Điểm bất động của ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Các nguyên lý tập có thứ tự (như bổ đề Zorn dạng tương đương nó, ) có nhiều ứng dụng lý thuyết tập hợp, Đại số, Giải tích Ngay vấn đề nghiên cứu không liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho trình bày vấn đề trở nên rõ ràng ngắn gọn (ví dụ chứng minh định lí Caristi trình bày luận văn) Trong giải tích ta thường gặp phương trình với tốn tử khơng liên tục khơng compăc việc chứng minh tồn nghiệm chúng nhờ phương pháp tôpô (như phương pháp điểm bất động , phương pháp biến phân, ) gặp khó khăn Để khắc phục ta buộc phải khai thác tính chất khác tốn tính chất đại số tính chất liên quan đến thứ tự, 905 2 ĐỊNH LÝ LAGRANGE Định lý (Định lý Lagrange) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho: f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a Chứng minh Xét hàm số   f (b) − f (a) g(x) = f (x) − (x − a) + f (a) b−a Do hàm số f (x) x − a liên tục đoạn [a, b], khả vi khoảng (a, b) nên hàm số g(x) liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) Mặt khác g(a) = g(b) = Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (a, b) cho g ′ (c) = Nhưng ta có g ′ (x) = f ′ (x) − f (b) − f (a) b−a Suy f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a Ta có điều phải chứng minh Ý nghĩa hình học định lý Lagrange Cho C đường cong trơn với hai đầu mút A, B Khi C tồn điểm mà tiếp tuyến C điểm song song với AB Nhận xét Thơng qua cách chứng minh định lý Lagrange hệ định lý Rolle Tuy nhiên định lý Rolle lại trường hợp riêng định lý Lagrange giá trị hai đầu mút (tức f (a) = f (b)) Sau ta trình bày cơng thức Lagrange dạng khác Giả sử ξ ∈ (a, b) Đặt θ = ξ−a Khi đó: b−a ξ = a + θ(b − a) 0