ĐAI H̟0C QU0C GIA H̟À N̟®I
TRƯèN̟G ĐAI H̟0C K̟H̟0A H̟0C TU N̟H̟IÊN̟
-N̟GUYEN̟ TH̟± M̟ AI AN̟H̟
PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟APVÀ PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟GVéI CÁC BÀI T0ÁN̟ PH̟0 TH̟ƠN̟G
LU¾N̟ VĂN̟ TH̟AC SY T0ÁN̟ H̟0C
Ch̟un̟ n̟gàn̟h̟: PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP T0ÁN̟ SƠ CAP M̟ã s0:60.46.01.13
N̟GƯèI H̟ƯéN̟G DAN̟ K̟H̟0A H̟0C:
GS.TS Đ¾N̟G H̟UY RU¼N̟
Trang 21
Mnc lnc
M̟ e ĐAU2
1PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP4
1.1 N̟guyên̟ lý quy n̟ap 5
1.1.1 Suy dien̟ và quy n̟ap 5
1.1.2 M̟®t s0 ví du ve suy lu¾n̟ quy n̟ap 5
1.1.3 N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc .7
1.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap 8
1.2.1 Các bưóc tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap 9
1.2.2 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟) 12
1.2.3 Bưóc quy n̟ap đư0c xây dn̟n̟g trên̟ P(k̟+1) 13
1.3 M̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc .13
1.4 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe giai các bài t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g 161.4.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g s0 H̟Qc 16
1.4.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g đai s0 23
1.4.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g giai tích̟ 28
1.4.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g h̟ìn̟h̟ H̟Qc 35
1.5 Mđt s0 bi tắp tn giai 41
2 PHNG PHP PH̟AN̟ CH̟ÚN̟G432.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g .45
2.1.1 Cơ s0 l0gic 45
2.1.2 M̟¾n̟h̟ đe ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ 46
2.1.3 Các bưóc suy lu¾n̟ tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g 48
2.2 V¾n̟ dun̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g đe giai các bài t0án̟ ph̟ő th̟ôn̟g 492.2.1 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g s0 H̟Qc 49
2.2.2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g đai s0 .53
2.2.3 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g giai tích̟ 63
2.2.4 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟ún̟g tr0n̟g hỡnh HQc 73
2.3 Mđt s0 bi tắp tn giai 79
Ket luắn 81
Trang 3Me ĐAU
2
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ là m̟®t tr0n̟g n̟h̟un̟g n̟ét đ¾c trưn̟g làm̟ ch̟0 t0án̟ H̟Qc k̟h̟ác bi¾t
vói các m̟ơn̟ k̟h̟0a H̟Qc k̟h̟ác H̟ieu và v¾n̟ dun̟g các phng phỏp, ky thuắt chỳng
minh l yờu cau bat buđc đ0i vói các em̟ H̟Qc sin̟h̟ n̟ói ch̟un̟g và đ¾c bi¾t là các
em̟ H̟Qc sin̟h̟ gi0i n̟ói riên̟g Có rat n̟h̟ieu ph̟ươn̟g ph̟áp và k̟y th̟u¾t ch̟ún̟g m̟in̟h̟:
Tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trn̟c tiep tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ gián̟ tiep, tù ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quyn̟ap tói ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g, Ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g và ph̟épch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap đã xuat h̟i¾n̟ tù rat lâu và ch̟ún̟g là n̟h̟un̟g ph̟ươn̟g ph̟ápch̟ún̟g m̟in̟h̟ k̟in̟h̟ đien̟, quan̟ TRQN̟G n̟h̟at cn̟a t0án̟ H̟Qc.
Ch̟ún̟g ta biet ran̟g, t0án̟ H̟Qc đư0c xõy dnng dna trờn mđt hắ th0ng lý thuyet
g0m cỏc tiên̟ đe và đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa H̟¾ th̟0n̟g lý th̟uyet n̟ày đư0c xây dn̟n̟g ban̟g c0n̟
đưòn̟g suy dien̟ Tr0n̟g su0t 2000 n̟ăm̟, h̟ìn̟h̟ m̟au cn̟a ph̟ươn̟g ph̟áp suy dien̟ xây
dn̟n̟g các lý th̟uyet t0án̟ H̟Qc là cn̟a n̟h̟à h̟ìn̟h̟ H̟Qc cő H̟y Lap Euclid đưa ra và0
th̟e k̟y III trưóc cơn̟g n̟gun̟ Sau Euclid đã xuat h̟i¾n̟ các m̟ơ h̟ìn̟h̟ h̟ìn̟h̟ H̟Qcm̟ói Tuy n̟h̟iên̟, ph̟ép suy dien̟ k̟h̟ơn̟g ph̟ai là c0n̟ đưịn̟g duy n̟h̟at cn̟a tư duyk̟h̟0a H̟Qc, k̟e ca tư duy t0án̟ H̟Qc N̟h̟à t0án̟ H̟Qc vĩ đai Euclid đã viet: "Tr0n̟g
th̟n̟c te, n̟h̟ieu tín̟h̟ ch̟at cua các s0 đã biet đeu đưac tìm̟ ra ban̟g ph̟épquy n̟ap và đưac tìm̟ th̟ay rat lâu trưác k̟h̟i sn̟ đún̟g đan̟ cua ch̟ún̟g đưac ch̟ún̟gm̟in̟h̟ chắt che Cng cú rat nhieu tớnh chat quen thuđc vái ch̟ún̟g ta n̟h̟ưn̟g h̟i¾n̟th̟ài ch̟ún̟g ta cịn̟ ch̟ưa ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đưac Ch̟s có c0n̟ đưàn̟g quan̟ sát và tưduy quy n̟ap m̟ái có th̟e dan̟ ch̟ún̟g ta đen̟ ch̟ân̟ lý." N̟h̟ư v¾y ch̟i các quan̟ trac
th̟n̟c te là c0n̟ đưòn̟g ch̟n̟ yeu dan̟ đen̟ n̟h̟un̟g ch̟ân̟ lý k̟h̟0a H̟Qc m̟ói Ví du n̟h̟ư
n̟h̟à t0án̟ H̟Qc n̟gưịi M̟y J Garfulk̟el đã dùn̟g m̟áy tín̟h̟ đi¾n̟ tu tín̟h̟ t0án̟ trên̟
700 tam̟ giác cu th̟e đe tìm̟ ra n̟h̟ieu h̟¾ th̟úc liên̟ h̟¾ m̟ói giua các yeu t0 tr0n̟g
tam̟ giác m̟à sau đó, ơn̟g h̟ay các n̟h̟à t0án̟ H̟Qc k̟h̟ác đã ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đư0c tín̟h̟
Trang 43M̟e ĐAU
Tr0n̟g t0án̟ H̟Qc có rat n̟h̟ieu bài t0án̟ n̟eu ch̟ún̟g ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ h̟ay giai n̟ó
th̟e0 m̟®t cách̟ th̟ơn̟g th̟ưịn̟g th̟ì k̟h̟ơn̟g đi tói k̟et qua, h̟ay n̟h̟un̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟
t0án̟ H̟Qc dưòn̟g n̟h̟ư rat h̟ien̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟ưn̟g ta k̟h̟ơn̟g có cách̟ n̟à0 đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
K̟h̟i đó ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟an̟ ch̟ún̟g là m̟®t cơn̟g cu đac ln̟c, quan̟
TRQN̟G đe ta n̟gh̟ĩ tói M̟®t ví du k̟in̟h̟ đien̟ n̟h̟at ve ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g
th̟u®c ve Euclid vói ph̟ép ch̟ún̟g m̟in̟h̟: "T0n̟ tai vô s0 s0 n̟guyên̟ t0" Euclid đã
ph̟n̟ đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ túc là "t0n̟ tai h̟uu h̟an̟ s0 n̟gun̟ t0" và tù giath̟iet đó sau m̟®t l0at các dien̟ giai, ôn̟g suy ra đieu m̟âu th̟uan̟ Đieu m̟âu th̟uan̟đó ch̟ún̟g t0 đieu ph̟n̟ đ%n̟h̟ là sai, k̟h̟i đó ơn̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đieu can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟là đún̟g.
Tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ t0án̟ ph̟ő th̟ơn̟g, h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟apvà ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g cũn̟g đư0c đe c¾p tói Tuy n̟h̟iên̟ sách̟ th̟am̟ k̟h̟a0ve n̟h̟un̟g van̟ đe trên̟ rat ít Tai các k̟ì th̟i H̟Qc sin̟h̟ gi0i t0án̟ cap qu0c gia,qu0c te có rat n̟h̟ieu bài ph̟ai su dun̟g tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp n̟ày đe giai K̟h̟i giait0án̟ k̟h̟ôn̟g ph̟ai lúc n̟à0 ch̟ún̟g ta cũn̟g n̟gh̟ĩ tói h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp đ¾c bi¾t trên̟
n̟ên̟ có n̟h̟ieu H̟Qc sin̟h̟ g¾p vưón̟g m̟ac vói n̟h̟un̟g bài t0án̟ dan̟g n̟ày V¾y câu h̟0i
đ¾t ra là: Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap và ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ch̟ún̟g là th̟e n̟à0? Ch̟ún̟g ta ph̟ai v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp đó n̟h̟ư th̟e n̟à0tr0n̟g vi¾c giai các bài t0án̟?
Lu¾n̟ văn̟
"
Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap và ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Ún̟g vái các bài t0án̟ ph̟0 th̟ơn̟g "
trìn̟h̟ bày m̟®t s0 k̟h̟ái n̟i¾m̟ cơ ban̟, các bưóc th̟n̟c h̟i¾n̟ tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟ápch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ph̟an̟ ch̟ún̟g Tù đó đưa ra các bài t0án̟ tr0n̟gs0 H̟Qc, đai s0, giai tích̟, h̟ìn̟h̟ H̟Qc v¾n̟ dun̟g h̟ai ph̟ươn̟g ph̟áp trên̟ đe giai.
Lu¾n̟ văn̟ g0m̟ h̟ai ch̟ươn̟g.
Ch̟ươn̟g 1 Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap
Ch̟ươn̟g n̟ày tác gia trìn̟h̟ bày ve n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ HQ̟ c, các bưóc tr0n̟g
ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap, m̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap, và v¾n̟ dun̟gph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap đe giai m̟®t s0 bài t0án̟ 0 ph̟ő th̟ôn̟g.
Ch̟ươn̟g 2 Ph̟ươn̟g ph̟áp ph̟an̟ ch̟Én̟g
Trang 54
Ch̟ươn̟g 1
PH̟ƯƠN̟G PH̟ÁP QUY N̟AP
T0án̟ H̟Qc đư0c xây dnng trờn mđt tắp h0p cỏc tiờn e v %nh n̟gh̟ĩa N̟h̟un̟g
tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa n̟ày là n̟en̟ tan̟g cơ ban̟ ch̟0 các đ%n̟h̟ lý Tat ca các đ%n̟h̟ lýđư0c sán̟g ta0 ra, đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟h̟ò su dun̟g các tiên̟ đe, đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa h̟ay cácđ%n̟h̟ lý đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ trưóc đó N̟gư0c lai, lý th̟uyet 0 h̟au h̟et các n̟gàn̟h̟
k̟h̟0a H̟Qc k̟h̟ác (ví du n̟h̟ư đ%n̟h̟ lu¾t N̟ewt0n̟ ve ch̟uyen̟ đ®n̟g tr0n̟g v¾t
lý ), th̟ưịn̟g đư0c xây dn̟n̟g dn̟a trên̟ k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ và có th̟e k̟h̟ơn̟gba0 giị đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ là đún̟g Các th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ và quan̟ trac k̟h̟ôn̟g đn̟ đech̟ún̟g t0 ran̟g m̟¾n̟h̟ đe t0án̟ H̟Qc là đún̟g Ví du n̟h̟ư n̟h̟à t0án̟ H̟Qc Ferm̟at
(1601 - 1665) dn̟ đ0án̟ ran̟g k̟h̟i n̟ là m̟®t s0 n̟gun̟ lón̟ h̟ơn̟ 2 th̟ì ph̟ươn̟g
trìn̟h̟ xn̟ + yn̟ = zn̟ k̟h̟ơn̟g có n̟gh̟i¾m̟ n̟gun̟ dươn̟g Các n̟h̟à t0án̟ HQ̟ cđã c0 gan̟g rat n̟h̟ieu đe tìm̟ ra mđt phan vớ du (tỳc l mđt tắp các n̟gh̟i¾m̟n̟guyên̟ dươn̟g) n̟h̟ưn̟g đeu th̟at bai Ph̟ai m̟at h̟ơn̟ ba th̟e k̟y đe tìm̟ lịi giain̟h̟ưn̟g các n̟h̟à t0án̟ H̟Qc van̟ k̟h̟ơn̟g th̟àn̟h̟ cơn̟g Tói n̟ăm̟ 1994 n̟h̟à t0án̟ HQ̟ cn̟gưòi An̟h̟ An̟drew Wiles đã tìm̟ ra lịi giai Se là m̟®t sai lam̟ n̟eu n̟h̟ư ta k̟et
lu¾n̟ h̟0¾c dn 0ỏn mđt mắnh e t0án̟ H̟Qc đún̟g ch̟i đơn̟ th̟uan̟ ban̟g th̟n̟c
n̟gh̟i¾m̟ Ví du ta có th̟e dn̟ đ0án̟ ran̟g n̟2 − n̟ + 41 là s0 n̟guyên̟ t0 vói M̟Qi
s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ Ta có th̟e de dàn̟g th̟ay k̟h̟i n̟ = 1, n̟2 −n̟ + 41 = 41 là s0
n̟guyên̟ t0, k̟h̟i n̟ = 2 th̟ì n̟2 −n̟ + 41 = 43 là s0 n̟guyên̟ t0 Cú tiep tuc th̟u
n̟gh̟i¾m̟ ch̟0 tói k̟h̟i n̟ = 10 h̟0¾c n̟ = 20 ta cũn̟g k̟h̟ơn̟g tìm̟ đư0c ph̟an̟ ví
du Tuy n̟h̟iên̟ de th̟ay ran̟g m̟¾n̟h̟ đe là sai, vì k̟h̟i ch̟0 n̟ = 41 th̟ì n̟2 − n̟ +
41 = 412 k̟h̟ôn̟g là s0 n̟guyên̟ t0 N̟h̟ư v¾y n̟h̟un̟g k̟et qua th̟n̟c n̟gh̟i¾m̟ làk̟h̟ơn̟g đn̟ đe đam̟ ba0 tín̟h̟ đún̟g đan̟ ch̟0 m̟¾n̟h̟ đe và ch̟ún̟g cũn̟g k̟h̟ôn̟g th̟ek̟iem̟ tra đư0c m̟¾n̟h̟ đe tr0n̟g tat ca các trưịn̟g h̟0p Ví du ta dn̟ đ0án̟ tőn̟g cn̟a
n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ le đau tiên̟ là 1 + 3 + 5 + + (2n̟ − 1) = n̟2 Tat n̟h̟iên̟ ta
de dàn̟g kiem tra 0c mắnh e l ỳng tr0ng mđt vi giá tr% n̟ đau tiên̟ (n̟h̟ư
Trang 65
Trang 75Chương 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NAP
tra m̟¾n̟h̟ đe ban̟g cách̟ n̟à0? Cơn̟g cu đac ln̟c 0 đây ch̟ín̟h̟ là quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.
Tr0n̟g ch̟ươn̟g n̟ày ch̟ún̟g ta se cùn̟g tìm̟ h̟ieu ve ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟
HQ̟ c và n̟h̟un̟g ún̟g dun̟g cn̟a n̟ó tr0n̟g giai t0án̟.
1.1N̟guyên̟ lý quy n̟ap1.1.1Suy dien̟ và quy n̟ap
Tr0n̟g la0 đng, HQc tắp v sinh h0at ngũi ta phai suy luắn, ỏnh giỏ nhung
h0at đng cna mỡnh Thnc te cú h̟ai h̟ưón̟g ch̟ín̟h̟ đe suy lu¾n̟ và đưa ra k̟et quatrúc mđt van e can giai quyet Nhung suy luắn đó là suy dien̟ và quy n̟ap.
Suy dien̟ là quá trìn̟h̟ đi tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a t¾p th̟e (cái ch̟un̟g) suy ra "tín̟h̟
ch̟at" cn̟a cá th̟e (cái riên̟g), h̟ay tù quy tac ch̟un̟g, tőn̟g quát áp dun̟g và0tùn̟g trưòn̟g h̟0p cu th̟e, riên̟g le.
Vớ du nh ta biet mđt ket luắn chung ran̟g: " S0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟à có tőn̟g các ch̟u s0
cn̟a n̟ó ch̟ia h̟et ch̟0 3 th̟ì s0 đó cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 3 " N̟h̟ư v¾y ta suy ra s0 2013
cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 3 vì n̟ó có tőn̟g các ch̟u s0 là 2 + 0 + 1 + 3 = 6 ch̟ia h̟et
ch̟0 3 Quy n̟ap là q trìn̟h̟ đi tù "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a m̟®t s0 cá th̟e (cái riên̟g) suy
ra "tín̟h̟ ch̟at" cn̟a t¾p th̟e (cái ch̟un̟g), h̟ay tù m̟®t vài trưịn̟g h̟0p cu th̟e rútra k̟et lu¾n̟ ch̟un̟g, tőn̟g qt D0 đó q trìn̟h̟ n̟ày k̟h̟ơn̟g ph̟ai lúc n̟à0 cũn̟gđún̟g Ví du k̟h̟i quan̟ sát th̟ay m̟®t s0 k̟im̟ l0ai n̟h̟ư: sat, đ0n̟g, ch̟ì, vàn̟g, bac,
đeu có th̟e ran̟, n̟gưịi ta đã quy n̟ap và rút ra k̟et lu¾n̟: " M̟QI k̟im̟ l0ai đeu là
ch̟at ran̟" Đây là k̟et lu¾n̟ sai lam̟ vì th̟n̟y n̟gân̟ là m̟®t k̟im̟ l0ai n̟h̟ưn̟g k̟h̟ơn̟gph̟ai làch̟at ran̟.
Ph̟an̟ n̟ày ta se n̟gh̟iên̟ cúu cách̟ suy lu¾n̟ quy n̟ap th̟e n̟à0 là đún̟g và áp dun̟g
ch̟ín̟h̟ xác n̟h̟un̟g suy lu¾n̟ n̟ày đe giai các bài t0án̟ ve s0 H̟Qc, đai s0, h̟ìn̟h̟ H̟Qc
và giai tích̟ tr0n̟g ch̟ươn̟g trìn̟h̟ ph̟ő th̟ơn̟g.
1.1.2M̟ ®t s0 ví dn̟ ve suy lu¾n̟ quy n̟ap
Trưóc k̟h̟i đi và0 n̟guyên̟ lý cu th̟e ta xét m̟®t s0 ví du m̟à cách̟ giai th̟n̟ch̟i¾n̟ tù trưịn̟g h̟0p cu th̟e tien̟ tói tőn̟g qt h̟óa.
Ví dn̟ 1.1 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g tőn̟g n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ lé đau tiên̟ ban̟g n̟2.
Lài giai.
Ta biet ran̟g s0 le th̟ú n̟h̟at là 1, s0 le th̟ú h̟ai là 3, s0 le th̟ú ba là 5, N̟h̟ư
v¾y s0 le th̟ú k̟ là (2k̟ − 1) vói k̟ = 1, 2, 3,
Trang 8Ta th̟ay ran̟g
Vói n̟ = 1, S(1) = 1 = 12, k̟et lu¾n̟ cn̟a bài t0án̟
đún̟g Vói n̟ = 2, S(2) = 1 + 3 = 22, k̟et lu¾n̟ cn̟a
bài t0án̟ đún̟g.
Vói n̟ = 3, S(3) = 1 + 3 + 5 = 32, k̟et lu¾n̟ cn̟a bài t0án̟ đún̟g.
Ta có th̟e tiep tuc k̟iem̟ tra ch̟0 các trưòn̟g h̟0p tiep th̟e0 N̟h̟ưn̟g n̟h̟un̟g s0 lelà vô cùn̟g n̟h̟ieu n̟ên̟ ta k̟h̟ơn̟g có k̟h̟a n̟ăn̟g k̟iem̟ tra h̟et đư0c tùn̟g giá tr% V¾y
có cách̟ n̟à0 k̟h̟ác k̟h̟ơn̟g e suy luắn tự mđt s0 trũng h0p m se đún̟g vói M̟QI
trưịn̟g h̟0p?
Ta th̟ay ran̟g n̟h̟un̟g trưịn̟g h̟0p giá tr% 0 sau đeu có th̟e suy ra k̟et lu¾n̟ tù
giá tr% trưóc ban̟g m̟0i quan̟ h̟¾ S(n̟) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − 1, (n̟ ≥ 2).
N̟eu ta đã tín̟h̟ đư0c S(n̟ − 1) = (n̟ − 1)2 th̟ì ta có
S(n̟) = S(n̟ − 1) + 2n̟ − 1 = (n̟ − 1)2 + 2n̟ − 1 = n̟2.
N̟h̟ư v¾y, cú s0 trưóc đã có k̟et qua đún̟g th̟ì s0 sau cũn̟g đún̟g Ta có n̟ = 3
k̟et lu¾n̟ đún̟g th̟ì n̟ = 4 k̟et lu¾n̟ đún̟g, sau đó n̟ = 5,
Suy ra bài t0án̟ đún̟g vói M̟QI giá tr% cn̟a n̟.
Ví dn̟ 1.2 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 n̟guyên̟ đ0n̟g (tien̟ Vi¾t N̟am̟) lán̟ h̟ơn̟
6 có th̟e đői ra tien̟ lé k̟h̟ôn̟g dư ban̟g n̟h̟un̟g đ0n̟g tien̟ g0m̟ n̟h̟un̟g tà 2 đ0n̟gh̟0¾c 5 đ0n̟g (1 đ0n̟g á đây ban̟g 1000 đ0n̟g tr0n̟g th̟n̟c te).
Lài giai Đan̟g th̟úc sau đây n̟ói lên̟ 7 đ0n̟g, 8 đ0n̟g th̟ì g0m̟ tò 2 đ0n̟g và 5
đ0n̟g n̟h̟ư th̟e n̟à0:
7 = 5 + 2;
8 = 2 + 2 + 2 + 2.
N̟eu ta th̟êm̟ và0 h̟ai ve cn̟a các đan̟g th̟úc trên̟ tị 2 đ0n̟g, th̟ì
9 = 7 + 2;
10 = 8 + 2.
Tiep tuc th̟êm̟ 2 đ0n̟g và0 h̟ai đan̟g th̟úc sau cùn̟g, ta có
11 = 9 + 2;
12 = 10 + 2.
Ta cịn̟ tiep tuc làm̟ đư0c n̟h̟ư trên̟ vói bat cú m̟®t s0 n̟gun̟ dươn̟g n̟à0 k̟h̟ác
lón̟ h̟ơn̟ 6 Ta th̟ay ran̟g 0 bưóc trưóc có h̟ai đan̟g th̟úc và suy ra bưóc sau cũn̟g
Trang 10h̟ai l0ai tien̟ 2 đ0n̟g và 5 đ0n̟g Suy ra n̟ó cũn̟g đői đư0c th̟àn̟h̟ các đ0n̟g 2
đ0n̟g và 5 đ0n̟g.
N̟h̟ư v¾y k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a bài t0án̟ là đún̟g.
1.1.3N̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟QC
Cơ s0 cn̟a n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc là tiên̟ đe th̟ú 5 (còn̟ GQI là tiên̟ đe quy
n̟ap) cn̟a h̟¾ tiên̟ đe PEAN̟0 ve t¾p h̟0p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đư0c xây dn̟n̟g tù cu0i th̟ek̟i 19.
• Tiên̟ đe 1 1 là s0 tn̟ n̟h̟iên̟.
• Tiên̟ đe 2 Vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a, có mđt s0 tn nhiờn a* i lien sau a.
ã Tiên̟ đe 3 S0 1 k̟h̟ôn̟g đi lien̟ sau s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟à0 N̟ói cách̟ k̟h̟ác, vói M̟QI
s0 tn̟ n̟h̟iên̟ a ta ch̟i có a* k̟h̟ác 1.
• Tiên̟ đe 4 N̟eu a*=b* th̟ì a=b S0 tn̟ n̟h̟iên̟ đi lien̟ sau a là duy n̟h̟at.• Tiên̟ đe 5 (Tiên̟ đe quy nap) Gia su M l mđt tắp h0p cỏc s0 tn̟ n̟h̟iên̟ có
tín̟h̟ ch̟at: M̟ ch̟úa 1, và n̟eu M̟ ch̟úa a th̟ì M̟ cũn̟g ch̟úa a* K̟h̟i đó t¾p M̟trùn̟g vói t¾p h̟0p các s0 tn nhiờn
Mắnh e l mđt cõu TRQN ngha (m̟®t k̟h̟an̟g đ%n̟h̟) m̟à n̟®i dun̟g cn̟a n̟ó ph̟an̟
án̟h̟ đún̟g h̟0¾c sai th̟n̟c te k̟h̟ách̟ quan̟.
N̟h̟un̟g ví du trên̟ ch̟0 ta thay rang m0i bi t0ỏn l mđt mắnh e đún̟g h̟0¾csai M̟0i m̟¾n̟h̟ đe n̟h̟ư vắy lai phu thuđc v0 m̟®t bien̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n Mđt
cỏch tng quỏt ta kớ hiắu P (n) l mắnh e t0ỏn HQc phu thuđc v0 n, vói n̟
là s0 tn̟ n̟h̟iên̟ N̟h̟ư v¾y, th̟n̟c ch̟at cn̟a các ví du đã xét là ch̟ún̟g m̟in̟h̟ dãym̟¾n̟h̟ đe sau đún̟g (h̟0¾c sai)
P (1), P (2), P (3), , P (n̟),
M̟®t s0 bài t0án̟ ph̟át bieu dưói dan̟g: Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 tn̟
n̟h̟iên̟ n̟, P (n̟) đún̟g N̟h̟ư v¾y, n̟h̟un̟g bài t0án̟ l0ai n̟ày đeu liờn quan
túi tắp s0 tn nhiờn.
Mđt tín̟h̟ ch̟at cn̟a t¾p s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟gưịi ta cơn̟g nhắn nh mđt tiờn e và
th̟ưòn̟g GQI là tiên̟ đe th̟ú tn̟.
Tiên̟ đe th̟Ú tU M̟QI t¾p k̟h̟ác rőn̟g các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu có ph̟an̟ tu n̟h̟ó n̟h̟at.
Ch̟0 m̟0i s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ún̟g vói m̟®t k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (n̟) Th̟ay vì ta ph̟ai đik̟iem̟ tra vơ h̟an̟ các m̟¾n̟h̟ đe th̟ì n̟gưịi ta su dun̟g n̟guyên̟ lý t0án̟ H̟Qc sau làđn̟.
Trang 11(i)P (n̟0) là m̟¾n̟h̟ đe đún̟g và
(ii) N̟eu m̟¾n̟h̟ đe P (k̟) đún̟g vái m̟ői s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟ ≥ n̟0 k̟é0 th̟e0 m̟¾n̟h̟ đeP (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
K̟h̟i đó m̟¾n̟h̟ đe P (n̟) đún̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟0.
Ch̟Ún̟g m̟in̟h̟ GQI A là t¾p h̟0p các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟0 m̟à P (n̟) k̟h̟ôn̟g
đún̟g Gia su A ƒ= ∅, k̟h̟i đó se t0n̟ tai m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟ ≥ n̟0 m̟à P (m̟)
k̟h̟ôn̟g đún̟g Ta lay s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟0 n̟h̟at m̟J tr0n̟g A m̟à
P (m̟J) k̟h̟ôn̟g đún̟g (1.1)
Đieu n̟ày th̟n̟c h̟i¾n̟ đư0c d0 tiên̟ đe th̟ú tn̟ Th̟e0 gia th̟iet (i) th̟ì P (n̟0)
đún̟g n̟ên̟ m̟J > n̟0 suy ra m̟J − 1 ≥ n̟0 Vì m̟J − 1 ∈/ A (d0 m̟J là s0 n̟h̟0n̟h̟at th̟u®c A), n̟ên̟ th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa cn̟a t¾p A th̟ì P (m̟J − 1) đún̟g K̟h̟i đóth̟e0 gia th̟iet (ii) th̟ì
P (m̟J) = P ((m̟J − 1) + 1) cũn̟g đún̟g (1.2)
Tù (1.1) và (1.2) suy ra m̟âu th̟uan̟ Đieu n̟ày ch̟ún̟g t0 A = ∅.
V¾y P (n̟) đún̟g vói m̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟0 □
Ph̟ươn̟g ph̟áp dùn̟g n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc đe giai t0án̟, n̟gưòi ta GQI là
ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ H̟Qc.
Ch̟ú ý 1.1 Ta can̟ ph̟ân̟ bi¾t rõ các khỏi niắm
ã "Phộp quy nap" l mđt phng phỏp t duy dùn̟g đe tìm̟ tịi, dn̟ đ0án̟, ph̟át h̟i¾n̟các k̟ien̟ th̟úc m̟ái.
• "Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap t0án̟ H̟Qc" ta GQI tat "Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap" là m̟®tph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ các k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ ch̟úa ch̟u n̟ ∈ N̟ (t¾p h̟ap các s0 tn̟
n̟h̟iên̟).
Ta cũn̟g có th̟e su dn̟n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe ch̟ún̟g m̟in̟h̟ n̟h̟un̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đ0i vái các s0 n̟guyên̟.
N̟h̟ieu k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ m̟à có th̟e đưac ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap cũn̟gcó th̟e đưac ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g các ph̟ươn̟g ph̟áp k̟h̟ác đôi k̟h̟i n̟gan̟ GQN̟ h̟ơn̟.
1.2Ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟Én̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap
Dn̟a th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc ta đưa ra các bưóc tr0n̟g ch̟ún̟g m̟in̟h̟
Trang 122
1.2.1Các bưác tr0n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟Én̟g m̟in̟h̟ quy n̟ap
Gia su k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (n̟) xác đ%n̟h̟ vói M̟QIn̟ ≥ n̟0, (n̟, n̟0 ∈ Z+) Đe ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ P (n̟) đún̟g vói M̟QI n̟ ≥ n̟0 ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap, ta can̟ th̟n̟c h̟i¾n̟
ba bưóc: Bưác 1 Cơ sá quy n̟ap Ta k̟iem̟ tra m̟¾n̟h̟ đe có đún̟g vói n̟ =
n̟0 k̟h̟ơn̟g?
N̟gh̟ĩa là k̟iem̟ tra P (n̟0) có đún̟g k̟h̟ơn̟g? N̟eu bưóc cơ s0 đún̟g ta ch̟uyen̟
san̟g bưóc th̟ú h̟ai.
Bưác 2 Quy n̟ap Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g n̟eu vói m̟0i k̟ ≥ n̟0 (k̟ ∈ Z+), P (k̟) là
m̟¾n̟h̟ đe đún̟g th̟ì suy ra P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
Bưác 3 K̟et lu¾n̟ P (n̟) đún̟g vói M̟QI n̟ ≥ n̟0.
Ví dn̟ 1.3 Tín̟h̟ tőn̟g cua n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟.
Lài giai K̟í h̟i¾u S(n̟) là tőn̟g cn̟a n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟, n̟gh̟ĩa là
S(n̟) = 1 + 2 + 3 + + n̟.
Ta tín̟h̟ m̟®t s0 tőn̟g tai n̟h̟un̟g giá tr% ban̟ đau.
n̟12345678
S(n̟)1361015212836
Ta th̟ay quy lu¾t: Tích̟ cn̟a h̟ai s0 liên̟ tiep 0 h̟àn̟g trên̟ ban̟g 2 lan̟ s0 0 h̟àn̟g
dưói (s0 có v% trí cùn̟g c®t vói s0 th̟ú n̟h̟at tr0n̟g 2 s0 liên̟ tiep 0 h̟àn̟g trên̟).
N̟h̟ư 1.2 = 2.1, 2.3 = 2.3, 3.4 = 2.6, 4.5 = 2.10, 5.6 = 2.15, 6.7 =
2.21,
D0 đó ta có th̟e dn̟ đ0án̟ cơn̟g th̟úc ph̟ai tìm̟ là
S(n̟) = 1 + 2 + 3 + + n̟ =n̟(n̟ +1)2. (1.3)
Bieu th̟úc (1.3) đư0c GQI là gia th̟iet quy n̟ap M̟u0n̟ ch̟ac ch̟an̟ côn̟g th̟úc n̟ày
đún̟g ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟ơn̟g qua h̟ai bưóc:
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 cơn̟g th̟úc (1.3) đún̟g n̟h̟ư cách̟ tín̟h̟ 0 trên̟.
2 Bưác quy n̟ap Gia su n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ Z+), S(k̟) đún̟g túc là S(k̟) = k̟ ( k̟ + 1) .
Ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (1.3) cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1
Trang 13Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc cơn̟g th̟úc (1.3) đún̟g vói M̟Qi n̟ ≥ 1.
V¾y 1 + 2 + 3 + + n̟ = n̟(n̟ + 1).
Trang 14.
Ví dn̟ 1.4 Tín̟h̟ tőn̟g các l¾p ph̟ươn̟g cua n̟ s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đau tiên̟.
Lài giai Ta đ¾t cơn̟g th̟úc T (n̟) = 13 + 23 + 33 + + n̟3.
Ta cũn̟g đi tín̟h̟ m̟®t s0 giá tr% ban̟ đau:
n̟123456
T(n̟)1936100225441
N̟h̟ìn̟ và0 ban̟g trên̟ ta k̟h̟ó có th̟e tìm̟ ra quy lu¾t ch̟0 T (n̟).
N̟h̟ưn̟g vói k̟in̟h̟ n̟gh̟i¾m̟ và k̟et qua đã tín̟h̟ 0 bài trưóc ta có ban̟g n̟h̟ư sau:
n̟123456
S(n̟)136101521
T(n̟)1936100225441
e đây S(n̟) = 1 + 2 + + n̟.
Tù ban̟g trên̟ ta th̟ay ran̟g có th̟e
T (n̟) = S2(n̟) : 1 = 12, 9 = 32, 36 = 62,
Côn̟g th̟úc tín̟h̟ S(n̟) đã biet 0 bài t0án̟ 1.3, k̟h̟i đó ta có cơn̟g th̟úc ch̟0 gia
th̟iet quy n̟ap là
T (n̟) = 13 + 23 + 33 + + n̟3 =Σ n̟ ( n̟ + 1) Σ2. (1.4)
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc (1.4) ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟e0 n̟ :
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 côn̟g th̟úc (1.4) đún̟g (th̟e0 ban̟g trên̟).
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.4) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ Z+), ta ph̟ai ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ (1.4) cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.Th̟¾t v¾y,T (k̟ + 1) = 13 + 23 + 33 + + k̟3 + (k̟ + 1)3 = T (k̟) + (k̟ + 1)3Σ k̟ ( k̟ + 1) Σ22 + (k̟ + 1)3 = (k̟ +1)2k̟2+ k̟ + 14= (k̟ + 1)2.k̟2 + 4k̟ + 4 Σ4Σ ( k̟ + 1)( k̟ + 2) Σ22
V¾y (1.4) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc suy ra
Trang 16Ch̟ú ý 1.2.
Tr0n̟g quá trìn̟h̟ quy n̟ap n̟eu k̟h̟ơn̟g th̟n̟c h̟i¾n̟ đay đn̟ ca h̟ai bưóc: Cơ s0quy n̟ap và quy n̟ap th̟ì có th̟e dan̟ tói sai lam̟, ch̟an̟g h̟an̟:
• D0 b0 bưóc cơ s0 quy n̟ap n̟ên̟ ta đưa ra k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ k̟h̟ôn̟g đún̟g.
Ta xét bài t0án̟: Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu ban̟g s0 tn̟ n̟h̟iên̟lien̟ sau n̟ó.
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bài t0án̟ th̟e0 ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap n̟h̟ư sau:
Gia su m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟, (k̟ ∈ N̟) K̟h̟i đó ta có: k̟ = k̟ + 1.
Ta se ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ + 1, n̟gh̟ĩa là ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟:
k̟ + 1 = k̟ + 2 Th̟¾t v¾y,
k̟ + 1 = (k̟ + 1) + 1 = k̟ + 2.
N̟h̟ư v¾y k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g vói n̟ = k̟ th̟ì n̟ó cũn̟g đún̟g vói n̟ = k̟ + 1, d0 đó
th̟e0 quy n̟ap t0án̟ H̟Qc n̟ó đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ H̟¾ qua cn̟a bài t0án̟n̟ày là tat ca các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ đeu ban̟g n̟h̟au! Đieu n̟ày vơ lý.
V¾y cách̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ sai 0 đâu? De th̟ay ran̟g k̟h̟i ta áp dun̟g n̟guyên̟ lí quy
n̟ap t0án̟ H̟Qc n̟h̟ưn̟g đã b0 qua k̟iem̟ tra trưòn̟g h̟0p n̟ = 1 Ta th̟ay vói n̟ = 1
th̟ì k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a bài t0án̟ sai vì 1 ƒ= 2.
Bưóc k̟iem̟ tra ban au cú mđt ý ngha ắc biắt l ta0 ra cơ s0 đe th̟n̟ch̟i¾n̟ quy n̟ap Bưóc th̟ú hai a ra nguyờn tac ch0 viắc m0 rđng tn đngvụ han trờn c s0 cỏc ieu kiắn ban au, đây là n̟guyên̟ tac đi tù trưòn̟g h̟0p
riên̟g n̟ày san̟g trưòn̟g h̟0p riên̟g k̟h̟ác: tù k̟ đen̟ k̟ + 1.
Bài t0án̟ trên̟ k̟h̟i ch̟ưa k̟iem̟ tra đieu k̟i¾n̟ ban̟ đau th̟ì k̟h̟ơn̟g có cơ s0 đe th̟n̟ch̟i¾n̟ quy n̟ap, vì th̟e vi¾c k̟iem̟ tra ph̟an̟ quy n̟ap k̟h̟ơn̟g có ý ngha gỡ.
ã Khi ta chi chỳng minh 0c mđt s0 đieu k̟i¾n̟ ban̟ đau m̟à b0 qua ph̟an̟
quy n̟ap th̟ì m̟ói ch̟i đưa ra đư0c cơ s0 ch̟ú ch̟ưa có n̟gun̟ tac n̟à0 đe m̟0r®n̟g cơ s0 đó D0 đó đieu ta k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ có th̟e se b% sai.
Ta xét ví du sau: N̟h̟à T0án̟ H̟Qc Ph̟áp P.Ferm̟at (1601 - 1665) đã ch̟0
ran̟g các s0 dan̟g 22n̟ + 1 đeu là s0 n̟guyên̟ t0 vói n̟ là s0 n̟gun̟ k̟h̟ơn̟g âm̟.
K̟h̟i đó, P.Ferm̟at ch̟i xét 5 s0 đau tiên̟:
Trang 18N̟h̟ưn̟g và0 th̟e k̟y 18, Euler đã ph̟át h̟i¾n̟ vói n̟ = 5 k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ trên̟ k̟h̟ơn̟g đún̟g, b0i vì:
225+ 1 = 4294967997 = 641 × 6700417 là h̟0p s0.Rõ ràn̟g vì b0 qua bưóc quy n̟ap n̟ên̟ k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a P.Ferm̟at k̟h̟ơn̟g đún̟g.
V¾y ph̟ươn̟g ph̟áp ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy n̟ap t0án̟ H̟Qc can̟ ph̟ai th̟n̟c h̟i¾n̟ h̟ai
bưóc n̟h̟ư ph̟ân̟ tích̟ 0 ph̟an̟ trên̟ K̟h̟ó k̟h̟ăn̟ ch̟n̟ yeu ch̟ún̟g ta g¾p tr0n̟g bưócquy n̟ap t0án̟ H̟Qc là k̟h̟i m̟¾n̟h̟ đe gia su đã đún̟g ch̟0 P (k̟) và ph̟ai ch̟ún̟g
m̟in̟h̟ ch̟0 P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g Th̟ôn̟g th̟ưịn̟g n̟gưịi ta ph̟ai tìm̟ m̟0i liên̟ h̟¾
giua P (k̟) và P (k̟ + 1) đe suy ra k̟et qua ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
1.2.2Bưác quy n̟ap đưac xây dEn̟g trên̟ P(k̟)
Ph̟an̟ n̟ày ta xét k̟h̟a n̟ăn̟g bien̟ đői quy n̟ap trn̟c tiep tù k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟gP(k̟) san̟g k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g P(k̟+1).
Ví dn̟ 1.5 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟, th̟ì
12 + 22 + 32 + + n̟2 = n̟(n̟ + 1)(2n̟ + 1)
6
Lài giai Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap th̟e0 n̟.Đ¾t
(1.5)
S(n̟) = 12 + 22 + 32 + + n̟2.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì S(1) = 12 = 1 = 1.2.3 , côn̟g th̟úc (1.5) đún̟g.
6
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.5) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ N̟), túc là
S(k̟) = 12 + 22 + 32 + + k̟2 = k̟(k̟ + 1)(2k̟ + 1) .6K̟h̟i đóS(k̟ + 1) = 12 + 22 + + k̟2 + (k̟ + 1)2 = S(k̟) + (k̟ + 1)2= k̟(k̟ + 1)(2k̟ + 1) + (k̟ + 1)6(k̟ + 1)2 = (k̟ + 1) k̟(2k̟ + 1) += (k̟ + 1)6 62k̟(k̟ + 1) + k̟ + 4(k̟ +1) + 26(k̟ + 1)(k̟ + 2)[2(k̟ + 1) + 1]= .6D0 đó (1.5) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Trang 191.2.3Bưác quy n̟ap đưac xây dEn̟g trên̟ P(k̟+1)
Bưóc quy n̟ap t0án̟ H̟Qc can̟ k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (k̟ + 1) đư0c suy ra tù P
(k̟) N̟h̟ưn̟g n̟h̟ieu k̟h̟i vi¾c bien̟ đői trn̟c tiep tù P (k̟) san̟g P (k̟ + 1) g¾p rat
n̟h̟ieu k̟h̟ó k̟h̟ăn̟ h̟0¾c k̟h̟ơn̟g có h̟ưón̟g ch̟ín̟h̟ xác đe bien̟ đői K̟h̟i đó ta ph̟ai làm̟n̟gư0c lai đe bieu dien̟ P (k̟ + 1) th̟àn̟h̟ n̟h̟un̟g m̟¾n̟h̟ đe P (k̟) và tien̟ h̟àn̟h̟quy n̟ap.
Ví dn̟ 1.6 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g s0 zn̟ = 32n̟+1 + 40n̟ − 67 ch̟ia h̟et ch̟0 64 váiM̟QI s0 n̟guyên̟ k̟h̟ôn̟g âm̟ n̟.
Lài giai.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 0 ta có z0 = 31 − 67 = −64 ch̟ia h̟et ch̟0 64, m̟¾n̟h̟ đe đún̟g.
2 Bưác quy n̟ap Gia su zn̟ ch̟ia h̟et ch̟0 64.K̟h̟i đó
zn̟+1 = 32(n̟+1)+1 + 40(n̟ + 1) − 67
= 32n̟+3 + 40n̟ − 27
= 9(32n̟+1 + 40n̟ − 67) − 320n̟ + 576= 9.zn̟ − 64(5n̟ − 9).
Ve ph̟ai cn̟a đan̟g th̟úc sau cùn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 64, v¾y vói n̟ + 1 m̟¾n̟h̟ đe van̟
đún̟g.
Th̟e0 n̟gun̟ lý quy n̟ap bài t0án̟ đún̟g vói m̟QI s0 n̟guyên̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ n̟.
1.3M̟®t s0 dan̟g k̟h̟ác cua n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟QC
Đieu k̟i¾n̟ th̟ú n̟h̟at tr0n̟g n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc ch̟0 ta cơ s0 m̟0 r®n̟g
bat đau tù giá tr% n̟0 Đieu k̟i¾n̟ th̟ú h̟ai ch̟0 ta m̟¾n̟h̟ đe k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ P (n̟)
đún̟g tai n̟0 + 1, n̟0 + 2, Th̟n̟c te n̟h̟ieu k̟h̟i tr0n̟g bưóc quy n̟ap ph̟ai địi
h̟0i h̟ai giá tr% n̟ = k̟ − 1 và n̟ = k̟ cn̟a m̟¾n̟h̟ đe trưóc k̟h̟i suy ra đún̟g vói
n̟ = k̟ + 1 Tr0n̟g trưịn̟g h̟0p n̟ày bưóc cơ s0 ph̟ai k̟iem̟ tra k̟h̟ơn̟g n̟h̟un̟g ch̟i
vói n̟0, m̟à ca n̟0 + 1 Tőn̟g quát h̟ơn̟ ta có các đ%n̟h̟ lý sau:
Đ%n̟h̟ lý 1.2 Ch̟0 P (n̟) là mđt mắnh e cú ngha vỏi MQI s0 tn nhiờn n̟ ≥ 1 Gia su h̟ai đieu k̟i¾n̟ sau đưac th̟óa m̟ãn̟:
(i) P(1) là m̟¾n̟h̟ đe đún̟g và
(ii) N̟eu các m̟¾n̟h̟ đe P (1), P (2), , P (k̟) đún̟g vái m̟ői s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟ ≥
1 k̟é0 th̟e0 m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.
Trang 20xk+
1 xx
kxk−
1
Ch̟Ún̟g m̟in̟h̟ GQI A là t¾p h̟0p các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ 1 m̟à P (n̟) k̟h̟ôn̟gđún̟g Gia su A ƒ= ∅, k̟h̟i đó se t0n̟ tai m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟ m̟à P (m̟) k̟h̟ôn̟g
đún̟g Ta lay s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟0 n̟h̟at m̟J tr0n̟g A m̟à
P (m̟J) k̟h̟ơn̟g đún̟g (1.6)
Đieu n̟ày th̟n̟c h̟i¾n̟ đư0c d0 tiên̟ đe th̟ú tn̟ Th̟e0 gia th̟iet (i) th̟ì P (1) đún̟g
n̟ên̟ m̟J > 1 suy ra m̟J − 1 ≥ 1 Vì k̟ := m̟J − 1 ∈/ A (d0 m̟J là s0 n̟h̟0 n̟h̟at
th̟u®c A), n̟ên̟ th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa cn̟a t¾p A th̟ì P (k̟) đún̟g Tươn̟g tn̟ k̟ − 1 ∈/ A
và P (k̟ − 1) đún̟g, cú l¾p lai n̟h̟ư th̟e, ta th̟u đư0c m̟®t dãy P (1), P (2), , P (k̟) là n̟h̟un̟g m̟¾n̟h̟ đe đún̟g K̟h̟i đó th̟e0 gia th̟iet (ii) th̟ì
P (m̟J) = P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g (1.7)
Tù (1.6) và (1.7) suy ra m̟âu th̟uan̟ Đieu n̟ày ch̟ún̟g t0 A = ∅.
V¾y P (n̟) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟0 □
Ví dn̟ 1.7 Ch̟0 x +
1
x
là m̟®t s0 n̟guyên̟ (x 0) Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g
x2013 + 1
x2013 cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟.
Lài giai Ta dùn̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe ch̟ún̟g minh mắnh e sau:
"Neu x +
1
x
l mđt s0 nguyờn (x
0) th̟ì vói m̟QI s0 n̟gun̟ dươn̟g n̟, xn̟ + 1 xn̟
cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟."
1 Bưác cơ sá K̟h̟i n̟ = 1 m̟¾n̟h̟ đe h̟ien̟ n̟h̟iên̟ đún̟g.
2 Bưác quy n̟ap Gia su m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ có giá tr% tù
1 đen̟ k̟, n̟gh̟ĩa là x + 1 , x2 + 1 , , xk̟ + 1 là n̟h̟un̟g s0 n̟guyên̟.
xx2 xk̟
Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ xk̟+1 + 1
xk̟+1 cũn̟g là s0 n̟guyên̟.
Th̟¾t v¾y,
xk̟+1 + 1 = x + 1 Σ xk̟ + 1 Σ − .xk̟−1 + 1 Σ .
Th̟e0 gia th̟iet quy n̟ap x + 1 ,xk̟ + 1
,xk̟−1 + 1 đeu là các s0 n̟guyên̟.
xxk̟xk̟−1
V¾y xk̟+1 + 1
xk̟+1 cũn̟g là s0 n̟guyên̟ Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.2, m̟¾n̟h̟ đe đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
Tù m̟¾n̟h̟ đe, de dàn̟g suy ra x2013 + 1
x2013 cũn̟g là m̟®t s0 n̟guyên̟.
Trang 222121212 1 2= (x1 + x2) Σ(x1 + x2) xk−1 + xk−1Σ − x1x2 .xk−2 + xk−2ΣΣ − x1x2.xk−1 + xk−1Σ= 27 Σ27 xk−1 + xk−1Σ − 14 .xk−2 + xk−2ΣΣ − 14 .xk−1+ xk−1Σ1121212
(ii)N̟eu các m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ −n̟0 + 1), P (k̟ −n̟0 + 2), , P (k̟) đún̟g vái m̟ői k̟ ≥n̟0
(k̟ ∈ N̟), k̟é0 th̟e0 m̟¾n̟h̟ đe P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g.K̟h̟i đó m̟¾n̟h̟ đe P (n̟) đún̟g vái M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟.
Ch̟Ún̟g m̟in̟h̟ GQI A là t¾p h̟0p các s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ m̟à P (n̟) k̟h̟ôn̟g đún̟g.
Gia su A ƒ= ∅, k̟h̟i đó se t0n̟ tai m̟®t s0 tn̟ n̟h̟iên̟ m̟ m̟à P (m̟) k̟h̟ôn̟g đún̟g Ta
lay s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟h̟0 n̟h̟at m̟J tr0n̟g A m̟à
P (m̟J) k̟h̟ôn̟g đún̟g (1.8)
Đieu n̟ày th̟n̟c h̟i¾n̟ đư0c d0 tiên̟ đe th̟ú tn̟ Th̟e0 gia th̟iet (i) th̟ì P (1) đún̟g
n̟ên̟
m̟J > 1 suy ra m̟J − 1 ≥ 1 Đ¾t k̟ := m̟J − 1, ta se ch̟ún̟g m̟in̟h̟
P (m̟J) = P (k̟ + 1) cũn̟g đún̟g (1.9)
Th̟¾t v¾y, n̟eu k̟ < n̟0 th̟ì k̟ + 1 ≤ n̟0 n̟ên̟ th̟e0 gia th̟iet (i), ta có P (m̟J) = P
(k̟ + 1)
đún̟g N̟eu k̟ ≥ n̟0 th̟ì d0 k̟ = m̟J − 1 ∈/ A (vì m̟J là s0 n̟h̟0 n̟h̟at th̟u®c A), n̟ên̟
th̟e0 đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa cn̟a t¾p A th̟ì P (k̟) đún̟g Tươn̟g tn̟ k̟ − 1 ∈/ A và P (k̟ − 1)
đún̟g, cú l¾p lai n̟h̟ư th̟e sau n̟0−1 bưóc, ta th̟u đư0c m̟®t dãy P (k̟−n̟0+1), P
(k̟−n̟0+2), , P (k̟) là n̟h̟un̟g m̟¾n̟h̟ đe đún̟g K̟h̟i đó th̟e0 gia th̟iet (ii), tacó P (m̟J) = P (k̟ + 1) đún̟g V¾y ta ln̟ có (1.9).
D0 đó tù (1.8) và (1.9) suy ra m̟âu th̟uan̟ Đieu n̟ày ch̟ún̟g t0 A = ∅.
V¾y P (n̟) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ n̟0 □
Ví dn̟ 1.8 Ch̟0 x1 và x2 là n̟gh̟i¾m̟ cua ph̟ươn̟g trìn̟h̟ x2 − 27x + 14 = 0 và n̟ làs0 n̟guyên̟ dươn̟g Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g tőn̟g Sn̟ = xn̟ + xn̟ k̟h̟ôn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 715.
12
Lài giai Th̟e0 côn̟g th̟úc Viet, ta có x1 + x2 = 27 và x1x2 = 14.
1 Bưác cơ sá: Các s0 S1 = 27, S2 = x2 + x2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 701 và
S3 = x3 + x3 = (x1 + x2) Σ
(x1 + x2)2 − 3x1x2
Σ
= 27687 đeu k̟h̟ơn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 715.
Suy ra m̟¾n̟h̟ đe cn̟a bài t0án̟ đún̟g vói n̟ = 1, 2, 3.
2 Bưác quy n̟ap: Gia su m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ − 2, n̟ = k̟ − 1, n̟ = k̟, (k̟
≥ 3) Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 Th̟¾t v¾y,
Trang 24Σ Σ
Vì xk̟−2 + xk̟−2k̟h̟ơn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 715,
12
378 k̟h̟ôn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 715 và 378 = 2.33.7, 715 = 5.11.13
n̟ên̟ xk̟+1 + xk̟+1 k̟h̟ôn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 715.
12
K̟h̟i đó m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
V¾y th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.3, k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ cn̟a bài t0án̟ đún̟g vói M̟QI n̟ n̟gun̟ dươn̟g.
N̟h̟¾n̟ xét 1.1 Ta th̟ay đ%n̟h̟ lý 1.2 gia th̟iet quy n̟ap m̟an̟h̟ h̟ơn̟ đ%n̟h̟ lý 1.3 tr0n̟g
bưác quy n̟ap Tr0n̟g th̟n̟c te áp dn̟n̟g đ%n̟h̟ lý 1.2 de h̟ơn̟ đ%n̟h̟ lý 1.3.
Đôi lúc tr0n̟g th̟n̟c te, k̟h̟i giai t0án̟ ch̟ún̟g ta g¾p trưàn̟g h̟ap dãy m̟¾n̟h̟ đe batđau tù P (0) h0ắc P (n0), (n0 l mđt s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟à0 đó) K̟h̟i đó ta van̟ áp dn̟n̟gcác đ%n̟h̟ lý n̟h̟ư bìn̟h̟ th̟ưàn̟g Ta se xét ví dn̟ sau đây.
Ví dn̟ 1.9 Ch̟0 v0 = 2, v1 = 3 và vái m̟ői s0 tn̟ n̟h̟iên̟ k̟ có đan̟g th̟úc sauvk̟+1 = 3vk̟ − 2vk̟−1 (k̟ ≥ 1, k̟ ∈ N̟).
Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g
Lài giai.
vn̟ = 2n̟ + 1. (1.10)
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 0 và n̟ = 1 côn̟g th̟úc (1.10) ch̟0 k̟et qua đún̟g.
2.Bưác quy n̟ap Gia su cơn̟g th̟úc (1.10) đún̟g vói n̟ = k̟, và n̟ = k̟ − 1, (k̟ ≥ 1)
n̟gh̟ĩa là vk̟ = 2k̟ + 1 và vk̟−1 = 2k̟−1 + 1, k̟h̟i đó
vk̟+1 = 3 2k̟ + 1 − 2 2k̟−1 + 1 = 2k̟+1 + 1,
n̟ên̟ côn̟g th̟úc (1.10) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.3 suy ra vn̟ = 2n̟ + 1 đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟.
1.4V¾n̟ dn̟n̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap đe giai các bài t0án̟ ph̟0 th̟ôn̟g
Quy n̟ap t0án̟ H̟Qc là m̟®t ph̟ươn̟g ph̟áp k̟h̟á ph̟ő bien̟ và th̟ơn̟g dun̟g N̟ó đư0c
ún̟g dun̟g rat n̟h̟ieu tr0n̟g s0 H̟Qc, đai s0, giai tích̟ và h̟ìn̟h̟ H̟Qc Ch̟ún̟g ta hóycựng i xột mđt s0 bi t0ỏn vắn dung phng ph̟áp quy n̟ap đe giai sau đây.
1.4.1Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g s0 h̟QC
Ta xét m̟®t s0 bài t0án̟ ve ph̟ép ch̟ia h̟et và tín̟h̟ ch̟at các s0.
Trang 25s ˛¸ xpppppp1.2.3 k81Lài giai.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1, ta có S1 = 1 + 1 = 2 ch̟ia h̟et ch̟0 21
= 2 M̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = 1.
2 Bưác quy n̟ap Gia su m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1, (k̟ ∈ Z+), n̟gh̟ĩa là
Sk̟ = (k̟ + 1)(k̟ + 2) (k̟ + k̟) ch̟ia h̟et
ch̟0 2k̟ Ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ m̟¾n̟h̟ đe đún̟g vói n̟ = k̟ +
1 Th̟¾t v¾y,Sk̟+1 = (k̟ + 1 + 1)(k̟ + 1 + 2) (k̟ + 1 + k̟ − 1)(k̟ + 1 + k̟)(k̟ +1 + k̟ + 1)= (k̟ + 2)(k̟ + 3) (k̟ + k̟)(k̟ + k̟ + 1)(2k̟ + 2)= 2(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟ + 3) (k̟ + k̟)(k̟ + k̟ + 1)= 2Sk̟.(2k̟ + 1).
Th̟e0 gia th̟iet quy n̟ap Sk̟ ch̟ia h̟et ch̟0 2k̟, suy ra Sk̟+1ch̟ia h̟et ch̟0 2k̟+1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc Sn̟ ch̟ia h̟et ch̟0 2n̟ vói M̟QIn̟ n̟guyên̟ dươn̟g.
Bài t0án̟ 1.2 (Đ%n̟h̟ lý Ferm̟at) N̟eu p là m̟®t s0 n̟guyên̟ t0, th̟ì vái M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ h̟i¾u n̟p − n̟ ch̟ia h̟et ch̟0 p.
Lài giai K̟h̟an̟g đ%n̟h̟ trên̟ đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy n̟ap th̟e0 n̟.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 ta có 1p − 1 = 0 ch̟ia h̟et ch̟0
p K̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g vói n̟ = 1.
2.Bưác quy n̟ap Gia su k̟h̟an̟g đ%n̟h̟ đún̟g vói n̟ = a ≥ 1, (a ∈ Z+), n̟gh̟ĩa là ap −a
ch̟ia h̟et ch̟0 p Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ (a + 1)p − (a + 1) cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 p.
K̟h̟ai trien̟ (a + 1)pban̟g n̟h̟% th̟úc N̟ewt0n̟ ta có
(a + 1)p − (a + 1) = ap + p.ap−1 + C2ap−2 + C3ap−3 + + pa +1 − (a + 1)
= (ap − a) + pap−1 + C2ap−2 + C3ap−3 + + Cp−2a2 + pa.
Vì các h̟¾ s0 Ck̟ = p(p − 1)(p − 2) (p − k̟ + 1) , (2 ≤ k̟ ≤ p − 2) đeu ch̟ia h̟et
ch̟0
p và ap − a ch̟ia h̟et ch̟0 p (th̟e0 gia th̟iet quy n̟ap) n̟ên̟ suy ra (a + 1)p − (a +
1)
cũn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 p.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc ta có vói M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ s0 n̟p − n̟
ch̟ia h̟et ch̟0 s0 n̟guyên̟ t0 p Đ%n̟h̟ lý đư0c ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
Bài t0án̟ 1.3 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g
7 Σ
7 + 77 + 777 + + 777 7 = 10n̟+1 − 9n̟
− 10 (1.11)
Trang 26s ˛¸ x
Lài giai Đ¾t Sn̟ = 7 + 77 + 777 + + 777 7 .
Trang 27−−811 + 10 + 102 + + 10k81817 7
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1, S = 7, còn̟ ve ph̟ai (102 − 9.1 − 10)
= .81 = 7.
1 81 81
V¾y (1.11) đún̟g vói n̟ = 1.
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.11) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ N̟), n̟gh̟ĩa là
Ta can̟ ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟S = 7 (10k̟+19k̟ 10).k̟ 81Th̟¾t v¾y,Sk̟+1= 7 (10k̟+29(k̟ + 1) 10).81Sk̟+1 = Sk̟ + 777 7 = Sk̟ + 7.10k̟ + 7.10k̟−1 + + 7.102 + 7.10 + 7k̟+s.1˛c¸h̟uxs0 N̟h̟ưn̟g vì 1 + 10 + 102 + + 10k̟ =10k̟+1 − 110 − 1n̟ên̟7 k̟+1 10k̟+1 − 1Sk̟+1 = 81 (10 − 9k̟ − 10) + 7.10 − 1= 7 .10k̟+1 − 9k̟ − 10 + 9.10k̟+1 − 9Σ= 7 .10.10k̟+1 − 9k̟ − 19Σ = 7 .10k̟+2 − 9(k̟ + 1) −10Σ .
Suy ra đan̟g th̟úc (1.11) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc (1.11) đún̟g M̟QI n̟ n̟guyên̟ dươn̟g.
M̟®t s0 ví du ve ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đan̟g th̟úc và tín̟h̟ tőn̟g s0 H̟Qc.
Bài t0án̟ 1.4 Ch̟0 s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟ ≥ 1 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g
n̟(n̟ + 1)(n̟ + 2)1.2 + 2.3 + + n̟(n̟ + 1) =3Lài giai Đ¾t T (n̟) = 1.2 + 2.3 + + n̟(n̟ + 1) (1.12)
1.Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì T (1) = 1.2 = 1.2.3 Đan̟g th̟úc (1.12) đún̟g vói n̟ =
1.
3
2 Bưác quy n̟ap Gia su đan̟g th̟úc (1.12) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1, (k̟ ∈ N̟) K̟h̟i đó
Trang 283
Ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đan̟g th̟úc (1.12) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 Th̟¾t v¾y,
Trang 29V¾y đan̟g th̟úc (1.12) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap th̟ì đan̟g th̟úc (1.12) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟.
Bài t0án̟ 1.5 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟Qi s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟, th̟ì
0.0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n̟.n̟! = (n̟ + 1)! − 1.
(1.13)
Lài giai Đ¾t S(n̟) = 0.0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n̟.n̟!.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì S(1) = 0.0! + 1.1! = 2! − 1 = 1 Đan̟g th̟úc (1.13) đún̟g vói n̟ = 1.
2 Bưác quy n̟ap Gia su đan̟g th̟úc (1.13) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ N̟) K̟h̟i đó
S(k̟) = 0.0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + + k̟.k̟! = (k̟ + 1)! − 1.
Ta ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟ đan̟g th̟úc (1.13) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟¾t v¾y,S(k̟ + 1) = 0.0! + 1.1! + 2.2! + 3.3! + + k̟.k̟! + (k̟ + 1)(k̟ + 1)!= (k̟ + 1)! − 1 + (k̟ + 1)(k̟ + 1)!= (k̟ + 1)!(k̟ + 1 + 1) − 1= (k̟ + 2)! − 1.
Suy ra đan̟g th̟úc (1.13) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap đan̟g th̟úc (1.13) đún̟g vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟.
Bài t0án̟ 1.6 H̟ãy tín̟h̟ tőn̟g sau vái n̟ là s0 tn̟ n̟h̟iên̟,
Trang 30Tù đó ta có th̟e gia th̟iet
n̟(n̟ + 3)Tn̟ =
Trang 31ki(i + 1)(i
+ 2) 4(k + 1)(k + 2)
i=1
Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ gia th̟iet trên̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì
T11=1.2.31(1 + 3)= 4(1 + 1)(1+ 2)
V¾y cơn̟g th̟úc (1.14) đún̟g vói n̟ = 1.
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.14) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1 (k̟ ∈ N̟), n̟gh̟ĩa là có
k̟
T = Σ 1
= k̟ ( k̟ + 3) .
Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc (1.14) đún̟g vói n̟ = k̟ +
1 Th̟¾t v¾y,k̟+1 k̟T = Σ 1 = Σ 1 + 1 k̟+1=i=1i(i + 1)(i + 2)k̟(k̟ + 3)+i=1i(i + 1)(i + 2) 1(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟ + 3)4(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟ + 3)k̟(k̟ + 3)(k̟ + 3)=4(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟+ 3)k̟3 + 6k̟2 + 9k̟ + 4=4(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟ + 3)(k̟ + 1)(k̟ + 4)= .4(k̟ + 2)(k̟ + 3)4+4(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟+ 3)(k̟ + 1)2(k̟ + 4)=4(k̟ + 1)(k̟ + 2)(k̟+ 3)
Côn̟g th̟úc (1.14) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 n̟ên̟ th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap n̟ó đún̟g
vói M̟QI s0 tn̟ n̟h̟iên̟ n̟.V¾y1+1.2.31+2.3.413.4.5+ +1=n̟(n̟ + 1)(n̟+ 2)n̟(n̟ + 3).4(n̟ + 1)(n̟ +2)
Vói n̟h̟un̟g bài t0án̟ ve dãy s0 th̟ì cơn̟g th̟úc tín̟h̟ tőn̟g và s0 h̟an̟g tőn̟g quátcn̟a các dãy n̟ày ta có th̟e ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap Ta se đixét m̟®t s0 bài t0án̟ sau.
Trang 32nn
x0 = 1, x1 = 4, xn̟+2 = 3xn̟+1
− xn̟; y0 = 1, y1 = 2, yn̟+2 =
3yn̟+1 − yn̟.
Trang 33.
n+
1 2 2
22
1 Bưác cơ sá Vói n = 0 thì (x1, y1) = 3.1+5.1
, 1+3.1Σ = (4, 2) 222 k1+ k1+ 2 k1+ k1+ knnnnV¾y (1.15) đúng khi n = 0 và n =1.
Lài giai Tù gia th̟iet ta tín̟h̟ đư0c x2 = 11 và y2 = 5.
Trưóc tiên̟, ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ban̟g quy n̟ap th̟e0 n̟ ran̟g
(x, y ) = 3xn̟ + 5yn̟ , xn̟ + 3yn̟ Σ , (n̟ ≥ 0). (1.15)
Vói n̟ = 1 th̟ì (x2, y2) = 3.4+5.2
, 4+3.2 Σ
= (11, 5).
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.15) đún̟g k̟h̟i n̟ = k̟ và n̟ = k̟ + 1, vói k̟ ≥ 0 (k̟ ∈
Z) Th̟e0 bài ra ta cóTù đó suy ra(xk̟+3, yk̟+3) = (3xk̟+2 − xk̟+1, 3yk̟+2 − yk̟+1).(x, y ) = .3.3xk̟+1 + 5yk̟+1− 3xk̟ + 5yk̟, 3.xk̟+1 + 3yk̟+1− xk̟ + 3yk̟Σ2k̟+3 k̟+3= 3 (3x− x25y− y21), (3x− x23y− y )=1(3x2k̟+2+ 5yk̟2+1),(x 2k̟+2+ 3yk̟2+)Σ .
N̟h̟ư v¾y (1.15) đún̟g vói n̟ = k̟ + 2 Th̟e0 đ%n̟h̟ lý 1.3 ta có (1.15) đún̟g vói
M̟QI s0 n̟guyên̟ k̟h̟ôn̟g âm̟ n̟.
Tiep th̟e0, ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ x2 − 5y2 + 4 = 0 ban̟g quy n̟ap th̟e0 n̟.
K̟h̟i n̟ = 0 th̟ì ta có 1 − 5 + 4 = 0 Cơn̟g th̟úc đún̟g vói n̟ = 0.
Gia su cơn̟g th̟úc n̟ày đún̟g vói n̟ = k̟, (k̟ ≥ 0, k̟ ∈ Z), túc là x2 − 5y2 + 4 = 0.
k̟k̟
Ta ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 Th̟¾t v¾y,
22 3xk̟ + 5yk̟Σ2 xk̟ + 3yk̟Σ2xk̟+1 − 5yk̟+1 + 4 = 24x2 − 20y2− 52 + 422= k̟k̟ + 4 = xk̟ − 5yk̟ + 4 = 0.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap ta có x2 − 5y2 + 4 = 0 vói M̟QI s0 n̟guyên̟ n̟ ≥ 0.
e ph̟an̟ quy n̟ap tr0n̟g dãy s0 n̟ày ta quan̟ tâm̟ tói dãy s0 Fib0n̟acci, dãy s0có n̟h̟ieu ún̟g dun̟g và tín̟h̟ ch̟at h̟ay Dãy s0 Fib0n̟acci đư0c đ%n̟h̟ n̟gh̟ĩa n̟h̟ư sau:
F0 = 0, F1 = 1 và vói M̟QI n̟ ≥ 2 th̟ì Fn̟ = Fn̟−2 + Fn̟−1.
Ta có dãy s0 Fib0n̟acci cu th̟e: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
Ta xét các ví du sau đây trên̟ dãy s0 Fib0n̟acci.
Trang 34Bài t0án̟ 1.8 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g n̟eu n̟ ≥ 1 th̟ì Fn̟ ≤ 7 Σn̟−1
Trang 352n+12n+132k+11 +Σ==
Lài giai Ta k̟í h̟i¾u P (n̟) là m̟¾n̟h̟ đe Fn̟
≤ 7 Σ04.7 Σn̟−14vói n̟ ≥ 1.Vói n̟ = 2 th̟ì F27= 1 <.4
V¾y m̟¾n̟h̟ đe P (n̟) đún̟g vói n̟ = 1, 2.
2 Bưác quy n̟ap Vói k̟ ≥ 2, gia su P (k̟ − 1) và P (k̟) là
đún̟g Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ P (k̟ + 1) đún̟g.Ta cóFk̟+1 = Fk̟−1 + Fk̟.7 Σk̟−24.7 Σk̟−14.7 Σk̟−2 7 7 Σk̟−2 11 Σ4 4 4 4.7 Σk̟−2 49 Σ 7 Σk̟4N̟h̟ư v¾y P (k̟ + 1) đún̟g 16 4.7 Σn̟−14
Bài t0án̟ 1.9 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái n̟ ≥ 1, th̟ìF1F2 + F2F3 + + F2n̟F2n̟+1 =
F 2 − 1.
Lài giai Vói n̟ ≥ 1, k̟í h̟i¾u P (n̟) là m̟¾n̟h̟ đe
F1F2 + F2F3 + + F2n̟F2n̟+1 =
F 2 − 1.
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì F1F2 + F2F3 = 1.1 + 1.2 = 22 − 1 = F 2 − 1.
M̟¾n̟h̟ đe P (1) đún̟g.
2 Bưác quy n̟ap Ta gia su m̟¾n̟h̟ đe P (n̟) đún̟g vói n̟ = k̟, (k̟ ≥
1) K̟h̟i đó ta cóTa lai cóF1F2 + F2F3 + + F2k̟F2k̟+1 = F 2− 1.F1F2 + F2F3 + + F2k̟F2k̟+1 + F2k̟+1F2k̟+2 + F2k̟+2F2k̟+322k̟+1− 1 + F2k̟+1F2k̟+2 + F2k̟+2F2k̟+3 ( th̟e0 P(k̟) )= F2k̟+1(F2k̟+1 + F2k̟+2) + F2k̟+2F2k̟+3 − 1= F2k̟+1F2k̟+3 + F2k̟+2F2k̟+3 − 1= F
Trang 37ΣΣsin n + 1 θΣ sin.nθ ΣV¾y P (k̟ + 1) đún̟g.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc ta có đieu ph̟ai ch̟ún̟g m̟in̟h̟.
1.4.2Ph̟ươn̟g ph̟áp quy n̟ap tr0n̟g đai s0
Ta xét m̟®t s0 bài t0án̟ ve đan̟g th̟úc và bat đan̟g th̟úc đai s0.
Bài t0án̟ 1.10 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ và góc θ k̟h̟ơn̟g ch̟ia h̟et ch̟0 2π, th̟ì
sin̟ θ + sin̟(2θ) + + sin̟(n̟θ) =2sin̟(θ/2)2. (1.16)n̟Lài giai Đ¾t S(n̟) =sin̟(jθθ).j=1
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 1 th̟ì sin̟ .1 + 1 θΣ sin̟ .θ Σ
S(1) = sin̟ θ = 2sin̟2.θ Σ .
V¾y cơn̟g th̟úc (1.16) đún̟g vói n̟ = 1.
2 Bưác quy n̟ap Gia su cơn̟g th̟úc (1.16) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 1, (k̟ ∈ Z+), n̟gh̟ĩa là
k̟ sin̟ .k̟ + 1 θΣ sin̟ .k̟ θ ΣS(k̟) =sin̟(jθθ) =j=12 2 sin̟(θ/2)
Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc (1.16) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Trang 39Σ .Σsin 2 θ= sin̟= sin̟θ2k̟ + 1θ22k ̟ +2 2sin̟( θ)22sin̟( θ ).
V¾y cơn̟g th̟úc (1.16) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap t0án̟ H̟Qc (1.16) đún̟g vói M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟.
Bài t0án̟ 1.11 Ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g vái s0 n̟gun̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ n̟, th̟ì
c0s α c0s(2α) c0s(4α) c0s(2n̟α) =sin̟(2n̟+1α)2n̟+1 sin̟ α . (1.17)Lài giai Đ¾t T (n̟) = c0s α c0s(2α) c0s(4α) c0s(2n̟α).
1 Bưác cơ sá Vói n̟ = 0 th̟ì T (0) = c0s α = sin̟(2α).
2 sin̟ α
V¾y cơn̟g th̟úc (1.17) đún̟g vói n̟ = 0.
2 Bưác quy n̟ap Gia su cơn̟g th̟úc (1.17) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 0 (k̟ ∈ Z), n̟gh̟ĩa là
T (k̟) = c0s α c0s(2α) c0s(4α) c0s(2k̟α) =sin̟(2k̟+1α) 2k̟+1 sin̟ α .
Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ côn̟g th̟úc (1.17) đún̟g vói n̟ = k̟ +
Trang 40−
Cơn̟g th̟úc (1.17) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1.
Th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap suy ra côn̟g th̟úc (1.17) đún̟g vói M̟QI s0
n̟gun̟ k̟h̟ơn̟g âm̟ n̟.
Bài t0án̟ 1.12 Vái M̟QI s0 n̟guyên̟ dươn̟g n̟ > 1, ch̟ún̟g m̟in̟h̟ ran̟g
1 1 1 √Lài giai.√1 + √2 + +√n̟ >n̟. (1.18)1
1.Bưác cơ sá Vói n̟ = 2 √ ta có 1 + 2 >
Bat đan̟g th̟úc đún̟g vói n̟ = 2.
√
2, h̟ien̟ n̟h̟iên̟ đún̟g.
2 Bưác quy n̟ap Gia su (1.18) đún̟g vói n̟ = k̟ ≥ 2 (k̟ ∈ Z+), k̟h̟i đó
1 1 1 √
√
1 + √2 + +
√
k̟ >k̟. (1.19)
Ta can̟ ch̟ún̟g m̟in̟h̟ bat đan̟g th̟úc (1.18) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1, n̟gh̟ĩa là
1 11 1 √ Th̟¾t v¾y, ta có√1 + √2 + + √k̟ + √k̟ + 1 >k̟ + 1. (1.20)1 11 1 √ 1√1 + √2 + + √k̟ + √k̟ + 1 >M̟¾t k̟h̟ác,k̟ + √k̟ + 1(th̟e0 (1.19)).√k̟ + √ 1k̟ +1> √k̟ + 1 ⇐⇒ √1k̟ +1> √k̟ + 1 − √k̟. (1.21)
Ch̟ia ca 2 ve cn̟a bat đan̟g th̟úc (1.21) ch̟0 √k̟ + 1 − √k̟ > 0 ta đư0c
1√k̟ + 1(√k̟ + 1√k̟) > 1√k̟ + 1 + √k̟⇐⇒√k̟ + 1√> 1k̟⇐⇒1 + √k̟ + 1 > 1(H̟ien̟ n̟h̟iên̟ đún̟g).
V¾y bat đan̟g th̟úc (1.18) đún̟g vói n̟ = k̟ + 1 n̟ên̟ th̟e0 n̟guyên̟ lý quy n̟ap
n̟ó đún̟g vói M̟QI s0 n̟guyên̟ n̟ > 1.