy tên gọi có thể khác nhau nhung nguyên tắc tính nhiệt là nhu nhau.
1 Thanh có tiết diện khơng đổi
Thanh thẳng có tiết diện A khơng đổi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại m ặt ngồi thanh có toả nhiệt ra mơi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, đinh thanh cách nhiệt.
Xét vi phân thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện p, diện tích xune quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, Hình 1.4.
Sau khi cân bàng giữa lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại X với lượng nhiệt dẫn ra khỏi phán tố tại (x+dx) và tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh, sẽ được phương trinh sau:
k A ^ - - h P ( T - T ) = 0 (1.44)
Trang 16Đặt (T - Ta) = 0 ; — = ị ; — = m 2 và m2L2 = ịi2 khi đó phương trình trên trở thành:
L kA
d 2ớd ?
- f j 2ỡ = 0 (1.45)
Hình 1.4 Dần nhiệt một chiều qua thanh
Các điều kiện biên: - tại đinh thanh: £ = 0 -> — = 0
d ệ- tại gốc thanh: = 1 —> 0 = 0bNghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng:coshỊ^/n(L-ỡ = 0.° cosh (mL.)
2 Thanh có tiết diện thay đối
Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo X Gốc thanh X
= 0, nhiệt độ To, đật trong môi trường nhiệt độ Ta,, hệ số toả nhiệt tại m ặt ngoài thanh là h, thể hiện trên Hình 1.5.
(1.46)
(1.47)
Trang 17Tại X, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh P(x)d.\ Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là:
dTQ = - k A ( x ) —-
dx (1.48)
Lượng nhiệt ra khỏi phần từ tại mặt f(x+dx) là:
Q Jv = - kA(*) +— ~— dxdA(x)
dx
„ dT T + ——CÌX
dx
Lượng nhiệt toả ra mơi ừ ư ờng tại mặt xung quanh phần tử là:
Qh = h P { x ) d x Ợ - T a)
Do ổn định nên Qx - Q d t =Qh, dẫn tới phương trình
dT
(1.49)
(1.50)
d_
dxkA(x)dx- h P (x )d x Ợ - T ) = 0 (1.51)
Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo X mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét
cánh cụ thể có tiết d iện thay đổi tuyến tính theo X.
3 Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X
Cánh cỏ tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x:
A(x) = 2ơ\ậ
Thay A(x) vào (1.51) dẫn tới:
d_dx
X d Ợ - T )k 2 ổ — b — °—
L dx - - 7 —(k 71 - T ) = 0 (1.52)
Hình 1.6 Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo X
T — T
Đát — = £; v à - — = e sẽ dẫn tới
Trang 18£e_ de hứ
dệ2 + dậ kổ (1.53)
(1.53) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến Nghiệm của (1.53) được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1:
Với lo là hàm Bessel loại 1, cỏ thể tra theo bảng lập sẵn.
1.3.3 Dẩn nhiêt ổn đỉnh mơt chiều có nguồn nhỉêt bên trong• • • 9 • “
1 Dẩn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên trong
Xét vách phẳng rất rộng, có bề dày 2L, nhiệt độ tại hai mặt ngoài là TW1 và TW2- Trong vách có nguồn nhiệt phân bổ đều theo thể tích qv = const (W /m 3), H ình 1.8.
Do dịng nhiệt chì truyền theo hướng bề dày nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này,đặt là X.
Phương trình vi phân:
(1.54)
(1.55)Đ iều kiện biên loại 1:
Trang 19Giải (1.55) và (1.56) được nghiệm cùa bài toán:
x + ĩ z ' +T^
v ' 2 k K > 2L 2
Phàn bô nhiệt độ trong vách phẳng là đường cong bậc hai.
2 Dẩn nhiệt qua vách trụ có nguồn nhiệt bên trong
Phuơng ữ ình vi phân:
^ I + I ^ _ Ì L = o
dr' r dr k
Khi chi toà nhiệt tại mặt ngoài, điều kiện biên:
(1.57)(1.58)T ; d TT ạ ir = r,,drT ; MT ạ ir = r2,dr= 0 (cách nhiệt mặt trong)(1.59)
Giải (1.58) và (1.59) được nghiệm:
T =Ak" ( \2/ \ 2 'r\ , r r qv A r.1 +1In -— + 2TL1 1 -1r,r, 2h2 /1_ V 2V 2 y _ \ 2 / _+ T ,a 2 (1.60)
Khi ri = 0, vách trụ trở thành thanh đặc đường kính R, phân bố nhiệt độ trong thanh:
4 v í n 2 „ 2 \ Q v ^
T = — (r2 - r z ) + -^— + T
4A:v ’ 2/1, n2
Khi chi toả nhiệt tại mặt trong, điều kiện biên là:
(1.61)T- • _ đTTai r = Ĩ2, — drT • = dLTại r = ri, — dr= 0 (cách nhiệt mặt ngoài)h£ v v»i ơl ' (1.62)
Giải (1.58) và (1.62) được nghiệm:
T =<ỉvr24 k- / \2 •> " ■✓ \ •?r r % -ri r2- 12 ln — + — —r.1 \ r2 > 2 2A, r,/ _ _V 1 / _+ T, (1.63)
Trang 20T = Qvrõ4k-í \tV■»""/ N22 1 n - + a _ a - 1r. Jo,/0 , 2 \+ T, (1.64)Ở nửa ngoài vách r = r0 H- r;T = <ìvri4 k 1 +í r 'ì•>r( r \12.ln — - rr.q v -r22K 1 -+ 7 \ (1.65)
r0 là vị trí có nhiệt độ cực đại trong vách.
1.3.4 Dẩn nhiêt ổn đỉnh hai chiều• •
Trên hình phẳng chữ nhật ABCD, các cạnh có nhiệt độ không đổi Cạnh đỉnh AB có nhiệt độ T2, ba cạnh cịn lại có nhiệt độ Ti, Hình 1.9 Khi đó nhiệt độ trong hình chữ nhật thay đổi theo hai hướng bề rộno (x) và cao (y) của hình.
Hình 1.9 Dần nhiệt hai chiều trong hình chữ nhật phẳngPhương trình vi phân:d2T õ2Td x 2 + ôy-2= 0T - T(1.66)Bằng cách đổi 6 = —— — sẽ đưa (1.6 6) về dạng:Õ2Ỡ d2e n — ^ + — ^ = 0õ x2 õ y 2 (1.67)
Và điều kiện biên: - Tại x = 0 : x = ô, 0 = 0; y = 0, 9 = 0
- T ạ i x = h, 0 = 1 (1.68)
(1.67) được giải bàng phương pháp tách biến, coi 0(x,y) là tích của hai hàm có biến độc lập nhau:
Trang 21Sau khi lấy đạo hàm hai lần (1.69) theo X và y, thay vào (1.67) sẽ tách được hai phương trinh vi phân thường Sau đó kết hợp với các điều kiện biên (1.68), áp dụng tính chất của hàm trực giao đối với nghiệm ở dạng chuỗi số sẽ giải ra được:
* 2_ 1 t í * n+1„ , - sin/ \ nn — XK * /sinh/ nn \ x ' y\ Ổ Jsinhí _ \ nn , —-.h(1.70)
1.3.5 Dẩn nhiệt không ổn định một chiều
1 Bài toán đối với hệ quy tụ
Nếu một vật có hệ số tỏa nhiệt tại m ặt ngoài rất nhỏ so với dẫn nhiệt ở bên bên trong v ậ t thì nhiệt độ tại các điểm bên trong vật được coi là bằng nhau và cùng giảm tới nhiệt độ mơi truờng Khi đó nhiệt độ cùa vật chi là hàm của thời gian T = f(x), và toàn bộ vật thể được quy về một điểm để tính tốn nhiệt độ Phương pháp tính đó được gọi là phương pháp quy tụ.
- Lượne nhiệt vật mất đi do toả nhiệt vào môi trường sau thời gian dx là: hF(T - Ta)dx- Nội năng vật giảm đi do mất nhiệt là: - cpVdT
Trong đó, dx là thời gian, h là hệ số toả nhiệt tại bề m ặt ngoài vật, F là diện tích mặt ngồi vật, T và Ta tương ứng là nhiệt độ của vật và nhiệt độ môi trường, c nhiệt dung riêng của vật (J/kg°C), p khối lượng riêng của vật, V thể tích vật, dT độ giảm nhiệt độ của vật sau thời gian d t.
Do lượng nhiệt vật mất đi bằng độ giảm nội năng nên rút ra:
4T-T.)T - ThFcp Vdr (1.71)Giải ra:T = T +(T0 - T ) i ' " Lr (1.72)
Với To là nhiệt độ ban đầu của vật Để áp dụng (1.72) yêu cầu hệ thoả m ãn tiêu chuẩnBiot:
Bi = — < 0 ,1
k (1.73)
2 Làm nguội tấm phẳng rộng vô hạn
Tắm phẳng dày 25 (m), rộng vô hạn, hệ số dẫn nhiệt k (W /m°C), nhiệt độ ban đầu T0
Trang 22nhiệt độ trong tấm là hàm của toạ độ X và thời gian t : T - f(x,x).Phương trình vi phân:
ÕT Õ-T
- = a —
Õ T Õ x
Đặt 0 = T - Ta, khi đỏ (1.74) ưở thành:
Õ0_=Õ T Õ x 1
- Điều kiện ban đầu: khi T = 0, 9 = To- T a = 00
- Điều kiện biên:
(1.74)(1.75)Tại 2 mặt: X = ± §, 00õxõỡx = ±sa.e' Ả (1 7 6 )■ Tai tâm tấm: X = 0 —õx = 0
(1.75) là phương trình vi phân đạo hàm riêng, để giải, dùng phương pháp tách biến, coi
9 (x,t) là tích của hai hàm của tìmg biến riêng (p(x) và Vị/(x) sẽ dẫn tới hai phương trình vi
phân thường Áp dụng các điều kiện biên và ban đầu và tính chất của hàm trực giao sẽ dẫn tới nghiệm là chuỗi vô hạn:
9 {x,t) = Ỳ j -
»1=1 i
2ỡr0 sin n' n
-COS exp 2 ar
t ỉ fjm + s m / i n c o s / i n
Trong đó: Un = kơ ; k = 1 ,2 , 3 ; |an là nghiệm của phương trình đặc trưng:
n hổ
cot g ụ = — Bi = ——
Bi k
(1.77)
(1 7 8 )
3 Dẩn nhiêt không ổn đinh của vât có bề dày vơ han mơt phía• o• • t/ • • r
Vật dày vơ hạn một phía là những vật có một mặt xác định đủ rộng và bề dày là hết sức lớn như nền đất Trong trường hợp này quá trình truyền nhiệt là không ổn định và nhiệt chi dẫn theo một chiều bề dày của vật Nghiệm phải tìm của bài tốn là: T = f(x,T).
Phương trình vi phân:
dT õ2T
Õ T Õ x 2
- Điều kiện ban đầu: T = 0, T(x,0) = To
- Điều kiện biên: t ạ i X = 0, T(0, t ) = Tw
(1 7 9 )
Dùng phương pháp đổi biến kép rj = —^ = , chuyển phương trình vi phân đạo hàm
Trang 23riêne (1.79) thành phương trình vi phân thường:
d 2T dT
( 1 8 0 )
Từ đó giải ra
(1.81)
Trone đó, erfr| được gọi là hàm sai số Gauss được lập sẵn giá trị thành bảng.Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thức Fourier:
q = - Ả — = ^ Z Ị ị Z 5 2 ( 1 8 2 )
,*0 \ỉ n a r
4 Dẩn nhiệt của vật dày vơ hạn có nhiệt độ bề mặt thay đổi tuần hoàn
Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đổi theo hàm tuần hồn, q trình truyền nhiệt trong vật là tựa ổn định được biểu thị bởi phương trình vi phân:
3 T _ Õ*T „
3 =aTĨ" (l-83)
ổ r õx
Điều kiện biên giới:
Với T là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, ATW là biên độ dao động của nhiệt độ tại bề
mặt; co là tần số dao động; ÍO = — , To là chu kỳ dao động.r0
Để giải (1.83) với điều kiện (1.84), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị
trung bình T như sau:
Sau khi thay (1.86) vào (1.85), lấy đạo hàm theo thời gian T và theo toạ độ X, rồi thay
vào (1.83) sẽ dẫn tới phương trình thuần nhất cấp hai:
T = T + A T co s(íy r)w w w \ J (1.84)
T (x,t) = T „ + A T (x,t)
Trong đó, A T(x,t) được coi là tích của hai hàm cổ biến độc lập:
Trang 24Giải ra nhiệt độ:
, _\ — í 1 Ịẽữ ì í 1 íệõ
T ( x r ) T * A T a , COS ~ J ~ a
là m ột hàm dao động chu kỳ có biên độ giảm dần theo tọa độ X.
X + CƠT ( 1.88)
1.4 CÁC KHÓ KHẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Phương pháp giải tích là phương pháp hết sức quan trọng đã giải được nhiều bài toán cơ bản trong ữuyền nhiệt và cho nghiệm chính xác Đó là các trường hợp vật thể có dạng các hình khối đơn giản như hình phảne, khối chữ nhật, hình trụ hay hình cầu v ớ i trường hợp các bài toán cỏ điều kiện biên siới và điều kiện thời gian là hằng số hoặc biến đổi theo quy luật đơn giản.
Trong thực tế có thể gặp các bài toán trên vật thể có hình dáng phức tạp, hoặc điều kiện thời gian và điều kiện biên eiới thay đổi, khi đó giải bàng phương pháp giải tích sẽ rất khó khăn và nhiều trường hợp khòna thể giải được Bởi vậy để đáp ứng yêu cầu tính nhiệt ữ ong các trường hợp thực tế như trên cần có phương pháp gần đúng.
1.5 TÓM TẮT CHƯƠNG
Trang 25Chương 2
PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN
2.1 GIỚI THIỆU KHÁI QUÁT
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ số để xác định nghiệm xấp xi đối với một lớp rất rộng các bài toán kỹ thuật Phương pháp PTHH có tính đa dạng và mềm dẻo cao nên được áp dụng để nhận được nghiệm xấp xỉ dạng số cho các bài toán phức tạp mà những bài toán này rất khó giải hoặc khơng thể giải được bằng phương pháp giải tích.
2.1.1 Khái quát về các phương pháp gần đúng giải bài toán dẫn nhiêt
Do yèu cầu giải quyết các bài toán thực tế, nhiều năm qua đã có nhiều phương pháp số phát triển Phương pháp phổ biến nhất được sử dụng trong kỹ thuật tính nhiệt là các phương pháp Sai phàn hữu hạn, Thể tích hữu hạn và Phần tử hữu h ạn ngoài ra cịn có phương pháp Phần tử biên giới.
- Phương ph á p Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đon giản và ổn
định Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các vi phân riêng thành các số gia khi đó đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số gia tương ứng Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để tạo thành một mạng lưới chia m iền nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút, rồi xác định nhiệt độ của phần tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền N hư vậy phương pháp SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương trình đại số Kết quả thiết lập được hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng với n nút cẩn tìm giá trị nhiệt độ M ức độ chính xác cùa nghiệm trong phương pháp SPHH có thể được cải thiện nhờ việc tăng số điểm nút Phương pháp SPHH rất hữu hiệu trong việc giài nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn Bởi vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ cho chương trình đại học (Incropera 1996, Holman 1997 ) Tuy nhiên, khi gặp phải vật thể có hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH cũng có
thể khó sử dụng.
Trang 26- Phương p h á p ph ầ n tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp sô đê giải các bài tốn được
mơ tà bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng cùng với các điêu kiện biên cụ thê Cơ sở của phuơng pháp này là rời rạc miền nghiệm liên tục và phức tạp của bài toán thành các miền con gọi là các phần tử hữu hạn Tuỳ theo yêu cầu của bài toán m à các miền con tức các phần tử hữu hạn này cỏ cấu trúc khác nhau, tinh xảo và liên kết với nhau bởi các nút Việc tìm lời giải chính xác của bài tốn được thay thế bàng việc tìm dạng gần đúng tại các nút thông qua hàm xấp xi trên từng phần tử Hàm xấp xỉ có thể được xác định bằng cách tích phàn các biến phân tương ứng với phương trình chủ đạo và các điều kiện biên hoặc các hàm số dư trọng số.
2.1.2 Sơ lưọc lịch sử phát triển của phương pháp PTHH
Phương pháp PTHH bắt đầu được hình thành từ nhu cầu giải các bài tốn phân tích kết cấu ữ ong lý thuyết đàn hồi trong kỹ thuật cơng trình và kỹ thuật hàng không N hững người đầu tiên đưa ra phương pháp nàv là A lexander H rennikoff (1941) và Richard Courant (1942) H rennikoff sử dụng m ạng lưới để rời rạc miền liên tục, còn Courant chia m iền liên tục thành những m iền nhỏ hình tam giác để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai Ưong bài toán xoắn ữèn ống trụ Tuy hai cách tiếp cận khác nhau nhưng đều có đặc tính chung là rời rạc miền liên tục thành các miền nhỏ sau này gọi là các phần từ hữu hạn Phương pháp của Courant sau đó được phát triển nhờ Reyleigh, Ritz và Galerkin để giải phương trình vi phàn toàn phần elliptic Sau Couranl có nhiều cơng trình tốn học sử dụng phương pháp rời rạc hố: đó là cơng trình của Polya, Hersch, W einberger họ đều tập trung vào nghiên cứu các bài toán giá ừị riêng.
Vào nửa cuối năm 1950, phương pháp PTHH đã dần phát triển hoàn chỉnh Các tác giả đã sử dụng để phân tích các kết cấu khung máy bay và cơng trình xây dựng, như phân tích mơmen tập trung trong cơng trình của John Argyris tại trường đại học Stuttgart.
Năm 1959, G reestadt đã đưa ra phương pháp rời rạc miền nghiệm thành tập hợp của các miền con gọi là các tế bào thay cho các điểm nút Kích thước và hình dáng các tế bào có thể khơng đều nhau Mối quan hệ giữa các ẩn trong mỗi tế bào được biểu thị bàng hàm nội suy, tuỳ thuộc vào cấu trúc tế bào mà hàm nội suy được chọn có dạng khác nhau Tác giả sử dụng nguyên lý biến phân để xác định hàm xấp xỉ trong từng tế bào, rồi căn cứ vào điều kiện liên tục để tìm phương trình chung cho tất cả các tế bào trong toàn miền Nghiên cửu của G reestadt đã chứa đựng những nội dung hết sức cơ bản sau này trở thành lý thuyết toán học của phương pháp PTHH ngày nay.
Năm 1960, tại trường đại học Berkekey, Ray w C lough đã trình bày kết quả đạt được rất khả quan trong cơng trình nghiên cứu về phương pháp PTHH Từ đó nhiều tài liệu toán học về phương pháp PTHH đã ra đời, nhiều cuốn sách đã trình bày các cơng thức tốn học cho phương pháp, và nhiều công trình nghiên cứu về sự hội tụ của phương pháp, như các cơng trình cùa Oden, W hite và Friedrichs
Trang 27đà bát đầu ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật Besselinh, M elosh, Fraeijs de V eubeke và Jones đã coi phương pháp PTHH là một dạng cùa phương pháp Ritz và cho ràng đó là một phương pháp tổng quát nhất để nghiên cứu các bài toán đàn hồi Các nhà khoa học đã nghiên cứu áp dụne, phưcnig pháp PTHH cho các bài toán biến phân của cơ học chất rắn và đà nhận được các kết quả khá chính xác.
Nàni 1965 Zienkiew icz và C heung đã chứng minh rằng Phương pháp PTH H có thể áp d ụn s cho tất cả các bài toán về lý thuyết trường, từ đó phương pháp PTHH được công nhận là một phươns pháp nội suy rộng.
Năm 1973, trong cơng trình A n Analysis o f The Finite Element Method, Fix và Strang
đã xây dựng nhữna lý luận toán học chặt chẽ cho phương pháp PTHH, và từ đó nó trở thành một lĩnh vực toán học ứng dụng và được phổ biến và ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, đế xày dựng mơ hình dạng số cho các hiện tượng vật lý như trường điện từ và động học chất lỏng
2.1.3 Trình tự giải bài tốn bằng phương pháp PTHH
Việc siài các bài toán liên tục bằng phương pháp PTHH ln được thực hiện theo một trình tự gồm các bước nối tiếp nhau như sau:
Bước 1: Rời rạc hóa miền liên tục
Bước đầu tiên là chia miền nghiệm của bài toán, tức vật thể, thành các phần tử có kích thước nhó gọi là phần tử hữu hạn sao cho khơng có kẽ hở cũng như sự chồng lên nhau giữa
các phần tử đề bảo đảm tính liên tuc của bài toán Ket quả của v iệ c rời rạc hóa là tạo nên
một mạng lưới các phần tử hữu hạn.
Các phần tử khi rời rạc có thể được chọn có hình dạng khác nhau Trong loại bài toán một chiều, các phần tử được chọn là các đoạn thẳng Trong loại bài toán hai chiều, các phần tử được chọn là các hình phẳng, có thể là tam giác, tứ giác, chữ n h ật Trong loại bài toán ba chiều, phần tử được chọn là các hình khối, như khối tứ diện, lập phương, hình hộp, lăng trụ Đặc biệt là trong một bài tốn có thể dùng các loại phần tử có dạng khác nhau.
Các phẩn tử ngăn cách với nhau bởi các điểm, các đường hay các mặt không gian tuỳ
theo số chiều củ a bài toán, nhưng luôn tồn tại các nút tại các g ó c đỉnh củ a phần tử s ố nút
được chọn đế sứ dụng hình thành mỗi phần tử tùy thuộc vào loại phần tử và loại hàm nội suy Nếu dùng nhiều phần tử tức nhiều nút để có độ chính xác cao thì khối lượng tính toánsẽ tăng lẻn rảt lớn.
Bước 2: Chọn hàm nội suy hay là hàm hình dạng
Mối quan hệ giữa biến số bên trong phần tử với giá trị biến số tại các nút được gọi là ham nội suv hay hàm hình dạng Các biến số nói chung có thể là đại lượng vơ hướng, véc tơ hay một tenxơ bậc cao Trong bài toán nhiệt, biến số cần tìm là nhiệt độ Bản chất và số lượng ần có trong mỗi phần tử quyết định đặc tính biến đổi của hàm nội suy.
Trang 28ờng hay được chọn là các đa thức đại số Bậc của đa thức được chọn phụ thuộc vào số các điểm nút cùa phần tử, đặc điểm và số lượng các ẩn của một nút cũng như yêu cầu liên tục cần có trên biên của phần tử N hư vậy sau bước này ta đã chọn được một mẫu các PTHH, tức là đã định rõ loại phần tử, sổ nút và hàm nội suy.
B ước 3: Xây dựng phương trình đặc trưng của phần tử
Bước này xác định phương trình đặc trưng biểu thị tính chất cá thể của các phần tử riêng lẻ, đó là các phươns trình ma ưặn thể hiện quan hệ giữa các biến cần tìm với các đại lượng tác động là phụ tải Đẻ làm việc này ta phải thực hiện xấp xỉ hàm cần tìm chi theo một số lượng hữu hạn các biển sổ bằne cách hình thành một phương trình ma trận của phần từ, ve trái là tích sổ của ma trận hệ số với ẩn số phải tìm tại các nút, vế phải là véc tơ phụ tải đã biết.
Thí dụ, khi khào sát dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng nhiều lớp, mỗi lớp là một phần tử tuyến tính một chiều có 2 nút i j Phương trình ma trận tại mỗi phần tử là:
Ở đây: chi sổ e biểu thị cho phần tử; [ K ] e là ma trận hệ số cùa nhiệt độ trong phần tử gọi là ma ữận độ cứng; Ị r Ị là véc tơ nhiệt độ hai nút trong phần từ; Ị / Ị là véc tơ phụ tải nhiệt tại
Bước 4: Lấp ghép các phươna trình phần từ để nhận được phương trình tương thích của hệĐẻ tìm đặc tính của toàn cục của hệ thống, chúng ta bắt buộc phải kết hợp tất cả các phương trình ma trận của các phần từ riêng lẻ, thù tục đó gọi là lắp ghép các phần tử Đó là việc tô hợp các phương trình ma ưận cùa mỗi một phần tử một cách thích họp để tạo được ma trận đặc trưng trạng thái của toàn bộ khu vực nghiệm cùa bài tốn Nói cách khác là tập hợp các phương trình vi phân liên tục theo ẩn Te cần tìm ở tất cà các nút của tất cả các phần tử | r Ị dạng ma trận (2.1) ờ trên thành hệ (n phần tử) cũng dưới dạng:
[ả:] là ma trận độ cứng cùa toàn hệ;{t-} là véctơ ẩn cùa cả hệ;
| / j là tải nhiệt tại các nút của toàn hệ.
Việc lắp ghép từ (2.1) thành (2.2) có một số phương pháp chúng ta sẽ xét sau Ở đây, ta chì nói ràng phương trình cho cà hệ cũng giống phương trình cho một phần tử chỉ khác là nó có kích thước lớn hơn nhiều.
B ước 5: Giải hệ phương trình (2.2)
Với các tốn tử L, c đối xứng thi ma trận [K] thường đối xứng và phương trình (2.2) được giải bàng các phương pháp chuẩn như: lặp, khử, Gauss, ma trận nghịch đảo.
(2.1)
nút.
Trang 29B ước 6: Tính các đại lượng thứ cấp
Nói chung các bài tốn thường yêu cầu tính các đại lượng thứ cấp khác từ nghiệm là giá trị tại các nút của trường biến số Trong bài toán nhiệt, từ nhiệt độ các nút đã tìm được, có thể tính gradient nhiệt độ, dịng nhiệt không gian, hay biến dạng nhiệt
2.2 PHÂN T Ử M ỘT CHIÊU BẬC NHẤT
2.2.1 Phân bố nhỉêt đơ• •
Phần từ bậc nhất có nhiệt độ là hàm bậc nhất của toạ độ:
T - or, + a ,jr (2.3)
Gọi hai nút cùa một phần tử là i và j tương ứng với hai toạ độ Xi và Xj, nhiệt độ tại hai nút đó sẽ là:
T = a , + a , x \ I l 2 i T = a , + a , x j 1 2 ý (2.4)
2.2.2 Hàm nôi suy nhiờt ụt ô/ m ã
N hit tại các điểm bên trong phần tử được nội suy theo nhiệt độ hai nút như sau:(2.5)
Ở đày, N và N gọi là các hàm nội suy, hay hàm hình dạng Viết ở dạng ma trận:
T = N T + N T i í i i
Từ hai phương trình trong (2.4) giải ra:
Ti * r Tixi - TrTiữ - ; cc2
x - x X - X
(2.6)
(2.7)
Thay giá trị a ]t a2 vào (2.3) rồi sắp xếp lại sẽ được:
T =X - XX - X V i 'T +X- X.X - XV i 1 /(2.8)
Từ đó suy ra hàm nội suy [N] là:
Trang 30Để tính cho mọi phần tử, thường chọn Xj = 0; và Xj - X, - /, thì
N = ( 2 1 0 )
Lấy tổng hàm nội suy:
X - X + X - X
N + N = - í— — - = 1
1 > X, - X
j •
(2.11)
Phương trình (2.8) cho biết nhiệt độ tại mọi toạ độ X trong phần tử đều tính được theo các hàm nội suy N, và Nj và nhiệt độ hai nút Từ (2.9) có thể thấy trị số hàm nội suy Nj và Nj thay đổi theo tọa độ và là hàm bậc nhất theo x; nhưng chúng biến đổi ngược ch iều nhau Còn (2.11) chi ra rằng tổng hàm nội suy luôn bàng 1 ở bất kỳ điểm nào trong phần tử, như trong Bảng 2.1.Bảng 2.1HàmNút iNút j XN,1 0 Giữa 0 và 1Ni0 1 Giữa 0 và 1N, +Nj 1 11
Từ các kết quả khảo sát trên cho thấy hàm nội suy có hai đặc điểm quan trọng sau:- Hàm nội suy nhận giá trị 1 tại một nút xác định và nhận giá trị 0 tại nút khác.- Tổng của hai hàm nội suv ữong phân tố bằng 1 ở mọi vị trí bên trong phần tử, kể
cả ờ trên biên.
2.2.3 Hàm nội suy toạ độ
Quan hệ giữa biến X bên ữong phần tử với các toạ độ nút được gọi là hàm nội suy tọa độ Hàm nội suy tọa độ được xác định như sau TừiV trong số hạng đầu của (2.9) rút ra x:
X = X - N ị x — x ) = N x + x — N XJ > \ J • J i ' J ' ý
thay N = 1 - N vào số hạng thứ hai của (2.9) sẽ được:
X = N, X , + N x = [n ^ ] | x' |( 2.12)
Trang 312.2.4 Đạo hàm của hàm nội suy nhiệt độ
Lấy đạo hàm của [N] theo X trong (2.10) với Xị = 0, Xj = / thì:
d [ N ] d r -1
- L —À = J L \n a m =
dx d x l ‘ ' J
11
l l - Ị [ - I ! ] [ * ] (2.13)
2.2.5 Gradient nhiêt đơ• •
Tuy T T là ẩn số chưa biết phải tìm, nhưng trong m ột phần từ thì T.,T có giá trị
khòno đổi, nẽn nhiệt độ T trong phần tử chi phụ thuộc vào X vậy gradient nhiệt độ sẽ là:
CỈT d N d N- = — ỉ-T + — r,dx clx dx ’hav — = - - r + - T = - [ - 1 ỉ] \ tA dx r I 1 I 1 J [ r J(2.14)(2.15)
Vì T.,T là có giá trị không đổi nên gradient nhiệt độ là hằng số trong phần tử khi nhiệtđộ thav đổi tuyến tính Ký hiệu — = g thì (2.15) đươc viết gon hơn:
dx
í = [fl]{7'} (2 1 6 )
Với: - g là gradient của trường biến nhiệt độ;- [B] là ma trận đạo hàm của hàm nội suy;
— {ý'} là v é c tơ nhiệt độ.
Sự thay đổi cùa các hàm nội suy, nhiệt độ và các đạo hàm bên trong phần tử tuyến tính trên được thê hiện trên Hình 2.1.
N,
dN1
dx
C Ẩ N i
~ũĩ —
Giá trị hàm nội suy bên trong phần tử
Thay đổi nhiệt độ bên trong phần tử
Đạo hàm của hàm nội suy bên trong phần tử
Trang 32Có thể thấy thay đổi điển hình của nhiệt độ là tuyến tính, đạo hàm cùa các hàm nội suy là hằng số bên trong mỗi phần tử Ma trận hàm nội suy [N] và m a trận đạo hàm hàm nội suy [B] là hai m a ừ ậ n rất quan ừọ ng được sử dụng để xác định các đặc tính cùa phần tử sau này.
Thí dụ 2 ỉ M ột thanh dài 12 cm có nhiệt độ tại đầu thanh là 100°c và tại cuối thanh là 160°c Biết ràng nhiệt độ trong thanh thay đổi bậc nhất Tính nhiệt độ tại vị trí cách 8 cm từ đầu thanh.
Theo phương ừ ình (2.5) ứ ù T = N T + N T
Với: Ti = 100°C; Tj = 160°C; .V ' = 0; * = 12icm\ X = 8cm
Tính các hàm nội suy tại X = 8 cm, theo (2.8)
JC —JCj 1 2 - 8 4N =jX — X i 1 oo 1 o 8r ><11 1 2 - 0 12 11■"SH• 1 2 - 0 1 2
trị trên vào nhiệt độ T - N T + N T = — 100 + — 160 = 156,666° c
12 12
2.3 PHÂN TỬ MỘT CHIỀU BẬC HAI
2.3.1 Phân bố nhiệt độ
Phần tử một chiều bậc hai có nhiệt độ thay đổi theo một chiều, nhung là hàm bậc hai của tọa độ:
T(x) = a , + 0L.X + a3x2 (2.17)
ơ đây có 3 tham số a , , 0^2 và a3 cần xác định nên phải có 3 phương trình, bởi vậy mỗiphần tử cần ít nhất 3 điểm nút, đó là các nút i, j và k Hai nút i và k sẽ là hai đầu mút củaphần tử, còn nút j được chọn tại giữa phần tử.
Trong mỗi phần tử cỏ đô dài l = X — X * 1 , nếu lấy ụ X I = 0 thì sẽ có Jt = —: 2 X = l Từ
(2.17) viết nhiệt độ tại 3 nút:
T,=ocrlT, = a, + a , — + a,
Tk = a ] + a 2l + a ĩl
Trang 33Từ (2.18) giải ra các hằng số a p a 2, và a3
«1 =Tr
a ,= (-3 j;+ 4 r y- r ()ỳ;
a , = ( T , - Ì T i + Tt ) j
Thay thế các giá trị a i , a2 và (X3vào (2.17), sắp xếp lại sẽ được:
T(x) =ĩ x 2x~
l + ? V——+2—z /2—
(2.19)
(2.20)
2.3.2 Hàm nội suy nhiệt độ
Nhiệt độ tại các điểm bên trong phần tử được nội suy theo nhiệt độ tại ba nút như sau:
T(x) = N.T.+NjT + N kTk (2.21)
Trong đó N , N và N k là ba hàm nội suy cùa phần tử một chiều bậc hai Viết (2.21) ở
dạng ma trận:
T = [jv, N, « , ] = [w]{r)
Trong đó [ w ] là m a ữận hàm nội suy, Ị r | là véc tơ nhiệt độ nút:
Từ (2.20) và (2.21) rút ra các hàm nội suy cùa phần tử m ột chiều bậc hai là:
N =N,j =N t =, 3^ 2 x 21- — + -l l2 A x A ỵ 24 4 —-/ l2X „ x ~- - + 2-T- / / 2
Lấy tổng các hàm nội suy trong phân tử:
Trang 34Bảng 2.2 G iá trị của hàm nội suy trong phần tử
Giá trị của hàm n ôi suy
NÚIijkHàm nội suyNi 100N 0 1 0Nk 0 0 1Tổng: Ni+ Ni + Nk 1 1 1
Thay đổi của nhiệt độ và thay đổi hàm nội suy của phần tử bậc hai điển hình được thể hiện trên Hình 2.2.
Hình 2.2 Thay đổi nhiệt độ và hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai
Thí dụ 2 2 Xác định giá trị các hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai tại vị trí cỏ toạ độ X = //4, X = 1/3.
Tại vị trí có X = / /4 các hàm nội suy là:
N, =3x 2 x 2~T+~T ỉ 3 (//4 ) | 2(1/ 4) 2/r- = 1-3/4 + 1/8 = 0,3750N J =N k =4 4 - 4 Ặ/ r-X _ X '-r2 e/ử = 1 - 1 / 4 = 0,75u 4 |2 (f/ 4) 2 / = - 1 / 4 + 1 /8 = -0,1250Thấy ngay rằng Ni + Nj + N k = 0,3750 + 0,75 - 0 ,1 2 5 = 1
Tại vị trí c ó X = 1/3,g iá trị của các hàm nội suy là:
Trang 352.3.3 Đạo hàm của hàm nội suy
Viết (2.23) ờ dạng m a trận:
H * [n, (V, Af,] =
Lấy đạo hàm N theo x:
3x 2 x 2‘ - T V,\A X4 4 —-/ —-/2/ \X- - + 2-T- / / 2 (2.25)ííx_ 3 4* / +\ f A o \4 8jc/ I- - w(2.26)
N hư vậy, đạo hàm cùa hàm nội suy trong phần tử bậc hai là các hàm số bậc nhất của tọa độ X.
2.3.4 Hàm nơi suy toa đơ• d • •
Từ hai phương trình đầu của (2.23) rút ra:„ w „ 6 * A x 2 , , , X X 2
2 N = 2 - — + —— và N = 4 —- 4 —
I f - l ử
Cộne hai phương trình trên lại sẽ được:
2 N + N =
' I
V * /
suy ra x : X = 1 - N l - N —<I 2
Vì: N + N + N k = ỉ nên / = 1{N + N + N k) bời vậy, X sẽ là:
x = l (N + N + N ) - N l - N - = 0 + N - + N Jv i j k ' i i ~ i /» k
Lại có X = 0; X, = —; X = l, bởi thế mà X viết được là:
• I > / 2 *
X = N X + N X + N X
i ị J j k k (2.27)
N hư vậy, hàm nội suy tọa độ của phần tử một chiều bậc hai cũng chính là hàm nội suy nhiệt độ.
2.3.5 Gradient nhiệt độ
Đạo hàm bậc nhất của nhiệt độ được viết nhu sau:
d ĩ dN dN dN— = — LT + — 7’, +— k-T
d x d x d x d x
thay (2.26) vào (2.28) sẽ có:
Trang 36Ĩ Ldx3 4x' Vé' 4 _ 8 * ì / 1 A ^1 4x~1+T (2.29)
N hư vậy, gradient nhiệt độ cũng như dòng nhiệt phụ thuộc vào toạ độ X.
TdTdxdN dN (ỈN.i _J kdx cLx dxdN_dx (2.30)
Với ký hiệu gradient nhiệt độ — = ẹ và
dx
í - [ s ] M
dN_
dx= [ f i] thì
(2.31)
2.3.6 Cơng thức nội suy Lagrange đối với các phần tử một chiều bậc cao
Từ các khảo sát trên thấy các hàm nội suy [N] và các đạo hàm của chúng [B] là các hàm số của biến X, chúng liên tục với mọi giá trị X trong phần tử Các loại phần tử chỉ có hàm nội suy [N] liên tục, tức đạo hàm cấp 0 liên tục ký hiệu là phần tử c°, với chi số phía ữèn biểu thị cấp của đạo hàm Các hàm nội suy của phần tử c° được gọi là đa thức Lagrange vì có thể được xây dựng bởi công thức nội suy Lagrange N hững phần tử có hàm nội suy liên tục và đạo hàm của hàm nội suy cũng bào đàm liên tục qua biên giới phía trong
của phần tử, được g ọ i là các phần tử c 1, và các hàm nội su y như v ậ y là các đa thức
Hermite.
Các hàm số nội suy của phần tử dạng c° có thể được xác định một cách tổng quát bàng công thức đa thức nội suy Laerange:
Đa thức nội suy Lagranee cấp (n -1) đối với phần tử một chiều là tích của các tỷ số:
^ w = n ’ : —1 x t - XL (2 -32)
Chú ý ràng trong phương trình trên k * i.
Đối với phần từ một chiều có n nút, các hàm nội suy có thể được viết theo phương trình (2.32) như sau:
- Trường hợp phần tử một chiều bậc nhất có hai nút n = 2:
■X - X, x - x ,
N t = — — /v2= — — ỉ- (2.33)
X ì X 2 X 2 x i
N], N2 là các hàm nội suy tương ứng với hai nút cùa phần tử tuyến tính bậc nhất tức
Trang 37- Đối với phần tử m ột chiều bậc hai, n =3, các hàm nội suy viết theo công thức nội suy Lagrange (2.32) sẽ là:X - X x - x ^Nx \ ~ X2 Xl - * ìM - fz iĩ •2 ~ (2.34)x 2 - JCj X , - JC, X - X x x - x 2x ĩ Xl Xì X2
Nếu chúng ta thay thế AT, = 0; * 2 = - và JC, = / vào các phương trình trong (2.34) trênthì sẽ có:X - —ì ( j c - z ) ,x - x 2 x - x i ^ 2 - Ị 1 3 * 2 x' = T T 7 ” T T 7 " = 7 A - T + ~F~1 X2 Xl X3 _ ± V *■ )t ỉ r x ~ x ' x ~ x ' - f í l l í ì - ị 4 x2 X2 ~ Xl ' X2 - Xi l 1 l\(2.35)x — x, x - x ,Ar1 = L 2 = -X3-JC, -JC2JC- —2l2x Xl2 /
thấy rằng các hàm nội suy trong (2.35) hoàn toàn đồng nhất với các phương ư ìn h trong (2.23).
M ột cách tương tự, các hàm nội suy của các phần tử m ột chiều bậc ba hoặc bậc cao hom có thể dễ dàng được dẫn ra bàng công thức nội suy Lagrange Khi sử dụng các phần tử bậc hai hoặc bậc b a các dạng đường cong nhiệt độ sẽ có xấp xỉ tốt hơn vì chúng ta có nhiều hơn 2 điểm nút ở trên các biên của phần tử.
2.4 PHẦN T Ử HAI CHIÈU TAM GIÁC BẬC NHẤT
Trang 382.4.1 Phân bố nhiệt độ
Phần tử hai chiều tam giác bậc nhất là phần tử tam giác có nhiệt độ bên trong phần tử phụ thuộc bậc nhất vào hai chiều tọa độ X và y, được biểu thị bởi:
T(x,y) = a i + a 2x + a 3y (2.36)
N hư vậy, nhiệt độ có chứa 3 hệ số o il, CX2 và ct3 Để xác định các hệ số này cần viết nhiệt đô tại 3 nút (H ình 2.3.).
► X
Hình 2.3 Phần tũ tam giác bậc nhất trong toạ độ x,y
T = a t + a 2x + ữ , v ;
Tj = a l + a 2x j + a :\ / - (2.37)
Tk = a ì + a 2x t + a iy t
Các hệ số a p a2 và a3 được ã ả i ra theo x , x j , x í và T.,T.,Tk bằng phương pháp định
ửiức như sau:
Các định thức D, D], D2, D; cùa hệ trên gồm:
1 X i J ị>’
D - 1 X y
j J J
} x t y\
(với A là diện tích của tam giác)
Trang 39Để cho gọn, ta ký hiệu:
°, =•*)>*' W b ,=y>-yk; c \=xrx j
a i = x k > \ - x , y \>• b i = y k - y , : CJ = x i - x k ( 2 ' 4 1 )
= * i V W b t=y,-yj; c* =v * i
Thay thế các giá trị của d i, a2 và a3 vào phưomg trình (2.36), sắp xếp lại sẽ có:
r = ^ [ ( a , +ft(* + c(y)7; + (a + fe x + c j ) r + ( a t + ố /k* + cjky ) 7 ;] (2.42)
Phưcmg trình (2.42) cho biết nhiệt độ tại điểm bất kỳ có tọa độ X, y trong tam giác được tính theo nhiệt độ tại ba nút Ti, Tj, Tk của tam giác.
2.4.2 Hàm nội suy
Nhiệt độ tại các vị trí có toạ độ (x,y) bất kỳ trong tam giác được nội suy theo nhiệt độ tại 3 nút của tam giác thông qua hàm nội suy N như sau:
n x , y ) = N lT ,+ N JTl + N tT , ^ [ N i Nj w ,]
Từ (2.42) và (2.43) thấy các hàm nội suy là:
N = Ạ - ( a +b,x + c.y)
' 2 A K 1 ‘ ‘ ’N = —— (a + b.x + c.y)
J2 A V j j 1 >
N “ = ^ ‘( a* +í?*JC + C*)’)
Các hàm nội suy viết theo toạ độ cùa nút:
yk) * +( v xj)y]
^ =^ - [ ( xky , - x,yk) +(yk-yi)^+(xi - xk)
Nt = 2 x [ ( x‘y ' ~ x ' y‘) + (y‘ ~ yj ) x + (x j w
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Để thấy rõ đặc điểm của các hàm nội suy của phần tử tam giác bậc nhất, chúng ta tính giá trị của các hàm nội suy lần lượt tại các nút và lập được bảng giá trị sau:
Bảng 2.3 Giá trị các hàm nội suy tại các nút của tam giác bậc nhất
Nút iNút jNút k
Ni100
Ni010
Trang 40N hư vậy, chúng ta có thể thấy các hàm nội suy có giá trị bằng 1 ờ m ột nút nhất định và bằng 0 tại tất cà các nút còn lại Cũng có thể chứng minh đuợc rằng, tại mọi vị trí bên trong phần tử kể cả trên biên giới ln có:
N + N + N k = 1 (2.46)
2.4.3 Quan hệ giữa biến x,y vói các toạ độ nút
Cũng giống như trong phần tử một chiều bậc nhất, tọa độ của điểm X, y bất kỳ trong phần tử tam giác luôn được nội suy từ các toạ độ nút theo hàm nội suy tọa độ chính là hàm nội suy nhiệt độ:
X = N X + N X + N X ;
(2-47)
y = N èyi + N lyi + N i yk
Chủng ta có thể xác nhận điều nàv qua thí dụ sau.
Thí dụ 2 3 Tìm mối quan hệ của tọa độ điểm bất kỳ ừ ong tam giác theo tọa độ các
N hàn lần lươt các hàm nôi suv trong (2.45) với X , 1 X , X sẽ J K có:
N x = - ^ — ( a x + b x x + c X ' y )2 AN x = - ^ —( a x + b x x + c x y )j J 2 A ’ 1 1 J J j J JN kx k +zw + tw )(1)Tính tổng:N ,x , + N j x i + N kxk = J ^ [ { a,x, + aêx t + a kxk) + x(b.x + b x j + bkxt) + y ( c , x ẩ + cjXj + ckxt)] (2)
Ký h iệu và tính từ ng số hạng ữ o n g dấu m óc đơn của biểu thức trên như sau:
a = ( a x ỉ +a x j +akx k) = ( Xjy k- x y jjc , + ( x ky - x ,y k) ^ + ( x iy - x y ) ^ = 0 b = ( b x + b x + b t x t ) = ( y r y t ) x i + ( y k - y i ) x j + ( y - y , ) x k = 2 A (3 )c = ( c i x i + c i x + c kx k ) = ( x i - x i ) x i + ( x - x k ) x + ( x j - X | ) ^ = 0Thì sẽ thấy (2) là:N X + N X + N X = — (a + bx + c y ) = — (0 + 2A* + 0) = X ‘ ‘ * k k 2 A 2A
Vậy ta có tọa độ X của điểm bất kỳ là:
X = N X + N X + Nl x li i J J k k
(4)