Giáo trinh phương trinh vi phân thường cấp i

Mục lục Phương trình vi phân thường cấp I 1.1 Mở đầu 1.1.1 Caùc khái niệm 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.2 Định lý tồn nghiệm 1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard 1.2.2 Sự tồn nghieäm 1.3 Phân loại nghiệm phương trình vi phân 1.3.1 Các định nghóa: 1.3.2 Ý nghóa hình học phương trình vi phân: 1.4 Phương pháp giải số phương trình vi phân cấp I 1.4.1 Phương trình với biến số phân ly: 1.4.2 Phương trình vi phân nhất: 1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần: 1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I: 1.4.5 Phương trình Bernoully 1.4.6 Phương trình Darboux 1.4.7 Phương trình Riccati: Phương trình vi phân cấp I chưa giải đạo haøm 2.1 Các PTVP chưa giải đạo hàm dạng đặc biệt 2.1.1 F phụ thuộc vào y
2.1.2 Dạng giải y hay x: 2.1.3 F không phụ thuộc vào y 2.2 Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut phương trình Lagrange 2.2.1 Tham số hoá tổng quát: 2.2.2 Phương trình Clairaut 5 7 12 12 13 14 14 16 18 20 22 23 24 27 27 27 28 29 29 29 31 Mục lục 2.2.3 Phương trình Lagrange 2.3 Nghiệm kỳ dị PTVP cấp I 2.3.1 Sự tồn nghiệm kỳ dị 2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến 2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C−biệt tuyến Phương trình vi phân cấp cao 3.1 Phương trình vi phân cấp cao 3.1.1 Các khái niệm: 3.1.2 Sự tồn nghiệm: 3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải cầu phương: 3.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao hạ cấp: 3.1.5 Tích phân trung gian tích phân đầu: 3.2 Lý thuyết tổng quát phương trình vi phân tuyến tính 3.3 Định thức Wronski - Nghiệm tổng quát 3.3.1 Đồng thức Abel 3.3.2 Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm riêng phương trình không 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số 3.4.1 Nghiệm phương trình hệ số 3.4.2 Tìm nghiệm riêng phương trình không nhất: Hệ phương trình vi phân cấp I 4.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát 4.1.1 Các định nghóa: 4.1.2 Liên hệ hệ phương trình phương trình vi phân cấp cao: 4.1.3 Sự tồn nghiệm 4.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân: 4.2 Một số định lý phương trình vi phân 4.2.1 Sự tồn nghiệm: 4.2.2 Thác triển nghiệm tồn toàn cục: 4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 4.3.1 Hệ tuyến tính nhất: 4.3.2 Hệ PTVP tuyến tính không nhất: 4.4 Heä PTVP tuyến tính hệ số số 4.4.1 Phương trình đặc trưng 32 33 33 34 36 39 39 39 40 40 43 45 46 47 50 51 53 53 55 61 61 61 62 63 64 67 67 68 69 70 72 73 73 Muïc lục 4.4.2 Hệ nghiệm 74 Phương pháp số giải phương trình vi phân 5.1 Các phương pháp giải tích giải gần PTVP 5.1.1 Xấp xỉ Picard 5.1.2 Phương pháp chuỗi Taylor 5.2 Caùc phương pháp số giải PTVP 5.2.1 Phương pháp chuỗi Taylor 5.2.2 Phương pháp Euler Euler cải tiến 5.2.3 Các phương pháp Runge−Kutta 5.2.4 Các phương pháp đa bước (multi-step): 5.3 Phương trình vi phân phần mềm tính toán MAPLE 5.3.1 Giới thiệu chung: 5.3.2 Vẽ đường cong tích phân trường hướng 5.3.3 Giải phương trình vi phân MAPLE 5.3.4 Giải gần phương trình vi phân MAPLE Nghiệm chuỗi phương trình vi phân 6.1 6.2 79 79 79 81 82 84 85 86 89 90 90 91 91 92 99 Khaùi niệm chuỗi luỹ thừa 99 Nghiệm phương trình vi phân dạng chuỗi luỹ thừa 101 6.2.1 Các ví dụ 102 6.2.2 Điểm kỳ dị phương trình vi phaân 105 6.3 Khai triển tiệm cận nghiệm 110 6.3.1 Sô lược khai triển tiệm cận 110 6.3.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm gần điểm kỳ dị không qui.111 6.3.3 Khai triển tiệm cận nghiệm: 114 6.3.4 Sơ lược phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) 114 A Biến đổi Laplace phương trình vi phân 117 A.1 Biến đổi Laplace 117 A.2 Giải phương trình vi phân phép biến ñoåi Laplace: 119 Tài liệu tham khảo 123 Mục lục Chương Phương trình vi phân thường cấp I 1.1 Mở đầu Trong nhiều lónh vực ứng dụng, chuyển động hệ mô hình hoá phương trình vi phân, tức phương trình có chứa đạo hàm ẩn hàm cần tìm Chẳng hạn, học cổ điển (định luật Newton), thiên văn học (sự chuyển động hành tinh), hoá học (các phản ứng hoá học), sinh học (sự phát triển dân số), điện tử Trong hầu hết lónh vực thế, toán chung mô tả nghiệm phương trình (cả định tính lẫn định lượng) 1.1.1 Các khái niệm Phương trình vi phân thường phương trình có dạng (1.1) y = y(x) ẩn hàm cần tìm thiết phải có tham gia đạo hàm (đến cấp đó) ẩn Thông thường ta xét phương trình với ẩn hàm hàm số biến thực y = y(x) xác định khoảng mở I ⊂ R đó; hàm F đẳng thức xác định tập mở G R × Rm+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm vector-hàm (hàm với giá trị vector) y(x) = (y1(x), , yn(x))T , F laø ánh xạ nhận giá trị Rn (1.1) hiểu hệ phương trình vi phân Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm nhiều biến phương trình vi phân gọi phương trình đạo hàm riêng Ta nói phương trình vi phân có cấp m m cấp lớn đạo hàm ẩn có mặt phương trình Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát (1.2) F (x, y, y
) = F (x, y, y
, y

, , y (m) ) = Chương Phương trình vi phân thường cấp I F (x, y, z) giả thiết liên tục với đạo hàm riêng miền G ⊂ R3 Với số điều kiện đấy, phương trình vi phân cấp I viết dạng sau, gọi dạng giải đạo hàm y
= f (x, y) (1.3) với f liên tục miền D ⊂ R2 Ví dụ: Các phương trình ey + y
2 cos x = y


− 2xy = ln x ∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂y phương trình vi phân thường cấp I, cấp III phương trình đạo hàm riêng cấp II Xét phương trình (1.1), hàm giá trò vector y : I → R n (I = (a, b) khoảng R) nghiệm phương trình (1.1) có đạo hàm liên tục đến cấp m I thoả mãn F (x, y(x), y
(x), y

(x), , y (m) )(x) = với x ∈ I (1.4) Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm hàm thực ẩn y = y(x) mà thay vào (1.2), ta đẳng thức Ví dụ: Dễ kiểm tra họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý) y = C1 cos x + C2 sin x nghiệm phương trình vi phân y

+ y = Ví dụ: (Săn mồi mồi) Sự phát triển hai quần thể động vật (chẳng hạn, số mèo y Volterra−Lotka sau x(t) = y(t) x= số chuột) mô tả (hệ) phương trình y
= y(α − βx), x
= x(γy − δ) (1.5) với α, β, γ δ số cho trước Để tìm nghiệm phương trình ta xem y hàm theo x, phương trình viết dạng dy y(α − βx) = dx x(γy − δ) hay (γy − δ) (α − βx) dy = dx y x Nghiệm phương trình cho γy − δ ln y = α ln x − βx + C C số tuỳ ý Hình 1.1 mô tả đường mức nghiệm α = β = γ = 1, δ = 1.2 Định lý tồn nghiệm z X 1 y Hình 1.1: Nghiệm phương trình Volterra−Lotka 1.1.2 Bài toán Cauchy Ta nhận xét nói chung, nghiệm phương trình vi phân phụ thuộc vào hay nhiều tham số tuỳ ý đó; nói cách khác ta có họ nghiệm Để xác định nghiệm cụ thể đó, nói chung ta cần thêm hay vài đặc trưng khác nghiệm (tuỳ theo cấp phương trình vi phân) Chẳng hạn, y = x3 + C (họ) nghiệm phương trình y
= x2 Dễ thấy y = x3 + nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y(0) = Ta xét toán sau đặt phương trình (1.2), gọi toán Cauchy (còn gọi toán giá trị ban đầu): 3 Tìm nghiệm y(x) phương trình (1.2) thoả y(x0 ) = y0 (x0 , y0) ∈ D gọi điều kiện ban đầu (1.6) Câu hỏi tự nhiên đặt với điều kiện ban đầu (1.6), có hay không nghiệm thoả mãn điều kiện Trả lời câu hỏi tức giải toán Cauchy phương trình (1.2) Ta lưu ý lúc toán Cauchy có nghiệm, có nghiệm không thiết có nghiệm Trong mục sau ta phát biểu chứng minh định lý giải trọn vẹn toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I 1.2 Định lý tồn nghiệm 1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard Ta xét toán Cauchy phương trình cấp I dạng giải đạo hàm: (1.7) y
= f (x, y), y(x0 ) = y0 Chương Phương trình vi phân thường cấp I f xác định liên tục miền mở D ⊂ R2 Giả sử y(x) nghiệm toán (1.7), tích phân hai vế phương trình (1.7) ta phương trình tích phân cho y(x)
x y(x) = y0 + f (t, y(t))dt x0 (1.8) Rõ ràng nghiệm (1.7) nghiệm (1.8) ngược lại, nghiệm (1.8) khả vi liên tục (tức thuộc lớp C ) khoảng I naứo ủoự vaứ thoaỷ phửụng trỡnh (1.7) Pheựp laởp PicardLindeloăf Về mặt toán tử, nghiệm phương trình tích phân (1.8) lời giải toán điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ (ở ta xét không gian hàm khả vi liên tục I ) mà lời giải cho phương pháp xấp xỉ liên tiếp PicardLindeloăf sau ủaõy Xeựt daừy caực haứm xaực ủũnh moọt cách đệ qui y0 (x) = y0 (hay  x hàm đó) yk+1 (x) = y0 + x0 f (t, yk (t))dt, với k ∈ N Bổ đề 1.2.1 Giả sử f liên tục hình chữ nhaät D = {(x, y)/|x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}   b Đặt M := max(x,y)∈D |f (x, y)| vaø h := a, Khi với M h, x0 + h] ta có |yk (x) − y0 | ≤ b, với mọik x ∈ I := [x0 − Nói cách khác, hàm yk không khỏi hình chữ nhật D Chứng minh: Ta có, với x0 − h ≤ x ≤ x0 + h: 
 |yk − y0 | =  x x0 
 f (t, yk−1(t))dt ≤ x |f (t, yk−1(t))| dt ≤ M |x − x0 | ≤ Mh ≤ b x0
Ví dụ: Xét phương trình y= x+1 với y(0) = Nghiệm xác Vài xaỏp xổ ủau tieõn pheựp laởp Picard-Lindeloăf laứ y0 = 1, y1 = − x, x3 (xem Hình 1.2) Ta nhận trị x lớn phép lặp phân kỳ y2 = − x + x2 − bé, với giá y
= −y , thấy xấp xỉ yk hội tụ nhanh x 1.2 Định lý tồn nghiệm Y0(x) Y2(x) Y4(x) Y1(x) Y3(x) Hình 1.2: Phép lặp Picard−Lindelof cho phương trình y
= −y 2, với y(0) = 1.2.2 Sự tồn nghiệm Trong phần ta phát biểu chứng minh định lý lý thuyết phương trình vi phân, khẳng định tồn nghiệm toán Cauchy Định nghóa 1.2.1 Cho hàm f (x, y) xác định miền D ⊂ R2 Ta nói f thoả điều kiện Lipschitz D theo biến y tồn số dương Lipschitz) cho: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | , L (gọi số với (x, y1), (x, y2) ∈ D Nhận xét: Điều kiện Lipschitz yếu so với điều kiện giới nội đạo hàm ∂f ∂f  ∂f  D Thật vậy, giả sử liên tục   ≤ M Khi đó, áp dụng định riêng ∂y ∂y ∂y lý Lagrange cho hàm f (x, y) theo biến y ta f (x, y1 ) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 ) ∂f [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y Từ suy điều kiện Lipschitz Định lý 1.2.2 (Định lý tồn nghiệm) Giả sử hàm số (1.3) liên tục thoả điều kiện Lipschitz theo biến y hình chữ nhaät f (x, y) D = {(x, y)/ |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b} Khi nghiệm toán Cauchy (1.7) tồn đoạn I := với h := min(a, Mb ) vaø M := max(x,y)∈D |f (x, y)| [x0 − h, x0 + h], Chứng minh: Chứng minh chia làm hai bước: 10 Chương Phương trình vi phân thường cấp I Sự tồn tại: Ta chứng minh phép lặp Picard hội tụ I đến nghiệm toán Cauchy Trước tiên ta chứng minh, qui nạp − x0 |k+1 , (k + 1)! k |x |yk+1(x) − yk (x)| ≤ ML  với x ∈ I  Với k = 0, bất đẳng thức  xx f (t, yk−1(t))dt ≤ M |x − x0|, baát đẳng thức Giả sử ta có điều với k − 1, với x0 ≤ x ≤ x0 + h ta coù 
x    |yk+1 (x) − yk (x)| =  [f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))] dt
xx0
x ≤ |f (t, yk (t)) − f (t, yk−1(t))| dt ≤ L |yk (t) − yk−1 (t)| dt x0 x0
x ≤L |yk (t) − yk−1(t)| dt x0 ≤ ML k
x x0 k+1 |x − x0 |k k |x − x0 | dt = ML k! (k + 1)! (với x0 − h ≤ x ≤ x0 ta đánh giá tương tự) Xét dãy hàm {yk (x)} I , ta có |yk+p (x) − yk (x)| ≤ |yk+p(x) − yk+p−1(x)| + |yk+p−1(x) − yk+p−2(x)| + · · · + |yk+1(x) − yk (x)|   (L |x − x0 |)k+1 M (L |x − x0 |)k+p +···+ ≤ L (k + p)! (k + 1)! j  (Lh) M ≤ L j! j≥k+1 (Lh)j hội tụ, nên phần dư mà xuất biểu thức cuối Chuổi số ∞ j=0 j! làm cho bé tuỳ ý k đủ lớn Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {yk (x)} hội tụ I đến hàm y(x) Để chứng minh y(x) nghiệm cần qua giới hạn đẳng thức
x yk+1(x) = y0 + f (t, yk (t))dt x0 Vì dãy hàm {yk (x)} hội tụ đều, f liên tục (đều) hình chữ nhật D nên dãy hàm {f (t, yk (t))} hội tụ I đến hàm f (t, y(t)) Do chuyển giới hạn qua dấu tích phân để đẳng thức (1.8) Vậy y(x) nghiệm toán Cauchy (1.7) 109 6.2 Nghiệm phương trình vi phân dạng chuỗi luỹ thừa Nó có điểm kỳ dị qui ±1 ∞ Ta tìm nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa y= ∞  an xn n=0 Tính đạo hàm y
y

thay vào phương trình (6.8) ta được: (2a2 + α2 a0 ) + [(α2 − 1)a1 + 6a3 ]x+ 2 n + ∞ n=2 [(n + 2)(n + 1)an+2 + (α − n )an ]x = Cân hệ số luỹ thừa x ta được: 2a2 + α2 a0 = 0, (α2 − 1)a1 + 6a3 = an+2 = n2 − α2 an (n + 1)(n + 2) Ví dụ: Giải phương trình Chebyshev với α = Giả sử nghiệm có dạng y = có: a0 tuỳ ý , a1 tuỳ ý , ∞ n=0 an xn Áp dụng công thức với α = 1, ta [(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1) a0 a2 = − a0 , , a2n = (2n)! a3 = 0, , a2n+1 = Ta coù [(2n − 2)2 − 1][(2n − 4)2 − 1] · · · (−1) (n − 3/2) · · · (1/2)(−1/2) = = (2n)! n! = (1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1) (−1)n n! Do nghiệm tổng quát + y = a1 x + a0 + ∞  (1/2)(−1/2)(−3/2) · · · (1/2 − n + 1) n! n=1 Hay √ y = a1 x + a0 − x2 , (−1)n x2n a0, a1 số tuỳ ý Nhận xét: Nghiệm tổng quát phương trình Chebyshev viết dạng y = a0 cos(α arcsin x) + a1 sin(α arcsin x) α 110 Chương Nghiệm chuỗi phương trình vi phân Và thực phép arcsin x = π − arccos x ta viết lại y = C1 cos(α arccos x) + C2 sin(α arccos x) √ = C1 Tα (x) + C2 − x2 Uα−1 (x) Trong trường hợp α = n ∈ N, Tn Un đa thức, gọi đa thức Chebyshev loại I loại II tương ứng 6.3 Khai triển tiệm cận nghiệm Trong mục ta xét dáng điệu nghiệm lân cận điểm kỳ dị không qui Như lưu ý mục trước, chuỗi luỹ thừa lân cận điểm không hội tụ, nói chung lại khai triển tiệm cận nghiệm thực phương trình xét 6.3.1 Sơ lược khai triển tiệm cận Cho trước hàm số f (x), g(x) xác định lân cận x0 Ký hiệu f = o(g), x → x0 mà để diễn tả “f bé nhiều so với g x dần đến x0 ”, lim x→x0 Trong đó, ký hieäu f (x) =0 g(x) f (x) ∼ g(x), x → x0 để diễn tả “f tiệm cận với g x dần đến x0 ” f − g = o(g), tương đương, lim x→x0 x → x0 f (x) =1 g(x) ∞ Định nghóa 6.3.1 Chuỗi luỹ thừa (hình thức) với hàm f (x) x dần đến x0, viết f (x) ∼ ∞  an (x − x0 )n n=0 an (x − x0 )n gọi tiệm cận (x → x0 ) n=0 với số tự nhiên N ta có f (x) − N  n=0 an (x − x0 )n = o(x − x0 )N (x → x0 ) 111 6.3 Khai triển tiệm cận nghiệm Một định nghóa tương đương với định nghóa f (x) − N  an (x − x0 )n ∼ aM (x − x0 )M (x → x0 ) n=0 aM hệ số khác không sau aN Nhận xét: Một chuỗi luỹ thừa tiệm cận với hàm không thiết hội tụ Nếu hàm khai triển thành chuỗi Taylor hội tụ khai triển tiệm cận hàm Ngoài ra, trường hợp hội tụ, tổng không thiết trùng với hàm số Ta lưu ý rằng, hệ số chuỗi tiệm cận xác định cách nhờ công thức sau a0 = limx→x0 f (x) f (x) − a0 a1 = limx→x0 x − x0 −1 n f (x) − N n=0 an (x − x0 ) aN = limx→x0 (x − x0 )N Mệnh đề 6.3.1 (Các phép toán) Cho trước f (x) ∼ ∞  an (x − x0 )n (x → x0 ) bn (x − x0 )n (x → x0 ) n=0 g(x) ∼ ∞  n=0 Khi αf (x) + βg(x) ∼ ∞  (αan + βbn )(x − x0 )n n=0 ∞  f (x)g(x) ∼ cn (x − x0 )n (x → x0 ) (x → x0 ) n=0 f (x) ∼ g(x) cn = n k=0 ak bn−k ∞  dn (x − x0 )n (x → x0 ) n=0 b0 = a0 d0 = b0 dn = an − n−1 k=0 dk bn−k b0 6.3.2 Daùng điệu tiệm cận nghiệm gần điểm kỳ dị không qui Xét phương trình vi phân tuyến tính nhaát caáp II y

+ p(x)y
+ q(x)y = (6.9) 112 Chương Nghiệm chuỗi phương trình vi phân Trong lân cận điểm kỳ dị, nói chung ta tìm nghiệm tiệm cận phương trình cho dạng chuỗi luỹ thừa Nhưng nói chung, ta thu chuỗi phân kỳ thân chuỗi tiệm cận không cho ta thông tin dáng điệu nghiệm thực lân cận điểm Để tìm dáng điệu tiệm cận nghiệm ta tìm số hạng mà “trội hơn” số hạng khác biểu thức tiệm cận Ta gọi thành phần làm thay đổi dáng điệu tiệm cận nhanh “nhân tử điều khiển” Vì hàm mũ thay đổi dáng điệu nhanh nhất, nên ta thay (theo Green, Liouville (1837)) nghiệm y(x) y(x) = eS(x) vào phương trình (6.9) (6.10) S

+ (S
)2 + p(x)S
+ q(x) = Đây phương trình nói chung không đơn giản phương trình (6.9) Tuy nhiên, lân cận điểm kỳ dị không qui x0 ta có đánh giá S

0, n ∈ N a>0 s>a cos(at) s s2 +a2 s>0 sin(at) a s2 +a2 s>0 cosh(at) s s2 −a2 s > |a| sinh(at) a s2 −a2 s > |a| eat cos(bt) s−a (s−a)2 +b2 s>a eat sin(bt) b (s−a)2 +b2 s>a A.2 Giải phương trình vi phân phép biến đổi Laplace: Để giải phương trình vi phân (nhất phương trình vi phân tuyến tính) cách dùng biến đổi Laplace ta tiến hành theo bước sau 120 Phụ lục A Biến đổi Laplace phương trình vi phân • Biến đổi Laplace hai vế phương trình, ta thu phương trình (vi phân) theo Y (s) := L {y} (s) • Giải phương trình để tìm Y (s) • Trở nghiệm ban đầu phép biến đổi Laplace ngược y(x) := L−1 {Y } (x) Ví dụ: Giải toán Cauchy sau đây: y

− y
− 2y = 0, y(0) = 1, y
(0) = Biến đổi Laplace hai vế, ta thu được: L {y

} − L {y
} − 2L {y} = hay tương tương s2 Y − sy(0) − y
(0) − [sY − y(0)] − 2Y = Giải phương trình với điều kiện ban đầu, ta thu Y (s) = s−1 1 = + s2 − s − 3s−2 3s+1 Dùng phép biển đổi Laplace ngược ta thu lời giải y(x) = e2t + e−t 3 Ví dụ: Giải toán Cauchy y

+ y = sin(2x), với y(0) = 2, y
(0) = Thực biến đổi Laplace hai vế, ta thu s2 Y (s) − sy(0) − y
(0) + Y = s2 +4 Thay điều kiện ban đầu vào biểu thức giải tìm Y (s), ta Y (s) = 2s (2s + 1)(s2 + 4) + = + − 2 (s + 4)(s + 1) s +1 3s +1 3s +4 Qua phép biến đổi ngược ta thu Y (s) = cos t + sin t − sin(2t) 3 121 A.2 Giải phương trình vi phân phép biến đổi Laplace: Biến đổi Laplace hàm Heaviside: Hàm Heaviside có bước nhảy x = c hàm định nghóa  neáu x < Hc (x) = x ≥ c Biến đổi Laplace hàm Heaviside laø
L {Hc (t)} = ∞ −st e
∞ Hc (t)dt = e−st dt = c e−sc (s > 0) s Ngoài ta có biến đổi Laplace tích hàm với haøm Heaviside:
∞ L {Hc (t)f (t − c)} = e−st f (t − c)dt = e−sc L {f (t)} c Tương tự ta có L ect f (t) =
∞ e−st ect f (t)dt = F (s − c) F (s) biến đổi Laplace f (t) L−1 {F (s − c)} = ect f (t) Ví dụ: Giải toán y

+ 4y = g(t) với y(0) = y
(0) =      t−5     neáu neáu neáu t Dễ thấy ∞ −∞ 2a neáu |t| > a neáu |t| ≤ a ga (t)dt = với a > Khi δ(t) := lim ga (t) a→0+ Biến đổi Laplace δ(t) laø L {δ(t − t0 )} =
∞ e−st δ(t − t0 )dt = e−st0 A.2 Giaûi phương trình vi phân phép biến đổi Laplace: 123