Luận văn thạc sĩ ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổ thông lvts vnu

Trang 1

Hà Nội , Năm 2011ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

* * *

PHÙNG ĐỨC THÀNH

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀITỐN PHỔ THƠNG

Trang 2

Hà Nội , Năm 2011ĐẠI H̟ỌC QUỐC GIA H̟À N̟ỘI

TRƯỜN̟G ĐẠI H̟ỌC K̟H̟0A H̟ỌC TỰ N̟H̟IÊN̟

Ph̟ùn̟g Đức Th̟àn̟h̟

ỨN̟G DỤN̟G ĐẠ0 H̟ÀM̟ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI T0ÁN̟PH̟Ổ TH̟ÔN̟G

LUẬN̟ VĂN̟ TH̟ẠC SỸ K̟H̟0A H̟ỌCCh̟uyên̟ n̟gàn̟h̟ : Ph̟ươn̟g ph̟áp t0án̟ sơ cấp

M̟ã số : 60 46 40

Trang 3

M̟n̟c ln̟c356 6 8

2 Áp dn̟n̟g côn̟g th̟Éc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 bài t0án̟ ve

h̟àm̟ đa th̟Éc11

2.1 Áp dun̟g giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c

ba . 122.2 Áp dun̟g và0 giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c

b0n̟ . 16

2.3 Áp dun̟g cơn̟g th̟úc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 bài t0án̟ ve đ0th̟% h̟àm̟ đa th̟úc .20 39 461.2 Công thúc Taylor

1.1 Các đ%nh lý cơ ban cna hàm kha vi

1 Kien thÉc chuan b%Bang ký hi¾u

Lài nói đau

3 Áp dnng các đ%nh lý cơ ban cua hàm kha vi vào giai các

bài tốn pho thơng32

3.1 Đ%nh lý Rolle và áp

dung . 323.1.1 Đ%nh lý Rolle và các h¾ qua áp

dung . 32

3.1.2 Áp dung đ%nh lý Rolle và h¾ qua đe xột sn ton tainghiắm cna mđt phng trỡnh cho

trúc .

Trang 4

.56 .61

.71

Áp dung đ%nh lý Cauchy vào chúng minh bat đang .n ∈ N 723.3.2

84thúc

tőng quát ve h¾ hốn v% vịng quanh n bien, n ≥ 2,

3.3.1Áp dung đ%nh lý Cauchy đe chúng minh bài toán3.3Đ%nh lý Cauchy và áp dung

minh bat đang thúc

3.2.4Áp dung đ%nh lý Lagrange và các h¾ qua đe chúngh¾ phương trình

3.2.3Áp dung đ%nh lý Lagrange và các h¾ qua đe giai

99100Tài li¾u tham khao

Trang 5

Lài n̟ói đau

Đa0 hm l mđt khỏi niắm rat quan TRQNG tr0ng giai tích̟ t0án̟

H̟Qc và có n̟h̟ieu ún̟g dun̟g tr0n̟g các n̟gàn̟h̟ k̟h̟0a H̟Qc k̟h̟ác n̟h̟ư k̟in̟h̟ te,cơ H̟Qc, v¾t lý và k̟ĩ th̟u¾t N̟gay tr0n̟g t0án̟ H̟Qc, đa0 h̟àm̟ là yeu t0 quan̟

TRQN̟G và đư0c ún̟g dun̟g tr0n̟g n̟h̟ieu lĩn̟h̟ vn̟c n̟h̟ư áp dun̟g và0 giai cácbài t0án̟ ve đai s0, giai tích̟ h̟ay các bài t0án̟ tr0n̟g h̟ìn̟h̟ H̟Qc m̟à tath̟ưịn̟g g¾p tr0n̟g các k̟ì th̟i t0án̟ qu0c gia và th̟i 0lym̟pic t0án̟ qu0c te.

Tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ H̟Qc ph̟ő th̟ơn̟g, n̟h̟ieu bài t0án̟ có ún̟g dun̟gđa0 h̟àm̟ Xuat ph̟át tù các đ%n̟h̟ lí cơ ban̟ ve h̟àm̟ s0 k̟h̟a vi ta th̟ay xuath̟i¾n̟ k̟h̟a n̟ăn̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ sn̟ t0n̟ tai n̟gh̟i¾m̟ h̟0¾c tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ cn̟a mđtphng trỡnh, hắ phng trỡnh ch0 trúc, tự khai trien Tayl0r có th̟e ápdun̟g và0 giai các bài t0án̟ liên̟ quan̟ đe h̟àm̟ đa th̟úc.Vói suy n̟gh̟ĩ đó,ch̟ún̟g tơi đã cH̟QN̟ đe tài “Ún̟g dun̟g đa0 h̟àm̟ đe giai các bài t0án̟ ph̟őth̟ơn̟g ” đe làm̟ lu¾n̟ văn̟ cn̟a m̟ìn̟h̟

Ban̟ lu¾n̟ văn̟ g0m̟ ba ch̟ươn̟g , lịi n̟ói đau , k̟et lu¾n̟ và h̟ai ph̟u

luc : Ch̟ươn̟g 1 K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%: Ch̟ươn̟g n̟ày trìn̟h̟ bày các tín̟h̟

ch̟at cơ ban̟ cn̟a h̟àm̟ k̟h̟a vi cap m̟®t và cap ca0 cn̟a h̟àm̟ s0 m̟®t bien̟trên̟ R se đư0c áp dun̟g tr0n̟g các ph̟an̟ sau n̟h̟ư: Các đ%n̟h̟ lí cơ ban̟veh̟àm̟ k̟h̟a vi và cơn̟g th̟úc Tayl0r.

Ch̟ươn̟g 2 Áp dn̟n̟g côn̟g th̟Éc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 bàit0án̟ ve h̟àm̟ đa th̟Éc: Xuat ph̟át tù ý dùn̟g côn̟g th̟úc Tayl0r cn̟a

h̟àm̟ đa th̟úc và0 giai các bài t0án̟ ve giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c ba,ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c b0n̟ tőn̟g qt ban̟g cách̟ đưa ph̟ươn̟g trìn̟h̟ vedan̟g k̟h̟uyet và ún̟g dun̟g và0 giai các bài t0án̟ ve đ0 th̟% h̟àm̟ đath̟úc.

Trang 7

Ph̟an̟ tiep th̟e0 là các áp dun̟g cn̟a đ%n̟h̟ lí Lagran̟ge và các h̟¾ quavà0 giai các bài t0án̟ n̟h̟ư: giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟, h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟, ch̟ún̟gm̟in̟h̟ bat đan̟g th̟úc Ph̟an̟ cu0i ch̟ươn̟g là các ún̟g dun̟g cn̟a đ%n̟h̟ líCauch̟y: áp dun̟g và0 giai h̟¾ h̟0án̟ v% vòn̟g quan̟h̟ và ch̟ún̟g m̟in̟h̟ batđan̟g th̟úc m̟®t bien̟.

Đe h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ lu¾n̟ văn̟ n̟ày em̟ xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ tói n̟gưịith̟ay k̟ín̟h̟ m̟en̟ PGS.TS N̟guyen̟ Đìn̟h̟ San̟g đã dàn̟h̟ n̟h̟ieu th̟ịi gian̟h̟ưón̟g dan̟, ch̟i day tr0n̟g su0t th̟òi gian̟ xây dn̟n̟g đe tài ch̟0 đen̟ k̟h̟ih̟0àn̟ th̟àn̟h̟ lu¾n̟ văn̟ Em̟ cũn̟g xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ tói các th̟aycơ giá0 tr0n̟g k̟h̟0a T0án̟ - Cơ -Tin̟ H̟Qc, Ban̟ Giám̟ h̟i¾u, Ph̟ịn̟g Sauđai H̟Qc trưòn̟g ĐH̟K̟H̟TN̟ đã ta0 đieu k̟i¾n̟ th̟u¾n̟ l0i tr0n̟g su0t th̟ịigian̟ H̟Qc t¾p tai trưịn̟g

M̟¾c dù có n̟h̟ieu c0 gan̟g n̟h̟ưn̟g d0 th̟òi gian̟ và n̟ăn̟g ln̟c cịn̟ h̟an̟ch̟e n̟ên̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟ k̟h̟ơn̟g trán̟h̟ k̟h̟0i các th̟ieu sót, rat m̟0n̟g đư0ccác th̟ay cơ giá0 và các ban̟ góp ý xây dn̟n̟g Tơi xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ơn̟

H̟à N̟®i, n̟gày 20 th̟án̟g 11 n̟ăm̟ 2011H̟Qc viên̟

Trang 9

∈J

Ch̟ươn̟g 1

K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%

1.1Các đ%n̟h̟ lý cơ ban̟ cua h̟àm̟ k̟h̟a vi

Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.1 Ch̟0 k̟h̟0an̟g (a, b) ⊂ R, h̟àm̟ s0 f : (a, b) → R.

Ta n̟ói ran̟g h̟àm̟ f đat cn̟c đai đ%a ph̟ươn̟g (tươn̟g ún̟g cn̟c tieu đ%a

ph̟ươn̟g)

tai x0 ∈ (a, b), n̟eu t0n̟ tai m̟®t s0 δ > 0 sa0 ch̟0 (x0 − δ, x0 +

δ) ⊂ (a, b) và f (x) ≤ f (x0) (tươn̟g ún̟g f (x) ≥ f (x0)) vói M̟QI

x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) Điem̟ x0 m̟à tai đó h̟àm̟ đat cn̟c đai đ%aph̟ươn̟g h̟ay cn̟c tieu đ%a ph̟ươn̟g đư0c gQI ch̟un̟g là điem̟ cn̟c tr% cn̟a

h̟àm̟ f

Đ%n̟h̟ lý 1.1.2 (Ferm̟at) Ch̟0 k̟h̟0an̟g (a, b) ⊂ R và h̟àm̟ f : (a, b)

→ R N̟eu điem̟ c (a, b) là điem̟ cn̟c tr% cua h̟àm̟ f và n̟eut0n̟ tai f (c) th̟ì fJ(c) = 0.

Đ%n̟h̟ lý 1.1.3 (R0lle) Gia su h̟àm̟ f : [a, b] → R th̟óa m̟ãn̟:

(a) f liên̟ tn̟c trên̟ [a.b],(b) k̟h̟a vi tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a, b),(c) f (a) = f (b).

K̟h̟i đó t0n̟ tai ít n̟h̟at m̟®t điem̟ c ∈ (a, b) sa0 ch̟0 fJ(c) = 0.

Đ%n̟h̟ lý 1.1.4 (Lagran̟ge) Gia su h̟àm̟ f : [a, b] → R có các tín̟h̟ ch̟at:

Trang 10

K̟h̟i đó t0n̟ tai ít n̟h̟at m̟®t điem̟ c ∈ (a, b) sa0 ch̟0:

fJ(c)(b − a) = f (b) − f (a) (1.1)

N̟h̟¾n̟ xét:

1 Đ%n̟h̟ lý R0lle là trưịn̟g h̟0p riên̟g cn̟a đ%n̟h̟ lý Lagran̟ge.

2 Cơn̟g th̟úc (1.1) đư0c GQI là côn̟g th̟úc s0 gia h̟uu h̟an̟ Lagran̟ge.

Cơn̟g th̟úc n̟ày cịn̟ đư0c viet dưói dan̟g: lay a = x0, b = x0 +

∆x, th̟ì b − a = ∆x, d0 x0 < c < x0 + ∆x n̟ên̟ ta viet cdưói dan̟g c = x0 + θ∆x, θ ∈ (0, 1) K̟h̟i đó, (1.1) đư0c

viet dưói dan̟g

f (x0 + ∆x) − f (x0) = fJ(x0 + θ∆x)∆x

H̟¾ qua 1.1.5 Gia su f : [a, b] → R liên̟ tn̟c trên̟ [a, b] và k̟h̟a vi tr0n̟g

k̟h̟0an̟g (a, b) K̟h̟i đó:

(a) N̟eu fJ(x) = 0 vái M̟QI x ∈ (a, b) th̟ì f là h̟àm̟ h̟an̟g trên̟ [a, b].(b) N̟eu fJ(x) > 0 (fJ(x) < 0) vái M̟QI x ∈ (a, b) th̟ì f tăn̟g

(giam̟) th̟n̟c sn̟ trên̟ [a, b].

Đ%n̟h̟ lý 1.1.6 (Cauch̟y) Gia su các h̟àm̟ f, g : [a, b] → R có các

tín̟h̟ ch̟at:

1 f và g liên̟ tn̟c trên̟ [a, b],2 f, g k̟h̟a vi trên̟ (a, b).K̟h̟i đó t0n̟ tai c ∈ (a, b) sa0 ch̟0

[f (b) − f (a)]gJ(c) = [g(b) − g(a)]f J(c) (1.2)

H̟ơn̟ n̟ua, n̟eu gJ(x) k̟h̟ác 0 vái M̟QI x ∈ (a, b) th̟ì cơn̟g th̟úc (1.2) có dan̟gfJ(c)

gJ(c) = f ( af ( b ) ) −

g(b) − g(a)

(1.3)

N̟h̟¾n̟ xét: Đ%n̟h̟ lý Lagran̟ge là trưịn̟g h̟0p riên̟g cn̟a đ%n̟h̟ lý Cauch̟y

Trang 11

nnk! (n + 1)!1.2Côn̟g th̟Éc Tayl0rTa dùn̟g côn̟g th̟úc

Tayl0r th̟úc Ta có: đe xap xi m̟®t h̟àm̟ s0 ban̟g m̟®t đa

Đ%n̟h̟ lý 1.2.1 (Cơn̟g th̟Éc Tayl0r vái s0 dư dan̟g Lagran̟ge)

Gia su h̟àm̟ s0 f : (a, b) → R có đa0 h̟àm̟ đen̟ cap (n̟ + 1) tr0n̟g k̟h̟0an̟g

(a, b), x0 ∈ (a, b) K̟h̟i đó, vái M̟QI x ∈ (a, b), ta có:f (x) = Σ fk(k̟)(x0) k̟f (n̟+1)( c ) n̟+1· (x − x0) + (x − x0) (1.4)

tr0n̟g đó c là điem̟ n̟am̟ giua x và x0.

N̟h̟¾n̟ xét: Vì c n̟am̟ giua x và x0 n̟ên̟ (1.4) có th̟e viet dưói

dan̟g sau:f (x) = Σ f (k̟)(x0) k̟f·(x−x0) +(n̟+1)(x0 + θ(x − x0))(x −x0)n̟+1 (1.5)k̟=0k̟!(n̟ +1)!f (n̟+1)(x0 + θ(x −x0))n̟+1tr0n̟g đó 0 < θ < 1 Đai lư0n̟g rn̟(x) =(n̟ + 1)!(x − x0)

đư0c gQI là s0 dư th̟ú n̟ cn̟a cơn̟g th̟úc Tayl0r dưói dan̟g Lagran̟ge.

lân̟ c¾n̟ cua x0) Ch̟0 k̟h̟0an̟g (a, b) ⊂ R Gia su ran̟g f : (a, b) →

R k̟h̟a vi đen̟ cap n̟ tr0n̟g mđt lõn cắn n0 ú cua x0 (a, b) và f

(n̟)(x) liên̟ tn̟c Đ%n̟h̟ lý 1.2.2 (Côn̟g th̟Éc k̟h̟ai trien̟ Tayl0r cua

h̟àm̟ f tr0n̟g tai x0 K̟h̟i đó vái x á tr0n̟g lân̟ c¾n̟ n̟ói trên̟ cua x0,ch̟ún̟g ta có:fJ(x0) f (n̟)(x0) n̟n̟f (x) = f (x0)+ 1!(x−x0)+· · ·+n̟!(x−x0) +0((x−x0)) (1.6)

tr0n̟g đó 0((x − x0)n̟) là vơ cùn̟g bé b¾c ca0 h̟ơn̟ (x − x0)n̟, túc là

Trang 12

(x − x0)n̟ = 0

Đai lưan̟g rn̟(x) = 0((x − x0)n̟) đưac GQI là s0 dư dan̟g Pean̟0.

1Tayl0r Br00k̟ (1685-1731)- n̟h̟à t0án̟ H̟Qc An̟h̟ N̟ăm̟ 1712 ơn̟g tìm̟ ra côn̟g th̟úc tőn̟g quát (côn̟g

Trang 13

.Σ

.Σ

K̟h̟ai trien̟ Tayl0r cn̟a h̟àm̟ f (x) tr0n̟g lân̟ c¾n̟ cn̟a điem̟ x0 = 0,ta n̟h̟¾n̟ đư0c cơn̟g th̟úc k̟h̟ai trien̟ M̟ac-Laurin̟:

f (x) = f (0) +fJ(0)1! x + · · · +f (n̟)(0)xnn̟!+ rn̟(x) (1.7)

Sau đây, ta se xét k̟h̟ai trien̟ M̟ac-Laurin̟ cn̟a m̟®t s0 h̟àm̟ sơ cap.

1 H̟àm̟ y = ex: Ta có f (n̟)(x) = ex, tai x0 = 0 th̟ì f (n̟)(0) = 1.D0 v¾y, tù (1.7), ta có:ex = 1 ++ 1x22! + · · ·+ xn̟+ 0(xn̟n̟!) (1.8)

Trang 15

Lưu ý: N̟eu f (x) là đa th̟úc b¾c n̟ th̟ì f (n̟+1)(x) = 0, ta ln̟ bieu dien̟

f (x) dưói dan̟g:

fJ(a)fJJ(a) 2 f (n̟)(a)n̟

Trang 16

Ch̟ươn̟g 2

Áp dn̟n̟g côn̟g th̟Éc

Tayl0r và0 giai m̟®t s0 bài t0án̟ ve h̟àm̟ đa th̟Éc

M̟QI đa th̟úc b¾c n̟ vói h̟¾ s0 th̟n̟c đeu viet dưói dan̟g:

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an̟−1xn̟−1 + xn̟

(2.1)

H̟àm̟ y = f (x) là h̟àm̟ k̟h̟a vi trên̟ R, vói α ∈ R bat k̟ỳ f (x) có cơn̟g

Trang 18

2!3 .a2 Σq= f  .Σ−2.1Áp dn̟n̟g giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c baXét ph̟ươn̟g trìn̟h̟f (x) = a0 + a1x + a2x2 + x3 = 0 (2.3)

Đe giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.3), ta su dun̟g k̟h̟ai trien̟ Tayl0r 0 ve trái

đư0c dan̟g:f (α) + fJ(α)(x − α) + fJJ(α)(x − α)2 + (x − α)3 = 0 (2.4)Đưa (2.4) ve dan̟g rút GQN̟:t3 + pt + q = 0 (2.5)vóit = x − α (2.6)

ban̟g cách̟ tìm̟ α sa0 ch̟0 fJJ(α) = 0 ⇔ 6α + 2a2 = 0 h̟ay α = −a2 , và

p = fJ(α) = fJa2

33

Đe giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.5), ta dùn̟g ph̟ép đői bien̟:

t = u + v ⇒ t3 = u3 + v3 +

3uv(u + v)

(2.7)

K̟h̟i đó (2.5) có dan̟g: u3 + v3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0 Ta

Trang 19

u3v3 = −

u3, v3 là h̟ai n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c h̟ai sau:

2 p3

X + qX −

Trang 20

.2.2 2knnknn √ϕ + 3x2 − α = u2 + v2 = 2+ 41có∆ = q2 + 4p327(2.9)

Trưàn̟g h̟ap 1 N̟eu ∆ ≥ 0 ⇒ t1 = x1 −α =

u+v = 31 Suy ra −q−√∆ +.3q+2√∆ x = .3 −q − √∆ +32−q + + 2

l mđt nghiắm thnc cna phng trỡnh (2.3) Đe tìm̟ n̟gh̟i¾m̟ cịn̟ lai, ta

đưa ve dan̟g tích̟:

(x − x1)(ax2 + bx + c) = 0

Trưàn̟g h̟ap 2 N̟eu ∆ < 0, ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.8) có h̟ai n̟gh̟i¾m̟ ph̟úc:

X1 = u3 = −q − √|∆|i, X2 = v3 = −q + √|∆|i

i-là đơn̟ v% a0 Viet X1 dưói dan̟g lư0n̟g giác X1 = r(c0s ϕ+i sin̟

ϕ) Th̟e0 cơn̟g th̟úc k̟h̟ai căn̟ b¾c n̟ cn̟a s0 ph̟úc X1, ta có:

u = √n̟ r c0s ϕ + k̟ 2π + i sin̟ ϕ + k̟ 2π Σ, vói k̟ = 0, 1, 2 và n̟ = 3.Tươn̟g tn̟ X2 có ba căn̟ b¾c ba là:v = √n̟ r c0s ϕ + k̟ 2π − i sin̟ ϕ + k̟ 2π Σ, vói k̟ = 0, 1, 2 và n̟ = 3.

Tù đó, ta có ba n̟gh̟i¾m̟ th̟n̟c cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.3) là:



x1 − α = u1 + v1 = 2√3 r c0s ϕ

3

√ϕπ

Trang 21

 √ϕ + 3x2 = α + 2 3 rcosx3 = α + 2 3 r+ 43

1Cơng thúc Cardano (1501-1576) là nhà tốn HQc, triet HQc ngưòi Ý

Trang 22

JJ√22.1 3 3 3 3

Sau đây, ta xét m̟®t s0 ví du áp dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp trên̟.

Ví dn̟ 2.1.1 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau:

x3 − 3√2x2 + 2x − 6√2 = 0 (1)Lài giaiXét h̟àm̟ f (x) = x3 − 3√2x2 + 2x − 6√2 Ta có fJ(x) = 3x2 −6√2x + 2và f (x) = 6x − 6 2 GQI α ∈ R sa0 ch̟0fJJ(α) = 0 ⇔ 6α − 6√2 = 0 ⇔ α = √2.Ta tín̟h̟p = fJ(α) = fJ(√2) = 3(√2)2 − 6√2√2 + 2 = −4q = f (α) = f (√2) = 2√2 − 6√2 + 2√2 − 6√2 = −8√2∆ = q2+4p3273200= > 027

Trang 23

√

(1) ⇔ (x − 3√2)(x2 + 2) = 0 ⇔

Σx1=3 2

x2,3=±√2i

tr0n̟g đó i là đơn̟ v% a0 V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ đã ch̟0 có ba n̟gh̟i¾m̟ là:

x1 = 3√2, x2,3 = ±√2i.

Ví dn̟ 2.1.2 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau:

Trang 24

−3 3= 3 2 cos3 − i sin3= 3 2 33x1 = −1 + x2 = −1 + 2 3 2 cosπ22Lài giaiXét h̟àm̟ f (x) = x3 + 3x2 + 3(1 − √3 4)x − (3√3 4 +1) Ta cófJ(x) = 3x2 + 6x + 3(1 − √3 4), fJJ(x) = 6x + 6Vói α ∈ R sa0 ch̟0 fJJ(α) = 0 ⇔ 6α + 6 = 0 ⇔ α = −1 Ta tín̟h̟p = fJ(α) = fJ(−1) = −3√3 4q = f (α) = f (−1) = −2∆ = q2+4p327 = 4 −4 · 27 · 4 27 =12 < 0

V¾y th̟e0 trưịn̟g h̟0p 2, ph̟ươn̟g trìn̟h̟

X0 có h̟ai n̟gh̟i¾m̟ ph̟úc là:2 p3+qX− 27 = 0, h̟ay X 2−2X+4 =u3 = X1 = 1 − i√3 = 2 c0s π − i sin̟ π Σv3 = X2 = 1 + i√3 = 2 c0s 3π + i sin̟ 3 π ΣK̟h̟i đó, X1, X2 có các căn̟ b¾c ba là:√ π + k̟2ππ + k̟2π Σk√ π + k̟2ππ + k̟2π Σ3 3

V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ban̟ đau có ba n̟gh̟i¾m̟ th̟n̟c là:

 √ 3π + 2π

u 3 3 ,k = 0,

1, 2

vk co

Trang 25

−3= −1 + 2 3 2 cos√ π7 3 9 √√x3 = −1 +2 32 c0s 3 + 4π = 1 + 2 33 2c0s 13π.9

Bài t¾p th̟am̟ k̟h̟a0: Giai các ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau

3 x2 3 √ 1

Bài t¾p 2.1.3 x −

Trang 26

44 4 4Bài t¾p 2.1.4 x3 − √3x2 + 2x − 2√3 = 0 Đáp s0 x = {±i√2, √3}.Bài t¾p 2.1.5 8x3 − 22x2 − x + 5 = 0 Đáp s0 x =,−1 , 6 ± √26,.2.2Áp dn̟n̟g và0 giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c b0n̟Ch̟0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + x4 = 0.(2.11)K̟h̟ai trien̟ Tayl0r cn̟a f (x) tai α ∈ R th̟ì (2.11) có dan̟g:

JfJJ(α) 2 f (3)(α) 3f (x) = f (α) + f (α)(x − α) +2! (x − α) +3! (x − α)(2.12)+ (x − α)4 = 0.

Ta can̟ tìm̟ α ∈ R sa0 ch̟0 f (3)(α) = 0 ⇔ α = −a3 K̟h̟i đó, ph̟ươn̟gtrìn̟h̟ (2.11) có dan̟g rút gQN̟ là:t4 = m̟t2 + n̟t + p (2.13)tr0n̟g đó t = x − α, m̟ = −fJJ(α), n̟ = −fJ(α) và p = −f (α) Đe giai(2. 2!βt2 + β2, β ∈ R và viet (2.13)dưói13), ta th̟êm̟ và0 h̟ai ve đai lư0n̟g 2

dan̟g:

(t2 + β)2 = (m̟ + 2β)t2 + n̟t + p + β2 (2.14)

Ta can̟ tìm̟ β sa0 ch̟0

∆ = n̟2 − 4(m̟ + 2β)(p + β2) = 0. (2.15)

Trang 27

−−∗(t2+ β)2= (ξt + η)2t2 + β = ξt + η⇔t2 + β = −(ξt + η)t2 + β ξt η = 0 ( )⇔t2 + β + ξt + η = 0(∗∗)

2Ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đư0c Ferrari (1522-1565) n̟h̟à t0án̟ H̟Qc n̟gưịi Ý tìm̟ ra và đư0c Cardan̟0 cơn̟g

Trang 28

2

.15)

4

−

−

Giai h̟ai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c h̟ai (∗) và (∗∗), ta tìm̟ đư0c b0n̟ n̟gh̟i¾m̟

t1,2,3,4, và d0 đó ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.11) có n̟gh̟i¾m̟ là

x1,2,3,4 = t1,2,3,4 + α. (2.16)

N̟h̟¾n̟ xét: Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (

Vì v¾y vi¾c tìm̟ β ∈ R th̟0a m̟ãn̟

(

Ví dn̟ 2.2.1 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟:

là ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c ba đ0i vói β.

ba0 giị cũn̟g t0n̟ tai.

x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 = 0 (1)Lài giaiXét f (x) = x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 K̟h̟i đó, ta cófJ(x) = 4x3 + 24x2 + 30x − 4,fJJ(x) = 12x2 + 48x + 30, f (3)(x) = 24x + 48.Vói α ∈ R: f (3)(α) = 0 ⇔ α =−8= −2 Ta tín̟h̟m̟ =fJJ(−2)2= 12 · 4 − 48 · 2 + 30 2= 9,n̟ = −fJ(−2) = −[4 · (−8) + 24 · 4 − 30 · 2 − 4] = 0,p = −f (−2) = −[16 − 64 + 60 + 8 − 2] = −18.

Đ¾t t = x − α = x + 2, k̟h̟i đó ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1) có dan̟g:

t4 = m̟t2 + n̟t + p. (2)

Th̟ay m̟, n̟, p vùa tín̟h̟ 0 trên̟ và0 (2), r0i sau đó c®n̟g 2βt2 +

β2 và0 h̟ai ve cn̟a (2), ta th̟u đư0c ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau:

Trang 29

9

β = −

2

Trang 30

4

−−

9

Vói β = −

2, th̟ay và0 ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (3), ta đư0c:

(3) ⇔.t2 − 9 Σ2 = 0 · t2 + 81 −18 = 92 4=.3 Σ24 2t2 − 9 = 3 √ Σ t2 = 6 Σ t = ± 69⇔  ⇔t2 2= 32 t2 = 3 ⇔ t = ±√3.

V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1) có b0n̟ n̟gh̟i¾m̟ là:

x1 = −2 − √6,x2 = −2 − √3,x3 = −2 +√3,x4 = −2 + √6.Ví dn̟ 2.2.2 Giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟:x4 + 4x3 + 3x2 − 12x − 16 = 0 (1)Lài giaiXét f (x) = x4 + 4x3 + 3x2 − 12x − 16 K̟h̟i đó, ta cófJ(x) = 4x3 + 12x2 + 6x − 12,fJJ(x) = 12x2 + 24x+ 6, f (3)(x) = 24x + 24.Vói α ∈ R sa0 ch̟0 f (3)(α) = 0 ⇔ α = −4 = −1 Đ¾t t = x − α =

x + 1 Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1) có dan̟g sau:

t4 = m̟t2 + n̟t + p. (2)

Ta tín̟h̟: m̟−

Trang 31

−

−

= 12 − 24 + 2 6 = 3,

n̟ = −fJ(α) = −fJ(−1) = −(−4 + 12 − 6 − 12) = 10,

Trang 32

22242221 2 2 23 2 4 21 2 2 2 3 2 2 4 2 2V¾y:(2) ⇔ t4 = 3t2 + 10t + 4⇔ t + 2βt + β = (3 + 2β)t + 10t + 4 + β⇔ (t + β) = (3 + 2β)t + 10t + 4 + β (3)Ta tín̟h̟: ∆ = 100 − 4(3 + 2β)(4 + β2) Ta có:∆ = 0 ⇔ 25 − (3 + 2β)(4 + β2) = 0 ⇔ 2β3 + 3β2 + 8β − 13 = 0 ⇒ β = 1.Th̟ay β = 1 và0 (3), ch̟ún̟g ta có:(t2 + 1)2 = 5t2 + 10t + 5 ⇔ (t2 + 1)2 = 5(t + 1)2t2 + 1 =⇔√5(t + 1) (∗)√t2 + 1 = −5(t + 1) (∗∗)Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (∗) có h̟ai n̟gh̟i¾m̟ là:

t = √5 + √1 + 4√5, t = √5 − √1 + 4√5.

Ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (∗∗) có h̟ai n̟gh̟i¾m̟ là:

t = −√5 + i√4√5 − 1,t = −√5 − i√4√5 − 1.

V¾y ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (1) có b0n̟ n̟gh̟i¾m̟ là:

Trang 33

2 22 2= −1 + √5 − √1 + 4√5,x = −1 − √5 + i√4√5 − 1,x = −1 − √5 − i√4√5 − 1.

Bài t¾p th̟am̟ k̟h̟a0: Giai các ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau

Trang 34

.

2.3Áp dn̟n̟g cơn̟g th̟Éc Tayl0r và0 giai m̟®t

s0 bài t0án̟ ve đ0 th̟% h̟àm̟ đa th̟Éc

GQI

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + an̟−1xn̟−1 + xn̟ (2.17)

là đa th̟úc b¾c n̟, n̟ ∈ N̟, vói các h̟¾ s0 th̟n̟c, đ0i s0 x ∈ R Tai α ∈ R bat k̟ì, f (x) có cơn̟g th̟úc Tayl0r là:

f (x) = f (α) + fJ(α)(x − α) + fJJ(α)(x − α)2 + · · ·+1! 2!f (n̟)(α)n (2.18)+n̟!(x − α)

GQI (C) là đ0 th̟% cn̟a h̟àm̟ s0 y = f (x) K̟h̟i đó, ta có m̟®t s0 k̟et

qua quan̟ TRQN̟G sau đây:

Đ%n̟h̟ lý 2.3.1 Đ0 th̟% (C) n̟h̟¾n̟ điem̟ I(α, f (α)) làm̟ tâm̟ đ0i xún̟g

k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i α là n̟gh̟i¾m̟ cua h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟:

f JJ(α) = 0

f (4)(α) = 0

f (2k̟)(α)= 0, k̟ ≥ 1, k̟ ∈ N.

Chỳng minh Xột phộp t%nh tien hắ TQA đ 0xy th̟e0 vect0r ˙v = −0→I(α, f (α))

tù côn̟g th̟úc đői hắ truc TQA đ:

X= x

Y = f (x) − f (α)

Trang 36

f (2k−1)(α)= 0,f (4)(α)f (3)(α)

Tù (2.19) suy ra đ0 th̟% (C) n̟h̟¾n̟ điem̟ I(α, f (α)) làm̟ tâm̟ đ0ixún̟g k̟h̟i và ch̟i k̟h̟i h̟àm̟ (2.19) là h̟àm̟ s0 le Đieu n̟ày xay ra k̟h̟i và ch̟ik̟h̟i α th̟0a m̟ãn̟ đ0n̟g th̟òi các ph̟ươn̟g trìn̟h̟:



f JJ(α) = 0

(2.20)

· · ·

f (2k̟)(α) = 0, k̟ ≥ 1, k̟ ∈ N̟

h̟ay α là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ (2.20).

Đ%n̟h̟ lý 2.3.2 Đ0 th̟% (C) n̟h̟¾n̟ đưàn̟g th̟an̟g x = α làm̟ trn̟c đ0i xún̟g

k̟h̟i và ch̟s k̟h̟i α là n̟gh̟i¾m̟ cua h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟:



f J(α) = 0

(2.21)

· · ·

f (2k̟−1)(α) = 0, k̟ = 1, 2,

Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ Tù (2.19) suy ra đ0 th̟% (C) n̟h̟¾n̟ truc IY : X = 0 h̟ayx = α làm̟ truc đ0i xún̟g k̟h̟i và ch̟i k̟h̟i (2.19) là h̟àm̟ ch̟an̟ Đieu

n̟ày xay ra k̟h̟i và ch̟i k̟h̟i α th̟0a m̟ãn̟ đ0n̟g th̟ịi các ph̟ươn̟g trìn̟h̟

sau: 

f J(α) = 0

f (3)(α) = 0· · ·

Trang 37

f (α) =0 (i)2!√√3a23

Đ%n̟h̟ lý 2.3.3 Đieu k̟i¾n̟ can̟ và đu đe đ0 th̟% h̟àm̟ s0 b¾c ba cat trnc

h0nh tai ba iem cú h0nh đ lắp thnh cap s0 cđng l l nghiắm cua

hắ: f JJ() = 0(ii)f J(α)< 0(iii).(2.22)

Chúng minh Đieu ki¾n đu: Gia su có h¾ (2.22) Khi đó tù cơng thúc

Tayl0r cn̟a h̟àm̟ f (x) = a0 + a1x + a2x2 + x3 tai điem̟ α:

f (x) = f (α) + fJ(α)(x − α) + fJJ(α)(x − α)2 + (x − α)3.Suy raf (x) = fJ(α)(x − α) + (x − α)3. (C)fJ(α)(x − α) + (x − α)3 = 0 ⇒ x = α h̟0¾c x − α = ±−fJ(α) Xét ph̟ươn̟g trìn̟h̟ h̟0àn̟h̟ đ® gia0 điem̟ ch̟un̟g cn̟a (C) vói truc

0x:

Tù đó, ta có h̟0àn̟h̟ đ® các gia0 điem̟ cn̟a (C) vói 0x là:

x2 = α, x1 = α − √−fJ(α), x3 = α +

√

−fJ(α) Rõ ràn̟g {x1, x2, x3} lắp thnh mđt cap s0 cđng vói cơn̟g sai d =−fJ(α) có h̟0àn̟h̟ đ lắp thnh cap s0 cđng dang: x0 d, x0, x0 +

d K̟h̟i đó th̟e0 Đieu k̟i¾n̟ can̟: Gia su đ0 th̟% h̟àm̟ b¾c ba cat truc

h̟0àn̟h̟ tai ba điem̟ đ%n̟h̟ lý Viet đ0i vói ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c ba:

a0 + a1x + a2x2 + x3 = 0ta có

(x0 − d) + x0 + (x0 + d) = −a2 ⇔x0 = −a2 .

D0 x0 là n̟gh̟i¾m̟ n̟ên̟ f (x0) = 0 h̟ay f

.

−a2

Σ

= 0 V¾y suy ra

cH̟QN̟

Trang 38

(ii) và (iii) Ta có fJJ(x) = 2a2 + 6x Tù đó suy ra fJJ(α) = 2a2 − 2a2

Trang 39

2!2!  − −

V¾y (ii) 0c th0a món Mắt khỏc tự phng trỡnh h0nh đ gia0 điem̟ cn̟a (C) vói truc h̟0àn̟h̟ có dan̟g:

f (α) + fJ(α)(x − α) + f

JJ(α)

(x − α)2 + (x − α)3 = 0

⇔fJ(α)(x − α) + (x − α)3 = 0

⇔x = α h̟0¾c (x − α)2 = −fJ(α).

D0 phng trỡnh cú ba nghiắm lắp thnh cap s0 cđng n̟ên̟ suy ra fJ(α) <0 V¾y (iii) đư0c th̟0a m̟ãn̟.

Sau đây, ta xét m̟®t s0 ví du áp dun̟g.

Ví dn̟ 2.3.4 Tìm̟ m̟ đe đ0 th̟% h̟àm̟ y = x3 + m̟x2 − x − m̟ cat

truc h̟0àn̟h̟ tai ba iem cú h0nh đ lắp thnh cap s0 cđng Tìm̟ cap s0 c®n̟g

đó.

Lài giai

Xét h̟àm̟ f (x) = x3 + m̟x2 − x − m̟ là h̟àm̟ k̟h̟a vi trên̟ R Vói

α ∈ R, k̟h̟ai trien̟ Tayl0r cn̟a f (x) tai α là:f (x) = f (α) + fJ(α)(x − α) + f

JJ(α)

(x − α)2 + (x

− α)3. (*)

Áp dun̟g đ%n̟h̟ lý 2.3.3, α là n̟gh̟i¾m̟ cn̟a h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ sau đây:

f (α) = 0fJJ(α) = 0f J(α)< 0mα3 + m̟α2 α m̟ = 0 (1)⇔ 6α + 2m̟ = 0 (2)3α2 + 2m̟α − 1< 0 (3).Tù (2), ta có α = −

3 , th̟ay và0 (1) và (3) ta đư0c h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟:

 m̟3 m̟