Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt: Phần 2

Chương GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT ỎN ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỦ HỮU HẠN T rons chuơ ns khảo sát cách giài số toán dẫn nhiệt ổn định bằns phương pháp PTHH Mặc dù số toán giải phương pháp giải tích đơn giãn, nhưne dùne phương pháp PTHH lại công phu, phải xem xét chúng bao gồm bước bàn sờ quan trọng sau áp dụng cho toán phức tạp mà phươnc pháp giải tích khịns thể giải 4.1 DÃN NHIỆT QUA VÁCH PHẨNG MỘT LỚP Khào sát vách phẳng lớp dàv hệ số dàn nhiệt k Phía mặt trái cỏ dòng nhiệt q, mặt phái tiếp xúc với môi trường nhiệt độ T* hệ số toả nhiệt bề mặt phải h Coi nhiệt độ trc n s vách thay đổi bậc nhất, xác định nhiệt độ hai mặt vách Hình 4.1 Vách phẳna phần từ chiều tương ứng Phằn tử hữu hạn chọn chiều bậc nhất, Hình 4.1 Đó đoạn thẳng ký hiệu © có hai nút ‘ r ‘2 ’ 4.1.1 Ma trận độ cứng véc tơ phụ tải nhiệt Nhiệt độ hai nút hàm nội suy tương ứng biết là: T = N J 1+N J X - X N = — -x - X, va (4.1) N X, - X JC, - x ] 115 (4.2) + Ma trậ n độ cứng Ma trận độ cứng phần tử theo (3.170) [*1 IX K ' Trong đó, vi phân thể tích d v = Adx, diện tích toả nhiệt s = A diện tích dẫn nhiệt - Tính số hạng đầu [K]e: Với ma trận [B], [D], [N] xác định sau Chọn tọa độ x l = ;X, = / , hàm nội suy là: N = 1- — l (4.4) /V = — ' / Ma trận hệ số dẫn nhiệt: [D] = k Đạo hàm hàm nội suy [B]: [ « ] ỳ [ - l 1] -1 nên -1 -1 (4.5) Vậy số hạng đầu [K]ej ‘ -l" -1 Ak " A d x = —— / -1 -l" (4.6) - Tinh sô hạng sau cùa [KJe: s la diẹn tích toả nhiệt mặt phải A Mặt khác toả nhiệt xảy nút nên [N] lấy nút , tức (4.7) = hA 16 0 (4.8) Vậy ma trận độ cứng cùa phần tử Ak A* -1 0 f , + fh\ T -1 í — K I J (4.9) Ak ' —— + hA l Ak + Véc to' phụ tải nhiệt {f} Theo (3.171): { / } = í r Sĩ - Nguồn nhiệt khịng có nèn qv = - Số hạng thử dòne nhiệt q mặt trái, tức nút phần tử nên 0] [N] = [(N,), (N ,),] = [ l - Sổ hạng thử 3, toả nhiệt mặt phải, tức nút phần tử nên 1] [N] = [(N ,), ( N , ụ = [0 Với diện tích xạ 1cùa Stvà tòa nhiệt s_' bàng A, véc tơ phụ tải nhiệt {f} {/} = ưs = Ị q ds + ịh T S? S2 A f“«~1 r~~i = qA + hTA r LUJ A * ' qA ds (4.10) hTA 4.1.2 Phương trình đặc trưng phần tử Phương trình đặc trưng [tf~ì j r ] = Ị /■} cụ thể / í -1 J A k) V ■I Ak_ l I •T ) ‘ \T qA Ih T°A (4.11) L l V í dụ Cho vách phẳne rộng có bề dày / = cm, k = 0,5 w/m°c, q - 100 w/m2 Ta = 40IJC, h = 20 W /m °c Xác định nhiệt độ hai mặt Giải: lay A =1 m2, thay số có: — = = 12,5; qA = 100; hTaA = 40x20 = 800 / 0,04 Thay vào (4.1 i) được: ’ 12,50 -12,50 -12,50" ÍTẠ 32,50 117 Ễ H 4.2 DẢN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG NHIÈU LỚP Khảo sát vách phẳng có lớp, bề dày hệ số dẫn nhiệt lớp tương ứng 1], Ỉ2,13 ki, k2, k3 Mặt trái có dịng nhiệt q, mặt phải có mơi trường nhiệt độ Ta hệ số toả nhiệt h, Hình 4.2 Xác định nhiệt độ hai mặt n g o i, chỗ tiếp xúc dòng nhiệt qua vách Rời rạc vách thành phần tử, lớp phần tử ký hiệu phần tử nút Hình 4.2 © © h T„ V ^ V s N 13 > Hình 4.2 Vách nhiều lóp sơ đồ rời rạc phần tử 4.2.1 Phương trình đặc trưng phần tử Từ kết cùa lớp viết cho lớp sau - Phần tử - (lớp 1) Ma trận độ cứng véc tơ phụ tải nhiệt k^A M ,= k^A k^A k^A - l' Phương trình đặc trưng phần từ qA\ ktA I k{A I• ( J (4.12) ^0 J' Phân tử - (lớp 2) Ma trận độ cứng véc tơ phụ tải nhiệt k2A tn- r kzA k2A '1 kzA "T t \ 118 Phương trình đặc trưng cùa phần tử k2A T k2A 'T k2A (4.13) Ắc,/4 " V - P hần tử - (lớp 3) Ma trận độ cứns véc tơ phụ tài nhiệt k^A [* - kyA LA I h A ĩ} ( k.A — +M l h h Phương ttình đặc trim s phần từ k,A M h LA M k^A + hA (4.14) J ựt\ \h A T v t 4.2.2 Lắp ghép phần tử Đe lấp ghép phần tử, phương trinh ma trận cùa phần tử viết dạng có sơ hạna toàn cục k.A 212 K Phần từ 2\ 0 c 0 ^ 1 0 Tt } ^ I Phần tử k,A -212 0 0 0 0 0 k.A M h k.A - ~ ỉ— k k.A T qA Tt >= 0 Ty T* Tt T, T, T (4.15) o" 0 119 (4.16) Phần tử 3: 0 0 0 0 0 h T, 'k - A x -2— + hA T* liATa, KA - h k^A 7, t2 (4.17) V h Cộng phương trình lại phương trình ma trận toàn cục sau k^A kxA k{A I1 'k A l a ' _ ì_ + V k?A - L L k2A Ti t2 13 (4.18) / k A l a ' ' -Ì— + -Ì— V k qA T* / hATa , kA -l— + hA Kk Với số liệu toán cụ thể giải dược phân bố nhiệt độ vách 4.3 DẨN NHIỆT QUA VÁCH PHẢNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG Khào sát vách phảng dày 2L, hệ số dẫn nhiệt k, nguồn qv, nhiệt độ hai mặt T\V1 Tw2 - Hình 4.3 Vách phẳng có nguồn 120 Trong Chưcmg ta biết phương trình vi phàn tốn chiều ổn định có nguồn bên là: ^ Ị+ % - = dx2 k (4.19) Nghiệm eiải tich tốn hàm bậc toạ độ, Hình 4.3 r(.v ) = v ’ 2k' - ,x: ) - L ì Z Ĩ i L x + L ì ± L ’ 2L (4.20) l Nếu nhiệt độ hai mặt nsồi vách nhau, nghiệm có dạng Khi chi cần khảo sát nửa vách Do phàn bố nhiệt độ ữ o n s vách phẳna có nsuồn bên đường cong, nên dùne phần tử hữu hạn chiều bậc nhấi phần tử chiều bậc hai Chúng ta khảo sát cách sử dụng hai loại phần tử đuói đày 4.3.1 Giải phần tử bậc a R i rạ c m iề n n g h iệ m Xét vách phẳng dài, có bề dày 2L Chia bề dày vách thành n phần tử, n+1 nút, phần tử dài / = 2L/n, Hình 4.4 Diện tích mặt cắt ngang truyền nhiệt A õy ly n = đ â (D â - ã -— n n+1 2L < - — - > Hình 4.4 Rời rạc bể dày thành n phần tử, n+1 nút b M a tr ậ n đ ộ c ứ n g v V é c tơ p h ụ tả i Tính [ k ] { /} - Ma trận độ cứng phần tử nàm bẽn vách theo (3.170), khơng có tồ nhiệt, [* w M M M " 121 Hàm nội suy [N] phần tử chiều bậc đạo hàm hàm nội suy [B] hai tốn trước, nên có ỊcA l -1 -1 (4.22) - Véc tơ phụ tải nhiệt theo (3.171), khơng có xạ toả nhiệt nên [ f} = \ q v [ N ^ d V (4.23) V Khi tính véc tơ phụ tải phần tử ta lưu ý rằng, qv phân bố phần tử, nên hàm nội suy nút lấy giá trị trung bình hai vị trí, tức W A " ,) , [w ]= [w , (V Do dó: [ * ] ! [ , ,] ; { / H i v t X p f l '- L V j M +w 1+0 , 0+1 [ N Ĩ-i V (4.24) (4.25) A.dx = qvAl [l L (4.26) c P h n g trìn h đ ặ c tr n g c ủ a p h ầ n tử Phương trình đặc trưng phần tử có [A"] I / j k.Ã \ kA ỊcA l -1 -1 l kA l kA / l qvAl M FJ qv Al - (4.27) d P h n g trìn h m a tr ậ n tổ n g th ể Lăp ghép phần tử, với trường hợp có phần từ nút, ma trận tổng thể hệ sau kA _ kA l _kA l / kA kA l ì ) -± l f1 kA ^ + kA I [ l kA ỉ 0 qv Al 0 0 kA ỉ qv A l q Al 2 _ r qv A l qv A l ' s' \ kA kA I + I _kA I 122 _kA I kA ì 5/7 Từ có Jacobien (B5.73): õx ôậ õx ôr\ a M - dy ây b b d ị (B5.85) ÔT] 327 Tính đạo hàm hàm nội suy tọa độ gốc (x,y) theo tọa độ quy chiêu Công thức đạo hàm theo biến gốc x,y hàm nội suy ' ÔN ÕN, dx ÔN.1 õỉ ÔN dy (B5.86) Õr1 Định trị Jacobien d et[ ] = det a b b (B5.87) = ab Nghịch đảo Jacobien õỵ_ drj ôx d e t[/] drl ẼL õx _Ị_ -b ab a (B5.88) Ổ?J Theo (B5.86) có 'õN^ 'ơNt ' -b 1 ôx ÕN{ ab a dy ab ÕN1 a (B5.89) õrJ > f 0] ab Ị- a j 'dN2' 'dN, ôx ÕN2 b -b a ab dy ÕN2 Õ T1 rl Ị = J _ Ịb O ) + {-b).Ò\ =— r [ oj a b \ (-l) + a.0 J ab ab a _Ị_ -b ab a (B5.90) íỡiV,] 'dNì õx ƠNÌ -b b -b ab a õy ayv, dn I- b 0.0 + a l ab ab a Vậy đạo hàm hàm nội suy [B] ÔN, ỔN, ÕN, õx [ » ] - ÕN, dx dN, õx ÕN, õy õy dy b -b ab - a a (B5.92) Cuối có thành phần [B]T[B] ma trận độ cứng tam giác ’0 -a b -b a ’0 ab - a b -b a a b»2 328 a2 -a b1 -b a +b - b.2 -a (B5.93) So sánh (B5.93) với (B5.106) sau tính thấy kết tính [ f l ] r [ ] 5.11 Chuyển sang tọa độ quy chiếu y b t4 nl > / TI =1 M y '2 > / 2 ( ( ( H-►x Hình B5.8 Phần tử tam giác © tọa độ gốc (x,y) tọa độ quy chiếu.( £ „ T |) - Tọa độ nút hệ tọa độ gốc hệ tọa độ quy chiếu Bảng 5.14 Tọa độ nút cục tam giác hệ tọa độ gốc hệ tọa độ quy chiếu Nút cục Tọa độ gốc (x,y) Tọa độ quy chiếu (^,T|) 4i ặ Các hàm nội suy theo biển T| yi a x? a Vì b yỉ ni ‘ộ,; b ữong tọa độ quy chiếu - Diện tích tam giác: tọa độ quy chiếu giống tam giác nên điện tích tam giác vậy: ’1 2A = ì % Ỉ2 n2 = n, 0" =1 A = — (B5.94) Các hàm nội suy g iố n g hàm nội suy tam giác 1: Ni = Ĩ - Ỉ - T Ị \ N1 =