Nghiệm không âm củ phương trình vi phân hàm bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: NGHIỆM KHƠNG ÂM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 MỞ ĐẦU Đưa mối liên hệ số cực điểm hàm phân hình trường số phức số không điểm đa thức vi phân hàm phân hình Đưa quan hệ số khuyết đa thức vi phân hàm phân hình số phức hữu hạn với chặn 365 Xem xét phân bố giá trị số dạng đa thức vi phân hàm phân hình Đưa đặc trưng hàm phân hình chung hàm phân hình nhỏ tính bội khơng tính bội Đưa điều kiện bậc đa thức số nghiệm bội đạo hàm đa thức để từ kết luận tính hàm phân hình trường hợp đa thức vi phân hàm phân hình chung hàm nhỏ Biểu diễn ∆(R) tính chất Bổ đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)}; (2) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R); (3) ∆(R) vành vành R; (4) ∆(R) iđêan R ∆(R) = J(R); Y Y (5) Với họ vành Ri , i ∈ I , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) u thuộc U (R), r + u ∈ U (R) ru−1 + ∈ U (R) u−1 r + ∈ U (R) (2) Ta có ruu′ + ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R) r ∈ ∆(R), suy ru ∈ ∆(R) Tương tự ur ∈ ∆(R) (3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆(R) nhóm với phép cộng R Hơn rs = r(s + 1) − r ∈ ∆(R) r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2) (4) Rõ ràng J(R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) iđêan R r ∈ R Khi rx + ∈ U (R), với x thuộc ∆(R) suy ∆(R) ⊆ J(R) hay ∆(R) = J(R) Chiều ngược Y Y lại hiển nhiên Y Y Y (5) Lấy ri ∈ ∆( Ri ) Khi ri + U ( Ri ) ⊆ U ( Ri ) Vì Y U( i∈IY Ri ) = i∈I U (Ri )) ⊆ i∈I U (Ri ) nên i∈I Y Y ri + i∈I Yi∈I i∈I Y i∈I i∈I U (Ri ) ⊆ U (Ri ) hay U (Ri ), suy ri +U (Ri ) ⊆ U (Ri ), ∀i ∈ I nên i∈I i∈IY Y i∈I ri ∈ (ri + Yi∈I ∆(Ri ) i∈I Chiều ngược lại tương tự Cho e phần tử lũy đẳng vành R Khi phần tử − 2e khả nghịch R Từ Bổ đề (2) ta suy hệ sau Hệ Cho R vành (1) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy linh; (2) Nếu ∈ U (R), ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy đẳng Định lý Cho R vành có đơn vị T vành R sinh U (R) Khi (1) ∆(R) = J(T ) ∆(S) = ∆(R), với S vành tùy ý R thỏa mãn T ⊆ S ; (2) ∆(R) Jacobson lớn chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Chứng minh (1) T vành sinh U (R) nên phần tử T viết thành tổng hữu hạn phần tử khả nghịch R Do đó, theo Bổ đề (2) suy ∆(T ) iđêan T Theo Bổ đề (4) suy ∆(T ) = J(T ) Hơn ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J(T ) Nếu r ∈ ∆(R), r + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa r biểu diễn thành tổng hai phần tử khả nghịch Do r ∈ T , suy ∆(R) ⊆ T Giả sử S vành R thỏa mãn T ⊆ S Khi U (S) = U (R), ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} = S ∩ ∆(R) = ∆(R), ∆(R) ⊆ T ⊆ S (2) Theo (1), ∆(R) Jacobson R theo Bổ đề (2) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch trái phải R Bây giờ, ta giả sử S Jacobson chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Ta phải S ⊆ ∆(R) Thật vậy, s ∈ S u ∈ U (R), su ∈ S = J(S) Do su tựa khả nghịch S nên + su ∈ U (R) Theo Bổ đề (1) s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R) Từ đặt trưng ∆(R) Định lý 21 (2) ta có hệ sau Hệ Giả sử R vành mà phần tử biểu diễn thành tổng phần tử khả nghịch Khi ∆(R) = J(R) Định lý cổ điển Amitsur nói Jacobson F -đại số R trường F lũy linh, với điều kiện dimF R < |F | Áp dụng Định lý 21 (1) ta thu hệ sau Hệ Giả sử R vành đại số trường F Nếu dimF R < |F |, ∆(R) vành lũy linh Cho R vành không thiết phải có đơn vị S vành R, ta ký hiệu Sˆ vành R sinh S ∪ {1} Mệnh đề Giả sử R vành có đơn vị Khi (1) Cho S vành R thỏa mãn U (S) = U (R) ∩ S Khi ∆(R) ∩ S ⊆ ∆(S); [ = U (R) ∩ ∆(R) [; (2) U (∆(R)) (3) Cho I iđêan R thỏa mãn I ⊆ J(R) Khi ∆(R/I) = ∆(R)/I Chứng minh (1) suy từ định nghĩa ∆ (2) Nếu r ∈ ∆(R), v = + r ∈ U (R) v −1 = − rv −1 ∈ [ ∩ U (R), −rv −1 ∈ ∆(R), Bổ đề ∆(R) [ ∩ U (R), r ∈ ∆(R) k ∈ Z Ta Lấy u = r + k · ∈ ∆(R) ¯ −1 = (u − k)u ¯ −1 = k¯ = k · ∈ U (R) Ta có u − k¯ = r ∈ ∆(R), − ku ¯ −1 = − (1 − ku ¯ −1 ) ∈ U (R), suy ru−1 ∈ ∆(R) theo Bổ đề (2) Khi ku k¯ ∈ U (R) Vì ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch nên ta áp dụng phần chứng minh v = uk¯−1 = + rk¯−1 [ , nghĩa u−1 k¯ = s + ¯l, với s ∈ ∆(R) l ∈ Z Suy u−1 k¯ = v −1 ∈ ∆(R) [ , U (R) ∩ ∆(R) [ ⊆ U (∆(R)) [ sk¯−1 ∈ ∆(R), u−1 = sk¯−1 + k¯−1 ¯l ∈ ∆(R) [ ⊆ U (R) ∩ ∆(R) [ dễ thấy Chiều ngược lại U (∆(R)) ¯ = (3) Ta ký hiệu ¯ phép chiếu từ R lên R/I Lưu ý, I ⊆ J(R), U (R) U (R) ¯ u ∈ U (R) Khi r¯ + u¯ ∈ U (R) ¯ có phần tử Lấy r¯ ∈ ∆(R) v ∈ U (R) j ∈ I thỏa mãn r + u = v + j Hơn v + j ∈ U (R), ¯ = U (R) nên chiều ngược lại ¯ = ∆(R) Vì U (R) I ⊆ J(R) Suy ∆(R) dễ thấy Áp dụng mệnh đề ta có hệ sau [ = ∆(R), nghĩa ∆ Hệ Cho R vành có đơn vị, ∆(∆(R)) tốn tử đóng [ , ∆(R) ⊆ T Chứng minh ∆(R) Jacobson T = ∆(R) Vì ∆(R) chứa tất phần tử lũy linh nên T /∆(R) đẳng cấu với Z Zn := Z/nZ, với n > nhân tử bình phương Theo Mệnh đề 25 (3) Hệ 21 ta có ∆(T )/∆(R) = ∆(T /∆(R)) = J(T /∆(R)) = hay ∆(T ) = ∆(R) Từ Mệnh đề 25 (1), áp dụng cho S = Z(R) tâm R, ta có hệ sau Hệ ∆(R) ∩ Z(R) ⊆ ∆(Z(R)) Ký hiệu ( R[[x]] = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · |ai ∈ R} = ∞ X ) xi |ai ∈ R i=0 Mỗi phần tử f ∈ R[[x]], f = ∞ X xi với x0 = gọi chuỗi lũy i=0 thừa hình thức biến x với hệ tử thuộc R Ta định nghĩa phép cộng ∞ ∞ X X i phép nhân, lấy f, g ∈ R[[x]], f = x , g = bi xi Ta định i=0 i=0 nghĩa f = g = bi với i = 0, 1, ! ∞ ∞ i X X X (ai + bi )xi , f g = f +g = i=0 ai−j bj i=0 xi j=0 Với phép toán R[[x]] vành giao hốn có đơn vị Cho vành R, ký hiệu Tn (R) tập tất ma trận tam giác cấp n vành R, Jn (R) iđêan Tn (R) bao gồm tất ma trận tam giác cấp n thực Dn (R) vành ma trận đường chéo cấp n Từ Mệnh đề 25 (3) ta suy trực tiếp hệ sau Hệ Cho R vành tùy ý Khi đó, khẳng định sau (1) ∆(Tn (R)) = Dn (∆(R)) + Jn (R); (2) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ); (3) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Hệ Cho R vành Khi đó, ∆(R) = J(R) ∆(R/J(R)) = Một vành R có hạng ổn định a, x, b ∈ R thỏa mãn ax + b = 1, tồn y ∈ R cho a + by khả nghịch R Định lý sau vài lớp vành mà ∆(R) = J(R) Định lý ∆(R) = J(R) R thỏa mãn điều kiện sau (1) R/J(R) đẳng cấu với tích vành ma trận thể (2) R vành nửa địa phương (3) R vành clean thỏa mãn ∈ U (R) (4) R U J -vành, nghĩa U (R) = + J(R) (5) R có hạng ổn định (6) R = F G nhóm đại số trường F Chứng minh (1) Giả sử R đẳng cấu với tích vành ma trận thể Theo Hệ 26 ta cần ∆(R/J(R)) = Để làm điều này, ta giả sử J(R) = 0, nghĩa R tích vành ma trận thể Nếu R vành ma trận Mn (S), với S vành chứa đơn vị n ≥ Theo Định lý ??, phần tử R tổng ba phần tử khả nghịch, theo Hệ 21 ∆(R) = J(R) = Khi S thể rõ ràng ∆(S) = Do (1) suy trực tiếp từ Bổ đề (5) (2) Là trường hợp đặc biệt (1) (3) Giả sử R vành clean  thỏa mãn ∈U (R) Nếu e ∈ R lũy đẳng 1 − (1 − 2e) tổng hai phần tử khả 2 nghịch Điều có nghĩa phần tử R tổng ba phần tử khả nghịch Theo Hệ 21 ta suy ∆(R) = J(R) (4) Giả sử U (R) = 1+U (R) Giả sử R U J -vành Khi đó, r ∈ ∆(R) ta có r + U (R) ⊆ U (R), nghĩa r + + J(R) ⊆ + J(R) Suy r ∈ J(R) ∆(R) = J(R) (5) Giả sử R có hạng ổn định Lấy r ∈ ∆(R), ta r ∈ J(R) Với s ∈ R ta có Rr +R(1−rs) = R Vì R có hạng ổn định nên tồn − 2e ∈ U (R) e = x ∈ R cho r + x(1 − sr) ∈ U (R), suy x(1 − sr) ∈ r + U (R) ⊆ U (R), (1 − sr) khả nghịch hay r ∈ J(R) (6) Giả sử R = F G nhóm đại số trường F Khi đó, phần tử R tổng phần tử khả nghịch Theo Hệ 21 ta suy ∆(R) = J(R) Ta biết vành nửa địa phương có hạng ổn định 1, điều kiện (2) (5) tương đương Bổ đề Giả sử G nhóm nhóm R phép tốn cộng Khi G đóng với phép nhân phần tử khả nghịch đóng với phép nhân phần tử tựa khả nghịch R Chứng minh Lấy r ∈ R G nhóm cộng, rG ⊆ G (1 − r)G ⊆ G Định lý Giả sử R vành có đơn vị G nhóm phép cộng R Khi điều kiện sau tương đương (1) G = ∆(R); (2) G Jacobson lớn đóng với phép nhân phần tử tựa khả nghịch R; (3) G nhóm lớn R phép cộng bao gồm phần tử tựa khả nghịch đóng với phép nhân phần tử tựa khả nghịch R Chứng minh Theo Định lý 21 (2) Bổ đề 10 ∆(R) Jacobson R đóng với phép nhân phần tử tựa khả nghịch Giả sử G nhóm cộng bao gồm phần tử tựa khả nghịch đóng với phép nhân phần tử tựa khả nghịch R Cụ thể, G Jacobson không chứa đơn vị R, theo Bổ đề 10, G đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Do theo Định lý 21 (2) ta G ⊆ ∆(R) Nhóm quaternion suy rộng Mệnh đề Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ H nhóm Q4n Khi (i) Nếu H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n  n+k   k | n, 2n Pr(H, Q4n ) =   2n + k k ∤ n 4n (ii) Nếu H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n, ⩽ j ⩽ i − Pr(H, Q4n ) = n+i+2 4n Chứng minh (i) Giả sử H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n Theo Mệnh đề ?? ta có |Rk | = Do Rk = ⟨rk ⟩ = 2n 2n = (2n, k) k 66 20 ĐỊNH LÍ FUBINI Định lý 24 (G.Fubini - L.Tonelli) Cho F : R2n → [0, ∞] hàm đo (đối với M2n ) Khi (i) Hàm Rn ∋ y 7→ F (x, y) đo (đối với Mn ) với Ln hầu khắp nơi x ∈ Rn (ii) Hàm Z n R ∋ x 7→ F (x, y)dy Rn đo (đối với Mn ) (ii) F (x, y)dy dx F (x, y)dxdy = R2n Rn  Z Z Z Rn F (x, y)dx dy =  Z Z Rn Rn Bổ đề 15 Cho f ∈ C0 (Rn ) Khi ϱ ∗ f → f tập compact Rn Chứng minh Cho K ⊂ Rn tập compact cho K ′ := K + B(0, 1) Theo tính liên tục f tập compact K ′ , ∀ϵ > tồn < δ = δ(ϵ, K ′ ) < thỏa mãn |f (x − y) − f (x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ) (1) 67 Mặt khác, h ∈ N thỏa 1/h < δ x ∈ K , theo (??), Z |(f ∗ ϱh )(x) − f (x)| = f (x − y)ϱh (y)dy − f (x) n ZR Z =