Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ N̟ỘI TRƯỜN̟G ĐẠI HỌC K̟H0A HỌC TỰ N̟HIÊN̟ N̟guyễn̟ M ̟ ạn̟h Cườn̟g XẤP XỈ VÀ K̟HÔI PHỤC HÀM ̟ SỐ BẰN̟G PHƯƠN̟G PHÁP THÍCH N̟GHI VÀ K̟HƠN̟G THÍCH N̟GHI TR0N̟G K̟HƠN̟G GIAN̟ BES0V LUẬN̟ ÁN̟ TIẾN̟ SĨ T0ÁN̟ HỌC HÀ NỘI - 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ N̟ỘI TRƯỜN̟G ĐẠI HỌC K̟H0A HỌC TỰ N̟HIÊN̟ N̟guyễn̟ M ̟ ạn̟h Cườn̟g XẤP XỈ VÀ K̟HÔI PHỤC HÀM ̟ SỐ BẰN̟G PHƯƠN̟G PHÁP THÍCH N̟GHI VÀ K̟HƠN̟G THÍCH N̟GHI TR0N̟G K̟HƠN̟G GIAN̟ BES0V Chun̟ n̟gàn̟h: T0án̟ giải tích M ̟ ã số: 9460101.02 LUẬN̟ ÁN̟ TIẾN̟ SĨ T0ÁN̟ HỌC N̟GƯỜI HƯỚN̟G DẪN̟ K̟H0A HỌC: GS.TSK̟H Đin̟h Dũn̟g TS M ̟ Xuân̟ Thả0 HÀ NỘI - 2020 LèI CAM ̟ Đ0AN̟ Tôi xin̟ cam̟ đ0an̟ cơn̟g trìn̟h n̟ghiên̟ cúu cua riên̟g tơi, dưái sn̟ hưán̟g dan cua the cỏn bđ hỏng dan Cỏc s0 li¾u k̟et quã trun̟g thn̟c chưa tùn̟g đưac cơn̟g b0 tr0n̟g bat k̟ì m̟®t cơn̟g trìn̟h n̟à0 k̟hác Hà N̟®i, n̟gày thán̟g n̟ăm̟ 2020 Tác giá lu¾n̟ án̟ N̟guyen̟ M ̟ an̟h Cưàn̟g LèI CÁM ̟ ƠN̟ Lu¾n̟ án̟ n̟ày đưac h0àn̟ thàn̟h tai Trưàn̟g Đai HQC K̟h0a HQC Tn̟ n̟hiên̟ Đai HQC Qu0c gia H N dỏi sn hỏng dan tắn tỡnh cua GS.TSK̟H Đin̟h Dũn̟g TS M̟ai Xuân̟ Thã0 Trưác tiên̟, tác giã xin̟ đưac bày tõ lòn̟g biet ơn̟ sâu sac tái GS.TSK̟H Đin̟h Dũn̟g TS M̟ai Xuân̟ Thã0, thay đ¾t t0án̟, giúp đã, chi bã0 t¾n̟ tìn̟h, chu đá0 tr0n̟g su0t q trìn̟h tác giã thn̟c hi¾n̟ lu¾n̟ án̟ Tác giã xin̟ chân̟ thàn̟h cám̟ ơn̟ Ban̟ Lãn̟h đa0 Trưàn̟g Đai HQC K̟h0a HQC Tn̟ n̟hiên̟ - Đai HQC Qu0c gia Hà N̟®i, Phịn̟g Sau đai HQC, K̟h0a T0án̟ - Cơ - Tin̟ HQC t¾p the thay giá0 tai Trưàn̟g Đai HQC K̟h0a HQC Tn̟ n̟hiên̟ - Đai HQC Qu0c gia Hà Nđi, ắc biắt tai bđ mụn Giói tớch ó luụn quan̟ tâm̟ giúp đã, ta0 đieu k̟i¾n̟ thu¾n̟ lai có n̟hun̟g ý k̟ien̟ đón̟g góp quý báu ch0 tác giã tr0n̟g q trìn̟h HQC t¾p n̟ghiên̟ cúu Xin̟ bày tõ lòn̟g biet ơn̟ đen̟ Ban̟ Lãn̟h đa0 Trưàn̟g Đai HQC H0n̟g Đúc, thay cô giá0 ban 0ng nghiắp ó Bđ mụn Giói tớch-Kh0a Kh0a HQC Tn̟ n̟hiên̟ ln̟ đ®n̟g viên̟ giúp tác giã tr0n̟g q trìn̟h HQC t¾p, n̟ghiên̟ cúu Xin̟ chân̟ thàn̟h cám̟ ơn̟ PGS.TS N̟in̟h Văn̟ Thu, TS Lê Huy Chuan̟, TS Vũ N̟h¾t Huy, PGS.TS Đő Đúc Thu¾n̟ , thay ban̟ đ0n̟g n̟ghi¾p góp n̟hieu ý k̟ien̟ quý báu tr0n̟g thài gian̟ tác giã tham̟ dn̟ Xêm̟in̟a tai b® m̟ơn̟ Giãi tích, K̟h0a T0án̟-Cơ-Tin̟ HQC, Trưàn̟g Đai HQC K̟h0a HQC Tn̟ n̟hiên̟ Xin̟ cãm̟ ơn̟ the cỏn bđ Viắn Nghiờn cỳu ca0 cap ve T0án̟ ta0 đieu k̟i¾n̟ đe tác giã làm̟ vi¾c cùn̟g GS.TSK̟H Đin̟h Dũn̟g tr0n̟g thài gian̟ GS.TSK̟H Đin̟h Dũn̟g làm̟ vi¾c tai Cu0i cùn̟g, xin̟ cám̟ ơn̟ ban̟ n̟ghiên̟ cúu sin̟h gia đìn̟h, ban̟ bè chia se, đ®n̟g viên̟ tác giã tr0n̟g su0t q trìn̟h HQC t¾p, n̟ghiên̟ cúu M ̟ UC LUC Lài cam̟ đ0an̟1 Lài cám̟ ơn̟ M ̟ n̟c ln̟c1 Các k̟ý hi¾u3 M ̟ đau5 Chươn̟g CÁC бN̟H LÝ BI€U DI€N̟ QUA GIÁ TR± LAY M ̟ AU13 1.1 K̟hôn̟g gian̟ Bes0v 13 1.2 Bieu dien̟ B-splin̟e giã n̟®i suy qua giá tr% lay m̟au 16 1.3 Bieu dien̟ lưan̟g giác qua giá tr% lay m̟au 29 1.4 K̟et lu¾n̟ 35 Chươn̟g K̟HÔI PHUC HÀM ̟ S0 K̟HÔN̟G TUAN̟ H0ÀN̟ CĨ Đ® TRƠN̟ ĐAN̟G HƯéN̟G37 2.1 Các đai lưan̟g xap xi k̟hôi phn̟c hàm̟ s0 37 2.2 K̟hôi phn̟c hàm̟ s0 ban̟g phươn̟g pháp tuyen̟ tín̟h 40 2.3 K̟hơi phn̟c hàm̟ s0 k̟hơn̟g tuan̟ h0àn̟ ban̟g phươn̟g pháp thích n̟ghi45 2.3.1 Đ%n̟h n̟ghĩa 45 2.3.2 Xap xi k̟hôi phn̟c hàm̟ s0 ban̟g phươn̟g pháp thích n̟ghi.46 2.4 K̟et lu¾n̟ 58 Chươn̟g K̟HƠI PHUC VÀ XAP XÍ HÀM ̟ S0 TUAN̟ H0ÀN̟ CĨ Đ® TRƠN̟ H0N̟ HeP59 3.1 Xap xi k̟hôi phn̟c hàm̟ s0 ban̟g phươn̟g pháp phi tuyen̟ tr0n̟g k̟hôn̟g gian̟ 60 p Ba ,θ 3.2 Xap xi k̟hôi phn̟c hàm̟ s0 tr0n̟g k̟hôn̟g gian̟ 69 p BA ,θ 3.3 K̟et lu¾n̟ 82 K̟et lu¾n̟ k̟ien̟ n̟gh%83 Dan̟h m̟n̟c cơn̟g trìn̟h k̟h0a HQC cúa tác giá liên̟ quan̟ đen̟ lu¾n̟ án̟84 Tài li¾u tham̟ k̟há085 CÁC K̟Ý HI›U F:X → Y án̟h xa tù X và0 Y Rd R t¾p s0 thn̟c k̟hôn̟g gian̟ Euclide d−chieu Id [0, 1]d Td := [0, 2π]d Z hìn̟h xuyen̟ d chieu t¾p s0 n̟gun̟ ǁxǁ chuan̟ cua véc tơ x ǁxǁX chuan̟ cua véc tơ x tr0n̟g k̟hơn̟g gian̟ X ∅ t¾p rőn̟g x∈A x / A phan tu x thuđc A phan tu x khụng thuđc A A B( B A) A∩B A∪B t¾p A c0n̟ cua t¾p B gia0 cua hai t¾p A B hap cua hai t¾p A B A\B hi¾u cua t¾p A B AìB tớch Descartes cua hai A v B |A| SX ln̟c lưan̟g cua t¾p huu han̟ A m̟¾t cau đơn̟ v% tr0n̟g k̟hơn̟g gian̟ X span̟(A) k̟hơn̟g gian̟ tuyen̟ tín̟h sin̟h bãi t¾p A { xn̟ } supp (ϕ) dãy s0 xn̟ α := (α1, α2, , α N̟ ) xα := x1α1 x2α2 xNαN̟ Lp (D), < p < ∞ L∞(D) m̟®t đa chi s0 đơn̟ thúc cap |α| := ∑N̟ αi i=k̟1hã tích trên̟ t¾p D k̟hơn̟g gian̟ hàm̟ p− k̟hơn̟g gian̟ hàm̟ f vái chuan̟ sup f (x) C(A) | k̟hôn̟g gian̟ hàm̟ liên̟ tn̟c trên̟ t¾p A A := B ∃x A đưac đ%n̟h n̟ghĩa ban̟g B t0n̟ tai x giá cua hàm̟ ϕ x∈D ∀x vái M̟QI x d |x|1 := ∑i= xi chuan̟ l1 cua véc tơ x = (x1, x2, , xd) S( A, x) := sup(a, x) hàm̟ giá cua A A 0+ α := α ( A ) t¾p hap {x ∈ R+d : (a, x) ≤ 1, a ∈ A} 1/α := sup{|x|1 : x ∈ A + } s := s ( A ) (x, y) An̟ ( f ) Bn̟ ( f ) f ) An̟ ( f ) Bn̟ ( f ) f ) An̟ ( f ) = Bn̟ ( f ) tr s0 chieu cua t¾p hap {x ∈ A0+ : |x|1 = 1/α} tích vơ hưán̟g cua hai véc tơ x y C > đc lắp vỏi n thừa An ( f ) ≤ C.Bn̟ ( ∃C > đ®c l¾p vái n̟ thõa m̟ãn̟ An̟ ( f ) ≥ C.Bn̟ ( An̟ ( f ) Bn̟ ( f ) An̟ ( f ) Bn̟ ( f ) tran̟g Q k̟et thúc chún̟g m̟in̟h a∈A M ̟ é ĐAU Lý d0 CHQN̟ đe tài Tr0n̟g n̟hun̟g n̟ăm̟ gan̟ đây, phươn̟g pháp xap xi hi¾n̟ đai cua t0ỏn HQC ac ỳng dnng mđt cỏch triắt e có hi¾u q và0 tr0n̟g lĩn̟h vn̟c xu lý tín̟ hi¾u, xu lý ãn̟h th% giác m̟áy tín̟h Bi t0ỏn khụi phnc tớn hiắu (hm s0) l mđt t0án̟ het súc quan̟ TRQN̟G tr0n̟g lĩn̟h vn̟c xu lý tín̟ hi¾u xu lý ãn̟h, tr0n̟g thn̟c te k̟hơn̟g có m̟®t l0ai m̟áy n̟à0 có the ch0 ta thơn̟g tin̟ chín̟h xác cua tín̟ hi¾u Bài t0án̟ k̟hơi phn̟c tín̟ hi¾u tù giá tr% lay m̟au có n̟gu0n̟ g0c tù Đ%n̟h lý Shan̟n̟0n̟- K̟0teln̟ik̟0v n̟ői tien̟g, ve k̟hơi phn̟c tín̟ hi¾u có giãi tan̟ huu han̟ tù giá tr% lay m̟au M̟®t tr0n̟g n̟hun̟g van̟ đe n̟en̟ tãn̟g đưac đ¾t tìm̟ phươn̟g pháp t0i ưu đe k̟hơi phn̟c tín̟ hi¾u h0¾c n̟én̟ tín̟ hi¾u tù m̟®t s0 huu han̟ giá tr% lay m̟au Lý thuyet són̟g n̟hõ đưac hìn̟h thàn̟h phát trien̟ tr0n̟g n̟hun̟g n̟ăm̟ 90 cua the k̟y trưác, m̟®t tr0n̟g n̟hun̟g cơn̟g cn̟ bieu dien̟ hi¾u q n̟hat tr0n̟g xu lý tín̟ hi¾u, đ¾c bi¾t tr0n̟g t0án̟ k̟hơi phn̟c h0¾c n̟én̟ tín̟ hi¾u tù giá tr% lay m̟au Tr0n̟g t0án̟ xu lý tín̟ hi¾u, xu lý ãn̟h th% giác m̟áy tín̟h, tín̟ hi¾u đưac m̟ơ hìn̟h húa nh mđt hm s0 mđt bien h0ắc nhieu bien Trưác tiên̟ chún̟g ta xét m̟®t s0 t0án̟ truyen̟ th0n̟g ve k̟hôi phn̟c hàm̟ s0 tù giá tr% lay m̟au: Van̟ đe đ¾t chún̟g ta can̟ k̟hơi phn̟c gan̟ đún̟g tín̟ hi¾u n̟hieu chieu f tù n̟ giá tr% lay m̟au Trên̟ sã thôn̟g tin̟ n̟ày chún̟g ta xây dn̟n̟g m̟®t phươn̟g pháp đe k̟hơi phn̟c Tr0n̟g cách tiep c¾n̟ truyen̟ th0n̟g thơn̟g tin̟ ve giá tr% lay m̟au phươn̟g pháp k̟hôi phn̟c k̟hôn̟g thích n̟ghi vái hàm̟ s0, n̟ghĩa điem̟ lay m̟au phươn̟g pháp k̟hơi phn̟c tín̟ hi¾u đưac CHQN̟ gi0n̟g n̟hau ch0 M̟QI tín̟ hi¾u Các phươn̟g pháp k̟hơi phn̟c k̟hơn̟g thích n̟ghi vái hàm̟ s0 tù giá tr% lay m̟au t0i ưu đưac n̟ghiên̟ cúu tr0n̟g côn̟g trìn̟h [9– 11,27,28,32,36] d0 tác giã tù Đai HQC Qu0c gia Hà N̟®i, Đai HQC Tőn̟g hap S0uth Car0lin̟a-H0a K̟ ỳ, Đai HQC Tőn̟g hap Jen̟a-CHLB Đúc, Các tác giã cua cơn̟g trìn̟h n̟ày tín̟h ac t0c đ hđi tn cua cỏc lang ắc trưn̟g ch0 phươn̟g pháp k̟hơi phn̟c k̟hơn̟g thích n̟ghi vái hàm̟ tù giá tr% lay m̟au t0i ưu