Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample) với n quan sát từ một tổng thể (population) có trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, và chúng ta không thể biết được giá trị các tham số này là bao nhiêu (unknown parameters).
Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)? Phùng Thanh Bình ptbinh@ueh.edu.vn 1 Gửi các sinh viên TĐG37! SG. 14/11/2013 Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample) với n quan sát từ một tổng thể (population) có trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, và chúng ta không thể biết được giá trị các tham sồ này là bao nhiêu (unknown parameters). Trung bình mẫu là n 1i i XX (1) X là một ước lượng của µ. Để ước lượng phương sai, chúng ta thực sự muốn tính theo công thức sau đây: n 1i 2 i )X( n 1 )X(Var (2) Tuy nhiên, chúng ta không biết µ là bao nhiêu, nên phải sử dụng ước lượng của nó là X . Vậy, ta nên chọn công thức nào sau đây? n 1i 2 i )XX( n 1 )X(Var hay n 1i 2 i )XX( 1n 1 ??? Trước hết, ta sẽ triển khai công thức tổng bình phương TSS X = n 1i 2 i )XX( . Ta có: n 1i 2 i )XX( = n 1i 2 i )XX( Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)? Phùng Thanh Bình ptbinh@ueh.edu.vn 2 = n 1i 2 i )]X()X[( = n 1i 2 i 2 i )]X()X)(X(2)X[( = n 1i 2 n 1i i 2 i )X(n)X()X(2)X( = n 1i 2 n 1i i 2 i )X(nnX)X(2)X( = n 1i 22 i )X(n)nXn)(X(2)X( = n 1i 22 i )X(n)X)(X(n2)X( = n 1i 22 i )X(n)X)(X(n2)X( = n 1i 222 i )X(n)X(n2)X( = n 1i 22 i )X(n)X( (3) Theo định nghĩa ở công thức (2), ta có: 2 n 1i 2 i n)X( (4) Ngoài ra, từ kết quả phân tích về phương sai của trung bình mẫu (xem Bài giảng 3, Ôn tập xác suất thống kê) ta có giá trị kỳ vọng của 2 )X( [tức E[ 2 )X( ] là σ 2 /n. Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)? Phùng Thanh Bình ptbinh@ueh.edu.vn 3 VẬY, GIÁ TRỊ KỲ VỌNG CỦA TSS X = n 1i 2 i )XX( [tức giá trị kỳ vọng của công thức (3)] SẼ NHƯ SAU: E n 1i 2 i )XX( = E 2 n 1i 2 i )X(n)X( = n nn 2 2 = (n-1) 2 (5) NHƯ VẬY,ĐỂ LÀ MỘ ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH (unbiased estimator) CỦA 2 , CHÚNG TA PHẢI TÍNH: )X(Var n 1i 2 i )XX( 1n 1 (6) Do đó, bậc tự do phải là (n-1). Nói cách khác, có (n-1) nguồn thông tin của giá trị TSS X . Ta có thể giải thích ý nghĩa bậc tự do cho trường hợp sai số chuẩn của ước lượng (standard error of estimate) hay sai số chuẩn của hồi quy (standard error of regression) trong mô hình hồi quy đơn (2 hệ số ước lượng 1 ˆ và 2 ˆ ) một cách tương tự: Var( )u ˆ i = 2 ˆ = 2n RSS Nghĩa là chia RSS cho (n-2) để 2 ˆ là một ước lượng không chệch của σ 2 [tức Var(u i )]. . phương sai của trung bình mẫu (xem Bài giảng 3, Ôn tập xác suất thống kê) ta có giá trị kỳ vọng của 2 )X( [tức E[ 2 )X( ] là σ 2 /n. Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n- 1)? Phùng. estimator) CỦA 2 , CHÚNG TA PHẢI TÍNH: )X(Var n 1i 2 i )XX( 1n 1 (6) Do đó, bậc tự do phải là (n- 1). Nói cách khác, có (n- 1) nguồn thông tin của giá trị TSS X . Ta có thể giải thích ý nghĩa bậc. Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n- 1)? Phùng Thanh Bình ptbinh@ueh.edu.vn 1 Gửi các sinh viên TĐG37! SG. 14/11/2013 Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample)