Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 1

Trịnh Văn Quang Cơ sở Phương pháp Phần tử Hữu han Truyền nhỉệt 100 50 Thoi diem (gio) NHÀ XUẤT BẢN THÊ GIỚI c SỞ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TRUYÊN NHIỆT • t T Á C G IẢ PGS.TS Trịnh Văn Quang N h xuất T h ế G iớ i - 2013 - LỜI NÓI ĐẦU ua nhiều năm eiảne dạy Lý thuyết Truyền nhiệt cho Chương trình Cao học Cơ khí cũn° tham gia hướng dẫn đề tài khoa học, nhận thấy tài liệu phương pháp tính nhiệt cần thiết để phục vụ cho công tác aiảne dạy nghiên cứu Cuốn sách “C sớ phưcmg pháp Phần tử hữu hạn Truyền nhiệt ” bièn soạn nhằm đáp ứng phần yêu cầu Q Môn học Cơ sở truyền nhiệt chương trình đại học nước tiên tiến chi dừng phương pháp Sai phần hữu hạn, phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) chưa đề cập đến Vì thế, ừong tính nhiệt, phương pháp PTHH cịn Trèn sở số giảne cho chương trình cao học ngành khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số tro n s đề tài nghiên cứu giải toán nhiệt thực tế, tham khảo tài liệu trone nước, biên soạn “C sở phương pháp PTH H Truyền nhiệt Cuốn sách bao gồm chucm?: Chương trình bày khái quát phương thức truyền nhiệt tóm tắt két giải tốn dẫn nhiệt phương pháp giải tích; Chương nêu khái niệm loại PTHH đại lượng đặc trưng chúng; Chương đề cập đèn phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng PTHH dẫn nhiệt ổn định Đày phần lý thuyết toán quan trọng phương pháp PTHH để tính nhiệt: Chương vào giải số toán dẫn nhiệt ổn định phương pháp PTHH; Chương thiết lập phương trình đặc trưng dẫn nhiệt không ổn định, cách rời rạc theo thời gian cùa tốn, từ giải số tốn dẫn nhiệt khơng ồn định bàng phương pháp PTHH Cuốn sách có thề tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình cao học ngành khí, động lực, chương trình đại học chun ngành nhiệt - lạủh, lượng phục vụ cho công tác nghiên cứu nhiệt lĩnh vực xây dựng cơng trình, luyện kim Với suy nghĩ viết sách cho bạn đọc sử dụng thuận tiện nhất, chúng tơi cố gẳng trình bầy vấn đề cách chi tiết để bạn đọc dễ dàng theo dõi từ vận dụng nghiên cứu toán thực tế Hy vọng sách hữu ích thiết thực với bạn đọc Mặc dù cẩn trọng trình biên soạn, sách cịn có khiếm khuyết, chúng tơi mong nhận góp ý bạn đọc đồng nghiệp Mọi đóng góp xin gửi Bộ mơn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà Nội địa chi quangnhietffiyahoo.com Chúng xin chân thành cám ơn! TÁC GIẢ PGS.TS T rịn h V ăn Q u a n g MỤC LỤC LỜI N Ó I Đ À U CHƯƠNG M Ờ ĐÀU 1.1 K hái q u t 1.2 Phưcmg trình vi phản dẫn nhiệt điều kiện đơn tr ị 10 1.3 Đ iểm qua m ột số toán dẫn nhiệt b ả n 13 1.4 C ác khó khăn phươ ng pháp giải t í c h 25 1.5 T óm tẳt c h n e 25 CHƯƠNG PH Ư Ơ NG PH ÁP PHÀN T Ử HỮU HẠN 2.1 G iới thiệu khái q u t .26 2.2 Phân tử m ột chiều bậc n h ấ t 30 2.3 Phân tử m ột chiều bậc h a i 33 2.4 Phân tử hai chiều tam giác bậc n h ấ t 38 2.5 T ọa độ khu vực đổi với phần tử tam giác bậc n h ấ t 44 2.6 C ác phần tử tam giác bậc hai, bậc b a .46 2.7 Phần tử hai chiều chữ nhật bậc n h ấ t 50 2.8 Các phần từ ba ch iều 54 2.9 Phần từ đẳng tham số,phần tử quy c h iế u 60 2.10 Tóm tất c h n g 74 BÀI T Ậ P C H Ư Ơ N G 75 CHƯƠNG THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA PHÀN TỬ HỮU HẠN 3.1 Phương pháp thiết lập phương trình đặc trưng phần t 77 3.2 Phương pháp biến phân, phương trình Euler - Lagrange 91 3.3 T h iết lập phương trình đặc trưng cùa phươ ng trìn h vi phân dẫn n h iệt theo phươ ng pháp biến p h â n 1 3.4 T h iết lập phương trình đặc trư ng phươ ng trìn h vi phân dẫn n h iệt theo phư ng pháp G a le rk in 109 3.5 Xác định phiếm hàm toán dẫn nhiệt qua c n h 112 3.6 Tóm lắt c h n g 114 CHƯƠNG G IẢ I M ỘT SỐ BÀI TO ÁN DẪN NH IỆT ỎN Đ ỊN H BÀNG PH Ư Ơ NG PH ÁP PH ÀN T Ử H u HẠN 4.1 Dần nhiệt qua vách phẳng m ột lớ p 115 4.2 Dần nhiệt qua vách phẳng nhiều lớ p 118 4.3 Dan nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên tro n g 120 4.4 D ẩn nhiệt qua vách t r ụ 130 4.5 Dần nhiệt qua vách trụ có nguồn bên tro n g 137 4.6 Dần nhiệt qua có tiết diện khơng đ ổ i .143 4.7 Dẩn nhiệt qua cánh có tiết diện thay đ ổ i 149 4.8 Dẩn nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đ n 154 4.9 Dần nhiệt qua phần tử tam giác lắp ghép 158 4.10 Dan nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đ n 173 4.11 Dần nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp g h é p 179 4.12 B ài toán dẫn nhiệt ba c h iề u 190 4.13 C ác to án hình khối có trục đối x ứ n g 191 4.14 T óm tắt c h n g 194 BÀI TẬ P C H Ư Ơ N G 195 CHƯƠNG DÃN N H IỆT KHÔNG ỎN ĐỊNH 5.1 K hái n iệ m 199 5.2 P h n g pháp G a le rk in 200 5.3 Phư ơng pháp biến p h â n 202 5.4 Rời rạc theo thời g i a n 204 5.5 Rời rạc theo thời gian phương pháp sai phân hữu h n 207 5.6 Rời rạc theo thời gian phương pháp phần từ hữu h n 210 5.7 T kết m ột số công thứ c rời rạc theo thờ i g i a n 214 5.8 D ẩn nhiệt không ổn định qua vách p h ẳ n g 215 5.9 D ần n h iệt không ổn định qua t h a n h 218 5.10 D an n h iệt không ổn định qua vách t r ự 222 5.11 Dần nhiệt không ổn định qua phần tử tam g iá c 226 5.12 D ẩn nhiệt không ổn định qua phần tử chữ n h ậ t 241 5.13 T óm tắt c h n g 259 BÀI TẬ P C H Ư Ơ N G 260 H Ư Ớ N G D Á N G IẢ I B À I T Ậ P 263 T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 337 Chương MỞ ĐÀU 1.1 KHÁI QUÁT 1.1.1 Vai trò truyền nhiệt kỹ thuật tự nhiên Truyền nhiệt trình truyền lượng dạng nhiệt vật thể khu vực khác vật thể Có thể gặp tượng nhiệt khắp nơi, từ việc đời sống hàng ngày đun nấu, làm mát hay sưởi ấm khơng khí phịng đến tượng tự nhiên nắng, mưa, giông bão gắn với q trình nhiệt nói chung truyền nhiệt nói riène Trong hầu hết q trình cơng nghệ, từ hoạt động loại động nhiệt động đốt trong, động tua bin, động phản lực đến làm mát động điện, làm mát phận thiết bị điện tử, ln có mặt q trình truyền nhiệt Bời vậy, nói tượng nhiệt nói chung truyền nhiệt nói riêng có vai ừị quan trọng đời sống, kỹ thuật tự nhiên Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề khống chế nhiệt độ làm việc cực đại cùa thiết bị để bào đảm hoạt động bình thường thiết bị, khống chế độ chênh nhiệt độ cục khu vực vật thể để bảo đảm biến dạng nhiệt cục ưong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hủy vật thể Điều chi thực kiểm sốt trình truyền nhiệt thiết bị vật thể 1.1.2 Các phương thức truyền nhiệt, định luật truyền nhiệt N hiệt truyền từ nơi tới nơi khác theo phương thức khác Mỗi phương thức truyền nhiệt có đặc điểm cấu riêng Có ba phương thức truyền nhiệt dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, xạ nhiệt a Dẩn nhiệt Dần nhiệt xảy bên vật thể vật thể tiếp xúc chúng có chênh lệch nhiệt độ Dần nhiệt thực thơng qua q trình truyền dao động phần tử vi mô cấu tạo nên vật thể Q trình dẫn nhiệt xảy chất rắn, chất lỏng chất khí Trong kim loại, dẫn nhiệt thực chủ yếu nhờ trình truyền dao động điện tử tự Trong chất điện môi, dẫn nhiệt xảy nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt Trong chất lỏng chất khí, dẫn nhiệt thực nhờ trình khuếch tán phân tử Lượng nhiệt truyền qua đơn vị diện tích đơn vị thời gian gọi mật độ dòng nhiệt, ký hiệu q (W /m2) M ật độ đòng nhiệt truyền dẫn nhiệt tuân theo Định luật Fourier: «= (U ) ơn Trong đó: q véc tơ mật độ dòng nhiệt; k hệ số dẫn nhiệt (W /mK); ỠT/ổn gradient nhiệt độ với n pháp tuyến mặt đẳng nhiệt Hệ số dẫn nhiệt đại lượng đặc trưng khả dẫn nhiệt vật liệu Trị số hệ số dẫn nhiệt số vật liệu điển sau: Vật liệu Hệ số dẫn nhiệt (W/mK) Kim loại Bạc nguyên chất Đồng nguyên chất Nhôm nguyên chất Sắt nguyên chất Hợp kim Thép không gi Nhôm hợp kim Phi kim loại Nhựa Gỗ Chất lỏng Nước Chất khí Khơng khí khơ 410 385 200 73 16 168 0,6 0,2 0,6 0,025 b Toả nhiệt đối lưu Toả nhiệt đối lưu phương thức truyền nhiệt xảy bề mặt vật rắn chất lỏng khí, chúng có chênh lệch nhiệt độ tiếp xúc với Do phần tử chất lỏng tiếp xúc với bề mặt vật rán trao đổi nhiệt với bề mặt vật bàng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng sát bề mật vật thay đổi nhiệt độ mật độ làm xuất chuyển động tạo thành dòng đối lưu, đồng thời mang nhiệt Chuyển động gọi đối lưu tự nhiên Chuyển động chất lòng tác động lực học từ bên bơm, quạt, khuấy gọi đối lưu cưởng Toả nhiệt đối lưu xảy mạnh trinh chất lỏng sôi hay ngưng tụ Mật độ dòng nhiệt truyền bàng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật New ton Richman: q = h.(Tw- T ) (1.2) Ở đây, q (W /m2), mật độ đòng nhiệt, h hệ số toả nhiệt đối lưu (W /m 2K); Tw Ta tương ứng nhiệt độ bề mặt nhiệt độ môi trường chất lỏng Trị số hệ số toả nhiệt điển hình ữong chat lỏng sau: Hệ số toả nhiệt (W/m2K) 15 -250 Chất lỏng Các chật khí (lững lờ) Các chất khí (chảy) Các chất lỏng (lừng lờ) Các chất lỏng (chày) Các chẩt lịng sơi Các chất lỏng ngưng 100 100-200 2000-35.000 2000 - 25.000 c Bức xạ nhiệt Bức xạ nhiệt trình truyền nhiệt sóng điện từ vật thể Mọi vật thể cấu tạo thành phần vi mị mang điện, ln trạng thái chuyển động nên tạo sóng điện từ, lan truyền trone khịne gian gọi xạ điện từ Khi đập vào bề mặt vật thể khác, phần xạ điện từ bị vật hấp thụ biến thành nhiệt Quá trình truyền lượng nhiệt bàng sóng điện từ đỏ gọi trao đổi nhiệt xạ Mọi vật tồn nhiệt độ T > 0K, nên phát xạ nhiệt đồng thời hấp thụ tia xạ nhiệt từ vật khác chiếu tới trình trao đổi nhiệt xạ q trình hai chiều, vật có nhiệt độ cao lượng bị xạ lớn lượng nhận hấp thụ Khi vật có nhiệt độ nhau, trình trao đổi nhiệt xạ eiữa chúng xảy nhưne càn động, tức vật có lượng xạ bàng lượng hấp thụ vào nên nàng lượng nhiệt độ vật khơng thay đổi N ăng lượng truyền bàne xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luật Stefan Boltzonmann: (1.3) Ở đây, Eo suất xạ vật đen, (W /m2); số Stefan Boltzcrmann ơo = 5,669.10'8 (W /m 2K4); T nhiệt độ tuyệt đối (K) N ăng lượng xạ từ bề mặt vật xám nhỏ lượng xạ từ bề mặt vật đen, xác định bởi: (1.4) Ở đây, E suất xạ cùa vật xám, (W /m2); e hàng số phát xạ vật xám, gọi độ đen Lượng nhiệt trao đổi bàng xạ hai bề mặt xác định bởi: Q = F F G( j ( T ^ - r ) (1.5) F e yếu tố kể đến chất cùa hai bề mặt, Fg yếu tổ kể đến định hướng hình học cùa hai bề mặt xạ 1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẢN NHIỆT VÀ ĐIÈU KIỆN ĐƠN TRỊ 1.2.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt Đe xác định nhiệt độ ứong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ nhiệt độ với toạ độ thời gian, phương ừình vi phân dẫn nhiệt Tách phân tố hình hộp khỏi vật thể đặt toạ độ xyz Phân tố có kích thước dxdydz, Hình 1.1 Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo hướng X, y, z sau thời gian dx: Theo hướng x: Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất: ( 1.6) d Q* = q d y d z d T Lượne nhiệt khỏi phân tố qua mặt thứ hai: í CỈQ = "\ q + - 2j- d x ( lyd z d r ox (1.7) ( 1.8 ) Với q = —k — ' õx CÓ: dQ = — ( k — ) dx d y d z d T x x õx) ‘IQrí iI Hình 1.1 Phân tố thể tích tọa độ x,y,z 10 (1.9) Tương tự theo hướng y theo hướng z, phân to nhận được: / \ dQy = j - k„—~ dx.dy.dz.dr dy >dy ( 10) Jyầ ( 11) a í, ôt) dx.dy.dz.dT d z { ’' d z , Theo ba hướng X, y, z lượng nhịệt phân tố nhận là: dQ = dQx + dQx +dQ = — - — ( kL _s_ —r } -f— ổ ( ,k _ ÕT) ^ -d k( , — ÕT J dx J ( 12) dx d y dz d r dy J ô z \ : õz Hệ số dẫn nhiệt phương trình véc tơ Trong trường hợp tổng quát hệ số dẫn nhiệt cỏ thể ten sơ: k k XX k = k y* kV xy k yy ko k xz (1.13) kJZ k= Nếu bên vật thể cỏ nguồn sinh nhiệt qv (W /m3), lượng nhiệt nguồn sinh phân tố khảo sát sau thời gian d t là: (1.14) q v d xd y d z dT Luợng nhiệt phân tố nhặn dẫn nhiệt nguồn nhiệt bên sinh sau thời gian d t là: — k ÕT — \+— k ÕT (1.15) dxdydzdr — Do nhận lượng nhiệt trên, nội phần tố sau thời gian dx thay đổi là: (1.16) p dx d y d z c ^ - d r r ÕT Theo định luật bào toàn lượng tổng lượng phân tố nhận dẫn nhiệt I _ t J À _ • A • I — V • Ẩ *5 • A • V _ _ ■> _ I Ạ ,Ắ theo ba hướng nguôn nhiệt ừong sinh băng biên đôi nội cùa phân tô: õ_ ôx *1 ẽx õ r ÕT\ ÕT_ k -— +qv =p-cp^ ÔT ôz z (1.17) Phương trình (1.17) gọi phương trình vi phân dẫn nhiệt Nếu vật liệu đẳng hướng, nghĩa hệ số dẫn nhiệt k không đổi theo hướng, phương trình vi phân dẫn nhiệt viết thành: Biến đổi đạo hàm tích thành tổng hai đạo hàm: ÕF ch: d_ ôu + ^ - ( ô u ) ôx Kõ< y ô u 'K ’ * Su V *: õ_ õ_ ( ÕF^ õy du' õy du' \ yJ \ y và: Ỏu + -^—( * (f>) dxdy hay: (3.101) y Công ứiức Green biến đổi tích phân đường tích phân mặt sau: dxdy (3.102) Trong p, Q hàm số hai biến độc lập, D diện tích m iền xác định mặt phẳng tọa độ xoy, s chu vi D Áp dụng (3.102) số hạng thứ hai (b) vế phải cùa (3.101) sau: / \ cbccly - Ẽ - Õu d y dx & * • s , V > \ D õy V ôuy CX Theo điều kiện biên ơu = điểm chu vi trở thánh s m iền í ' dy - % S u \ \ ẽu \ y J c lx = ịS u ■ s \ du' X/ d y -\S u s{ V „\ dF du' (3.103) D, (3.103) dx —0 (3.104) y Khi (3.101) trờ thành dỉ_ ds íí' dF õ_ d_ ÕF du dy du' õx \ d< J y y 100 ỗu ■dxdy = (3.105) Mặc dù bên miền D có ơu * 0, nhung u = biên s chu vi D, nên theo bổ đề bàn phép tính biến phân rút số hạng móc vng triệt tiêu: dF ' dF ^ õx ẽ ' ÕF' õy (3.106) =0 du' yJ V Phương trình (3.106) phương trình Euler- Lagrange phiếm hàm hai biến I[u(x,y)] Phương trình Euler-Laerange tồng quát ba biến độc lập chứng minh tương tự có: ÕF_Õ_ ' cF ẽu õx \ d < J du với — ôx 3.3 d ' ởf' e õy du' dz \ du': / du ; cH' V ÍỔFÌ = (3.107) cu u' =;u'=— CZ TH IẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯ NG CỦA PHƯ Ơ NG TRÌNH VI PHÂN DÂN NH IỆT THEO PH Ư Ơ NG PHÁP BIẾN PHÂN Phương ưình vi phân chũ đạo one dẫn nhiệt ổn định là: d_ ÕT k — õx * õx dy +qv = V (3.108) Các điều kiện biên: T = Tb mặt Si , dT- , ÕT- , c T k ~ ~ i + k ——7 + k -— k + q õx y ôdy y õz (3.109) „ o mặt S ỒT ẽT' ^T' k — i +k — j +k - k + h ( T - T ) = x õx y õy - Ẽz mặt S (3.110) (3.111) Ớ đây, i , j k véc-tơ chi phương cúa pháp tuyến bề mặt, h hệ số tỏa nhiệt đối lưu, k hệ số dẫn nhiệt, q mật độ dòng nhiệt xạ 3.3.1 Xác định phiếm hàm I phương trình vi phân dẫn nhiệt Bằng cách áp dụng phương trình Euler- Lagrange, xác định phiếm hàm I tương ứng với phương trình vi phân dẫn nhiệt với điều kiện biên sau 101 Gọi phiếm hàm tương ứng với phương trình (3.108) Ij, phiếm hàm tương ứng với điều kiện biên (3.110) I2 phiếm hàm tương ứng điều kiện biên (3.111) I3 Do chúng phài thồ mãn phương trình Euler- Lagrange nên viết theo bổ đề phép tính biến phân sau: MÍ ÕT_ d_ õx , ÕT K, — õy ’ ày * õx Ô T \d V = , ÕT: , ÕT~ , ÕTk -— i + k' —- j + k ——k + q ƠT xis = x õx " ■ -íl y õy (3.113) : dz , ’; ÕT ÕT k -— i + k —— +k —- k + h { T - T ) Ổ T \d S = y õy J z ơz «.-j| (3.112) dz (3.114) Trona ƠT biến phân cùa nhiệt độ triệt tiêu biên giới miền khảo sát: mặt bao thể tích V 511, đường biên bao diện tích s2trong ỖI2 đường biên bao diện tích S3 ỖI3 Chúng ta phải xác định phiếm hàm li, I2 I3 Lưu ý ràng, (3.109) điều kiện biên loại 1, sau thỏa mãn áp đặt vào phưcmơ trình đặc trưng tổng thể tồn miền, nên khơng cần thiết lập biến phân phiếm hàm Vì nehiệm tốn phải đồng thời thỏa mãn phương trình vi phân điều kiện biên, tức phải đồng thời thỏa mãn phương trình biến phân phiếm hàm (3.112), (3.113) (3.114) Do biến phân phiếm hàm không, nên tổng phương trình biên phàn phiếm hàm phải bàng Nói cách khác phiếm hàm toán I tổng cùa I), I2 I3 - Xác định phiếm hàm It: Biến phân phiếm hàm có số hạng ký hiệu (a),(b),(c),(d): * /,= / 5_ CX k — V õx (íl J , ÕT = - J■sy-.L lV ĩ ‘ % ) < * * ) ] * * — í í ‘* °* J _!(*) itA =-ịk y í— ổ ự ) d x d y d z= -\k J V = - Ị k - ô [ — ]dxd\'dz = - s íV "> V [— V \ ^ ^ — \ixdydz dx J í Ả: - í — ì lV 2{ ^ \ õx UAt / I / (3.118) dV Vậy số hạng đầu (a) ỎI (3.115) (a) = J V J ,Ì Í ^ Ỵ ST dV = - õx dV (3.119) ' ® (a) T ươns tụ có sổ hạng thử hai (b) ba (c) móc vng cùa 511 (3.115) là: (b)= ịk — l ÍẮ: - i — T dV = dy{ ” õ y ) ỵ l ’ 2(dy) (*>) (3.120) M Ẵ ĩ J Ị t K ) srl v J n i í q í \ d z { l dz) (