Dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN NGẪU NHI LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Ngày nay, với phát triển vượt bậc khoa học, kỹ thuật công nghệ tạo điều kiện tốt cho việc ứng dụng toán học vào nhiều lĩnh vực khác nói chung vào kinh tế nói riêng Xu hướng mơ hình hóa vấn đề thực tế, dùng cơng cụ tốn học để xử lý giúp tìm nhiều giải pháp cho nhiều vấn đề phức tạp Những thực tế chứng tỏ tốn học công cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề kinh tế hoạt động kinh tế cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại lợi ích thiết thực 928 Không gian hàm khả vi liên tục C1 (Ω) Định nghĩa Cho Ω ⊂ Rn tập mở (i) Cho f : Ω → R i = 1, , n, ta nói f liên tục khả vi cấp ∂f = Di f ∈ C0 (Ω)) có tồn g ∈ C0 (Ω) thỏa mãn ∂xi ∂f ∂f = Di f Ω, = Di f hiểu lớp đạo hàm g= ∂xi ∂xi riêng thứ i f i Ω (∃ (i)  C (Ω) :=  ∂f ∈ C0 (Ω), ∀i = 1, , n f ∈ C (Ω) : ∃ ∂xi (iii) Cho f C1 (Ω) Ta biểu thị ∥f ∥C1 = ∥f ∥C1 ,Ω = X ∥Dα f ∥∞,Ω |α|≤1 ∥.∥C1 gọi chuẩn C1 Định lý Cho Ω ⊂ Rn tập mở, bị chặn Khi (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) khơng gian Banach vơ hạn chiều, không không gian Hilbert Chứng minh Ta xét trường hợp n = Ω = (a, b) Đầu tiên ta phải đầy đủ không không gian Hilbert Xét ánh xạ tuyến tính T : (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) → (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ), T (f ) := (f, f ′ ) (1) ∥f, g∥C0 (Ω)×C0 (Ω) := ∥f ∥∞ + ∥g∥∞ (f, g) ∈ C0 (Ω) × C0 (Ω) Chú ý T đẳng cự, nghĩa ∥T (f )∥C0 (Ω)×C0 (Ω) = ∥f ∥C1 ∀f ∈ C1 (Ω) Đặc biệt, ta định nghĩa M := T (C1 (Ω)), ánh xạ T : (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) → (M, ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) đẳng cự Bài tập Cho (E, ∥.∥E ) (F, ∥.∥F ) khơng gian Banach Cho E × F với chuẩn ∥(x, y)∥F = ∥x∥E + ∥y∥F Khi (E × F, ∥(x, y)∥F ) khơng gian Banach Do đó, ta phải M đóng (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ), để hoàn thành chứng minh Giả sử ((fh , fh′ ))h ⊂ M dãy mà lim ∥(fh − f, fh′ − g)∥C0 (Ω)×C0 (Ω) = h→∞ (2) với (f, g) ∈ C0 (Ω) × C0 (Ω chứng minh ∃f ′ = g [a, b] (3) Theo (11), ta fh → f fh′ → g [a, b] hội tụ theo điểm Theo định lý tích phân cổ điển Z x fh′ (t)dt fh (x) − fh (a) = ∀x ∈ [a, b], ∀h, a ta lấy qua giới hạn, h → ∞, đồng thức trước theo (12) Bài tập Chỉ (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) khơng gian Banach, X ∥Dα u∥∞ ∥u∥C1 := |α|≤1 Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn C1 (Ω) không gian vector vơ hạn chiều chứa tập hợp đa thức C1 (Ω) không không gian Hilbert Tính compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) Định lý Cho F ⊂ C1 (Ω) Fi := {Di f : f ∈ F}, i = 1, , n Khi F compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) F Fi , với i = 1, , , n (i) Bị chặn (C0 (Ω), ∥.∥C0 ); (ii) đóng (C0 (Ω), ∥.∥C0 ); (iii) liên tục Ω Chứng minh Ta xét trường hợp n = Ω = (a, b) Sự cần thiết: Chỉ rằng, F compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ), (i), (ii) (iii) Cho T : (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) → (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) ánh xạ định nghĩa (10) Trong chứng minh định lý 21 ta tồn T −1 : (M, ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) → (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) liên tục Do F compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) tương đương với T (F) compact (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) Giờ ta quan sát, xác biểu thị πi : C0 (Ω) × C0 (Ω) → C0 (Ω), (i = 1, 2) phép chiếu không gian tọa độ, nghĩa πi (f1 , f2 ) = fi (f1 , f2 ) ∈ C0 (Ω) × C0 (Ω), πi liên tục Từ F compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ), T (F) compact (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) Điều có nghĩa π1 (T (F)) = F π2 (T (F)) = F ′ compact (C0 (Ω), ∥.∥C0 ) Theo định lý Arzelà - Ascoli ta (i), (ii), (iii) Tính đầy đủ: Chứng minh Bài tập F compact (C1 (Ω), ∥.∥C1 ), cho trước (i), (ii) (iii) Nhận xét Cho F = BC1 ([a,b]) := {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥f ∥C1 = ∥f ∥∞ + ∥f ′ ∥∞ ≤ 1} Khi F khơng compact (C1 ([a, b]), ∥.∥C1 ) theo định lý Riesz’s (nhớ C1 ([a, b]) không gian vô hạn chiều) Nhưng F compact tương đối (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ ), nghĩa là, ∀(fh )h ⊂ F tồn (fhk )k f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn lim ∥fhk − f ∥∞ = k→∞ Tính tách (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) Định lý (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) tách Chứng minh Cho T : (C1 (Ω), ∥.∥C1 ) → (M, ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) ánh xạ định nghĩa (10) Vì T đồng phơi tính tách được bảo tồn qua phép đồng phôi, ta cần không gian (M, ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) khơng gian metric (C0 (Ω) × C0 (Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C0 (Ω) ) tách Điều tính tách (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) (Định lý ??), tập từ tính chất tách qua giới hạn đến không gian (Xem định lý ?? (ii)) Xấp xỉ tích chập Lp Ta thấy rằng, cho f ∈ Lp (Ω) với ≤ p < ∞, tồn (fh )h ⊂ C0c (Ω) cho fh → f Lp (Ω) Ta chứng minh tính xấp xỉ này, tìm kiếm xấp xỉ theo hàm quy Chính xác Câu hỏi: (i) Có tồn (fh )h ⊂ C1c cho fh → f Lp (Ω)? (ii) Có thể xây dựng cách rõ ràng xấp xỉ thứ h hàm fh cho f ∈ Lp (Ω)? Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai có ý nghĩa xấp xỉ số Định nghĩa (Friedrichs’ mollifiers) Một dãy mollifiers dãy hàm ϱh : Rn → R, (h = 1, 2, ) cho, với h, ϱ ∈ C∞ (Rn ); (M o1) spt(ϱh ) ⊂ B(0, 1/h); Z ϱh dx = 1; (M o2) (M o3) Rn ϱh (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn (M o4) Ví dụ mollifiers: Khá đơn giản để xây dựng dãy mollifiers, hàm không biến ϱ : Rn → R thỏa mãn n ϱ ∈ C∞ c (R ), spt(ϱ) ⊂ B(0, 1), ϱ ≥ Ví dụ, cho ϱ(x) :=   exp |x| −  |x| < |x| ≥  n Khi dễ thấy ϱ ∈ C∞ c (R ) Hơn nữa, ta có dãy mollifiers định nghĩa ϱh (x) := c hn ϱ(hx), x ∈ Rn , h ∈ N −1 Z ϱdx c := Rn Chú ý: Nếu A, B ⊂ Rn , A ± B ký hiệu tập A ± B := {a ± b : a ∈ A, b ∈ B} Bài tập Chứng minh (i) Nếu A compact B đóng, A + B đóng; (ii) A B compact A + B Mệnh đề (Định nghĩa tính chất mollifiers đầu tiên) Cho f ∈ L1loc (Rn ) (ϱh )h dãy mollifiers Định nghĩa, cho h ∈ N x ∈ Rn , Z fh (x) := (ϱ ∗ f )(x) := ϱh (x − y)f (y)dy, ∀x ∈ Rn Rn Khi (i) Hàm fh : Rn → R is well defined; (ii) fh (x) = (ϱh ∗ f )(x) = (f ∗ ϱh )(x) với x ∈ Rn h ∈ N; (iii) fh (x) ∈ C0 (Rn ) với h Hàm fh gọi mollifiers thứ h f Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ (i) Theo (Mo2) (Mo4), spt(ϱ) ⊂ B(0, 1/h) Khi Z Z |f (y)ϱ(x − y)|dy = Rn |f (y)ϱ(x − y)|dy B(x,1/h) Z ≤ sup ϱ Rn |f (y)|dy < ∞ B(x,1/h) Do đó, ta thay đổi x ∈ Rn , hàm gx (y) := ϱ(x − y)f (y), y ∈ Rn khả tích Rn , xác định tích phân Z Z ϱ(x − y)f (y)dy = (ϱ ∗ f )f (x), ∀x ∈ Rn gx (y)dy = R∋ Rn Rn (ii) cách thay đổi biến Z f (x − y)ϱ(y)dy (f ∗ ϱ)(x) = Rn (z=x=y) Z f (z)ϱ(x − z)dz = (ϱ ∗ f )(x) = Rn (iii) Cho x ∈ Rn xr → x, ta chứng minh (ϱ ∗ f )(xr ) → (ϱ ∗ f )(x) (4) Chú ý Z (ϱ ∗ f )(xr ) − (ϱ ∗ f )(x) = (ϱ(xr − y) − ϱ(x − y))f (y)dy, ∀r ∈ N Rn (5) Từ dãy (xr )r bị chặn Rn , tồn tập compact K ⊂ Rn thỏa mãn B(xr , 1/h) = xr − B(0, 1/h) ⊂ K, B(x, 1/h) ∈ K, ∀r ∈ N Đặc biệt ϱ(xr − y) − ϱ(x − y) = 0, ∀y ∈ / K, ∀r ∈ N (6) Bởi vì, ϱ ∈ Lip(Rn ), theo (15), tồn L > thỏa |ϱ(xr − y) − ϱ(x − y)| ≤ LχK (y)|xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N Vì ta |ϱ(xr − y)ϱ(x − y)||f (y)| ≤ LχK (y)|f (y)||xr − x|, ∀y ∈ Rn , ∀r ∈ N (7) Từ (14), (15) định lý tính hội tụ bị trội, theo (13) Nhận xét Ký hiệu ∗ tích chập hai hàm không gian Rn Lưu ý, kết mệnh đề 28 giữ f ∈ L1loc (Rn ) ϱ ≡ ϱh ∈ C0 (Rn ) thỏa (Mo2) Trên thực tế, xác định tích chập hai hàm g ∈ Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ f ∈ L1 (Rn ) Z g(x − y)f (y)dy (g ∗ f )(x) := Rn giữ (g ∗ f ) ∈ Lp (Rn ) ∥g ∗ f ∥Lp (Rn ) ≤ ∥g∥Lp (Rn ) ∥f ∥L1 (Rn ) Định lý (Friedrichs - Sobolev, Xấp xỉ theo tích chập Lp ) Cho f ∈ L1loc (Rn ) (ϱh )h dãy mollifiers Khi (i) f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) với h ∈ N (ii) ∥f ∗ϱ∥Lp (Rn ) ≤ ∥f ∥Lp (Rn ) với h ∈ N, f ∈ Lp (Rn ) với p ∈ [1, ∞] (iii) spt(f ∗ ϱ) ⊂ spte (f ) + B(0, 1/h) với h ∈ N (iv) Nếu f ∈ Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞, f ∗ ϱh ∈ C ∞ (Rn ) ∩ Lp (Rn ) với h ∈ N, f ∗ ϱh → f h → ∞, Lp (Rn ), biết ≤ p < ∞ Kết cho ta hai kết quan trọng n |CDn (ril )| = CDn (r ) + |CDn (ril )| 1⩽l⩽ ni −1 1⩽l⩽ ni −1 n l̸= 2i = |Dn | + X n i |CDn (ril+j s)| = 0⩽l⩽ ni −1  − |R1 | = 2n + n n i  −2 = n2 , i 4n n U n2 ,il+j = i i Từ suy X |CDn (x)| = 2n + x∈Ui,j Áp dụng Mệnh đề ta có X Pr(Ui,j , Dn) = |Ui,j ||Dn | n(n + 2i + 4) n2 4n + = i i i |CDn (x)| = x∈Ui,j n(n + 2i + 4) n + 2i + = 2n i 4n 2n i Vậy ta có điều phải chứng minh Trong ví dụ sau ta tính lại độ giao hốn tương đối nhóm nhóm nhị diện D3 D4 cách áp dụng Mệnh đề ?? Ví dụ (i) Với n = 3, xét nhóm nhị diện D3 (cho Ví dụ 1) Các nhóm D3 R1 = ⟨r⟩, R3 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩; D3 Khi Pr(R1 , D3 ) = 3+3 3+1 = , Pr(R3 , D3 ) = = 1; 2·3 2·3 59 Pr(T0 , D3 ) = Pr(T1 , D3 ) = Pr(T2 , D3 ) = 3+1 = ; 2·3 Pr(D3 , D3 ) = Pr(D3 ) = (ii) Với n = 4, xét nhóm nhị diện D4 (cho Ví dụ 2) Các nhóm D4 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩, T3 = ⟨r3 s⟩; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩; D4 Khi 4+2·1 4+2·2 4+4 = , Pr(R2 , D4 ) = = 1, Pr(R4 , D4 ) = = 1; 2·4 2·4 2·4 4+2 Pr(T0 , D4 ) = Pr(T1 , D4 ) = Pr(T2 , D4 ) = Pr(T3 , D4 ) = = ; 2·4 4+2·2+4 Pr(U2,0 , D4 ) = Pr(U2,1 , D4 ) = = ; Pr(D4 , D4 ) = Pr(D4 ) = 4·4 Pr(R1 , D4 ) = 19 Không gian hàm liên tục C0 (Ω) Định nghĩa 27 (i) Cho tập A ⊂ Rn , C0 (A) := {f : A → R, f liên tục x ∈ A} (ii) Cho K ⊂ Rn tập compact cho f ∈ C0 (K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ số thực không âm xác định ∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)| x∈K ∥.∥∞ gọi chuẩn (hay chuẩn vô cùng) Định lý 31 Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn Khi (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian Banach vô hạn chiều Chứng minh Ta giới hạn n = Ω = (a, b) ta phải chứng minh (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian định chuẩn vơ hạn chiều R Ta chứng minh không gian Banach Nghĩa phải dãy Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) hội tụ (tại phần tử thuộc không 60 gian) Giả sử (fh )h dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho ∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k x∈Ω Điều có nghĩa ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω (65) Từ (22), (fh (x))h ⊂ R dãy Cauchy Do dó: ∃f (x) := lim fh (x), h→∞ ∀x ∈ Ω (66) Từ (23), lấy qua giới hạn (22), cho k → ∞ ta ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ ∀h ≥ k, x ∈ Ω, theo định nghĩa fh → f Ω Do dó f ∈ C0 (Ω) Tính compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Bây tìm hiểu đặc trưng tập compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Đầu tiên ta nhớ lại số khái niệm kết quan trọng liên quan đến chủ đề compact không gian metric Định nghĩa 28 Cho (X, d) không gian metric ký hiệu B(x, r) hình cầu mở X , tâm x bán kính r > với x ∈ X (i) Điểm x0 ∈ X gọi điểm giới hạn tập A ⊂ X A ∩ (B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn tồn R0 > cho d(x, y) ≤ R0 với x, y ∈ A (iii) Tập A ∩ X gọi bị chặn hoàn toàn với ϵ > 0, A phủ họ hữu hạn hình cầu B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), , B(xN , ϵ), nghĩa A ⊂ ∪N i=1 B(xi , ϵ) (iv) Họ A ⊂ X gọi compact dãy dãy A có dãy hội tụ điểm thuộc A 61 (v) Tập A ⊂ X gọi có tính chất Bolzano-Weierstrass (BW) tập vô hạn A có điểm giới hạn thuộc A Nhận xét Dễ thấy tập bị chặn hoàn toàn tập bị chặn, điều ngược lại không không gian topo (X, τ ) tập hợp compact tập hợp compact dãy có tính chất (BW) Các tính chất khơng cịn giữ trường hợp tổng quát Định lý 32 (Các tiên đề chuẩn tập compact không gian metric) Nếu A tập không gian metric (X, d), ta có điều sau tương đương: (i) A compact; (ii) A compact dãy; (iii) (A, d) đầy đủ bị chặn hồn tồn; (iv) A có tính chất BW Nhận xét Nếu (X, d) đầy đủ, A ⊆ X đóng (A, d) đầy đủ Hệ Cho A ⊂ Rn Khi đó: A compact ⇔ A đóng bị chặn Định lý 33 (Riesz) Cho (E, ∥.∥) không gian định chuẩn ta ký hiệu BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi BE compact dimR E < ∞ Nhận xét 10 Định lý 51 cho tập A bị chặn không gian định chuẩn vô hạn chiều (E, ∥.∥) khơng thiết phải bị chặn hồn tồn Ví dụ A = BE Định nghĩa 29 Cho A ⊂ Rn Một họ tập F ⊂ C0 (A) gọi tựa liên tục với ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho f ∈ F, |f (x) − f (y)| < ϵ với x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ Ta thêm tiên đề chuẩn tập compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) K ⊂ Rn compact 62 Định lý 34 (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn compact giả sử F ⊂ C0 (K) Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) F là: (i) đóng (C0 (K), ∥.∥∞ ); (ii) bị chặn (C0 (K), ∥.∥∞ ); (iii) liên tục Hệ Cho K ⊂ Rn compact cho F ⊂ C0 (K) Giả sử F bị chặn liên tục Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) Cụ thể hệ cho ta kết đặc biệt sau Hệ Cho fh : [a, b] → R, (h = 1, 2, ) dãy hàm liên tục Giả sử rằng: (i) ∃M > cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h (ii) (fh )h liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho |fh (x) − fh (y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h Khi ta có dãy (fhk )k hàm f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn fhk → f [a, b] Định lý 35 Giả sử M > số cho trước F = {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M } Khi F tập compact tương đối (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ ); Chứng minh định lý 46 Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) (iii) ta F compact Theo tính chất tập compact định lý 44 ta F compact dãy Vì dãy (fh )h ∈ F có dãy (fhk )k hội tụ hàm f ∈ F , nghĩa là, ∥fhk − f ∥∞ → k → ∞ Nhớ K compact tách Giả sử D := {xi : i ∈ N} đếm trù mật K F bị chặn nghĩa tồn M1 > thỏa mãn ∥f − g∥∞ ≤ M1 , ∀f, g ∈ F 63 Cụ thể ta thay f0 ∈ F , đó: ∥f0 − fh ∥∞ ≤ M1 , ∀h ∈ N Hơn ∥fh ∥∞ = ∥(fh − f0 ) + f0 ∥∞ ≤ ∥fh − f0 ∥∞ + ∥f0 ∥∞ ≤ M1 + ∥f0 ∥∞ := M2 Do ta có số M2 > thỏa mãn |fh (x)| ≤ M2 , ∀x ∈ K, ∀h Bây ta xây dựng dãy hội tụ theo trình chéo Cantor Bước 1: (fh (x1 ))h dãy số thực [−M2 , M2 ] Suy dãy có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ R; Bước 2: Xét dãy (fh(1) (x2 ))h ⊂ [−M2 , M2 ] Do dãy (fh(2) (x2 ))h hội tụ Chú ý dãy (fh(2) (x1 ))h hội tụ có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ Tiếp tục trình ta Bước k: Một dãy (fh(k) )h (fh(k−1) )h thỏa mãn (fhk (xj ))h hội tụ với j = 1, k Ta có tình sau đây: Định nghĩa: gk := fkk : K → R Lưu ý rằng, i = 1, 2, , dãy (gk )k≥i dãy (fki )k≥i Cụ thể, dãy (gk )k dãy (fh )h theo cách xây dựng ∀x ∈ D (67) (gk )k hội tụ (C0 (K), ∥.∥∞ ) (68) (gk (x))k hội tụ R Tiếp tục trình ta Sử dụng giả thiết F liên tục đều, tức ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > : x, y ∈ K |x−y| < δ ⇒ |f (x)−f (y)| < ϵ, ∀f ∈ F (69) 64 Với ϵ > thay đổi tùy ý, δ thay đổi Bởi K bị chặn hồn tồn, σ > có họ hữu hạn hình cầu B(x1 , σ), , B(xN , σ) Rn thỏa mãn N = N (σ), xi ∈ K với i = 1, , N n [ K⊂ B(xi , σ) i=1 Do tính trù mật D K , tồn yi ∈ D ∩ B(xi , σ) với i = 1, , N Cụ thể n \ K⊂ B(yi , 2σ) i=1 Vì ta chọn σ = δ/2 Khi tồn N = N (σ) = N (δ) = N (ϵ) D′ := {y1 , , yn } ⊂ D thỏa mãn K⊂ N [ (70) B(yi , δ) i=1 Từ (24) dãy (gk (y1 ))k , , (gk (yN ))k , ¯ hội tụ, có số nguyên k¯ = k(ϵ) với |gk (yi ) − gr (yi )|, ϵ ¯ ∀i = 1, , N ∀k, r > k, Theo (27) (26) ∀x ∈ K, ∃yi ∈ D′ thỏa |x − yi | < δ ⇒ |gk (x) − gk (yi )| < ϵ, ∀k ∈ N Từ ta có |gk (x)−gr (x)| ≤ |gk (x)−gk (yi )|+|gk (yi )−gr (yi )|+|gr (yi )−gr (x)| ≤ ϵ+ϵ+ϵ = 3ϵ ∀x ∈ K ¯ với k, r ≥ k¯ Điều có nghĩa ϵ > tồn k¯ = k(ϵ) thỏa ∥gk − gr ∥∞ ≤ 3ϵ ¯ ∀k, r > k Nghĩa (gk )k dãy Cauchy (C0 (K), ∥.∥∞ ) Từ (C0 (K), ∥.∥∞ ) đầy đủ F đóng, suy tồn f ∈ F thỏa mãn lim ∥gk − f ∥∞ = k→∞ 65 Từ (gk )k dãy dãy (fh )h , phải F compact dãy Sự cần thiết: Cần rằng, F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) ta có (i), (ii) (iii) Giả sử F compact không gian metric (C0 (K), ∥.∥∞ ), đó, theo tính chất tập compact khơng gian metric, F đóng bị chặn hồn tồn bị chặn Chỉ F liên tục đều, nghĩa ta phải chứng minh (26) Theo phản chứng, giả sử ∃ϵ0 > : ∀ > 0, ∃fδ ∈ F, xδ , yδ ∈ K với |xδ −yδ | < δ |fδ (xδ )−fδ (yδ )| ≥ ϵ0 Chọn δ = 1/h ký hiệu fh := f1/h , xh := x1/h yh := y1/h Khi ta xây dựng ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K |xh − yh | < 1/h, |fh (xh ) − f (yh )| ≥ ϵ > 0, ∀h (71) Từ F K compact, tồn ba dãy (fh )h ⊂ F, (xh )h , (yh )h ⊂ K thỏa mãn lim xh = lim yh = z ∈ K fh → f ∈ F K h→∞ h→∞ Khi tồn lim fh (xh lim fh (yh ) = f (z) h→∞ h→∞ Lấy qua giới hạn (28) ta có mâu thuẫn Do đó, ta có điều phải chứng minh 20 ĐỊNH LÝ CAUCHY Định lý 36 (Định lý Cauchy) Giả sử hàm số f g liên tục [a, b], khả vi khoảng (a, b) g ′ (x) ̸= với x ∈ (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho: f (b) − f (a) f ′ (c) = ′ g(b) − g(a) g (c) Chứng minh Trước hết ta nhận xét g(a) ̸= g(b) Nghĩa công thức kết luận định lý ln ln có nghĩa Thật vậy, giả sử g(a) = g(b) Khi