Chương 4
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT ỎN ĐỊNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỦ HỮU HẠN
T rons ch u ơ n s này chúng ta sẽ khảo sát cách giài một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bằn s phương pháp PTHH Mặc dù một số bài toán giải bằng phương pháp giải tích hết sức đơn giãn, nhưne khi dùne phương pháp PTHH lại khá công phu, nhưng chúng ta vẫn phải xem xét vì chúng bao gồm các bước cơ bàn là cơ sờ quan trọng sau này áp dụng cho các bài toán phức tạp m à phươnc pháp giải tích khịns thể giải được.
4.1 DÃN NHIỆT QUA VÁCH PHẨNG MỘT LỚP
Khào sát vách phẳng một lớp dàv 1 hệ số dàn nhiệt k Phía mặt trái cỏ dịng nhiệt q, mặt phái tiếp xúc với môi trường nhiệt độ T* hệ số toả nhiệt tại bề mặt phải là h Coi nhiệt độ trc n s vách thay đổi bậc nhất, xác định nhiệt độ hai mặt vách.
Hình 4.1 Vách phẳna và phần từ một chiều tương ứng
Phằn tử hữu hạn được chọn lá một chiều bậc nhất, Hình 4.1 Đó là một đoạn thẳng ký hiệu © có hai nút là ‘ r và ‘2 ’.
4.1.1 Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt
N hiệt độ hai nút và hàm nội suy tương ứng đã biết là:
T = N J 1 + N J 2 (4.1)
X- XX, - X
Trang 2+ Ma trậ n độ cứng
Ma trận độ cứng của phần tử theo (3.170)
[*1 IX K ' <4-3>
Trong đó, vi phân thể tích d v = Adx, diện tích toả nhiệt s = A diện tích dẫn nhiệt.
- Tính số hạng đầu của [K]e:
Với các ma trận [B], [D], [N] xác định như sau Chọn tọa độ x l = 0 ;X, = / , thì hàm nội
suy là:
N = 1 - — và /V = —
l ' /
Ma trận hệ số dẫn nhiệt: [D] = k Đạo hàm của hàm nội suy [B]:
(4.4)[ « ] ỳ [ - l 1] nên-11 và1 -1-1 1 (4.5)(4.6)Vậy số hạng đầu [K]ej
- Tinh sô hạng sau cùa [KJe:
Trang 3Vậy ma trận độ cứng cùa phần tửA*1-1+ fh\00T- 1101Ak7 ,í Akf —K I JAk ' —— + hA l(4.9)
+ Véc to' phụ tải nhiệt {f}
Theo (3.171):
{ / } = í <ỉv - í + í ^ | >r
V S 2 S ĩ
T r o n s đó: - N guồn nhiệt trong khịng có nèn qv = 0.
- Số hạng thử 2 dòne nhiệt q tại mặt trái, tức nút 1 cùa phần tử nên
[N] = [(N,), (N ,),] = [ l 0]
- Sổ hạng thử 3, toả nhiệt tại mặt phải, tức nút 2 của phần tử nên
[N] = [(N ,), ( N , ụ = [0 1]
Với diện tích bức xạ Stvà tòa nhiệt s_' đều bàng A, véc tơ phụ tải nhiệt {f} là
{ /} = ưs = Ị q 1 d s + ị h TS 2 S ? A LUJ Af“«~1 r~~i r * 'd s= qA+ h T AqAh T A(4.10)
4.1.2 Phương trình đặc trưng của phần tử
Phương trình đặc trưng [tf~ì j r ] = Ị /■} cụ thể sẽ làí/1 -1 JVAk_lA k )■ I I l•T.) ‘\T.qAI h T AL °(4.11)
V í dụ 4 1 Cho vách phẳne rộng có bề dày / = 4 cm, k = 0,5 w/m°c, q - 100 w/m2
Ta = 40IJC, h = 20 W /m2°c Xác định nhiệt độ hai mặt.
G iải: lay A =1 m2, thay số có: — = = 12,5; qA = 100; hTaA = 40x20 = 800.
/ 0,04
Thay vào (4.1 i) được: ’ 12,50 -12,50"ÍTẠ
Trang 4- - Ễ H 3
4.2 DẢN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG NH IÈU LỚP
Khảo sát vách phẳng có 3 lớp, bề dày và hệ số dẫn nhiệt các lớp tương ứng là 1], Ỉ2,13 và ki, k2, k3 Mặt trái có dịng nhiệt q, mặt phải có mơi trường nhiệt độ Ta hệ số toả nhiệt h, Hình 4.2 Xác định các nhiệt độ hai mặt n g o à i, các chỗ tiếp xúc và dòng nhiệt qua vách.
Rời rạc vách thành 3 phần tử, mỗi lớp là một phần tử và ký hiệu các phần tử và các nút như Hình 4.2.
h T„
© ©
1 ^ s N 13 >
V V.
Hình 4.2 Vách nhiều lóp và sơ đồ rời rạc các phần tử
4.2.1 Phương trình đặc trưng của các phần tử
Từ kết quả cùa một lớp ở trên có thể viết ngay cho từng lớp như sau
- Phần tử 1 - (lớp 1) Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là
M , =
k^A k^A
k^A k^A
- l' 1
Phương trình đặc trưng của phần từ 1
ktA k{A
qA\
0 '
I I • ( 2 J ^ J
Phân tử 2 - (lớp 2) Ma trận độ cứng và véc tơ phụ tải nhiệt là
Trang 5Phương trình đặc trưng cùa phần tử 2
k2A k2A
T ' T
k2A Ắc,/4
" V
- P hần tử 3 - (lớp 3) Ma trận độ cứ ns và véc tơ phụ tài nhiệt là
[ * 1 -k^A kyAL A ( k.A— + Mh l hI h A ĩ }
Phương ttình đặc trim s của phần từ 3MhL Ak,Ak^Av t+ hAMJ0ự t \ \h A T(4.13)(4.14)4.2.2 Lắp ghép các phần tử
Đe lấp ghép các phần tử, mỗi phương trinh ma trận cùa từng phần tử được viết ở dạng có sơ hạna tồn cục
Trang 6Phần tử 3: 0 00 00 00 0 -hk^AK Ah'k - A x -2— + hAV h007, 0t2 0T, 0T*liATa ,(4.17)
Cộng các phương trình trên lại được phương trình m a trận tồn cục sau
kxAk{Ak^A I1'k A l a ' _ ì _ + 2 -V Lk2Ak?AL/ k A l a ' ' -Ì— + -Ì—V k 13 /00k A-l— + hAK k .TiqAt2 00T*hATa ,(4.18)
Với số liệu của bài toán cụ thể giải ra dược phân bố nhiệt độ trong vách
4.3 DẨN NHIỆT QUA VÁCH PHẢNG CÓ NGUỒN NHIỆT
BÊN TRONG
Khào sát vách phảng dày 2L, hệ số dẫn nhiệt k, nguồn trong qv, nhiệt độ hai mặt làT\V1 và Tw2
Trang 7Trong Chưcmg 1 ta đã biết phương trình vi phàn đối với bài toán một chiều ổn định có nguồn bên trong là:
^ Ị + % - = 0 (4.19)
dx2 k
Nghiệm eiải tich của bài toán là hàm bậc 2 của toạ độ, Hình 4.3.
r (.v ) = - ,x: ) - LìZ ĨiLx + Lì± Ll
v ’ 2 k ' ’ 2 L 2
N ếu nhiệt độ hai mặt nsoài vách bằng nhau, nghiệm có dạng
(4.20)
Khi đó chi cần khảo sát trên một nửa vách.
Do phàn bố nhiệt độ ữ o n s vách phẳna có nsuồn bên trong là đường cong, nên có thể dùne phần tử hữu hạn 1 chiều bậc nhấi hoặc phần tử 1 chiều bậc hai Chúng ta sẽ lần lượt khảo sát cách sử dụng hai loại phần tử đuói đày.
4.3.1 Giải bằng phần tử bậc nhấta R ờ i r ạ c m iề n n g h iệ m
Xét một vách phẳng rất dài, có bề dày 2L Chia bề dày vách thành n phần tử, n+1 nút, mỗi phần tử dài.
/ = 2L/n, Hình 4.4 Diện tích mặt cắt ngang truyền nhiệt A Ở đây lấy n = 4.
n+1
Hình 4.4 Rời rạc bể dày tấm thành n phần tử, n+1 nút
b M a tr ậ n đ ộ c ứ n g v à V é c tơ p h ụ tả i
Tính [k] và { /}
Trang 8Hàm nội suy [N] của phần tử 1 chiều bậc nhất và đạo hàm của hàm nội suy [B] cũng như hai bài tốn trước, nên có
ỊcAl
1 -1
-1 1 (4.22)
- Véc tơ phụ tải nhiệt theo (3.171), do khơng có bức xạ và toả nhiệt nên chỉ còn
[ f } = \ q v [ N ^ d V (4.23)
V
Khi tính véc tơ phụ tải của mỗi phần tử ta lưu ý rằng, do qv phân bố đều trong cả phần tử, nên mỗi hàm nội suy tại mỗi nút lấy giá trị trung bình tại hai vị trí, tức là
[ w ] = [ w , (V Do dó: [ * ] ! [ , , ] ; [ N Ĩ - ivậy { / H i v t X p f l ' - L V jV LW A " , ) , M + w , 1+0 0+1A.dx =qvAl [l2 1(4.24)(4.25)(4.26)c P h ư ơ n g tr ìn h đ ặ c t r ư n g c ủ a p h ầ n tử
Phương trình đặc trưng của các phần tử có [A"] và I / j như nhau
ỊcAl1 -1-1 1kAk.Ã \1qvAlllM - 2kAkA F J qv Al / l 2 (4.27)d P h ư ơ n g tr ìn h m a tr ậ n tổ n g th ể
Trang 9Phân bố nhiệt độ cùa trong vách phẳne cỏ nsuồn trong theo giải tích là hàm bậc hai, vậy có thể khảo sát bài toán bài toán trên bằng phần tử bậc hai Mỗi phần tử bậc hai cần 3 điểm để biểu thị nhiệt độ thay đổi theo hàm bậc hai của toạ độ như đã biết.
4.3.2 Giải bằng phần tử bậc hai
T - N i T i + NjTj + NkTk
Các hàm nội suy đã có trone phần trước:
N = 4.V 4.X '
7 F
/
/-Đạo hàm của hàm nội suy [B] đà xác định được là4 8.í n=-— + ■X 2 x 2 I r-[ • ] - 4 f _ 3 /- / I r-i l _ 1 r- I(4.29)(4.30)(4.31)a M a tr ậ n đ ộ c ứ n gĐẻ tính ma trận độ cứng là [ ^ ] = j £ dỴB~ị d V , cần phải xác định tích số:W W WTrong đó, [D] = k; và chú ý các phép nhàn ma trận sau:r 1 b r -1, rQ ~ Ị r ~ì c i b C i b
-[ a i * = [ flifci +flA ] v à Ị bi] = a2bx a2b2
Trang 10+ Tỉnh ma trận độ cứngM = í , M r M [ 4 " '16.1-2 24x= 1 ^ 7 2-V /-+ 916.V 32.V 24*12— +/ r /^ 16* 32.V2 24.r/ /2 /^ ^ 64jc 64jc21 6 —— + -16.V" 12.r 4*í / " 7 t s, , ' /2 y V 1^16;c 32*^ 8.r— — - ị -4 + —ì /2 /4.V 1 2jc— ỉ - — - —— + 3/2 1 1I 6 x „ 3 2 x 2 8 x A——- 4 — —1 l2 1\ f Ị ^16.V 8jc ,—£— — +1 2 /y/dx
Sau khi lấy tích phân sẽ có: 16.VJ 24jc2[K ] = M ±l 3/2 2/40-x: 3 2 r ’2/ 3/2'l ố * 3 16jc2+ 9 x/ V \ /40jc2 32-t32/ 3/2- Ì 2 x16 x ĩ ló * 23/2 2/- 1 2 * 16* -_64,v2 +64JC32/ 3/23/2 2/ + 3;c24*2 , 32x3- —— - 4 x — — - 2/+ 3jcN ^ 2 4 x 221- 4 x3 2 ^3/216x3 8.V23 r 213 l 2- + xThav cận sẽ được:M = " 71612+9322 0 - — -1 2322 0 - — -1 2 316■8 + 33 ) Vf 16 > /— - 8 + 3V1 6 -3 2 +64/ V \ /1 2 -4 - 321 2 - 4 32 163 ■4 + 1Afc6114 -1 6-1 6 32 -2 -1 6 1
Trang 11lây tích phàn sẽ được:[ / ] = <h A3.v: 2.x' )x 21 + 3/: -4.v: 4.V'21 3/-V _.Yl ĩ wLr 121 / - - / + - /2 3- qyA 2 / - —/3/ 2 1 2 3-tì= qvA-6 - 9 + 4 1 2 - 8 qvAlY4- 3 + 4 6 1c P h ư o n g t r ìn h m a tr ậ n d ặ c t r ư n g c ủ a p h ầ n tửT ỉ14 - 1 6 2-1 6 32 -1 62 -1 6 14qyAl! 1 4 1(4.38)(4.39)
T h í d ụ 4 2 Vách phảng dày 2L = 0,06 m; hệ số dẫn nhiệt k =12 W/m°C; nguồn trong
qv = 200000 W /nv; nhiệt độ hai mặt naoài đều bằng Tw =30°c Xác định nhiệt độ trong tấm.
Do nhiệt độ đối xúng, nên chi cần khảo sát nửa tấm.
Giãi bans 4 phần tử bậc nhất 5 nut Chiều dài mồi phần tử: / = L/4 = 0,03/4 = 0,0075(m)qv = 200000w/m L = 0,03 m k - — >© © © © f ã ô ô ỡ 3 4 5T w = 30° cX = 0
Hinh 4.5 Rời rạc các phần tử ưẻn nừa tam phàng có nguồn trong M a trậ n toàn cục của hệ: theo (4.28) ma trận toàn cục của hệ như sau
Trang 12Cho A = lm 2 • Tính kII = 12/0,0075 = 1600 m2/W ; qv //2 = 200000x0,0075/2 = 750
w/m Thay trị số trên vào phương trình ma trận đặc trưng tồn cục được
(4.41)
Áp đ ặ t điều kiện biên
Tại bề mặt có nhiệt độ T\v = 30 = T 5 , nên phải áp đặt điều kiện biên như sau Đe T5 =
1600 -1600 0 0 0 750-1 6 0 0 3200 -1600 0 0 t2 15000 -1600 3200 -1600 0 4T, 15000 0 -1600 3200 -1600 T* 15000 0 0 -1600 1600 75 75030 thì:
- Hàng thứ 5 chi có một hệ số 1 của nhiệt độ T5 là: 0.7^ + 0.7, + 0.7^ + 0.7^ + ,rs = 30- Hàng thứ 4: nhân nhiệt độ Ts = 30 vào cột 5, là -1600x 30 = - 48000, rồi chuyển sang
vế phải: 07; + 0 7 ;-1 6 0 0 7 ; +32007; +07, = 3 0 x 1 6 0 0 + 1500 = 49750Ma trận toàn cục sau khi áp đặt điều kiện biên là
1600 -1600 0 0 o ' 750-1600 3200 -1600 0 0 t2 15000 -1600 3200 -1600 0 • T, 15000 0 -1600 3200 0 497500 0 0 0 1 30Giải raX 37,5000T2 37,0313i ► — «35,6250T* 33.2813T, 30,0000(4.42)(4.43)
T h í dụ 4 3 Giài bài toán trên bàng phần tử một chiều bậc hai
Theo đề bài có L = 0,03 m; k =12 W/m°C; q v = 200000 w/m3
a K h a o sá t b ă n g s ơ đ ô 1 p h â n tử m ộ t c h iề u b ậ c h a i
Phương trình đặc trưng của phần tử một chiều bậc hai
Trang 13Phần tử cỏ / = L = 0,03 m; 3 nút 1,2 và 3, Hình 4.6 Lấy A =1 m2.< © >i11 2/ = 0.0 3 m < — ->Hình 4.6 Sơ đồ sử dụ ns 1 phần tử bậc hai có 3 nútTính các số hạng: k/6x/ = 12/(6x0.03) = 66.6667; q vx 1/6 = 200000x0,03/6 = 1000
Thay vào phươnc trình đặc trưiie của phần tử sẽ được
' 14 -1 6 X ' r66.6667 -1 6 32 -1 6 <T: • = 1000 4-1 6 14 T, L _1933,3 -1066.7 133.3 T;' 1000-1066 7 2133,3 -1 0 6 6 7 .T: t = - 4000133,3 -1066.7 933.3T*. 1000Hay
Áp đ ặ t điều kiện biên: Do =30 tha\ vào, hệ trở thành
’ 933,33 -1066.7 0 ' t' 1000-133,3x30 -2 99 9 ,0-1066,7 2133,3 0 « T, 4 0 0 0 + 1 0 6 6 , 7 x 3 0 36001001 T._ 30 3 0Giải ra được/ t\ ỉ ' I37,510135,631730,0000(4.45)(4.46)(4.47)b K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ 2 p h ầ n t ử m ộ t c h iề u b ậ c h a iPhương trinh đặc trưng của phần từ
/U~6Ĩ’ 14 -1 6 2 ( 'í ị T ’ l"CỊ M-1 6 32 -1 6 J j \ 42 -1 6 14 T1 1(4.48)
Trang 141= 0,015
Hình 4.7 Sơ đồ sử dụng 2 phần tử bậc hai Phương trình ma trận đặc trưng của hai phần tử là như nhau
Phần tử 1Phần tử 2’ 1 8 6 6 , 7- 2 1 3 3 , 32 6 6 , 7 'X 5 0 0-2133,3 4 2 6 6 , 7 -2133,3 T 2• = < 2 0 0 0266,7 - 2 1 3 3 , 31 8 6 6 , 7t k 5 0 0" 1 8 6 6 , 7 -2133,3 2 6 6 , 7 "X 5 0 0- 2 1 3 3 , 34 2 6 6 , 7 -2133,3 <T* ► — < 2 0 0 0 ■2 6 6 , 7 -2133,3 1 8 6 6 , 7 Ts 5 0 0Lắp ghép được1866.7 -2133,3 266,7 0 0 Tt ' 500-2133,3 4266,7 -2133,3 0 0 T2 2000266,7 -2133,3 (1 8 6 6,7+1 8 6 6,7) -2133,3 266,7 «ị ■ = <500 + 5000 0 -2133,3 4266,7 -2133,3 20000 0 266,7 -2133,3 1866,7 Ts. 500
Trang 15So sánh các nghiệm của các phương pháp giải tích, phần tử bậc nhất, bậc hai một phần tử và hai phần tử như sau
Bảng 4.1 So sánh nghiệm của các phương pháp
T, T: T, T< Ts
PTHH bậc hai 1 phân tử 37.5101 35,6317 - 30,0000
2 phân từ 37.4524 36.9862 35.5843 33,2523 30,0000
PTHH bậc nhải (5 phần từ) 37,5000 37.0313 35.6250 33,2813 30,0000
Nghiệm giài tich 37,5000 37.0313 35,6250 33,2813 30,0000
Thấy rảne nghiệm PTHH khi dùng 5 phần tử bậc nhất chính xác hơn hai phần tử bậc hai
Trường hợp nhiệt độ hai mặt khác nhau
Thí dụ 4.4 Vách phẳng dày 2L = 0.075 m; hệ số dẫn nhiệt k =12 W/m°C; nguồn
ữong qv = 200000 w /m 3; Cho biết nhiệt độ hai mặt ngoài là Twi 45 °C; TW2 = 30°c Xác
định nhiệt độ trong tấm, giải bằng 10 phằn tử bậc nhất, 11 nút Chiều dài mỗi phần tử: / = L/10 = 0,075/10 = 0,0075(1X1)
q v = 2 0 0 0 0 0 W / m 3
Twi=45°c® ® (D @ ® © ® (D ® ®
2 3 4 5 5 7 8 9 10 ]
30°c
Hình 4.6 Rời rạc vách phẳng có nguồn trong.thành 10 phần tử
Phương trình đặc trưng vần có dạng như (4.39), chi khác là có 11 nút nên K là ma trận1 1 x 1 1 Thay giá trị số vào được
'1600-160000 0 0 0 0-16003200-1600000000 -1600 3200 -1600 0 0 0 000-16003200-160000000 0 -16003200-1600 0 00000-16003200-1600000000-16003200-160000 0 0 00-160032000000000-16000000000000000000
Áp đặt điều kiện biên TWj = 45°c T w2= 30°c
Trang 161000000000o ' V4 503 2 0 0- 1 6 0 0000000007 3 5 0 00- 1 6 0 03 2 0 0- 1 6 0 00000000 T, 1 5 0 000 -16003200-16 0 0 00000 0 T, 150000 0-16003200 - 1 6 0 000000 T, 15000000- 1 6 0 0 3200-1 6 0 0 0000■ = 150000000-1 6 0 03200-1600000 t7 1500000000-1 6 0 03200-16 0 000 1 5 0 00000000- 1 6 0 03 2 0 0- 1 6 0 00 t9 1 5 0 000000000- 1 6 0 03 2 0 00 T*10 4 9 5 0 000000000001 T.11.3 0
Giải ra nghiệm và thể hiện trên đồ thị như sau:
45.000047.718849.500050.343850.2500 49,218847.250044.343840.500035.718830.0000(4.56)
Hình 4.6 Phân bố nhiệt độ trong vách phăng có nguồn bên trong
4.4 DẢN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ
Xét vách trụ đường kính trong di, ngoài d2 , hệ số dẫn nhiệt k, m ặt trong có nhiệt độ Tml, mặt ngồi toả nhiệt ra mơi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, có thể coi thay đổi nhiệt độ là tuyến tính.
Chọn 1 phần tử một chiều bậc nhất, chiều dài phần tử là bề dầy vách / = r2 - n , Hình4.7.
Trang 17Thể tích phần tử khảo sát là V = 7i(r22- ri2) x l, vi phân thể tích là d v = 2m dr N hư vậy
biến số độc lập trong vách trụ là r thay cho X trong vách phẳng N hiệt độ trong vách trụ vẫn tuân theo các công thức của phần tử một chiều bậc nhất, được nội suy qua nhiệt độ hai nút:
T = N T + N T
1 'V l ' 2*2 (4.57)
4.4.1 Hàm nội suy
Khi đặt ri = 0; r2 = r, các hàm nội suy [N] đối với vách trụ cũng giống như đối với vách phẳng sẽ là:
/ \
r
C h
4.4.2 Đạo hàm của hàm nội suy
Đạo hàm của hàm nội suy [B] cũng như trong vách phẳng
1]
Toạ độ r được biểu thị qua hàm nội suy như sau:
r = Nf i + N i ri
4.4.3 Ma trận độ cứng
M a ữ ận độ cứng của phần tử vách trụ vẫn theo công thức
- Tỉnh số hạng thứ nhất'.
Tích số [ f l ] r [ o ] [ f i ] đối với phần tử một chiều bậc nhất, ta đã biết là
' H
1 -1
-1 1
Ở đây, vách trụ có chiều dài phần tử là / , và /2 = (r2 - ỷ Bởi vậy,
Trang 181 -1-1 1
(4.62)Sau khi thay cận có
- T ín h s ố h ạ n g th ứ h a i:
Diện tích toả nhiệt m ặt ngoài vách trụ là A = 2ĩtr2x l T oà nhiệt chỉ ở nút 2 đã tính ữong (4.7), nên có"o o'j /j[yv]r [w ]í/S = Ị/j 0 [0 l]rfS = 2ĩĩ.r2hA 0 1Vậy ma ưận độ cứng [K] là2t* ( ' ; + r1)■ 1 - l ’+ 27i.r ,h oo- 1 1 2 0 12
4.4.4 Véc tơ phụ tải nhiệt
Do chi toả nhiệt tại mặt ngồi có diện tích A = 27tr2x 1, nên
{ f } = \ h T a[ N ^ dS = h T 2 n r ^
4.4.5 Phương trình đặc trưng của phần tử
Cuối cùng có phương trình đặc trưng phần tử là
(4.63)(4.64)(4.65)[ 2 n k ír + r Jl ( r2 - r ) 21 -1-1 1 + 27T.r2/j0 0 0 1 1 \ = h T 271.K 1°1 (4.66)
T h í d ụ 4 4 Tính nhiệt độ mặt ngoài và phân bố nhiệt độ trong vách trụ với số liệu
sau: ĩ\ = 30 cm, Ĩ2 = 50 cm, k = 15W/m°C Mặt trong c ó Twi =80°C; m ặt ngồi có h = 10w/m2 °c, Ta = 20°c.
a K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ m ộ t p h ầ n t ử b ậ c n h ấ t
Trang 19Chiều dài phần tử / = Ĩ2 - ri = 50 - 30 = 20 cm - 0,2 m M a trận độ cứng và véc tơ tải như sau
I n k (r, + r2)[ * 1 -h - ) 2 2ỉrA5 (0,5+ 0,3)' 1 - l '+ 2 jr.r,h1o01-1 1 2 0 10,2 2 188,4955 -188,4955-188,4955 219,9105' 1 - ì ' "o o '+ 2 ^ 0 ,5 1 0- 1 1 0 10,„0,Ị»Ị=|628»185ỊPhương ữ ình m a trận đặc tn m g của phần tử là188,4955 -188,4955-188,4955 219,9105Áp đặt điều kiện biên: T1 = 80°c sẽ có
1 0 0 219,91050628,318580628,3185 + 188,4955.80(4.67)(4.68)(4.69)(4.70)Giải ra: T2 = 71,4286°cb K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ h a i p h ầ n t ử b ậ c n h ấ t
Khi coi bề dày vách trụ gồm hai phần tử, sơ đồ sẽ có ba nút: 1, 2 và 3 Chiều dài mỗi phần tử là:
/ = (r2 - T])/2 = (50 - 30)/2 = 10 cm, ba nút tương ứng với các toạ độ là: ri = 30 cm, r2
Trang 20Phàn tử 1: Phần tò 1 có hai nút 1 và 2, khơng có đối lưu- M a ư ận độ cứngM , =2n k ( 'l + 'O 1 -1-1 1( r2 " r.) 2 ‘ 329,8672 -329,8672-329,8672 329,86722 n \5 (0,3+ 0,4)0,11 - 1-1 1- Véc tơ tảiW-H- Phưcmg trình ma trận đặc trưng:329,8672 -329,8672'-329,8672 329,8672 Q
• PAầ/1 tử 2: Phần tử 2 có hai nút là 2 và 3, có đối lưu tại nút 3
Trang 21+ Áp đặt điều kiện biên: do Ti = 80°c, nên1 0 0 X 800 753,982 -424,115 <T2 329,8672x800 -424,115 455,531 628,318(4.78)X '80,000Giải ra T2 ► = «75,11371,312(4.79)c K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ 4 p h ầ n t ử b ậ c n h ấ t
Khi chia bề dày vách trụ thành bổn phần tử, sơ đồ sẽ có 5 nút: 1, 2, 3, 4 và 5 Chiều dài mỗi phần tử là: / = (50 - 30)/4 = 5 cm, năm nút tương ứng với các toạ độ là: ri = 30 cm, Ĩ2 = 35 cm, Ĩ3 = 40 cm, r4 = 45 cm, r5 = 50 cm.
• P hần tử 1: Phần tử 1 cỏ hai nút 1 và 2, khơng có đối lưu
Trang 22Phần tử 2: Phần tử 2 có hai nút là 2 và 3- M a trận độ cứng:2 n k (r2 +r}) 1 -1 2tt.15 (0,35 + 0,4) 1( r ,- r 2) 2 -1 1 ( 0 ,4 -0 ,3 5 ) 2 -1'7 0 6 ,8 6 -706 ,8 6-706,86 706,86- Véc tơ tải- Phương trình ma trận đặc trung:- Phương trinh ma trặn dặc trung:
‘ 706,86 -706,861 ír2 Ị _ JoỊ-706,86 706,86 J [rj J |o|
• P hần tử 3: tương tự ư ên có m a trận độ cứng và phương trình đặc trưng
r 1 2 n k (r3 + ) Ị~ 1 -1~| 2 n \5 (0,4 + 0,45) Ị~ ĩ - l "L ^ ~ l 2 -1 1 0,05 ' 2 - 1 1801,11 -8 0 1 il"-801,11 801,11,r‘H :*801,11 -801,11"-801,11 801,11 J Ịt4
• P hần tử 4: có đối lun tại nút 5
Trang 23+ L ắ p r á p p h ư ơ n g trìn h đặc trư n g tổng thể" 612,61 -612,61 0 0 0 0-612,61 1319,46 -706,85 0 0 t2 00 -706.85 1507,96 -801,11 0 <T> * = " 00 0 -801,11 1696,46 -895,35 00 0 0 -895.35 926,765 Ts 628,318
+ Á p đ ặ t điều kiện biên với T] = 80°
’ l 0 0 0 0 800 1319,46 -706.85 0 0 T, 49008,80 -706.85 1507,956 -801,11 0 ■i 00 0 -801,11 1696,46 -895,35 T* 00 0 0 -895,35 926,765 T, 628,318Giải ra nghiệmX 80,0000'T2 77,3708' i 75,092173,08117* 71,2818
So sánh kết quả của các sơ đồ và nghiệm giải tích như sau
B ả n g 4 2 So sánh nehiệm của các phương pháp
(4.90)
(4.91)
(4.92)
N hiệt độ nútT,T ,t3 t4 Ts
Sơ đô 1 phân từ80 71,4286
Sơ đô 2 phân từ80 - 75,1130 -71,3120
Sơ đô 4 phân từ 80 77,3708 75,0921 73,0811 71,2618
N ghiệm giải tích 80 77,3656 75,083573,0706 71,2700
4.5 DẢN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ CÓ NGUỒN TRONG
Xét vách trụ đường kính trong di, ngoài d2, hệ số dận nhiệt k, mặt trong có nhiệt độ Twi, mặt ngồi toả nhiệt ra môi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, bên trong vách có nguồn qv.
4.5.1 Ma trận độ cứng
Khi phần tử có nguồn bên ữong, phương trình ma trận độ cứng (4.64) vẫn không thay đổi
C l I n k ('•,+'•,)[ 1- l i fo o'
Trang 244.5.2 Véc tơ phụ tải nhiệt
Véc tơ phụ tải, ngoài số hạng đối lưu sẽ có thêm số hạng nguồn trong j qv [yv] In rdr
r
M = L hT« M r d S + í M r l n -rdr (4 -94)
r
- Số hạng đối lưu đã biết là
- Tính số hạng nguồn trong, ký hiệu [ / ] :
M , v = í q v [N]r 2 n r d r ( 4 -9 5 )
r
Biến số độc lập r ữong tọa độ trụ được biểu thị theo hàm nội suy
r = N lrt + N i rì (4.96)
Với các hàm nội suy N i và N2 là:
N, = 1—y ; N 2 =!j (4.97)
thay (4.71) và (4.72) vào (4.70) sẽ được:
[ / ] „ = í 2^ v
rN 2
N r + N N r
( 4 -9 8 )Để tính biểu thức trên, có thể áp dụng cơng thức tích phân:
a \ b \
f N 'N 'd l = — — — (4.99)
J ' ' ' {a + b + l) \
Với N.-,N là hàm nội suy cũng là các toạ độ khu vực; a, b là các số mũ Các số hạng
f N ]N \dl = — — — = - và f N ;dl = — — — = - (4.100)J' ' (1 + 1 + 1)! 6 J' 1 (2 + 0 + 1)! 3
Thực hiện tích phân số hạng nguồn trong (4.98)
- rj
[ / ] = 2 7rqv ĩ l 6 2 =^ ị 2r> + r4 r | ; f = z n l ị 2ri +rA (4.101)v L r + L r 6 V + 2 r J 1 6 \ r l + 2r2 Ị
- 6 1 3 2 _ L
Vậy véc tơ tải của phân tố là
Trang 254.5.3 Phương trình ma trận đặc trưng
Phương ữ ìn h m a trận đặc trưng của phân tố vách trụ có nguồn trong là
2JTk ( r, + r2)(r2 - r , ) 21 -1-1 1 + ln r2h0 0 0 1 ^ \ = hT 2 n r, 1 °2írqv (r2 - r , ) 12r, + r2(4.103)l ri + 2r2.
T h í d ụ 4 7 Giải b à i to á n vách trụ k h i biết n h iệ t độ tạ i hai măt vách.
Vách trụ cỏ đường kính trong 30 cm, đường kính ngoài 50cm, hệ số dẫn nhiệt 1,2 w /m °c Vách có nguồn nhiệt thể tích 1000W/m3 M ặt trong vách có nhiệt độ 30°c, mặt ngoài vách có 2 5°c Xác định phân bổ nhiệt độ ừ ong vách.
Chia bề dày vách thành 4 phần tử mỗi phần tử dài / = (50-30)/4 = 5 cm như trên Hình4.8 Toạ độ các nút r t = 0,30 m; r2 = 0,35 m; r3= 0,40 m; r4 = 0,45 m; rs = 0,50 m
Tw l= 30°c
(
1
T w2 = 25°c
Hình 4.11 Rời rạc phần tử hữu hạn trong vách trụ
a M a t r ậ n đ ộ c ứ n g c ủ a c á c p h ầ n t ử
Phần tử 1 không có đối lưu mặt trong nên có cơng thức như sau
IV1 271.k (r,+ r2) " 1 - l" 2 n X 2 (0.3 + 0,35) ' 1 - l ' " 49 -4 9
L 2 -1 1 0,05 2 -1 1 -4 9 49
Trang 26Phần tử 4 có đối lưu,nên m a trận độ cứng là: 2 n k (r4 + r5)w -'7 1 ,6 3 -71,63-71,63 71,63' 1 - l ' _ 2*1,2 (0,45 + 0,5) ' 1 - l '-1 1 0,05 2 - 1 1(4.107)
b V é c tơ phụ tải nhiệt của c á c phần tử
Véc tơ tải nhiệt của phần tử 1, khơng có đối lưu
, ị 27t.qv {r2 - r , ) Í2r, + r2| 2* 1000(0 ,3 5-0,3) [2 0,30 + 0, 35] _ [49, 74]
* 6 V , + 2 r J 6 [ 0,3 + 2 0, 3 5 ] [5 2 ,3 6 /
Véc tơ phụ tải của các phần tử 2 và 3 khơng có thành phần đối lưu là, J 2n.qv ^ - r 2) [2r, + r,Ị 2^.1000.0,05 [2.0,35 + 0, 4 ] [57,58]* ' 2 “ 6 ’ { r , + 2 r j 6 [0,35 + 2 0,4 } - [60,20]
ị f ị = 2 n q v {rA — ra) Í2r, + r4 ] 2^.500.0,05 [2 0 ,4 + 0 ,45Ị _ í 6 5,44ì
' ' 3 ~ 6 [ r , + 2 r j “ 6 jo ,4 + 2.0,4 5} ~ [68,06 JVéc tơ tải nhiệt của phần tử 4 có thành phần đối lưu là
( / } , = k \ N r d n J - ĩ ^ , \ 2r> + f Ị = 2^.500.0,05 f 2.0,45 + 0 , 5 | J 73 3 0 ]' ' J 6 V 4 + 2 r J 6 |0 4 5 + 2 0 ,5 j [75,92J ' ’c L ắ p g h é p c á c p h ầ n t ử49 -4 9 0 0 0-4 9 105,55 -5 6 ,5 5 0 00 -5 6 ,5 5 120,63 -64,08 00 0 -64,08 135,71 -71,630 0 0 -71,63 71,63
d Á p đ ặ t đ iề u k iệ n b iê n
Trang 27Giải ra nghiệm v à biểu thị ừ ên đồ thị như sauHình 4.12.X 30,0000T2 31,7745• = ■31,367929,0485T> 25,0000
B à i toán vách trụ điều kiện biên giớ i loại ba
T h í d ụ 4 7 Xác định nhiệt độ trong một vách trụ rất dài, đường kính trong 30 cm,
ngoài 50cm cỏ nguồn nhiệt thể tích 500w /m 3 hệ số dẫn nhiệt 1,2W/m°C Bên trong vách có chất lỏng nhiệt độ 3 0 °c, hệ số tòa nhiệt 200W /m 2 ° c , bên ngoài tiếp xúc với chất lỏng nhiệt độ 25 °c, hệ số tỏa nhiệt 12W/m: °c.
Chia bề dày vách thành 4 phần tử, mỗi phần tử dài / = (50-30)/4 = 5 cm như trên Hình 4.13.T., = 30°ch| = 2 0 0W / m 2 °cM ặt trongT s2 = i a2 — 25°c^~ z+ h 2 = 1 2 W / m 20CM ặt ngồi
Hình 4.13 Rời rạc phần tử hữu hạn trong vách trụ
Toạ độ các nút ĩ| = 0,30 m; Ĩ2 = 0,35 m; Ĩ3 = 0,40 m; r4 = 0,45 m; Ĩ5 = 0,50 m.
a M a tr ậ n đ ộ c ứ n g c ủ a c á c p h ầ n t ử
Phẩn tử 1 có đối lun mặt trong nên có cơng thức như sau
Trang 28Các phần tử 2, 3 khơng có đối lưu nên có cùng dạng công thức, chỉ khác nhau về các Tị27ĩ.k (r2 +r3)‘ 1 - 1" _ 2^ 1,2 (0 ,3 5 + 0,4 0) " 1 - 1"(r3 “ Ọ 2 -1 1 0,05 2 -1 1" 1 - ĩ 27T.1,2 (0 , 4 + 0,4 5) ■ 1 -1'-1 1 0,05 2 -1 156,55 -56 ,55-56 ,55 56,55O I — (/~3 + /;)L Js (r4 - r , ) 264,08 -6 4,08'-6 4 ,0 8 64,08Phần tử 4 có đối lưu,nên m a trận độ cứng là:2 n k f c + ' i )[ * 1 -( r* - r«) 2 2n\ , 2 (0 , 4 5 + 0,5)’ 1 -1""00"+ 2 n r h - 1 1 5 2 01‘ 1 - 1" 1 001’ 71,63 -71,63"+ 2^.0,5.12 —-1 1 0 1 -71,63 109,330,05 2b V é c t ơ p h ụ t ả i n h iệ t c ủ a c á c p h ầ n t ử
Véc tơ tải nhiệt cùa phần từ 1, có đối lưu tại điểm 1
2 ^ 5 0 0 (0 ,3 5 -0 ,3 ) Í2.0,30 + 0,35Ì „ i l l= - ^ :_£J 1 + 200.30.2^.0,3 ^ f
6 [ 0,3 + 2.0,35 J [oJ
[2 4,871 í l 1309,7 3Ị _ íl1334.60Ì[ 2 6 ,1 8 j+ { 0 r í 26,18 J
Véc tơ phụ tải cùa các phần tử 2 và 3 khơng có thành phần đổi lưu là, J 27T.<?v, ( r , - r 2) ị l r 2 + r ,Ị 2^.500.0,05 [2.0 ,3 5 + 0, 4 ] [2 8,7 9]
' - 6 Ịr2*+2r,J 6 [0,35 + 2.0,4 } _ [ 30, 10]
I _ 2^ ^ ( r 4 - r , ) [ 2r , + r4Ị 2^.500.0,05 [2.0,4 + 0, 45] [ 32,72]
5 6 [ r , + 2 r j “ 6 [ 0 , 4 + 2 0 , 4 5 J [34,03}
Véc tơ tải nhiệt cùa phần từ 4 có thành phần đối lưu là
Trang 29c Lắp ghép các phần tử"425,99 -4 9 0 0 0 T, 11334,60 11334,60-4 9 105,55 -5 6 ,5 5 0 0 T2 26,18 + 28,79 54,790 -5 6 ,5 5 120,63 -64,08 0 Á ► = <30,10 + 32,72 62,820 0 -64.08 135,71 -71,63 34,03 + 36,65 70,680 0 0 -71,63 109,33 T* 980,43 980,43
Giải ra nghiệm và biểu diễn trên đồ thị như sau
30,2405'
T2 31,5824
► = <31,776330,9671
7» 29,2564
4.6 DÃN NHIỆT QUA THANH CĨ TIÉT DIỆN KHƠNG ĐỔI
Khảo sát bài tốn dẫn nhiệt qua thanh thảng dài L, tiết diên chữ nhật, bề rộng b, bề dày a, hệ số dẫn nhiệt k Gốc thanh có nhiệt độ Tb Đình thanh cách nhiệt, mặt xung quanh thanh tỏa nhiệt ra môi trường nhiệt độ Ta, hệ số tỏa nhiệt h, Hình 4.15.
Trang 30N hiệt độ trong các phần tử là tuyến tính, nên: T = NjTj + NjTj (4.125)Đạo hàm bậc nhất là:d T dN dN— = — ±T +— ^-T = dx dx dx- T + - T l ' l J (4.126)M a trận gradient là:dT 1 18 ~ dx ~ 1 1= \B T (4.127)(4.128)(4.129)Ở đây: [ fi] = y [ - l 1]Phương trình ma trận:M M - M4.6.1 Ma trận độ cứngTừ (3.151) và (3.170) có:V s
Ở đây vi phân thể tích là d v =Adx; vi phân diện tích là ds = Pdx; A là diện tích mặt cảt ngang của cánh, p là chu vi của cánh từ đó có tỏa nhiệt đối lưu; [D] = k* đối với bài toán một chiều.Hay i \ d x * ị hpI 1 L J sN N N • • j N.N N 2 1 i 'dx(4.130)(4.131)
Trang 31và
N ếu A, kx, p và h là không đổi qua phần tử, các số hạng tích phân trong (4.131) là
(• Ak " 1 - l ' Ak ' 1 - l"1 - ^ dx = — ±ị r- -1 1 l -1 1' l íỊ h P" N 2 1 N N '1 J 1 6 hPl 2 rdx = hP w> VN N N* 1 i 1 / / .6 3.6 1 2Cuối cùng m a ừ ận độ cứng [K]e làAk X' 1 - l ' ìxPl "2 rl -1 1 + 6 1 2 (4.134)4.6.2 Phụ tải nhiệtTừ (3.52) và (3.171) đã cỏ:{/} = Jqv [w]rdV - Ịq[ìfỴ ds + J hT [ N ] r dsV s s
Trong trường hợp này tải nhiệt được phàn bố đều giữa hai nút.
Khi thay thế giá trị sổ cụ thể sẽ nhận được nghiệm của bài tốn đã cho.
(4.135)
(4.136)
T h í d ụ 4 8 Cho biết các kích thước của thanh thẳng như sau: L= 6 cm, a =3 cm;
b=4cm, k = 300W /m°C Gốc thanh nhiệt độ Tb = 100°c, môi trường xung quanh có nhiệt độ Ta = 3 0 °c, hệ số tỏa nhiệt h= 150W /m2oC, Hình 4.16.
Trang 32a K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ m ộ t p h ầ n tử
Khi thanh chi là m ột phần tử thì 1 = 6 cm, như Hình 4.17
Hình 4.17 Thanh chữ nhật một phần tửA = 0,03x 0 ,0 4 = 0,0012 ; p = (0,04 + 0 ,0 3 )x2 = 0,14 Ma trận độ cứng làhPlr 1AkM T -1 -1-1 10,0012.3000,0661 -1-1 12 1 1 2150.0,14.0,06 2 11' 26,42 -5,79-5,79 6,42Số hạng tải là[ / ] hPlT° Ị 1! = 150.0,14.0,06.30 Ịlj _ |l 8 ,9
Phương trình m a trận đặc trưng của phần tử là6,42 -5 ,7 9-5 ,7 9 6,42
|1 8 ,9|[18,9
Áp đặt điều kiện biên nhiệt độ đã biết tại điểm 1 là Ti = 100°c1 00 6,42Giải ra T2 = 93,13°c10018,9 + 5,79x100b K h ả o s á t b ằ n g s ơ đ ồ h a i p h ầ n t ử (3 nút)
Chiều dài của cánh được chia làm hai phần tử, mỗi phần tử có / = 0,03 m.
Trang 33M a trận độ cứng của mỗi phần tử được tính tốn tương tự với trường hợp một phần tử, nghĩa là1 -1-1 1hPl 2 1 1 20,0012.300 ‘ 1 - l ' 150.0,14.0,03 2 l" ' 12,21 -11,895"0,03 -1 1 6 1 2 -11,895 12,21
Véc tơ phụ tải của mối phần tử là
w-(/,}-^{;}-awr i-3 0K $
Lắp ghép hai phần tử lại như sau Phương trình ma trận mỗi phần tử là:
P hần từ 112,21 -11,895-11.895 12,21Phần từ 2' 12,21 -11,895-11,895 12,219.45;19.45\t2719.459.4512,21 -11,895 0 9,45-11,895 12,21 0 T2 = - 9,450 0 0 T, 00 0 0 X 00 12,21 -11,895 ■ t2 • = 9,450 -11,895 12,21 ị 9,45
Cộng hai phương trình m a trận trên được:
12,21 -11,895 0
-11,895 (12,21 + 12,21) -11,895
0 -11,895 12,21
Áp đ ặ t điều k iện biên: nhiệt độ tại gốc thanh đã cho là Ti =100°c
Trang 34đ â đ ©• • • — — • — — •1 2 3 4 5c Khảo sát bằng sơ đồ bổn phần tử (5 nút)0 ,0 1 50 ,0 1 50,0 1 50 ,0 1 5Hình 4.19 Sơ đồ 4 phần tử, 5 nút
Chiều dài của cánh được chia làm bốn phần tử, mỗi phần tử có / = 0,015 m.M a trận độ cứng của mỗi phần tửAk_ 1 -1-1 1 + -hPl 2 1 1 20,0012.300 ' 1 - l ' 150.0,14.0,015"1" "2 l" ‘ 24,105 -23,9475"0,015 -1 1 6 1' 2 -23,9475 24,105
Véc tơ tải của mối phần tử là
2 [1J 2
Phương trình đặc trưng tồn hệ sau lắp ghép
1 5 0 0 , 1 4 0 , 0 1 5 3 0 ị l |1[4,7254,725’ 24,105 -23,9475 0 0 0 4,725-23,9475 48,21 -23,9475 0 0 t2 9,450 -23,9475 48,21 -23,9475 0 < 9,450 0 -23,9475 48,21 -23,9475 T* 9,450 0 0 -23,9475 24,105 T, 4,725
Áp đặt điều kiện biên T1 = 100°c
Trang 35coshm C L -x) _ T T (4.150)
' ' _1 w v p a ' u
cosh n\L
Với X = [0 0,015 0,03 0,045 0,06]; m = J — = 7,637 ; nghiệm ghi trong bảng so sánh
V k A
sau:
B ả n g 4 2 So sánh nhiệt độ thanh tinh theo các phương pháp khác nhauN ghiệm chính xác:X mm 0,0 0,015 0,030 0,045 0,0601 phân tử 100,00 93,132 phần tử 100,00 94,88924 phần tử 100,00 97,0116 94,0480 93,6516 93,2357Giài tích 100,000 97,0151 94,9107 93,6590 93,2435
Thấy rằng khi sử dụng nhiều phần tử nghiệm có độ chính xác cao sát với nghiệm giảitích.
4.7 DẢN NHIỆT QUA CÁNH CÓ TIÉT DIỆN THAY ĐỔI
Khảo sát một phần tử cánh điển hình, bề rộng b, chiều dài L Tại vị trí i và j cánh có bề
dày d và dj diện tích m ặt cất tươne ửne là A và A chu vi tương ứng là p và p như
trên Hình 4.13.Ả_ d’ tA, - A.\Hình 4.13 Cánh mịng dần và phần tử với các nút i jTừ hình vẽ chúng ta có diện tích tiết diện cánh và chu vi tại i,j là:
A = b d ; Aj = b d j và p = 2 ( b + d.y, p = 2 ( b + d ) (4.152)Vì A thay đổi bậc nhất theo x:
A = Ạ — - - X = / 4 1 - — + A —• nên có thể biểu thị theo hàm nội suy:
L •{ L ) > L
Trang 36L là chiều dài của phần tử Bằng cách tương tự chu vi cũng biến đổi được thành:
P = N P + N P i ì i j (4.154)v 7
4.7.1 Ma trận độ cứng
Từ định nghĩa
V s
Ở đây, V và s là thể tích và diện tích bao quanh miền khảo sát, nên:
ị d v = ị Adx và Ị í/ j = J Pdxx= 0 s x = 0- Tính sổ hạng đầu: \jD ~^BỳlVVmỶ- I ỉ ' ỹ í(4.155)1 -1-1 1í' Ạ Ai ~ A i ' dx1 -1 -1 1’ 1 -1 -1 1A l —A - A /Oi J 1_ k " 1 - l" ( A + A )1 2~ l -1 1, * JA + A i iVây,V 1- Tinh số hạng sau: jf c [ w ] 7 \_N~jdss! * [ " ] ' M * = | * »5 0 L ý j Ó= Ị‘hJo(4.156)N : i N N.i iN N N 2 • j j(Nỉ P +Nf N P.) (NfN.P +N.N*Pj) Wf N j P, +NiN j P.) {Nj F +N,N*Pi ) dxÁp dụng cơng thức tích phân J N “N jd l = ^f v ĩ , 0!3! ■ 6 ,I ( 0 + 3 + 1)! 24 ’ỊN?Ndx = j~m] y l = —l ] 1 (l + 2 + l)! 24a \b\ X
, với hai sô hạng
(4.157)
Trang 37'ịh Nn [ n , Ni ] p * = w 0 L i Vậy m a trận độ cứng:- P + — P 4 ' 12 ;' p + p '• ì1212+ — p 4 7 12 'hỊ_123/>+/> >i />+/><iR + P, P + 3P. i j i jk ( A, +Aj ) ' 1 - l" hl - i - \ Ị p, +p, )( r + r il 2 -1 1T12_ ( p + p, )( r , + K ) _(4.158)(4.159)4.7.2 Véc tơ phụ tảiTừ định nshĩa:M = í [ u j d v - J<ỉ[h] T +jhTa [w]r ds (4.160)V s s
qv là mật độ nguồn thể tích, q mật độ dòng nhiệt bề mặt, h hệ số tỏa nhiệt bệ mặt, Ta nhiệt độ môi trường bao quanh; s = A; dV =Adx , ds = Pdx Xác định từng số hạng như sau.
- Số hạng nguồn ừong:\ q v [_N ^ Adx = ị q v ^ ( N A + N A / )dx = ịq,I L > J 1N íA + N N A.i i ; j iN N A ; + N , 2A,i j i j jc h= qviA ii."3 6 -S iL1K)> +JA ± 6 A +2 A1 J _ 6 3 (4.161)- số hạng dòng nhiệt bức xạ:N F d x = - \ qA l |_ ý j INN ( N P + N P)ebc= -J<7IN - P + N N pI I I J JN N P + N 2P' J ' ) 1d x - - q l[ £ + i | 3 6 QlI P + p>jp p 6 P + 2 Pi i _5- + - L - 6 3 (4.162)
- Số hạng đối lưu tại bề mật xung quanh A:
Ị h T [ N ] T dS = Ị h T [ N ] T Pdx =
A I
h T l 2 p +pi ip +2 p
’ i
- Nếu mật cuối cánh có diện tích A n , phần tử cuối sẽ có toả nhiệt biểu thị bởi
' o '
I h T [ y v ] d S = h T A
(4.163)
Trang 38Ryl2Ạ + A.+ *1N> +1h T l + —2P + P ' i+ h T A 'o'6 Aẫ + 2A. 6 P + 2 Pi j _ 6 p +2P.a n 1( / ) =
-Số hạng cuối chỉ có với phần tử cuối cùng.
4.7.3 Phương trình đặc trưng của phần tử
Phương ưình đặc trưng của phần từ ij đối với cánh có thiết diện thay đổi là
Vậy véc tơ phụ tải nhiệt của mỗi phân tố sẽ là:
(4.165)* (4 + ^ ) ' 1 - l ' h l 4_ 3Pi + pJ p + pi i/ 2 - 1 1 12 p + pi i pi +3pjqv ^ ~ 6 ~2 A + A.‘ j- 3 Í2P + p' jh T l+ •2P +pi i+ hT A 'o'A +2 A_ ‘ i 6P+2Pi j _ 6 p +2Pi J a n 1(4.166)
T h í d ụ 4 8 Khảo sát cánh p h ả n g bề dày giảm dần từ gốc dày di = 3 cm đến đỉnh dày d3 = 2 cm, như Hình 4.14 Đinh cũng mất nhiệt ra môi trường, hệ số tỏa nhiệt h = 100 W/m2oC, nhiệt độ môi trường Ta = 25°c Chiều dài tổng của cánh là L = 40 cm, chiều rộng cánh b = 4 cm Hệ số dẫn nhiệt của vật liệu k = 250 w/m°c Xác định phân bố nhiệt độ nếu gốc giữ nhiệt độ Tb = 80°c.
Trang 39- Phần tử 2: l = 0,2[ Kị ^ Ap l 1 -1-1 1hl123 p2 +p> P2 + r> Pỉ +Pì P,+3P,250 (0,001+ 0,0008) " 1 - l" 1100.0,2 '3.0,13 + 0,12 0,13 + 0,12 "0,2 2 -1 1 12 0,13 + 0,12 0,13 + 3.0,121.975 -0 ,7 08 4-0 ,7 0 8 4 1,9416b V é c t ơ p h ụ tả i Phần tử 1:h T la '2 /» ,+ /» ' 100.25.0.2 '2.0.14 + 0,13' '34,1666'6 _/>,+2PZ 6 0,14 + 2.0,13 33,3333- Phần từ 2:h T la'2 p 2+p} '+ hT6P 2+2P}ũ 0100.25.0,20 12.0,13 + 0,12 0,13 + 2.0.12 + 100.25.0,0008[31,6661 32,833c L ắ p g h é p c á c p h ầ n t ử'2,2916 -0,925 0 Tx 34,666-0,925 (2,258 + 1,975) -0.7084 • (33,333 + 31,666)0 -0 ,7 0 8 4 1.9416 32,833
Phuơng trình đặc trưng tổng thể (chưa kể điều kiện biên)
'2,2916 -0,925 0 34,666'
-0,925 4,233 -0,7084 <t2* = i 64,999
0 -0,7 0 84 1,9416 32,833
Áp đặt điều kiện biên Ti =80°c, phải thay đổi như sau:Dòng 1: T] = 80;
Dòng 2: 0T i+4,233.Tr-0,7084.T3 = 64,999+0,925x80 =138,999
d P h ư ơ n g t r ìn h đ ặ c t r ư n g to à n c ụ c
Sau khi thay điều kiện biên, phương trình đậc trưng tổng thể trở thành
Trang 40Tx 80,000
Giải ra: ■t2 = ■37,98630,769
(4.173)
4.8 DẢN NHIỆT HAI CHIỀU QUA PHẦN TỬ TAM GIÁC ĐƠN
Khảo sát bài toán dẫn nhiệt hai chiều cùa một phần tử tam giác 1 2 3, có diện tích là A, bề dày ỗ được thể hiện trên hình 4.15 Để bài tốn m ang tính tiêu biểu, nghĩa là có đủ các thành phần phụ tài nhiệt, chúng ta cho mặt bên dưới ứng với cạnh 12 có dịng nhiệt bức xạ q, mặt bên phải ứng với cạnh 23 có toả nhiệt với môi trường và trong tam giác có nguồn nhiệt phân bố đều qv Mặt bên trái ứng với cạnh 31 được cách nhiệt.
Hình 4.15 Phần tử tam giác tiêu biểu Phương ưình đặc trưng cần xác định
í4 -174)Trong đó ma trận độ cứng phần tửM =í w í Dĩ B]dV+í h[Nĩ (4-175)V S 2và véc tơ phụ tài{/} = í % dV - Ị ạ [ w ] r dS] + Ị hT [ /v ] r dS2 (4.176)V í l 92
Trong các cơng thức trên:
■ d v = 5dA; với A là diện tích tam giác, ỗ là bề dày tam giác;