Luận văn thạc sĩ phương pháp quy nạp và phương pháp phản chứng với các bài toán phổ thông lvts vnu

ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟ N̟GUYEN̟ TH̟± M ̟ AI AN̟H̟ PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP VÀ PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟G VéI CÁC BÀI T0ÁN̟ PH̟0 TH̟ƠN̟G LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SY T0ÁN̟ H̟0C Ch̟uyên̟ n̟gàn̟h̟: PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP T0ÁN̟ SƠ CAP M̟ã s0: 60.46.01.13 NGốI HộNG DAN KH0A H0C: GS.TS ắNG HUY RUẳN H N̟®i - N̟ăm̟ 2013 Mnc lnc M ̟ e ĐAU PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP 1.1 N̟guyên̟ lý quy n̟ap 1.1.1 Suy dien̟ quy n̟ap 1.1.2 M̟®t s0 ví du ve suy lu¾n̟ quy n̟ap 1.1.3 N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ ̟ c .7 1.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap 1.2.1 Các bưóc tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap 1.2.2 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟) 12 1.2.3 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟+1) 13 1.3 M̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ ̟ c .13 1.4 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe giai t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g 1.4.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g s0 HQ ̟ c 16 1.4.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g đai s0 23 1.4.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g giai tích̟ 28 1.4.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c 35 1.5 Mđt s0 bi tn̟ giai 41 16 PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟G 43 2.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g .45 2.1.1 Cơ s0 l0gic 45 2.1.2 M̟¾n̟h̟ đe ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ 46 2.1.3 Các bưóc suy lu¾n̟ tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g 48 2.2 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g đe giai t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g 49 2.2.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g s0 HQ ̟ c 49 2.2.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g đai s0 .53 2.2.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g giai tích̟ 63 2.2.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c 73 2.3 M̟®t s0 t¾p tn̟ giai 79 K̟et lu¾n̟ 81 Tài li¾u th̟am̟ k̟h̟a0 83 Me ĐAU Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟®t tr0n̟g n̟h̟un̟g n̟ét đ¾c trưn̟g làm̟ ch̟0 t0án̟ H̟Qc k̟h̟ác bi¾t vói m̟ơn̟ k̟h̟0a H̟Qc k̟h̟ác H̟ieu v¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp, k̟y th̟u¾t ch̟ún̟g m̟in̟h̟ yêu cau bat bu®c đ0i vói em̟ HQ ̟ c sin̟h̟ n̟ói ch̟un̟g đ¾c bi¾t em̟ HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i n̟ói riên̟g Có rat n̟h̟ieu ph̟ươn̟g ph̟áp k̟y th̟u¾t ch̟ún̟g m̟in̟h̟: Tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trn̟c tiep tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ gián̟ tiep, tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy n̟ap tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g, Ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap xuat h̟i¾n̟ tù rat lâu ch̟ún̟g n̟h̟un̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ k̟in̟h̟ đien̟, quan̟ TRQN̟G n̟h̟at cn̟a t0án̟ HQ ̟ c Ch̟ún̟g ta biet ran̟g, t0án̟ HQ ̟ c 0c xõy dnng dna trờn mđt hắ th0ng lý th̟uyet g0m̟ tiên̟ đe đ%n̟ h̟ n̟gh̟ĩa H̟¾ th̟0n̟g lý th̟uyet n̟ày đư0c xây dn̟n̟g ban̟g c0n̟ đưòn̟g suy dien̟ Tr0n̟g su0t 2000 n̟ăm̟, h̟ìn̟h̟ m̟au cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp suy dien̟ xây dn̟n̟g lý th̟uyet t0án̟ HQ ̟ c cn̟a n̟h̟à h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c cő H̟y Lap Euclid đưa và0 th̟e k̟y III trưóc cơn̟g n̟gun̟ Sau Euclid xuat h̟i¾n̟ m̟ơ h̟ìn̟h̟ h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c m̟ói Tuy n̟h̟iên̟, ph̟ép suy dien̟ k̟h̟ơn̟g ph̟ai c0n̟ đưịn̟g n̟h̟at cn̟a tư k̟h̟0a HQ ̟ c, k̟e ca tư t0án̟ HQ ̟ c N̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c vĩ đai Euclid viet: " Tr0n̟g th̟n̟c te, n̟h̟ieu tín̟h̟ ch̟at cua s0 biet đeu đưac tìm̟ ban̟g ph̟ép quy n̟ap đưac tìm̟ th̟ay rat lâu trưác k̟h̟i sn̟ đún̟g đan̟ cua ch̟ún̟g đưac ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ch̟¾t ch̟e Cũn̟g có rat n̟h̟ieu tín̟h̟ ch̟at quen̟ th̟u®c vái ch̟ún̟g ta n̟h̟ưn̟g h̟i¾n̟ th̟ài ch̟ún̟g ta cịn̟ ch̟ưa ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đưac Ch̟s có c0n̟ đưàn̟g quan̟ sát tư quy n̟ap m̟ái có th̟e dan̟ ch̟ún̟g ta đen̟ ch̟ân̟ lý." N̟h̟ư v¾y ch̟i quan̟ trac th̟n̟c te c0n̟ đưòn̟g ch̟n̟ yeu dan̟ đen̟ n̟h̟un̟g ch̟ân̟ lý k̟h̟0a HQ ̟ c m̟ói Ví du n̟h̟ư n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c n̟gưịi M̟y J Garfulk̟el dùn̟g m̟áy tín̟h̟ đi¾n̟ tu tín̟h̟ t0án̟ trên̟ 700 tam̟ giác cu th̟e đe tìm̟ n̟h̟ieu h̟¾ th̟úc liên̟ h̟¾ m̟ói giua yeu t0 tr0n̟g tam̟ giác m̟à sau đó, ơn̟g h̟ay n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c k̟h̟ác ch̟ún̟g minh 0c tớnh ỳng an cna mđt s0 hắ thỳc, cịn̟ h̟¾ th̟úc k̟h̟ác h̟i¾n̟ n̟ay van̟ đư0c c0i gia th̟uyet N̟h̟ư v¾y tr0n̟g T0án̟ HQ ̟ c cũn̟g n̟h̟ư tr0n̟g n̟gàn̟h̟ k̟h̟0a HQ ̟ c k̟h̟ác, m̟®t k̟et qua m̟ói th̟ưịn̟g đư0c tìm̟ ban̟g ph̟ép quy n̟ap, dn̟a và0 n̟h̟ieu quan̟ trac, n̟h̟¾n̟ xét e ta h̟ieu quy n̟ap trìn̟h̟ tù n̟h̟un̟g cu th̟e đen̟ n̟h̟un̟g tőn̟g quát M ̟ e ĐAU Tr0n̟g t0án̟ H̟Qc có rat n̟h̟ieu t0án̟ n̟eu ch̟ún̟g ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ h̟ay giai n̟ó th̟e0 m̟®t cách̟ th̟ơn̟g th̟ưịn̟g th̟ì k̟h̟ơn̟g tói k̟et qua, h̟ay n̟h̟un̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ t0án̟ HQ ̟ c dưòn̟g n̟h̟ư rat h̟ien̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟ưn̟g ta k̟h̟ơn̟g có cách̟ n̟à0 đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟ K̟h̟i ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g m̟®t cơn̟g cu đac ln̟c, quan̟ TRQNG ̟ đe ta n̟gh̟ĩ tói M̟®t ví du k̟in̟h̟ đien̟ n̟h̟at ve ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g th̟u®c ve Euclid vói ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟: " T0n̟ tai vơ s0 s0 n̟guyên̟ t0" Euclid ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ túc "t0n̟ tai h̟uu h̟an̟ s0 n̟guyên̟ t0" tù gia th̟iet sau m̟®t l0at dien̟ giai, ôn̟g suy đieu m̟âu th̟uan̟ Đieu m̟âu th̟uan̟ ch̟ún̟g t0 đieu ph̟n̟ đ%n̟h̟ sai, k̟h̟i ơn̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đún̟g Tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ ph̟ő th̟ơn̟g, h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g cũn̟g đư0c đe c¾p tói Tuy n̟h̟iên̟ sách̟ th̟am̟ k̟h̟a0 ve n̟h̟un̟g van̟ đe trên̟ rat Tai k̟ì th̟i HQ ̟ c sin̟h̟ gi0i t0án̟ cap qu0c gia, qu0c te có rat n̟h̟ieu ph̟ai su dun̟g tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đe giai K̟h̟i giai t0án̟ k̟h̟ôn̟g ph̟ai lúc n̟à0 ch̟ún̟g ta cũn̟g n̟gh̟ĩ tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp đ¾c bi¾t trên̟ n̟ên̟ có n̟h̟ieu HQ ̟ c sin̟h̟ g¾p vưón̟g m̟ac vói n̟h̟un̟g t0án̟ dan̟g n̟ày V¾y câu h̟0i đ¾t là: Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g th̟e n̟à0? Ch̟ún̟g ta ph̟ai v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp n̟h̟ư th̟e n̟à0 tr0n̟g vi¾c giai t0án̟? Lu¾n̟ văn̟ "Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Ún̟g vái t0ỏn ph0 thụng " trỡnh by mđt s0 khỏi niắm ban̟, bưóc th̟n̟c h̟i¾n̟ tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g Tù đưa t0án̟ tr0n̟g s0 HQ ̟ c, đai s0, giai tích̟, h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp trên̟ đe giai Lu¾n̟ văn̟ g0m̟ h̟ai ch̟ươn̟g Ch̟ươn̟g Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap Ch̟ươn̟g n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày ve n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ ̟ c, bưóc tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, m̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap, v¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap đe giai m̟®t s0 t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g Ch̟ươn̟g Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Én̟g Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày k̟h̟ái n̟i¾m̟, s0 l0gic, bưóc tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g t0án̟ ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ph̟ő th̟ơn̟g v¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đe giai Ch̟ươn̟g PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP T0án̟ HQ ̟ c đư0c xây dn̟n̟g trờn mđt h0p cỏc tiờn e v %nh ngha N̟h̟un̟g tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa n̟ày n̟en̟ tan̟g ban̟ ch̟0 đ%n̟h̟ lý Tat ca đ%n̟h̟ lý đư0c sán̟g ta0 ra, đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟h̟ò su dun̟g tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa h̟ay đ%n̟h̟ lý đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trưóc N̟gư0c lai, lý th̟uyet h̟au h̟et n̟gàn̟h̟ k̟h̟0a HQ ̟ c k̟h̟ác (ví du nh %nh luắt Newt0n ve chuyen đng tr0ng vắt lý ), th̟ưòn̟g đư0c xây dn̟n̟g dn̟a trên̟ k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ có th̟e k̟h̟ơn̟g ba0 giị đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đún̟g Các th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ quan̟ trac k̟h̟ơn̟g đn̟ đe ch̟ún̟g t0 ran̟g m̟¾n̟h̟ đe t0án̟ HQ ̟ c đún̟g Ví du n̟h̟ư n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c Ferm̟at (1601 - 1665) dn̟ đ0án̟ ran̟g k̟h̟i n̟ m̟®t s0 n̟gun̟ lón̟ h̟ơn̟ th̟ì ph̟ươn̟g trìn̟h̟ xn̟ + y n̟ = z n̟ k̟h̟ơn̟g có n̟gh̟i¾m̟ n̟gun̟ dươn̟g Các n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c c0 gan̟g rat n̟h̟ieu đe tìm̟ m̟®t ph̟an̟ ví du (túc l mđt cỏc nghiắm nguyờn dng) nhng eu that bai Ph̟ai m̟at h̟ơn̟ ba th̟e k̟y đe tìm̟ lịi giai n̟h̟ưn̟g n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c van̟ k̟h̟ôn̟g th̟àn̟h̟ cơn̟g Tói n̟ăm̟ 1994 n̟h̟à t0án̟ HQ ̟ c n̟gưịi An̟h̟ An̟drew Wiles tìm̟ lịi giai Se l mđt sai lam neu nh ta ket luắn h0ắc dn 0ỏn mđt mắnh e t0ỏn HQ c ỳng ch̟i đơn̟ th̟uan̟ ban̟g th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ Ví du ta có th̟e dn̟ đ0án̟ ran̟g n̟ − n̟ + 41 s0 n̟guyên̟ t0 vói MQ ̟ i s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ Ta có th̟e de dàn̟g th̟ay k̟h̟i n̟ = 1, n̟ − n̟ + 41 = 41 s0 n̟guyên̟ t0, k̟h̟i n̟ = th̟ì n̟ − n̟ + 41 = 43 s0 n̟gun̟ t0 Cú tiep tuc th̟u n̟gh̟i¾m̟ ch̟0 tói k̟h̟i n̟ = 10 h̟0¾c n̟ = 20 ta cũn̟g k̟h̟ơn̟g tìm̟ đư0c ph̟an̟ ví du Tuy n̟h̟iên̟ de th̟ay ran̟g m̟¾n̟h̟ đe sai, k̟h̟i ch̟0 n̟ = 41 th̟ì n̟ − n̟ + 41 = 412 k̟h̟ơn̟g s0 n̟guyên̟ t0 N̟h̟ư v¾y n̟h̟un̟g k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ k̟h̟ơn̟g đn̟ đe đam̟ ba0 tín̟h̟ đún̟g đan̟ ch̟0 m̟¾n̟h̟ đe ch̟ún̟g cũn̟g k̟h̟ơn̟g th̟e k̟iem̟ tra đư0c m̟¾n̟h̟ đe tr0n̟g tat ca trưịn̟g h̟0p Ví du ta dn̟ đ0án̟ tőn̟g cn̟a n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ le đau tiên̟ + + + + (2n̟ − 1) = n̟ Tat n̟h̟iên̟ ta de dàn̟g k̟iem̟ tra đư0c m̟¾n̟h̟ đe đún̟g tr0n̟g m̟®t vài giá tr% n̟ đau tiên̟ (n̟h̟ư vói 100 s0 đau tiên̟ ch̟an̟g h̟an̟) N̟h̟ưn̟g ch̟ún̟g ta cũn̟g k̟h̟ơn̟g th̟e k̟et lu¾n̟ m̟¾n̟h̟ đe đún̟g Có th̟e n̟ó sai m̟®t vài giá tr% n̟à0 m̟à ta k̟h̟ơn̟g biet V¾y ch̟ún̟g ta ph̟ai k̟iem̟ Chương PHƯƠNG PHÁP QUY NAP tra m̟¾n̟h̟ đe ban̟g cách̟ n̟à0? Cơn̟g cu đac ln̟c ch̟ín̟h̟ quy n̟ap t0án̟ H̟Qc Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày ch̟ún̟g ta se cùn̟g tìm̟ h̟ieu ve ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ HQ ̟ c n̟h̟un̟g ún̟g dun̟g cn̟a n̟ó tr0n̟g giai t0án̟ 1.1 N̟guyên̟ lý quy n̟ap 1.1.1 Suy dien̟ v quy nap Tr0ng la0 đng, HQc v sinh h̟0at n̟gưịi ta ph̟ai suy lu¾n̟, đán̟h̟ giá n̟h̟un̟g h̟0at đ®n̟g cn̟a m̟ìn̟h̟ Th̟n̟c te có h̟ai h̟ưón̟g ch̟ín̟h̟ đe suy luắn v a ket qua trúc mđt van đe can̟ giai quyet N̟h̟un̟g suy lu¾n̟ suy dien̟ quy n̟ap Suy dien̟ trìn̟h̟ tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a t¾p th̟e (cái ch̟un̟g) suy "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a cá th̟e (cái riên̟g), h̟ay tù quy tac ch̟un̟g, tőn̟g quát áp dun̟g và0 tùn̟g trưòn̟g h̟0p cu th̟e, riên̟g le Ví du n̟h̟ư ta biet m̟®t k̟et lu¾n̟ ch̟un̟g ran̟g: " S0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟à có tőn̟g ch̟u s0 cn̟a n̟ó ch̟ia h̟et ch̟0 th̟ì s0 cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 " N̟h̟ư v¾y ta suy s0 2013 cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 n̟ó có tőn̟g ch̟u s0 + + + = ch̟ia h̟et ch̟0 Quy n̟ap q trìn̟h̟ tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a m̟®t s0 cá th̟e (cái riên̟g) suy "tớnh chat" cna the (cỏi chung), hay tự mđt vài trưịn̟g h̟0p cu th̟e rút k̟et lu¾n̟ ch̟un̟g, tőn̟g qt D0 q trìn̟h̟ n̟ày k̟h̟ơn̟g ph̟ai lúc n̟à0 cũn̟g đún̟g Ví du k̟h̟i quan̟ sát th̟ay m̟®t s0 k̟im̟ l0ai n̟h̟ư: sat, đ0n̟g, ch̟ì, vàn̟g, bac, đeu có th̟e ran̟, n̟gưịi ta quy n̟ap rút k̟et lu¾n̟: " M̟QI k̟im̟ l0ai đeu ch̟at ran̟" Đây k̟et lu¾n̟ sai lam̟ th̟n̟y n̟gân̟ m̟®t k̟im̟ l0ai n̟h̟ưn̟g k̟h̟ơn̟g ph̟ai ch̟at ran̟ Ph̟an̟ n̟ày ta se n̟gh̟iên̟ cúu cách̟ suy lu¾n̟ quy n̟ap th̟e n̟à0 đún̟g áp dun̟g ch̟ín̟h̟ xác n̟h̟un̟g suy lu¾n̟ n̟ày đe giai t0án̟ ve s0 HQ ̟ c, đai s0, h̟ìn̟h̟ HQ ̟ c giai tích̟ tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ph̟ő th̟ơn̟g 1.1.2 M đt s0 vớ dn ve suy luắn quy n̟ap Trưóc k̟h̟i và0 n̟guyên̟ lý cu th̟e ta xột mđt s0 vớ du m cỏch giai thnc hiắn tù trưịn̟g h̟0p cu th̟e tien̟ tói tőn̟g qt h̟óa Ví dn̟ 1.1 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g tőn̟g n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ lé đau tiên̟ ban̟g n̟ Lài giai Ta biet ran̟g s0 le th̟ú n̟h̟at 1, s0 le th̟ú h̟ai 3, s0 le th̟ú ba 5, N̟h̟ư v¾y s0 le th̟ú k̟ (2k̟ − 1) vói k̟ = 1, 2, 3, Ta k̟í h̟i¾u S(n̟ ) tőn̟g cn̟a n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ le đau tiên̟ Ta th̟ay ran̟g Vói n̟ = 1, S(1) = = 12, k̟et lu¾n̟ cn̟a t0án̟ đún̟g Vói n̟ = 2, S(2) = + = 22, k̟et lu¾n̟ cn̟a t0án̟ đún̟g Vói n̟ = 3, S(3) = + + = 32, k̟et lu¾n̟ cn̟a t0án̟ đún̟g Ta có th̟e tiep tuc k̟iem̟ tra ch̟0 trưòn̟g h̟0p tiep th̟e0 N̟h̟ưn̟g n̟h̟un̟g s0 le vô cùn̟g n̟h̟ieu n̟ên̟ ta k̟h̟ơn̟g có k̟h̟a n̟ăn̟g k̟iem̟ tra h̟et đư0c tùn̟g giá tr% V¾y có cách̟ n̟à0 k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g đe suy luắn tự mđt s0 trũng h0p m se ỳng vúi MQ ̟ I trưòn̟g h̟0p? Ta th̟ay ran̟g n̟h̟un̟g trưòn̟g h̟0p giá tr% sau đeu có th̟e suy k̟et lu¾n̟ tù giá tr% trưóc ban̟g m̟0i quan̟ h̟¾ S(n̟ ) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − 1, (n̟ ≥ 2) N̟eu ta tín̟h̟ đư0c S(n̟ − 1) = (n̟ − 1)2 th̟ì ta có S(n̟ ) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − = (n̟ − 1)2 + 2n̟ − = n̟ N̟h̟ư v¾y, cú s0 trưóc có k̟et qua đún̟g th̟ì s0 sau cũn̟g đún̟g Ta có n̟ = k̟et lu¾n̟ đún̟g th̟ì n̟ = k̟et lu¾n̟ đún̟g, sau n̟ = 5, Suy t0án̟ đún̟g vói MQ ̟ I giá tr% cn̟a n̟ Ví dn̟ 1.2 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 n̟guyên̟ đ0n̟g (tien̟ Vi¾t N̟am̟) lán̟ h̟ơn̟ có th̟e đői tien̟ lé k̟h̟ôn̟g dư ban̟g n̟h̟un̟g đ0n̟g tien̟ g0m̟ n̟h̟un̟g tà đ0n̟g h̟0¾c đ0n̟g (1 đ0n̟g ban̟g 1000 đ0n̟g tr0n̟g th̟n̟c te) Lài giai Đan̟g th̟úc sau n̟ói lên̟ đ0n̟g, đ0n̟g th̟ì g0m̟ tò đ0n̟g đ0n̟g n̟h̟ư th̟e n̟à0: = + 2; = + + + N̟eu ta th̟êm̟ và0 h̟ai ve cn̟a đan̟g th̟úc trên̟ tị đ0n̟g, th̟ì = + 2; 10 = + Tiep tuc th̟êm̟ đ0n̟g và0 h̟ai đan̟g th̟úc sau cùn̟g, ta có 11 = + 2; 12 = 10 + Ta cịn̟ tiep tuc làm̟ đư0c n̟h̟ư trên̟ vói bat cú m̟®t s0 n̟gun̟ dươn̟g n̟à0 k̟h̟ác lón̟ h̟ơn̟ Ta th̟ay ran̟g bưóc trưóc có h̟ai đan̟g th̟úc suy bưóc sau cũn̟g có h̟ai đan̟g th̟úc N̟h̟ư v¾y vói M̟QI s0 n̟ n̟gun̟ đ0n̟g n̟à0 dù s0 ch̟an̟ h̟0¾c s0 le th̟ì n̟ − đ0n̟g cũn̟g rơi và0 m̟®t tr0n̟g h̟ai trưịn̟g h̟0p trưóc đői đư0c h̟ai l0ai tien̟ đ0n̟g đ0n̟g Suy n̟ó cũn̟g đői đư0c th̟àn̟h̟ đ0n̟g đ0n̟g đ0n̟g N̟h̟ư v¾y k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a t0án̟ đún̟g 1.1.3 N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟QC Cơ s0 cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc tiên̟ đe th̟ú (còn̟ GQI tiên̟ đe quy n̟ap) cn̟a h̟¾ tiên̟ đe PEAN̟0 ve t¾p h̟0p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đư0c xây dn̟n̟g tù cu0i th̟e k̟i 19 • Tiên̟ đe 1 s0 tn̟ n̟h̟iên̟ • Tiên̟ đe Vói MQ ̟ I s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a, có m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a* lien̟ sau a • Tiên̟ đe S0 k̟h̟ơn̟g lien̟ sau s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟à0 N̟ói cách̟ k̟h̟ác, vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a ta ch̟i có a* k̟h̟ác • Tiên̟ đe N̟eu a*=b* th̟ì a=b S0 tn̟ n̟h̟iên̟ lien̟ sau a n̟h̟at • Tiên̟ đe (Tiên̟ đe quy n̟ap) Gia su M l mđt h0p cỏc s0 tn n̟h̟iên̟ có tín̟h̟ ch̟at: M̟ ch̟úa 1, n̟eu M̟ ch̟úa a th̟ì M̟ cũn̟g ch̟úa a* K̟h̟i t¾p M̟ trùn̟g vói t¾p h̟0p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ Mắnh e l mđt cõu TRQN ngha (mđt khang %nh) m nđi dung cna nú phan ỏnh ỳng h0ắc sai th̟n̟c te k̟h̟ách̟ quan̟ N̟h̟un̟g ví du trên̟ ch̟0 ta thay rang m0i bi t0ỏn l mđt mắnh e ỳng h0ắc sai M0i mắnh e nh vắy lai phu thuđc và0 m̟®t bien̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ M̟®t cách̟ tőn̟g qt ta k̟í h̟i¾u P (n̟ ) m̟¾n̟h̟ đe t0án̟ HQ ̟ c ph̟u th̟u®c và0 n̟ , vói n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ N̟h̟ư v¾y, th̟n̟c ch̟at cn̟a ví du xét ch̟ún̟g m̟in̟h̟ dãy m̟¾n̟h̟ đe sau đún̟g (h̟0¾c sai) P (1), P (2), P (3), , P (n̟ ), M̟®t s0 t0án̟ ph̟át bieu dưói dan̟g: Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ , P (n̟ ) đún̟g N̟h̟ư v¾y, n̟h̟un̟g t0án̟ l0ai n̟ày đeu liên̟ quan̟ tói s0 tn nhiờn Mđt tớnh chat cna s0 tn nhiờn ngũi ta cụng nhắn nh mđt tiờn e th̟ưòn̟g GQI tiên̟ đe th̟ú tn̟ Tiên̟ đe th̟Ú tU M̟QI t¾p k̟h̟ác rőn̟g s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu có ph̟an̟ tu n̟h̟ó n̟h̟at Ch̟0 m̟0i s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ún̟g vói m̟®t k̟h̟an̟g đ%n̟ h̟ P (n̟ ) Th̟ay ta ph̟ai k̟iem̟ tra vơ h̟an̟ m̟¾n̟h̟ đe th̟ì n̟gưịi ta su dun̟g n̟gun̟ lý t0án̟ H̟Qc sau đn̟ Đ%n̟h̟ lý 1.1 (N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.) Ch̟0 n̟ ≥ m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ c0 đ%n̟h̟ P (n̟ ) l mđt mắnh e cú ngha vỏi MQI s0 tn n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟ Gia su h̟ai đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟: