Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

Đại học huế Trường đại học sư phạm phạm thị cúc Hệ nhân tử nhóm phạm trù phân bậc luận án tiến sĩ toán học Huế - 2014 Đại học huế Trường đại học sư phạm phạm thị cúc Hệ nhân tử nhóm phạm trù phân bậc Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mà số: 62 46 05 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS TS Ngun TiÕn Quang GS TS Lê Văn Thuyết Huế, 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu viết chung với đồng tác giả Những kết viết chung với tác giả khác đà trí đồng tác giả đưa vào luận án Các số liệu, kết trình bày luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả Phạm Thị Cúc Lời cảm ơn Luận án hoàn thành h­íng dÉn cđa PGS TS Ngun TiÕn Quang vµ GS TS Lê Văn Thuyết Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy Các Thầy không truyền cho em niềm đam mê nghiên cứu khoa học, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em mặt, mà dành cho em cổ vũ động viên suốt trình học tập nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô Khoa Toán, Phòng Sau đại học - Trường Đại học sư phạm - Đại học Huế, Ban đào tạo sau đại học - Đại học Huế thầy cô Bộ môn Đại số, Khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa đà tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu hoàn thành chương trình nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thạc sỹ Nguyễn Thu Thủy giúp đỡ chân thành Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình đồng cảm, động viên chia sẻ khó khăn suốt thời gian làm nghiên cứu sinh hoàn thành luận án Phạm Thị Cúc Mục lục Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 16 1.1 Nhãm phạm trù (bện) phân bậc 16 1.1.1 Nhãm ph¹m trï 16 1.1.2 Nhãm ph¹m trï thu gọn tương đương tắc 17 1.1.3 Nhãm phạm trù phân bậc 18 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc 19 1.1.5 Hàm tử monoidal, tương đương tự nhiên monoidal 19 1.2 Ann-ph¹m trï 20 1.2.1 Ann-ph¹m trï 20 1.2.2 Ann-hµm tư 22 1.2.3 Ann-ph¹m trï thu gän 22 Phân lớp hàm tử monoidal kiểu (, f ) ứng dụng 2.1 Phân lớp đối đồng điều hàm tử monoidal kiểu 25 (, f ) 25 2.2 Phân lớp nhóm phạm trï 30 2.3 Phân lớp nhóm phạm trù bện 34 2.4 Phân lớp nhóm phạm trù bện ph©n bËc bëi hƯ nh©n tư 37 2.5 ¸p dụng vào toán mở rộng nhóm cổ điển 45 2.5.1 Nhãm ph¹m trù hạt nhân trừu tượng 45 2.5.2 Hàm tử monoidal toán mở réng nhãm 49 Nhãm ph¹m trù chặt chẽ mở rộng nhóm kiểu môđun chéo 53 3.1 Nhóm phạm trù liên kết với môđun chÐo 53 3.2 Phân lớp môđun chéo 55 3.3 Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo: lý thuyết cản trở định lý phân lớp 58 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ mở rộng nhóm đẳng biến kiểu chéo -môđun 65 4.1 Lý thuyết đối đồng điều nhóm đẳng biÕn cña Cegarra 65 4.2 Nhãm phạm trù phân bậc thu gọn hàm tử monoidal ph©n bËc kiĨu (ϕ, f ) 66 4.2.1 X©y dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn thông qua phạm trù khung 67 4.2.2 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn phương pháp hệ nhân tử 69 4.2.3 Ph©n lớp hàm tử monoidal phân bậc kiểu 4.3 -môđun chéo nhóm phạm trù phân bậc liên kết 73 4.4 Phân lớp -môđun chéo 76 4.5 Bµi toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu định lý phân líp (ϕ, f ) 72 -môđun chéo: lý thuyết cản trở 81 Ann-phạm trù chặt chÏ vµ më réng vµnh kiĨu E-hƯ chÝnh qui 5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành Mac Lane Shukla 88 88 5.2 Song môđun chéo E-hÖ chÝnh qui 91 5.3 Ph©n líp c¸c E-hƯ chÝnh qui 94 5.4 Më réng vµnh kiĨu E-hƯ chÝnh qui 99 B¶ng ký hiƯu Ký hiƯu Nghĩa ObG tập vật phạm trù MorG tập mũi tên phạm trù (0, g, d) ràng buộc đơn vị phép cộng (1, l, r) ràng buộc đơn vị (của phép nhân) = G tập lớp vật đẳng cấu A = G tập tự đẳng cấu vật đơn vị SG ph¹m trï thu gän cđa ph¹m trï Hom(ϕ,f ) [S, S0 ] tập lớp đồng luân hàm tư kiĨu tõ G G G I G (ϕ, f ) S ®Õn S (Π, A), (Π, A, k) R (Π, A, h) Γ (F, Fe) nhãm ph¹m trï kiÓu (F, F˘ , Fe) e (G, G) e (H, H), Ann-hµm tư e Γ ), (GΓ , G eΓ ) (H , H tương đương monoidal nhóm phạm trù (, A) -phân bậc kiểu (, A) hàm tử monoidal (-phân bậc) tương đương monoidal tắc -phân bậc tắc (R, M ), (R, M, h) Ann-phạm trù kiểu H i (, A) nhóm đối đồng ®iÒu nhãm HΓi (Π, A) i HM acL (R, M ) i HShu (R, M ) nhóm đối đồng điều nhóm đẳng biến MA vành song tích vành (R, M ) nhóm đối đồng điều vành Mac Lane nhóm đối đồng điều vành Shukla A tập lớp tương đương mở rộng nhãm Ext(Π, A, ψ) d M, (B, D, d, θ), B D (-)môđun chéo, E-hệ ExtBD (Q, B, ) tập lớp tương đương mở rộng nhóm kiểu môđun chéo ExtBD (Q, B, ) tập lớp tương đương mở rộng nhóm đẳng biến kiểu -môđun chéo Bảng thuật ngữ Thuật ngữ Tiếng Anh Ann-phạm trù Ann-category Ann-phạm trù chặt chẽ strict Ann-category Ann-phạm trù qui regular Ann-category Ann-phạm trù thu gọn reduced Ann-category Ann-hàm tử Ann-functor Ann-hàm tử đơn single Ann-functor Ann-mũi tên Ann-morphism Ann-tương đương Ann-equivalence Ann-tương đương tắc canonical Ann-equivalence cản trë obstruction ®Ýnh stick ®iỊu kiƯn khíp coherence condition E-hƯ E-system E-hƯ chÝnh qui regular E-system hµm tư monoidal monoidal functor hµm tư monoidal chÝnh qui regular monoidal functor hµm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor hàm tử monoidal phân bậc graded monoidal functor hàm tử monoidal phân bậc qui regular graded monoidal functor hạt nhân trừu tượng abstract kernel hƯ nh©n tư factor set hƯ nh©n tư qui regular factor set giả hàm tử pseudo-functor môđun chéo crossed module môđun chéo đẳng biến equivariant crossed module mở rộng nhóm đẳng biến equivariant group extension mở rộng tÝch chÐo crossed product extension nhãm ph¹m trï categorical group nhóm phạm trù chặt chẽ strict categorical group nhóm phạm trù bện braided categorical group nhóm phạm trù bện phân bậc graded braided categorical group nhóm phạm trù phân bậc graded categorical group nhóm phạm trù phân bậc chặt chÏ strict graded categorical group nhãm pham trï rêi r¹c discrete categorical group nhãm ph¹m trï thu gän reduced categorical group ph¹m trï khung skeletal category ph¹m trï monoidal monoidal category phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category phạm trù Picard Picard category phân bậc graded ràng buộc constraint ràng buộc bện braided constraint ràng buộc đơn vị unit constraint ràng buộc giao hoán commutativity constraint ràng buộc kết hợp associativity constraint song môđun chéo crossed bimodule song tích bimultiplication song tích giao hoán permutable bimultiplication tương thích compatibility tiền đính pre-stick tương đương phạm trù categorical equivalence tương đương tự nhiên monoidal monoidal natural equivalence vật object sơ đồ mối liên hệ khái niệm, thuật ngữ Nhóm phạm trù Ann-phạm trù phân bậc @ @ @ @ @ Nhãm ph¹m trï Nhãm ph¹m trù  Nhóm phạm trù chặt chẽ  - Môđun chéo @ @ @ @ @ Mở rộng nhóm  Nhóm phạm trù  phân bậc Mở rộng nhóm kiểu môđun chéo  Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ - -môđun chéo @ @ @ @ Ann-phạm trù Mở rộng nhóm  đẳng biến  Mở rộng nhóm đẳng biến kiểu -môđun chéo Ann-phạm trù chặt chẽ  - @ @ @ @ @ Më réng vµnh  Më réng vµnh kiĨu E-hƯ chÝnh qui ⊃ E-hƯ chÝnh qui víi mäi a A Tập tất song tích của A vành ký hiệu MA Với phần tử c A, song tích àc xác định àc a = ca, aàc = ac, a A, gọi song tích Khi Hai song tích CA = {c A|àc = 0} gọi song tâm A gọi giao hoán với a ∈ A, (5.4) ζ(aω) = (ζa)ω, ω(aζ) = (ωa)ζ Bây giờ, khái niệm E-hệ mà nêu xem phiên môđun chéo cho vành Định nghĩa [38] Một E -hệ bốn (B, D, d, ) d : B → D, θ : D → MB đồng cấu vành thỏa mÃn điều kiện sau: víi mäi θ ◦ d = µ, (5.5) d(θx b) = x.d(b), d(bθx ) = d(b).x, (5.6) x ∈ D, b B E-hệ (B, D, d, ) gọi qui 1-đồng cấu (đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị) phần tử thuộc Một đồng cấu cấu vành f1 (D) giao ho¸n (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D0 , d0 , θ0 ) hai E-hệ bao gồm đồng : B → B , f0 : D → D0 cho f0 d = d0 f1 (5.7) f1 (θx b) = θf0 (x) f1 (b), f1 (bθx ) = f1 (b)θf0 (x) (5.8) vµ f1 lµ mét đồng cấu toán tử, nghĩa Để cho tiện, E-hệ d (B, D, d, ) ký hiệu B D, đơn giản B D Các ví dụ Nếu B ideal hai phía D ta có E-hƯ chÝnh qui (B, D, d, θ0 ), d lµ phép nhúng, : D MB cho phÐp lÊy song tÝch, nghÜa lµ θx0 b = xb, bθx0 = bx, x ∈ D, b ∈ B Cho D vành, B D-song môđun, : B D đồng cấu không D-song môđun Khi B vành với phép nhân xác định b.b0 = 0(b)b0 = 92 b0(b0 ) = víi mäi b, b0 ∈ B , vµ ta cã E-hƯ chÝnh qui (B, D, 0, ), với cho tác động song môđun Cho B vành, MB vành song tích B , : B MB đồng cấu biến phần tử b B thành song tích B Khi ta có E-hệ (B, MB , à, id) Nhìn chung, E-hệ không qui Từ định nghĩa E-hệ, ta thấy tính chất sau Mệnh đề 5.1 Cho E-hƯ (B, D, d, θ) Khi ®ã: i) Kerd CB , ii) Imd iđêan D, iii) ®ång cÊu θ c¶m sinh ®ång cÊu ϕ : D → MKerd cho bëi ϕx = θx |Kerd , iv) Kerd Cokerd-song môđun với tác động sa = x (a), as = (a)ϕx , a ∈ Kerd, x lµ đại diện s Cokerd Định lý nói lên mối liên hệ hai khái niệm E-hệ qui song môđun chéo vành Định lý 5.2 Phạm trù E-hệ qui phạm trù song môđun chéo vành đẳng cấu Chøng minh Cho E-hÖ chÝnh qui =(B, D, d, θ) Khi nhóm aben cộng B D-song môđun với tác động xb = x b, với (5.9) bx = bθx x ∈ D, b ∈ B Cã thÓ kiểm tra điều kiện song môđun chéo thỏa mÃn Chẳng hạn điều kiện (5.1) suy tõ ®iỊu kiƯn (5.5), (5.5) (5.5) d(b)b0 = θd(b) (b0 ) = µb (b0 ) = bb0 = bµb0 = bθd(b0 ) = bd(b0 ), µb , µb0 lµ c¸c song tÝch cđa vµnh B Ngoài ra, tính qui E-hệ cần đủ để môđun hai phía Ngược lại, B D-song môđun (B, D, d) song môđun chéo vành B có cấu trúc vành với phép nh©n b ∗ b0 := d(b)b0 = bd(b0 ), b, b0 ∈ B Khi ®ã, (5.10) d : B → D đồng cấu vành với b, b0 ∈ B ta cã d(b ∗ b0 ) = d(d(b)b0 ) = d(b)d(b0 ) ánh xạ : D MB xác định tác động song môđun (5.9) Đồng cấu có ảnh MB hai phần tử (D) giao hoán tính D-song môđun B Hơn nữa, 93 thỏa mÃn điều kiện (5.6) d đồng cấu song môđun Điều chứng tỏ tương ứng M (B, D, d) song ánh tập vật Nếu (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D0 , d0 , θ0 ) lµ mũi tên E-hệ hiển nhiên (f1 , f0 ) cặp đồng cấu thỏa mÃn hệ thức (5.2) Mặt khác, với x D, b ∈ B ta cã (5.9) (5.8) (5.9) f1 (xb) = f1 (θx b) = θf0 (x) f1 (b) = f0 (x)f1 (b) = xf1 (b) T­¬ng tù, ta cã f1 (bx) = f1 (b)x Nghĩa cặp (f1 , f0 ) mũi tên hai song môđun chéo Ngược lại, cho (k1 , k0 ) : (B, D, d) → (B , D0 , d0 ) mũi tên song môđun chéo Ta chứng tỏ k1 đồng cấu vành Theo cách xác định phép nhân B để D-môđun B trở thành mét vµnh, ta cã (5.10) (5.3) (5.2) (5.10) k1 (b ∗ b0 ) = k1 (d(b)b0 ) = k0 (d(b))k1 (b0 ) = d0 (k1 (b))k1 (b0 ) = k1 (b) ∗ k1 (b0 ), víi mäi b, b0 ∈ B Hơn nữa, cặp (k1 , k0 ) thỏa mÃn (5.8) Do định lý trên, khái niệm E-hệ xem làm yếu khái niệm song môđun chéo vành 5.3 Phân lớp E-hệ qui Trong mục này, để phân lớp E-hệ qui dựa vào đặc trưng song môđun chéo vành Định lý 5.2, trước hết E-hệ Ann-phạm trù chặt chẽ Với chẽ E -hệ qui (B, D, d, θ), ta cã thĨ x©y dùng Ann-phạm trù chặt A = ABD gọi Ann-phạm trù liên kết với E-hệ (B, D, d, ) nh­ sau: ObA = D Víi hai vËt x, y cđa A th× Hom(x, y) = {b ∈ B/y = d(b) + x} Hợp thành mũi tên cho bëi b c b+c (x → y → z) = (x z) Hai phép toán , vật cho hai phép toán +, ì vành D Đối với mũi tên ta đặt b b0 b+b0 (x → y) ⊕ (x0 → y ) = (x + x0 −→ y + y ), 94 bb0 +bθ +θx b0 b0 b x −−−→ yy ) (x → y) ⊗ (x0 → y ) = (xx0 −−−−− Do tÝnh chÝnh qui E-hệ, cụ thể tính giao hoán song tích thuộc đương với tính kết hợp phép toán hợp (D), tương mũi tên nên ta chọn ràng buộc kết a chặt chẽ Các ràng buộc lại A xác định chặt chẽ Ngược lại, với Ann-phạm trù chặt chẽ (A, , ) ta xác định E-hệ qui MA = (B, D, d, ) liên kết với A sau Đặt b D = ObA, B = {0 → − x| x D} Khi đó, D vành với hai phÐp to¸n x + y = x ⊕ y, xy = x ⊗ y, vµ B lµ vµnh víi hai phÐp to¸n b + c = b ⊕ c, bc = b c Các đồng cấu d : B D : D MB lần l­ỵt cho bëi b d(0 → − x) = x, b idy ⊗b b⊗idy b θy (0 → − x) = (0 −−−→ yx), (0 → − x)θy = (0 −−−→ yx) DƠ thư l¹i r»ng (B, D, d, θ) xác định E-hệ Trong bổ giả thiết trù liên kết với E-hệ qui ABD AB D0 hai Ann-phạm (B, D, d, θ) vµ (B , D0 , d0 , θ0 ) Các bổ đề nói lên mối liên hệ đồng cấu E-hệ qui Ann-hàm tử Ann-phạm trù liên kết Bổ đề 5.3 Cho ®ång cÊu (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D0 , d0 , ) E-hệ qui Khi đó: i) Tồn hàm tử F : ABD AB D0 xác định F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), x ∈ Ob A, b Mor A ii) Các đẳng cấu tự nhiên Fx,y : F (x + y) → F (x) + F (y), Fex,y : F (xy) → F (x)F (y) cïng Fe thuộc Ker d0 cho víi mäi x, y ∈ D, víi F lµ Ann-hàm tử F Khi đó, ta nói F θF0 (x) (Fe) = (Fe)θF0 (y) = Fe, (5.11) θF0 (x) (F˘ ) = (F˘ )θF0 (y) = F˘ + Fe (5.12) Ann-hàm tử dạng 95 (f1 , f0 ) Chứng minh b i) Mỗi phần tử b B coi mét mịi tªn (0 → d(b)) F (b) A Khi đó, (F (0) F (db)) mũi tên A0 Do cách xác định Ann-phạm trù liên kết với E-hệ qui nên F xác định hàm tử ii) Ta xác định đẳng cấu tự nhiên Fx,y : F (x + y) → F (x) + F (y), Fex,y : F (xy) → F (x)F (y) cho F = (F, F˘ , Fe) trë thµnh mét Ann-hµm tư Tr­íc hÕt, ta thÊy r»ng F (x) + F (x0 ) = F (x + x0 ), ˘x,x0 ) nªn d0 (F = T­¬ng tù, d0 (Fex,x0 ) = 0, ®ã F˘x,x0 , Fex,x0 ∈ Kerd0 ⊂ CB B©y giê víi b (5.13) b0 (x → y) vµ (x0 → y ) lµ hai mịi tên A thì:
f1 (b+b0 ) b+b0 ã F (b ⊕ b0 ) = F (x + x0 −−→ y + y ) = f0 (x + x0 ) −−−−→ f0 (y + y ) ,

f1 (b) f1 (b0 ) F (b) ⊕ F (b0 ) = f0 (x) −−→ f0 (y) ⊕ f0 (x0 ) −−−→ f0 (y )
f1 (b)+f1 (b0 ) = f0 (x) + f0 (x0 ) −−−−−−−→ f0 (y) + f0 (y ) Do f1 đồng cấu vành nên F (b b0 ) = F (b) ⊕ F (b0 ) Do (5.13), (5.14) giả thiết F (Fx,x0 = Fy,y0 ), nên biểu đồ sau giao hoán F (x + x0 ) F˘x,x0 - F (x) + F (x0 ) F (b⊕b0 ) F (b)⊕F (b0 ) ? (5.15) ? F (y + y ) nghÜa lµ (5.14) F˘y,y0 F (y) + F (y ), Fe tháa m·n tÝnh tù nhiªn
bb0 +bθx0 +θx b0 f1 (bb0 +bθx0 +θx b0 ) • F (b ⊗ b0 ) = F (xx0 −−−−− −−−→ yy ) = f0 (xx0 ) −−−−−−− −−−→ f0 (yy ) ,

f1 (b) f1 (b0 ) F (b) ⊗ F (b0 ) = f0 (x) −→ f0 (y) ⊗ f0 (x0 ) −→ f0 (y ) f1 (b)f1 (b0 )+f1 (b)θf0 0 +θf0 (x) f1 (b ) (x )
= f0 (x)f0 (x ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ f0 (y)f0 (y ) Theo (5.8) ta cã: f1 (θx b0 ) = θf0 (x) f1 (b0 ) vµ f1 (bθx0 ) = f1 (b)θf0 (x0 ) nªn F (b ⊗ b0 ) = F (b) ⊗ F (b0 ) 96 (5.16) Do (5.13), (5.16) giả thiết Fe (Fex,x0 = Fey,y0 ), nên biểu đồ sau giao hoán F (xx0 ) Fex,x0 - F (b⊗b0 ) F (x)F (x0 ) (5.17) F (b)⊗F (b0 ) ? F (yy ) ? - F (y)F (y ), Fey,y0 nghÜa Fe thỏa mÃn tính tự nhiên e) với ràng buộc kết hợp suy từ đẳng thức (5.11) TÝnh TÝnh t­¬ng thÝch cđa (F, F t­¬ng thÝch cđa Ann-hàm tử (F, F , Fe) với ràng buộc phân phối suy từ đẳng thức (5.12) (F, F , Fe) gọi đơn F (0) = 0, F (1) = vµ F˘ , Fe lµ Với khái niệm phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề Bổ đề 5.4 Cho Ann-hàm tử đơn (F, F , Fe) : AB→D → AB →D0 Khi ®ã cã mét ®ång cÊu (f1 , f0 ) : (B → D) (B D ) E-hệ qui, xác định f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), với b B, x ∈ D Chøng minh Do F (0) = 0, F (1) = vµ F˘ , Fe lµ nên ta suy F , Fe Ker d0 Từ đó, theo định nghĩa mũi tªn A0B →D0 ta suy F (x + y) = F (x) + F (y), F (xy) = F (x)F (y), vµ bëi vËy f0 lµ mét ®ång cÊu vµnh Do F˘ lµ h»ng thuéc Ker d0 nên từ biểu đồ giao hoán (5.15) suy F (b ⊕ b0 ) = F (b) ⊕ F (b0 ) NghÜa lµ f1 (b + b0 ) Do = f1 (b) + f1 (b0 ) Fe lµ h»ng thuéc Ker d0 nên từ biểu đồ giao hoán (5.17) suy F (b ⊗ b0 ) = F (b) ⊗ F (b0 ) Theo định nghĩa luật ta suy f1 (bb0 ) + f1 (bθx0 ) + f1 (θx b0 ) = f1 (b)f1 (b0 ) + f1 (b)θf0 (x0 ) + θf0 (x) f1 (b0 ) Trong hệ thức chọn b = 0, b0 = ta thu f1 (x b0 ) = θf0 (x) f1 (b0 ), f1 (bθx0 ) = f1 (b)θf0 (x) 97 (5.18) Tức (5.8) thỏa mÃn Đồng thời đẳng thức (5.18) trở thành f1 (bb0 ) = f1 (b)f1 (b0 ), nghĩa f1 đồng cấu vành Cuối ta chứng tỏ hệ thức (5.7) tháa m·n ThËt vËy, víi mäi mịi tªn b (x → y) A, ta cã y = d(b) + x Suy f0 (y) = f0 (d(b) + x) = f0 (d(b)) + f0 (x) Mặt khác, f1 (b) (f0 (x) f0 (y)) mũi tên AB →D0 nªn ta cã: f0 (y) = d0 (f1 (b)) + f0 (x) VËy f0 (d(b)) = d0 (f1 (b)) víi mäi b ∈ B Bỉ ®Ị 5.5 Hai Ann-hàm tử dạng (F, F , Fe), (F , F˘0 , Fe0 ) : AB→D → AB D0 đồng luân F, F hai Ann-hàm tư cã cïng d¹ng (f1 , f0 ) Theo Bỉ đề 5.3, F , F0 đồng luân F vµ F DƠ dµng kiĨm tra tÝnh tự Ta chứng tỏ = F0 F Chứng minh nhiên Giả sử tính tương thích với phép toán Bây ta chứng tỏ tương thích với phép toán , nghĩa biểu đồ sau giao hoán F (xy) Fe - F (x)F (y) α (5.19) α⊗α ? ? F (xy) Fe0 F (x)F (y) Theo Bỉ ®Ị 5.3 ta cã Fe0 − Fe =(θF0 (x) (F˘0 ) − F˘0 ) − (θF0 (x) (F˘ ) − F˘ ) = θF0 (x) (α) − α MỈt khác, Ker d0 CB nên α ⊗ α =α.α + (α)θF0 (y) + θF0 (x) (α) =(α)θF0 (y) + θF0 (x) (α) Víi y = hc x = ta ®­ỵc α ⊗ α = (α)θF0 (y) = θF0 (x) (α) = θF0 (x) (α) Bëi vËy, Fe0 − Fe = α ⊗ α − α, nghÜa lµ biểu đồ (5.19) giao hoán Hai Ann-hàm tử luân (F, F˘ , Fe), (F , F˘0 , Fe0 ) gọi F = F Từ Bổ đề 5.5 ta có kết sau 98 đồng luân mạnh chúng đồng Hệ 5.6 Hai Ann-hµm tư F, F : AB→D → AB D0 đồng luân mạnh chúng dạng Ký hiệu phạm trù Ann-phạm trù chặt chẽ Ann-hàm tử đơn Ta định nghĩa phạm trù đồng luân mạnh Annstr HoAnnstr Annstr phạm trù thương với vật mũi tên lớp đồng luân mạnh Ann-hàm tử đơn: HomHoAnnstr (A, A0 ) = Ký hiệu HomAnnstr (A, A0 ) đồng luân mạnh ESyst phạm trù có vật E-hệ qui mũi tên đồng cấu chúng, ta có kết sau mở rộng Định lý [8] Định lý 5.7 [Định lý phân lớp] Tồn tương đương phạm trù : ESyst → HoAnnstr, ®ã (B → D) 7→ AB→D (f1 , f0 ) 7→ [F ] F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), víi x ∈ ObA, b ∈ MorA Chøng minh Theo HƯ qu¶ 5.6, tương ứng tập Hom: : HomESyst (B → D, B → D0 ) → HomHoAnnstr (ABD , AB D0 ) đơn ánh Theo Bổ đề 5.4, Ann-hàm tử đơn F : ABD AB D0 xác định đồng (f1 , f0 ) : (B → D) → (B → D0 ), vµ râ rµng Φ(f1 , f0 ) = [F ], nghĩa toàn ánh cấu tập Nếu Hom MA E-hệ qui liên kết với Ann-phạm trù chặt chẽ A theo cách xác định Ann-phạm trù liên kết với E-hÖ chÝnh qui ta cã VËy 5.4 Φ(MA ) = A (không đẳng cấu) tương đương hai phạm trù Mở rộng vành kiểu E-hệ qui Trong mục phát biểu toán mở rộng vành kiểu E-hệ qui, tương tự toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo [9] Đồng thời giải toán lý thuyết cản trở Ann-hàm tử, xem ứng dụng lý thuyết Ann-phạm trù Định nghĩa [38] Cho E-hƯ chÝnh qui kiĨu E-hƯ chÝnh qui (B, D, d, θ) Mét më réng B → D lµ biểu đồ đồng cấu vành / B B j d / E  ε /D 99 p / Q / 0, cđa vµnh B bëi vµnh Q (B, E, j, θ0 ) lµ mét E-hƯ chÝnh qui với phép lấy song dòng khớp, hệ tích, cặp (id, ) đồng cÊu cđa c¸c E-hƯ chÝnh qui Hai më réng cđa B bëi Q kiĨu E-hƯ chÝnh qui (B, D, d, ) gọi tương đương biểu đồ sau giao ho¸n / j B / E p / Q / 0, E Q / 0, E0 ε / (5.20) D α / vµ ε0 α j0 B /  E0 p0 / ε0 / D = ε Hiển nhiên đẳng cấu Trong biểu đồ E: / B B víi j d / / E  ε D p / Q / 0, (5.21) ψ  q / Cokerd q lµ phÐp chiÕu chÝnh tắc, dòng khớp q ◦ j = q ◦ d = nªn cã đồng cấu vành : Q Cokerd cho hình vuông thứ hai giao hoán Hơn nữa, phụ thuộc vào lớp tương đương mở rộng E Mục tiêu sử dụng lý thuyết cản trở Ann-hàm tử để nghiên cứu tập lớp tương đương mở rộng vành cđa kiĨu E-hƯ chÝnh qui B bëi Q B → D c¶m sinh ψ , ExtB→D (Q, B, ψ) Trong phần này, tiếp tục mở rộng kỹ thuật hệ nhân tử toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Chương sang cho toán mở rộng vành kiểu E-hệ qui Trong bổ đề đây, Ann-hàm tử Dis Q ABD hệ liệu phù hợp để xây dựng mở réng nh­ vËy Bỉ ®Ị 5.8 Cho E-hƯ chÝnh qui Ann-hàm tử (B, D, d, ) đồng cấu vành : Q Coker d Với (F, F˘ , Fe) : Dis Q → A c¶m sinh cặp (, 0) tồn mở rộng EF Q kiĨu E-hƯ B → D Më réng Chøng minh cảm sinh đồng cấu B : Q Coker d EF gọi mở rộng tích chéo liên kết với Ann-hàm tử F Theo Mệnh đề 1.1 (F, F , Fe) cảm sinh Ann-hàm tử K : DisQ → SA kiĨu ˘ H) e lµ Ann-hµm tử tắc SA A xác định đính (xs , ix ) Khi ®ã (ψ, 0) Gäi (H, H, theo (1.11) ta cã ˘ s,r = −ixs ⊕xr , H e s,r = −ixs ·xr H(s) = xs , H(s, b) = b, H 100 Còng theo Mệnh đề 1.1, (F, F , Fe) đồng luân với hợp thành DisQ K H SA A, , Fe) hợp thành Khi theo cách xác định HK, ] Do ®ã cã thĨ lÊy (F, F HK ta cã F˘u,v = f (u, v) = f (u, v) − ixs +xr , (5.22) Feu,v = g(u, v) = g (u, v) − ixs ·xr ∈ B, (5.23) ˘ u,v , g (u, v) = K e u,v Do tÝnh t­¬ng thÝch u, v ∈ Q, s = ψ(u), r = ψ(v), f (u, v) = K , Fe) với ràng buộc chặt chẽ DisQ A nên f, g hàm chuẩn tắc (F, F với thỏa mÃn đẳng thức: Hàm f (u, v + t) + f (v, t) − f (u, v) − f (u + v, t) = 0, (5.24) f (u, v) = f (v, u), (5.25) θF (u) g(v, t) − g(uv, t) + g(u, vt) − g(u, v)θF (t) = 0, (5.26) g(u, v + t) − g(u, v) − g(u, t) + θF (u) f (v, t) − f (uv, ut) = 0, (5.27) g(u + v, t) − g(u, t) − g(v, t) + f (u, v)θF (t) − f (ut, vt) = (5.28) ϕ : Q → MB xác định (u) = F (u) = xs (s = ψ(u)) tháa m·n c¸c hƯ thøc ϕ(u) + ϕ(v) = µf (u,v) + ϕ(u + v), (5.29) ϕ(u)ϕ(v) = µg(u,v) + ϕ(uv) (5.30) ThËt vËy, ta sÏ chøng minh hệ thức (5.29), hệ thức (5.30) suy t­¬ng tù tõ hƯ thøc (5.23) Do theo (5.22) u,v Ker d nên theo Mệnh đề 5.1 ta cã f (u, v) ∈ CB Khi f (u, v) = K àf (u,v) = µ(−ixs +xr ) Bëi vËy, ϕ(u) + ϕ(v) = θxs + θxr = θxs +xr = θ[d(−ixs +xr ) + xs+r ] = θ[d(−ixs +xr )] + θxs+r (5.22) = µ(−ixs +xr ) + ϕ(u + v) = µf (u,v) + (u + v) Do họ hàm xây dùng tÝch chÐo (ϕ, f, g) tháa m·n c¸c hƯ thøc (5.24) - (5.30) nªn theo [28] ta cã thĨ E0 = [B, ϕ, f, g, Q], nghÜa lµ E0 = B ì Q với hai phép toán (b, u) + (b0 , u0 ) = (b + b0 + f (u, u0 ), u + u0 ), 101 (b, u).(b0 , u0 ) = (b.b0 + bϕ(u0 ) + ϕ(u)b0 + g(u, u0 ), uu0 ) E0 tháa mÃn tiên đề vành nhờ hệ thức Trong đó, đáng ý tính kết hợp phép nhân E0 có E-hƯ (B → D) lµ chÝnh qui ThËt vËy, ta cã c¸c tÝch [(b, u)(b0 , u0 )](b00 , u00 ) = ((bb0 )b00 + bϕ(u0 )ϕ(u00 ) + [ϕ(u)b0 ]ϕ(u00 ) + g(u, u0 )ϕ(u00 ) + ϕ(uu0 )b00 + g(uu0 , u00 ), (uu00 )u00 ), (b, u)[(b0 , u0 )(b00 , u00 )] = (b(b0 b00 ) + bϕ(u0 u00 ) + ϕ(u)[b0 ϕ(u00 )] + ϕ(u)ϕ(u0 )b00 + ϕ(u)g(u, u0 ) + g(u, u0 u00 ), u(u0 u00 )) Do (5.26), (5.30), lt kÕt hỵp ®èi víi tÝch trong B, Q, vµ lt giao hoán tổng B, đặc biệt hệ thức (5.4): [ϕ(u)b0 ]ϕ(u00 ) = ϕ(u)[b0 ϕ(u00 )], ta thu ®­ỵc lt kÕt hỵp ®èi víi tÝch E0 Ta dÃy khớp đồng cấu vành j0 p0 EF : → B → E0 → Q → víi j0 (b) = (b, 0); p0 (b, u) = u, b ∈ B, u ∈ Q Do j0 (B) iđêan hai phía E0 nên j0 : B → E0 lµ mét E-hƯ chÝnh qui víi θ0 : E0 MB phép lấy song tích Đồng cấu vành : E0 D xác định bëi ε(b, u) = db + xψ(u) , (b, u) E0 , x(u) đại diện ψ(u) D Ta chøng tá cỈp (idB , ε) tháa m·n c¸c hƯ thøc (5.7), (5.8) DƠ thÊy r»ng j0 = d Hơn nữa, với (b, u) ∈ E0 , c ∈ B ta cã θ(b,u) c = j0−1 [(b, u)(c, 0)] = bc + ϕ(u)c, θε(b,u) c = θdb+xψ(u) c = bc + ϕ(u)c Do (b,u) c = (b,u) c Tương tù, cθ(b,u) = cθε(b,u) V× vËy (idB , ε) đồng cấu E-hệ qui, nghĩa lµ ta cã më réng kiĨu E-hƯ chÝnh qui (5.21), E thay E0 Do với mäi u ∈ Q ta cã qε(0, u) = q(xψ(u) ) = (u) nên mở rộng EF cảm sinh : Q Coker d Trong bổ đề trên, ba (, f, g) mô tả Ann-hàm tử từ Dis Q tới A hệ nhân tử đối víi më réng vµnh kiĨu E-hƯ (B → D) Nã mở rộng khái niệm hệ nhân tử mở rộng nhóm kiểu môđun chéo xét Chương sang cho trường hợp hai phép toán Định lý phiên lý thuyết Schreier cho mở rộng vành kiểu E-hệ qui 102 Định lý 5.9 (Lý thuyết Schreier cho mở rộng vành kiểu E-hệ qui) Có song ánh : HomAnn (ψ,0) [DisQ, A] → ExtB→D (Q, B, ψ) Chứng minh Bước 1: Các Ann-hàm tử EF , EF mở rộng liên kết tương ứng Giả sử (F, F˘ , Fe), (F , F˘0 , Fe0 ) đồng luân tương đương F, F : DisQ → A lµ hai Ann-hµm tử đồng luân, với đồng luân : F F Khi đó, theo định nghĩa Ann-mũi tên, biểu đồ sau giao hoán Fu,v F (u + v) - F (u) + F (v) αu+v F (uv) ? F (u + v) F0 u,v Theo định nghÜa phÐp to¸n F (u)F (v) αu ⊗αv ? ? - αuv αu +αv Feu,v F (u) + F (v), F (uv) ? f0 u,v F F (u)F (v) ⊗ trªn A ta cã αu ⊗ αv = αu αv + αu θF (v) + θF (u) αv Tõ ®ã, víi f (u, v) = F˘u,v , f (u, v) = F˘0 u,v , g(u, v) = Feu,v , g (u, v) = Feu,v ta cã f (u, v) − f (u, v) = αu − αu+v + αv , (5.31) g (u, v) − g(u, v) = αu αv + αu θF (v) + θF (u) αv uv (5.32) Bây ta đặt : EF → EF (b, u) 7→ (b − αu , u) Chú ý F (u) = µαu + θF (u) vµ sư dơng c¸c hƯ thøc (5.31), (5.32), ta chứng minh đẳng cấu Hơn nữa, biểu đồ (5.20) giao hoán, E E thay EF EF Ta phải = ε Do α : F → F lµ đồng luân nên F (u) = x(u) = F (u) Bëi vËy xψ(u) = d(αu ) + xψ(u) , hay d(αu ) = Khi ®ã, ε0 α∗ (b, u) = ε0 (b − αu , u) = d(b − αu ) + xψ(u) = d(b) − d(αu ) + xψ(u) = d(b) + xψ(u) = ε(b, u) Vậy hai mở rộng EF EF tương đương Ngược lại, hai mở rộng EF EF tương đương tồn đẳng cấu vành (b, u) 7→ (b − αu , u) tõ EF ®Õn EF Do vËy, b»ng c¸ch lËp luËn ngược lại bước, ta thu đồng luân : F → F 103 B­íc 2: Gi¶ sư toàn ánh E mở rộng E cđa B bëi Q kiĨu E-hƯ chÝnh qui (B, D, d, θ) c¶m sinh ψ : Q → Coker d biểu đồ giao hoán (5.21) Ta chứng tỏ E có hệ nhân tử liên kết, nghĩa tương đương với mở rộng tích chéo tử EF liên kết với Ann-hàm (F, F , Fe) : DisQ A Gọi A0 = ABE Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ chÝnh qui (B, E, j, θ0 ) Khi ®ã theo Mệnh đề 5.3, cặp đồng cấu đơn (idB , ) biểu đồ (5.21) xác định Ann-hàm tử K) e : A → A (K, K, Do A0 = Q, A0 = nên Ann-phạm trù thu gọn SA0 Ann-phạm trù Dis Q A0 ta chän ®Ýnh (eu , ie ), e ∈ E, u ∈ Q (nghÜa lµ {eu } lµ mét hệ đại diện Q e ) : DisQ A0 cho E ) Khi theo (1.11) Ann-hàm tử tắc (H , H , H Trong e = −ieu ev = h0 (u, v) H (u) = eu , H˘ u,v = −ieu +ev = g (u, v), H u,v Khi hợp thành F = K H xác định Ann-hàm tử DisQ A, víi e = h0 (u, v) F (u) = ε(eu ), F˘u,v = H˘ u,v = g (u, v), Feu,v = H u,v Theo phÐp chøng minh Định lý 5.10, ta xác định mở rộng EF cña tÝch chÐo E0 = [B, ϕ, g , h0 , Q], liªn kÕt víi (F, F˘ , Fe) Bây ta chứng tỏ E EF tương đương, tức có biểu đồ sau giao hoán / EF : B j0 / E0 p0 / Q / 0, E0 p / Q / 0, E ε0 / D ε / D α / E: vµ B j  /E = Do phần tử E viết dạng b + eu , b ∈ B, nªn ta cã thĨ xác định ánh xạ : E0 E, (b, u) 7→ b + eu §Ĩ chØ đồng cấu vành, trước hết ta thấy hệ đại diện {eu } có số tính chÊt sau: ϕ(u)c = θe0 u (c), cϕ(u) = cθe0 u , c ∈ B, (5.33) eu + ev = −ieu +ev + eu+v = g (u, v) + eu+v , (5.34) eu ev = −ieu ev + eu.v = h0 (u, v) + euv (5.35) (Đẳng thức (5.33) có cặp (idB , ) đồng cấu môđun chéo Đẳng thức (5.34), (5.35) có định nghĩa mũi tên A0 ) Vì vậy, ta cã α[(b, u) + (c, v)] = α(b + c + g (u, v), u + v) = b + c + g (u, v) + eu+v (5.34) = b + c + eu + ev = (b + eu ) + (c + ev ) = α(b, u) + α(c, v) 104 α[(b, u)(c, v)] = α(bc + bϕ(v) + ϕ(u)c + h0 (u, v), uv) = bc + bϕ(v) + ϕ(u)c + h0 (u, v) + euv (5.33),(5.35) bc + bθe0 v + θe0 u c + eu ev = = bc + b.ev + eu c + eu ev = (b + eu ).(c + ev ) = α(b, u).α(c, v) Cuèi cïng, ta chọn đại diện eu cho (5.21) ta có (eu ) = x(u) Điều thực ®­ỵc tõ q(ε(eu )) = ψp(eu ) = ψ(u) Khi ®ã: εα(b, u) = ε(b + eu ) = ε(b) + ε(eu ) = d(b) + xψ(u) = ε0 (b, u), nghÜa lµ E vµ EF lµ hai më rộng tương đương Giả sử A = ABD Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ qui B → D Do π0 A = Coker d vµ π1 A = Ker d nên Ann-phạm trù thu gọn SA có dạng SA = (Cokerd, Kerd, k), đồng cÊu k ∈ HShu (Cokerd, Kerd) A vµ SA Ann-phạm trù qui Khi : Q → Cokerd c¶m sinh mét c¶n trë k HShu (Q, Kerd) Dưới đây, phát biểu kết mục này, mở rộng Định lý 5.2 [9] Hơn nữa, qui -mở rộng xét [6] thực trường hợp riêng E-hệ Q = Cokerd, = idCokerd nên kết chứa Định lý 4.4.2 [6] Định lý 5.10 Cho E-hƯ chÝnh qui sù triƯt tiªu cđa cđa B bëi Q, ψ∗k kiĨu E-hƯ (B, D, d, ) đồng cấu vành : Q Cokerd Khi HShu (Q, Kerd) B D điều kiện cần đủ để tồn mở rộng vành cảm sinh Hơn nữa, k triệt tiêu tồn song ánh ExtBD (Q, B, ψ) ↔ HShu (Q, Kerd) e : Dis Q → k = theo Định lý 1.2 tồn Ann-hàm tử (, ) H) e : SA A ta Ann-hàm SA Lấy hợp thành với Ann-hàm tử tắc (H, H, ˘ , Fe) : Dis Q → A, vµ theo Bổ đề 5.8 thu mở rộng liên kết EF tử (F, F Chứng minh Nếu Ngược lại, giả sư cã më réng kiĨu E-hƯ chÝnh qui tháa m·n biểu đồ (5.21) Gọi Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ A0 B E Thế theo Mệnh đề 5.3, tồn 105 Ann-hàm tử đề 1.1, F : A0 A Bởi Ann-phạm trù thu gọn A0 Dis Q nên theo Mệnh F cảm sinh Ann-hàm tử kiểu (, 0) tõ Dis Q tíi (Coker d, Ker d, k) B©y giờ, theo Định lý 1.2, cản trở cặp (Q, Ker d), nghĩa (, 0) phải triệt tiêu HShu k = Bây giờ, song ánh nói định lý suy sau Trước hết, có song ánh tự nhiên Hom[DisQ, A] ↔ Hom[DisQ, SA ] Tõ ®ã π0 (DisQ) = Q, (SA ) = Kerd nên theo Định lý 5.9 Định lý 1.2 ta có song ánh ExtB→D (Q, B, ψ) ↔ HShu (Q, Kerd) KÕt luận Chương Trong chương đà thu số kết sau đây: ã §­a kh¸i niƯm E-hƯ, E-hƯ chÝnh qui, chØ tương đương E-hệ qui song môđun chéo vành ã Biểu diễn E-hệ qui qua ngôn ngữ Ann-phạm trù chặt chẽ ã Phát biểu mối liên hệ đồng cấu E-hệ qui Ann-hàm tử Ann-phạm trù liên kết ã Phân lớp E-hệ qui ã Phát biểu giải toán mở rộng vành kiểu E-hệ qui nhờ kết lý thuyết Ann-ph¹m trï 106