Tính chất tiệm cận của lũy thừa các ideal

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Lê Minh Thuận TÍNH CHẤT TIỆM CẬN CỦA LŨY THỪA CÁC IDEAL LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC Hà Nội – 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Minh Thuận TÍNH CHẤT TIỆM CẬN CỦA LŨY THỪA CÁC IDEAL Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Đăng Hợp Hà Nội - 2023 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Đăng Hợp Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2023 Học viên Lê Minh Thuận ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Đăng Hợp, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên suốt q trình học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện trình học tập, nghiên cứu để thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2023 Học viên Lê Minh Thuận iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Dãy quy 1.3 Hàm độ sâu 1.4 Chiều Krull 1.5 Vành Cohen-Macaulay 12 1.6 Bổ đề Artin-Rees 14 Tính chất tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu lũy thừa iđêan 19 2.1 Sự ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết 19 2.2 Sự ổn định tiệm cận hàm độ sâu 23 2.3 Ví dụ 25 Hàm độ sâu tổng iđêan 3.1 Tổng iđêan 29 29 iv 3.2 Hàm độ sâu tổng iđêan 30 3.3 Ví dụ 45 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Mở đầu Nghiên cứu lũy thừa iđêan vấn đề quan trọng Đại số giao hoán, có mối liên hệ chặt chẽ với Hình học Đại số, Lý thuyết kì dị Đại số tổ hợp Vấn đề bắt đầu nghiên cứu Hilbert Samuel Ở nghiên cứu tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu lũy thừa iđêan Cho R vành đa thức phân bậc chuẩn trường k , I iđêan vành R, M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Luận văn tập trung vào tính chất R–mơđun R/I n M/I n M với n số nguyên dương đủ lớn Chúng tơi trình bày lại kết kinh điển Brodmann [1, 2] ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu M/I n M (tương tự với R/I n ) Một vấn đề hàm độ sâu lũy thừa iđêan sau Cho A B vành đa thức phân bậc chuẩn trường k , I, J iđêan khác 0, vành A, B Đặt R = A ⊗k B I + J biểu thị IR + JR, iđêan vành R Vấn đề đặt ước lượng bất biến I + J theo bất biến tương ứng I J Chúng xin giới thiệu cơng trình gần Hà Huy Tài, Ngô Việt Trung, Trần Nam Trung [3] hàm độ sâu lũy thừa I + J Nói riêng, cơng trình cho phép xác định giá trị giới hạn depth(R/(I + J)n ) với n đủ lớn Các kết luận văn kèm với số ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn gồm chương Trong chương 1, nhắc lại số kiến thức iđêan nguyên tố liên kết Tiếp theo chương nhắc lại định nghĩa số kết thông dụng dãy quy hàm độ sâu Ngồi chương trình bày số kết chiều Krull, vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees Trong chương 2, chứng minh ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(M/I n ) với n đủ lớn, từ ổn định hàm độ sâu depth(M/I n M ) Một số ví dụ đưa để minh họa cho kết Trong chương 3, chúng tơi trình bày lại chứng minh số kết giá trị giới hạn depth(R/(I + J)n ) với n đủ lớn Kết thúc chương ví dụ minh họa cho kết Cơng cụ chứng minh luận văn đại số Rees Rees(I) = R ⊕ It ⊕ I t2 ⊕ , cụ thể tính Noether tính phân bậc chuẩn Ngồi ra, chúng tơi khai thác bổ đề độ sâu (Depth lemma) cho biết tính chất hàm độ sâu dãy khớp ngắn Cuối cùng, sử dụng tính khớp tích tenxơ trường Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm, tính chất iđêan nguyên tố liên kết, dãy quy hàm độ sâu mơđun Ngồi chúng tơi nhắc lại số kiến thức sở chiều Krull vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees trình bày phần Tài liệu tham khảo phần Bruns-Herzog [4] Matsumura [5] 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hốn, M R-mơđun Một iđêan ngun tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử a ∈ M , a ̸= cho p = (0 :R a) = annR (a) Tập iđêan ngun tố liên kết R-mơđun M kí hiệu AssR M Ví dụ 1.1.2 a) Xét Z/60Z Z-môđun Dễ thấy AssZ Z/60Z = {2Z, 3Z, 5Z} b) Xét R = R[x], M = R Khi AssR M = {0} Hệ sau suy trực tiếp từ định nghĩa Hệ 1.1.3 Nếu N R-môđun M AssR N ⊆ AssR M Với M R-môđun, ta định nghĩa Ann M = {x ∈ R : xm = ∀m ∈ M }, Supp M = {p ∈ Spec R : Mp ̸= 0} Bổ đề 1.1.4 Ass M ⊆ Supp M Chứng minh Với p ∈ Ass M , ta có p = annR (x) với x ∈ M \ {0} Khi x Mp ̸= phần tử ̸= 0, p ∈ Supp M Định lý 1.1.5 ([6, Chương 4, Mệnh đề 2.23]) Cho M R-mơđun Khi a) Nếu M = AssR M = ∅ b) Nếu M ̸= R vành Noether AssR M ̸= ∅ c) Nếu p iđêan nguyên tố vành R AssR R/p = {p} Chứng minh a) Hiển nhiên b) Xét tập hợp Σ = {annR (x) : x ∈ M \ {0}} họ iđêan R Do R vành Noether, Σ tồn phần tử cực đại I = annR (x0 ) Hiển nhiên I ̸= R Ta chứng minh I iđêan nguyên tố 33 Chú ý R/Q0 = R/I n , ta có depth R/Q0 = depth A/I n + s ≥ depth A/I n + depth B/J Theo Bổ đề 3.2.2, Qi /Qi−1 ∼ = I n−i J i /I n−i+1 J i Ta có dãy khớp → Qi /Qi−1 → R/I n−i+1 J i → R/I n−i J i → Do depth Qi /Qi−1 ≥ min{depth R/I n−i J i + 1, depth R/I n−i+1 J i } Với i = 1, 2, , n − 1, áp dụng Bổ đề 3.2.3, ta suy depth Qi /Qi−1 − ≥ min{depth A/I n−i + depth B/J i + 1, depth A/I n−i+1 + depth B/J i } Với i = n, ý depth R/J n = r +depth B/J n ≥ depth A/I +depth B/J n +1 = depth R/IJ n Suy depth Qn /Qn−1 − ≥ depth R/IJ n − = depth A/I + depth B/J n Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo đến với kết cần thiết tích tenxơ hai mơđun trường Bổ đề 3.2.7 Cho A, B hai vành đa thức trường k , đặt R = A ⊗k B 34 Cho M, N hai môđun phân bậc hữu hạn sinh A, B Khi depth(M ⊗k N ) = depth M + depth N Chứng minh Gọi m, n tương ứng iđêan phân bậc cực đại A, B Ta chứng minh cách quy nạp theo depth M + depth N Trước tiên, giả sử depth M = depth N = 0, ta depth(M ⊗k N ) = Do depth M = 0, m ∈ Ass M , tức tồn a ∈ M \{0} cho a = annA a Tương tự ta có n = annB b với phần tử b ∈ N \ {0} Khi mT + nT ⊆ annT (a ⊗k b) Vì k trường, a, b ̸= nên suy a ⊗k b ̸= ∈ M ⊗k N Như depth(M ⊗k N ) = Giả sử kết luận với depth M + depth N ≤ s − 1, với s ≥ Xét trường hợp depth M + depth N = s Ta giả sử depth M ≥ 1, tồn phần tử x ∈ m, cho x phần tử M -chính quy Ta có dãy khớp ·x 0→M − → M → M/xM → Dựa vào tính phẳng A ⊗k N A, ta thu dãy khớp → M ⊗k N → M ⊗k N → M/xM ⊗k N → Như x phần tử M ⊗k N -chính quy Bên cạnh ta có (M ⊗k N )/x(M ⊗k N ) ∼ = (M/xM ) ⊗k N Lại có depth(M/xM ) + depth N = depth M + depth N − = s − 35 Theo giả thiết quy nạp, ta có depth((M/xM ) ⊗k N ) = s − depth(M ⊗k N )/x(M ⊗k N ) = depth((M/xM ) ⊗k N ), depth(M ⊗k N ) − = s − 1, depth(M ⊗k N ) = s = depth M + depth N Vậy depth(M ⊗k N ) = depth M + depth N Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày mối liên hệ hàm độ sâu (I + J)n /(I + J)n+1 với hàm độ sâu hạng tử I, J Các kết đóng vai trị quan trọng việc giá trị tới hạn hàm độ sâu R/(I + J)n Bổ đề 3.2.8 I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ∼ = I i J j /(I i+1 J j + I i J j+1 ) Trước chứng minh Bổ đề 3.2.8, đến với bổ đề sau Bổ đề 3.2.9 Cho M, P, N k -mơđun, N ⊆ P , ta có M ⊗k Chứng minh Xét dãy khớp 0→N →P → P → N Do M k -môđun tự do, ta có dãy khớp → M ⊗k N → M ⊗k P → M ⊗k Từ ta có M ⊗k P ∼ M ⊗k P = N M ⊗k N P → N P ∼ M ⊗k P = N M ⊗k N 36 Chứng minh Bổ đề 3.2.8 Áp dụng Bổ đề 3.2.9, ta có i I /I i+1 j ⊗k J /J j+1 I i /I i+1 ⊗k J j ∼ (I i ⊗k J j )/(I i+1 ⊗k J j ) ∼ = i i+1 = i I /I ⊗k J j+1 (I ⊗k J j+1 )/(I i+1 ⊗k J j+1 ) (I i J j )/(I i+1 J j ) ∼ = i j+1 (I J )/(I i+1 J j+1 ) Mặt khác ta có (I i J j+1 )/(I i+1 J j+1 ) = (I i J j+1 )/(I i J j+1 ∩ I i+1 J j ) ∼ = (I i J j+1 + I i+1 J j )/(I i+1 J j ) Do i I /I i+1 j ⊗k J /J j+1 ∼ = I iJ j (I i J j )/(I i+1 J j ) ∼ = (I i J j+1 + I i+1 J j )/(I i+1 J j ) I i J j+1 + I i+1 J j Vậy chứng minh kết thúc n n+1 Mệnh đề 3.2.10 (I + J) /(I + J) ∼ = M (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) i+j=n n Chứng minh Ta có (I + J) = n X I i J n−i Ta với ≤ i ≤ n i=0 I i J n−i \ X
I j J n−j + (I + J)n+1 ⊆ (I + J)n+1 (3.1) 0≤j≤n,j̸=i Chú ý (I + J)n+1 ⊆ I i+1 + J n−i+1 Hơn J n−j ⊆ J n−i+1 , I t ⊆ I i+1 37 j < i < t, i n−i IJ \ X I j J n−j + (I + J)n+1
0≤j≤n,j̸=i =I i J n−i \   X X  I j J n−j + I j J n−j + (I + J)n+1  ji (I i+1 + J n−i+1 ) (3.2) Chú ý với ba iđêan I1 , I2 , I3 vành R I1 ∩ (I2 + I3 ) ⊆ (I2 ∩ (I1 + I3 )) + (I3 ∩ (I1 + I2 )) Với I1 = I i J n−i , I2 = I i+1 , I3 = J n−i+1 , dễ thấy I1 + I3 ⊆ J n−i , I1 + I2 ⊆ I i Như I i J n−i \ (I i+1 + J n−i+1 ) ⊆ I i+1 ∩ J n−i + J n−i+1 ∩ I i = I i+1 J n−i + I i J n−i+1 (3.3) Chú ý I i J n−i ∩ (I + J)n+1 = I i+1 J n−i + I i J n−i+1 (3.4) 38 Kết hợp (3.2), (3.3) (3.4), ta chứng minh (3.1) Do n n+1 (I + J) /(I + J) M I i J n−i + (I + J)n+1 M I i J n−i ∼ = = n+1 (I + J) I i J n−i ∩ (I + J)n+1 i+j=n i+j=n M I i J n−i ∼ = (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) = i+1 j i i+1 I J +I J i+j=n i+j=n M Bổ đề 3.2.11 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M1 , , Mn R-môđun hữu hạn sinh Ta có depth n M Mi = min{depth Mi : ≤ i ≤ n} i=1 Chứng minh Ta cần chứng minh bổ đề với n = 2, tức depth(M1 ⊕ M2 ) = min{depth M1 , depth M2 } Khơng tính tổng qt, ta giả sử depth M1 ≤ depth M2 Xét dãy khớp → M1 → M1 ⊕ M2 → M2 → Từ dãy khớp ta có depth(M1 ⊕ M2 ) ≥ min{depth M1 , depth M2 } = depth M1 depth(M1 ) ≥ min{depth(M1 ⊕ M2 ), depth M2 + 1} Nếu depth(M1 ⊕ M2 ) ≥ depth M2 + 1, ta suy depth M1 ≥ depth M2 + > depth M2 , 39 trái với giả sử depth M1 ≤ depth M2 Do min{depth(M1 ⊕ M2 ), depth M2 + 1} = depth(M1 ⊕ M2 ), hay depth M1 ≥ depth(M1 ⊕ M2 ) Từ suy depth(M1 ⊕ M2 ) = depth M1 Định lý 3.2.12 Với n ≥ 1, ta có depth(I + J)n /(I + J)n+1 = {depth I i /I i+1 + depth J j /J j+1 } i+j=n Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.10, ta có n n+1 depth(I + J) /(I + J) = depth M (I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 ) i+j=n = {depth(I i /I i+1 ⊗k J j /J j+1 )} i+j=n = {depth I i /I i+1 + depth J j /J j+1 } i+j=n Đẳng thức cuối suy từ Bổ đề 3.2.7 Chúng tơi xin trình bày kết then chốt Herzog Hibi Bổ đề 3.2.13 ([9, Định lý 1.2]) Cho I iđêan R, depth I k /I k+1 , depth I k , depth R/I k số với k đủ lớn lim depth R/I k = lim depth I k − = lim depth I i−1 /I i k→∞ i→∞ k→∞ Trước chứng minh Bổ đề 3.2.13, đến với bổ đề sau Bổ đề 3.2.14 Cho UO ? l IU f f′ / / VO ? l IV g g′ / / WO ? l IW 40 biểu đồ giao hoán phức R-mơđun, I(Ker g/ Im f ) = 0, với l nguyên dương, f ′ , g ′ ánh xạ tự nhiên cảm sinh f, g Khi với l đủ lớn, ta có Ker g ′ ⊆ I Ker g Nói riêng, ánh xạ Ker g ′ / Im f ′ → Ker g/ Im f ánh xạ không với l đủ lớn Chứng minh Chọn M = V, N = Ker g Theo Bổ đề Artin-Rees (Mệnh đề 1.6.8), tồn số nguyên dương k cho với n ≥ k I n V ∩ Ker g ⊆ I n−k (I k V ∩ Ker g) Với l = n ≥ k + 1, ta có Ker g ′ ⊆ I k+1 V ∩ Ker g ⊆ I(I k V ∩ Ker g) ⊆ I Ker g Vậy Ker g ′ ⊆ I Ker g với l ≥ k + Chứng minh Bổ đề 3.2.13 Giới hạn dãy depth(R/I k ) tồn theo kết tương tự Hệ 2.2.2 cho vành phân bậc chuẩn trường Kết hợp với Bổ đề 3.2.4, suy giới hạn dãy depth(I k ) tồn Chứng minh tương tự Định lý 2.2.1, sử dụng Mệnh đề 2.1.2, ta thu kết sau: Cho S = Rees(I) đại số Rees I , E môđun phân bậc hữu hạn sinh S Khi giới hạn limk→∞ depth Ek tồn i i+1 Áp dụng kết cho trường hợp đặc biệt E = S/IS = ⊕∞ , suy i=0 I /I giới hạn limi→∞ depth I i /I i+1 tồn Tiếp theo ta chứng minh lim depth I k −1 = lim depth I k /I k+1 Đặt g(k) = k→∞ k→∞ k depth I g = lim g(k) Xét dãy khớp k→∞ → I k+1 → I k → I k /I k+1 → 41 Với k ≥ k0 , c ≥ min{g(k + 1) − 1, g(k)} Lấy giới hạn hai vế ta thu c ≥ g − Giả sử c > g − 1, n số phần tử sinh tối thiểu tập sinh m Chú ý H(x; M ) đồng điều Koszul môđun M tương ứng với dãy x = x1 , x2 , , xn (xem [4, Mục 1.6] để biết chi tiết đồng điều Koszul) Khi tồn số nguyên dương k0 thỏa mãn Hn−g (x; I k ) ̸= Hn−g+1 (x; I k /I k+1 ) = với k ≥ k0 [4, Định lý 1.6.17] Từ dãy khớp ta suy dãy khớp → Hn−g+1 (x; I k+1 ) → Hn−g+1 (x; I k ) → Hn−g+1 (x; I k /I k+1 ) → Hn−g (x; I k+1 ) → Hn−g (x; I k ) → Hn−g (x; I k /I k+1 ) → , Ta suy ánh xạ Hn−g (x; I k+1 ) → Hn−g (x; I k ) đơn ánh với k ≥ k0 Lập luận tương tự ta suy ánh xạ Hn−g (x; I l ) → Hn−g (x; I k ) đơn ánh với k ≥ k0 , l > k Từ định nghĩa phức Koszul K(x; M ), tồn R-môđun tự F, G, H cho Hn−g (x; M ) = Hn−g (K(x; M )) = H(F ⊗R M → G ⊗R M → H ⊗R M ) Hn−g (x; I l M ) = Hn−g (K(x; I l M )) = H(F ⊗R I l M → G ⊗R I l M → H ⊗R I l M ) =H(I l (F ⊗R M ) → I l (G ⊗R M ) → I l (H ⊗R M )) Theo Bổ đề 3.2.14 việc đồng điều Koszul Hi (x; M ) bị triệt tiêu iđêan (x1 , , xn ) = m (xem [4, Mệnh đề 1.6.5]), ánh xạ Hn−g (x; I l M ) → Hn−g (x; M ) ánh xạ không với l đủ lớn Với M = I k , ta suy Hn−g (x; I l ) = với l đủ lớn, mâu thuẫn Vậy c = g − Vậy bổ đề chứng minh 42 Đặt s(I) số ổn định hàm độ sâu depth I i−1 /I i , tức s(I) số nguyên m nhỏ thỏa mãn depth I i−1 /I i = depth I i /I i+1 với i ≥ m Dễ thấy depth I i−1 /I i = depth I i−1 /I i i≥1 i≤s(I) Ta có cơng thức sau cho depth(I + J)n−1 /(I + J)n n đủ lớn Mệnh đề 3.2.15 (Hà-N.V Trung-T.N Trung [3, Mệnh đề 4.2]) Với n ≥ s(I) + s(J) − 1, ta có depth(I + J)n−1 /(I + J)n = min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , i→∞ j≤s(J) depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } j→∞ i≤s(I) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.2.12, ta có depth(I + J)n−1 /(I + J)n = {depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j } i+j=n+1 Theo định nghĩa s(I), s(J), ta thấy depth I i−1 /I i = lim depth I n−1 /I n , depth J j−1 /I j = lim depth J n−1 /J n n→∞ n→∞ với i ≥ s(I), j ≥ s(J) Xét n ≥ s(I) + s(J) − i + j = n + Nếu j ≤ s(J) i ≥ s(I) = depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j    lim depth I t−1 /I t + depth J j−1 /J j j ≤ s(J) t→∞  depth I i−1 /I i + lim depth J t−1 /J t j ≥ s(J) t→∞ 43 Chú ý i ≤ n − s(J) + j ≥ s(J) depth I i−1 /I i = depth I i−1 /I i i≤n−s(J)+1 i≤s(I) n − s(J) + ≥ s(I) Do {depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j } = i+j=n+1 min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , i→∞ j≤s(J) depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } j→∞ i≤s(I) Hệ 3.2.16 s(I + J) ≤ s(I) + s(J) − Bổ đề 3.2.17 mini≥1 depth A/I i = mini≥1 depth I i−1 /I i Chứng minh Gọi m số nguyên dương nhỏ thỏa mãn depth(I m−1 /I m ) = depth I i−1 /I i i≥1 Với i ≥ xét dãy khớp → I i−1 /I i → A/I i → A/I i−1 → Ta có depth(A/I i ) ≥ min{depth(I i−1 /I i ), depth(A/I i−1 )} Lập luận tương tự với i − 1, , 2, 1, ta có depth(A/I i ) ≥ min{depth(I j−1 /I j )} ≥ depth(I m−1 /I m ) j≤i Nói riêng ta có depth(A/I m−1 ) ≥ depth(I m−1 /I m ) 44 depth(A/I m ) ≥ depth(I m−1 /I m ) Từ dãy khớp → I m−1 /I m → A/I m → A/I m−1 → ta có depth(I m−1 /I m ) ≥ min{depth(A/I m ), depth(A/I m−1 ) + 1}, suy depth(I m−1 /I m ) ≥ depth(A/I m ) Vậy mini≥1 depth A/I n = mini≥1 depth I i−1 /I i Nhận xét 3.2.18 Nhìn chung ta khơng có đẳng thức depth A/I i = lim depth A/I i i≥1 i→∞ Ta thấy mệnh đề khơng ta xét A = k[x, y, z], I = (x4 , x3 y, xy , y , x2 y z) (Ví dụ 2.3.5) Kết luận văn Định lý 3.2.19 (Hà-N.V Trung-T.N Trung [3, Định lý 4.6]) lim depth R/(I + J)n = n→∞ min{ lim depth A/I i + depth B/J j , depth A/I i + lim depth B/J j } i→∞ j≥1 i≥1 j→∞ Chứng minh Theo Bổ đề 3.2.13 Mệnh đề 3.2.15, ta có lim depth R/(I + J)n = lim depth(I + J)n−1 /(I + J)n = n→∞ n→∞ min{ lim depth I i−1 /I i + depth J j−1 /J j , i→∞ j≤s(J) depth I i−1 /I I + lim depth J j−1 /J j } i≤s(I) j→∞ Tiếp tục áp dụng Bổ đề 3.2.13 Bổ đề 3.2.17, thay I i−1 /I i , J j−1 /J j A/I i , B/J j , ta có điều phải chứng minh 45 3.3 Ví dụ Ví dụ 3.3.1 Xét vành đa thức A = k[x1 , x2 ], B = k[y1 , y2 , y3 ] Lần lượt A, B , xét iđêan I = (x21 , x1 x2 ), J = (y14 , y13 y2 , y1 y23 , y24 , y12 y22 y3 ) Ta có A ⊗k B ∼ = k[x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ] Iđêan I + J = (x21 , x1 x2 , y14 , y13 y2 , y1 y23 , y24 , y12 y22 y3 ) Việc tính giới hạn lim depth R/(I + J)n tính tốn giống mục 2.3 n→∞ tình thời gian Mặt khác theo mục 2.3 ta có lim depth A/I i = depth A/I i = i→∞ i≥1 lim depth B/J j = 1, depth B/J j = j→∞ j≥1 Áp dụng Định lý 3.2.19, ta có lim depth R/(I + J)n = min{0 + 0, + 1} = n→∞ 46 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề sau Giới thiệu số khái niệm, tính chất liên quan đến iđêan nguyên tố liên kết, tập AssR M , dãy quy hàm độ sâu mơđun hữu hạn sinh Bên cạnh đó, trình bày số kết quan trọng chiều Krull, vành Cohen-Macaulay Bổ đề Artin-Rees Trình bày hai định lý Brodmann (Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.1) ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết hàm độ sâu môđun thương M/I n M (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh, I ⊆ m Chú ý định lý áp dụng R đại số phân bậc chuẩn trường k , I iđêan R, M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Giới thiệu tổng hai iđêan, trình bày chặn cho hàm độ sâu R/(I + J)n theo A/I n , B/J n (Định lý 3.2.6 Hà-N.V.Trung-T.N.Trung tìm ra) Ngồi chúng tơi trình bày kết khác HàN.V.Trung-T.N Trung (Định lý 3.2.19) giá trị tới hạn depth R/(I + J)n với giá trị n đủ lớn 47 Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Cambridge Philos Soc 86 (1979), no 1, 35-39 [2] M Brodmann, Asymptotic Stability of Ass(M/I n M ), Proc Amer Math Soc Volume 74, Number I (1979), 16-18 [3] H.T Hà, N.V Trung, T.N Trung, Depth and regularity of powers of sums of ideals, Mathematische Zeitschrift 282 (3), 819-838, 2016 [4] W Bruns, J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 [5] H Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 [6] D.Q Việt, Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2013 [7] M.F Atiyah, I.G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1969 [8] L.T Hoa, N.D Tam, On some invariants of a mixed product of ideal, Archiv der Mathematik Volume 94 (2010), 327-337 [9] J Herzog, T Hibi, The depth of powers of an ideal, Journal of Algebra Volume 291, Issue (2005), 534-550