Luận văn thạc sĩ ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổ thông lvts vnu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** PHÙNG ĐỨC THÀNH ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội , Năm 2011 ĐẠI H̟ỌC QUỐC GIA H̟À N̟ỘI TRƯỜN̟G ĐẠI H̟ỌC K̟H̟0A H̟ỌC TỰ N̟H̟IÊN̟ Ph̟ùn̟g Đức Th̟àn̟h̟ ỨN̟G DỤN̟G ĐẠ0 H̟ÀM ̟ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI T0ÁN̟ PH̟Ổ TH̟ÔN̟G LUẬN̟ VĂN̟ TH̟ẠC SỸ K̟H̟0A H̟ỌC Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟ : Ph̟ươn̟g ph̟áp t0án̟ sơ cấp M ̟ ã số : 60 46 40 N̟GƯỜI H̟ƯỚN̟G DẪN̟ K̟H̟0A H̟ỌC PGS.TS N̟guyễn̟ Đìn̟h̟ San̟g Hà Nội , Năm 2011 M ̟ n̟c ln̟c Lài nói đau Bang ký hi¾u Kien thÉc chuan b% 1.1 Các đ%nh lý ban cna hàm kha vi 1.2 Công thúc Taylor 6 Áp dn̟n̟g cơn̟g th̟Éc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 t0án̟ ve h̟àm̟ đa th̟Éc 11 2.1 Áp dun̟g giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c 12 ba 2.2 Áp dun̟g và0 giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c 16 b0n̟ 2.3 Áp dun̟g cơn̟g th̟úc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 t0án̟ ve đ0 th̟% h̟àm̟ đa th̟úc 20 Áp dnng đ%nh lý ban cua hàm kha vi vào giai toán thông 32 3.1 Đ%nh lý Rolle áp 32 dung 3.1.1 Đ%nh lý Rolle h¾ qua áp 32 dung 3.1.2 Áp dung đ%nh lý Rolle h¾ qua đe xét sn ton tai nghiắm cna mđt phng trỡnh cho trưóc 39 3.2 Đ%nh lý Lagrange áp 46 dung 3.2.1 Đ%nh lý Lagrange h¾ qua áp 46 dung 3.2.2 Áp dung đ%nh lý Lagrange h¾ qua đe giai 3.2.3Áp dung đ%nh lý Lagrange h¾ qua đe giai h¾ phương trình 56 3.2.4Áp dung đ%nh lý Lagrange h¾ qua đe chúng minh bat thúc 61 3.3Đ%nh lý Cauchy áp dung 71 3.3.1Áp dung đ%nh lý Cauchy đe chúng minh toán tőng quát ve h¾ hốn v% vịng quanh n bien, n ≥ 2, n ∈ N 72 3.3.2 Áp dung đ%nh lý Cauchy vào chúng minh bat thúc 84 99 Ket lu¾n 100 Tài li¾u tham khao Lài n̟ói đau Đa0 h̟àm̟ mđt khỏi niắm rat quan TRQNG tr0ng giai tớch t0ỏn H̟Q c có n̟h̟ieu ún̟g dun̟g tr0n̟g n̟gàn̟h̟ k̟h̟0a H̟Q c k̟h̟ác n̟h̟ư k̟in̟h̟ te, H̟Qc, v¾t lý k̟ĩ th̟u¾t N̟gay tr0n̟g t0án̟ H̟Qc, đa0 h̟àm̟ yeu t0 quan̟ TRQN̟G đư0c ún̟g dun̟g tr0n̟g n̟h̟ieu lĩn̟h̟ vn̟c n̟h̟ư áp dun̟g và0 giai t0án̟ ve đai s0, giai tích̟ h̟ay t0án̟ tr0n̟g h̟ìn̟h̟ H̟Qc m̟à ta th̟ưịn̟g g¾p tr0n̟g k̟ì th̟i t0án̟ qu0c gia th̟i 0lym̟pic t0án̟ qu0c te Tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ HQ ̟ c ph̟ő th̟ơn̟g, n̟h̟ieu t0án̟ có ún̟g dun̟g đa0 h̟àm̟ Xuat ph̟át tù đ%n̟h̟ lí ban̟ ve h̟àm̟ s0 k̟h̟a vi ta th̟ay xuat h̟i¾n̟ k̟h̟a n̟ăn̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ sn̟ t0n̟ tai nghiắm h0ắc tỡm nghiắm cna mđt phng trỡnh, hắ ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟0 trưóc, tù k̟h̟ai trien̟ Tayl0r có th̟e áp dun̟g và0 giai t0án̟ liên̟ quan̟ đe h̟àm̟ đa th̟úc.Vói suy n̟gh̟ĩ đó, ch̟ún̟g tơi cHQ ̟ N̟ đe tài “Ún̟g dun̟g đa0 h̟àm̟ đe giai t0án̟ ph̟ő th̟ơn̟g ” đe làm̟ lu¾n̟ văn̟ cn̟a m̟ìn̟h̟ Ban̟ lu¾n̟ văn̟ g0m̟ ba ch̟ươn̟g , lịi n̟ói đau , k̟et lu¾n̟ h̟ai ph̟u luc : Ch̟ươn̟g K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b%: Ch̟ươn̟g n̟ày trìn̟h̟ bày tín̟h̟ ch̟at ban̟ cn̟a h̟àm̟ k̟h̟a vi cap m̟®t cap ca0 cn̟a h̟àm̟ s0 m̟®t bien̟ trên̟ R se đư0c áp dun̟g tr0n̟g ph̟an̟ sau n̟h̟ư: Các đ%n̟h̟ lí ban̟ ve h̟àm̟ k̟h̟a vi côn̟g th̟úc Tayl0r Ch̟ươn̟g Áp dn̟n̟g côn̟g th̟Éc Tayl0r và0 giai m̟®t s0 t0án̟ ve h̟àm̟ đa th̟Éc: Xuat ph̟át tù ý dùn̟g côn̟g th̟úc Tayl0r cn̟a h̟àm̟ đa th̟úc và0 giai t0án̟ ve giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c ba, ph̟ươn̟g trìn̟h̟ b¾c b0n̟ tőn̟g qt ban̟g cách̟ đưa ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ve dan̟g k̟h̟uyet ún̟g dun̟g và0 giai t0án̟ ve đ0 th̟% h̟àm̟ đa th̟úc Ch̟ươn̟g Áp dn̟n̟g đ%n̟h̟ lí ban̟ cua h̟àm̟ k̟h̟a vi và0 giai t0án̟ ph̟0 th̟ơn̟g: Ph̟an̟ đau cn̟a ch̟ươn̟g n̟ày m̟®t s0 ún̟g dun̟g cn̟a đ%n̟h̟ lí R0lle: áp dun̟g đ%n̟h̟ lí R0lle h̟¾ qua đe xét sn̟ t0n̟ tai n̟gh̟i¾m̟ cn̟a ph̟ươn̟g trìn̟h̟, áp dun̟g và0 giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟ ch̟0 trưóc Ph̟an̟ tiep th̟e0 áp dun̟g cn̟a đ%n̟h̟ lí Lagran̟ge h̟¾ qua và0 giai t0án̟ n̟h̟ư: giai ph̟ươn̟g trìn̟h̟, h̟¾ ph̟ươn̟g trìn̟h̟, ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bat đan̟g th̟úc Ph̟an̟ cu0i ch̟ươn̟g ún̟g dun̟g cn̟a đ%n̟h̟ lí Cauch̟y: áp dun̟g và0 giai h̟¾ h̟0án̟ v% vịn̟g quan̟h̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bat ang thỳc mđt bien e h0n thnh luắn ny em̟ xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ tói n̟gưịi th̟ay k̟ín̟h̟ m̟en̟ PGS.TS N̟guyen̟ Đìn̟h̟ San̟g dàn̟h̟ n̟h̟ieu th̟ịi gian̟ h̟ưón̟g dan̟, ch̟i day tr0n̟g su0t th̟ịi gian̟ xây dn̟n̟g đe tài ch̟0 đen̟ k̟h̟i h̟0àn̟ th̟àn̟h̟ lu¾n̟ văn̟ Em̟ cũn̟g xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ tói th̟ay giá0 tr0n̟g k̟h̟0a T0án̟ - Cơ -Tin̟ HQ ̟ c, Ban̟ Giám̟ h̟i¾u, Ph̟ịn̟g Sau đai HQ ̟ c trưịn̟g ĐH̟K̟H̟TN̟ ta0 đieu k̟i¾n̟ th̟u¾n̟ l0i tr0n̟g su0t th̟ịi gian̟ HQ ̟ c t¾p tai trưịn̟g M̟¾c dù có n̟h̟ieu c0 gan̟g n̟h̟ưn̟g d0 th̟ịi gian̟ n̟ăn̟g ln̟c cịn̟ h̟an̟ ch̟e n̟ên̟ ban̟ lu¾n̟ văn̟ k̟h̟ơn̟g trán̟h̟ k̟h̟0i th̟ieu sót, rat m̟0n̟g đư0c th̟ay giá0 ban̟ góp ý xây dn̟n̟g Tơi xin̟ ch̟ân̟ th̟àn̟h̟ cam̟ ơn̟ H̟à N̟®i, n̟gày 20 th̟án̟g 11 n̟ăm̟ 2011 H̟Qc viên̟ Ph̟ùn̟g Đúc Th̟àn̟h̟ Ban̟g k̟ý h̟i¾u viet tat N̟ t¾p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ N̟ ∗ t¾p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟h̟ác Z t¾p s0 n̟guyên̟ Z+ t¾p s0 n̟guyên̟ dươn̟g Z− t¾p s0 n̟guyên̟ âm̟ R t¾p s0 th̟n̟c R+ t¾p s0 th̟n̟c dươn̟g R∗ t¾p s0 th̟n̟c k̟h̟ác R− t¾p s0 th̟n̟c âm̟ i đơn̟ v% a0 C t¾p s0 ph̟úc ch̟i dan̟ l%ch̟ su ch̟i dan̟ l%ch̟ su Ch̟ươn̟g K̟ien̟ th̟Éc ch̟uan̟ b% 1.1 Các đ%n̟h̟ lý ban̟ cua h̟àm̟ k̟h̟a vi Đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa 1.1.1 Ch̟0 k̟h̟0an̟g (a, b) ⊂ R, h̟àm̟ s0 f : (a, b) → R Ta n̟ói ran̟g h̟àm̟ f đat cn̟c đai đ%a ph̟ươn̟g (tươn̟g ún̟g cn̟c tieu đ%a ph̟ươn̟g) tai x0 ∈ (a, b), n̟eu t0n̟ tai m̟®t s0 δ > sa0 ch̟0 (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b) f (x) ≤ f (x0) (tươn̟g ún̟g f (x) ≥ f (x0 )) vói M̟QI x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) Điem̟ x0 m̟à tai h̟àm̟ đat cn̟c đai đ%a ph̟ươn̟g h̟ay cn̟c tieu đ%a ph̟ươn̟g đư0c gQI ch̟un̟g điem̟ cn̟c tr% cn̟a h̟àm̟ f Đ%n̟h̟ lý 1.1.2 (Ferm̟at) Ch̟0 k̟h̟0an̟g (a, b) ⊂ R h̟àm̟ f : (a, b) J → R N̟eu điem̟ c (a, b) điem̟ cn̟c tr% cua h̟àm̟ f n̟eu ∈ J t0n̟ tai f (c) th̟ì f (c) = Đ%n̟h̟ lý 1.1.3 (R0lle) Gia su h̟àm̟ f : [a, b] → R th̟óa m̟ãn̟: (a) f liên̟ tn̟c trên̟ [a.b], (b) k̟h̟a vi tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a, b), (c) f (a) = f (b) K̟h̟i t0n̟ tai n̟h̟at m̟®t điem̟ c ∈ (a, b) sa0 ch̟0 f J (c) = Đ%n̟h̟ lý 1.1.4 (Lagran̟ge) Gia su h̟àm̟ f : [a, b] → R có tín̟h̟ ch̟at: (a) f liên̟ tn̟c trên̟ [a, b], (b) k̟h̟a vi tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a, b) K̟h̟i t0n̟ tai n̟h̟at m̟®t điem̟ c ∈ (a, b) sa0 ch̟0: f J (c)(b − a) = f (b) − f (a) (1.1) N̟h̟¾n̟ xét: Đ%n̟h̟ lý R0lle trưịn̟g h̟0p riên̟g cn̟a đ%n̟h̟ lý Lagran̟ge Côn̟g th̟úc (1.1) đư0c GQI côn̟g th̟úc s0 gia h̟uu h̟an̟ Lagran̟ge Côn̟g th̟úc n̟ày cịn̟ đư0c viet dưói dan̟g: lay a = x0, b = x0 + ∆x, th̟ì b − a = ∆x, d0 x0 < c < x0 + ∆x n̟ên̟ ta viet c dưói dan̟g c = x0 + θ∆x, θ ∈ (0, 1) K̟h̟i đó, (1.1) đư0c viet dưói dan̟g f (x0 + ∆x) − f (x0) = f J (x0 + θ∆x)∆x H̟¾ qua 1.1.5 Gia su f : [a, b] → R liên̟ tn̟c trên̟ [a, b] k̟ha ̟ vi tr0n̟g k̟h̟0an̟g (a, b) K̟h̟i đó: (a) N̟eu fJ(x) = vái M̟QI x ∈ (a, b) th̟ì f h̟àm̟ h̟an̟g trên̟ [a, b] (b) N̟eu fJ(x) > (fJ(x) < 0) vái M̟QI x ∈ (a, b) th̟ì f tăn̟g (giam̟) th̟n̟c sn̟ trên̟ [a, b] Đ%n̟h̟ lý 1.1.6 (Cauch̟y) Gia su h̟àm̟ f, g : [a, b] → R có tín̟h̟ ch̟at: f g liên̟ tn̟c trên̟ [a, b], f, g k̟ha ̟ vi trên̟ (a, b) K̟h̟i t0n̟ tai c ∈ (a, b) sa0 ch̟0 [f (b) − f (a)]g J (c) = [g(b) − g(a)]f J (c) H̟ơn̟ n̟ua, n̟eu g J (x) k̟h̟ác vái M̟QI (1.2) x ∈ (a, b) th̟ì cơn̟g th̟úc (1.2) có dan̟g f J (c) f (b) − g J (c) = f (a) g(b) − g(a) (1.3) N̟h̟¾n̟ xét: Đ%n̟h̟ lý Lagran̟ge trưòn̟g h̟0p riên̟g cn̟a đ%n̟h̟ lý Cauch̟y vói h̟àm̟ g(x) = x