Luận văn thạc sỹ sự tồn tại nghiệm và phương pháp lặp giải một hệ phương trình dầm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HƯƠNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẦM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH HƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2022 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới Cô - người theo sát, hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khố học Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Thái Bình quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khố học Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tập thể lớp cao học Toán K14A13 động viên, giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn i Danh mục chữ viết tắt ký hiệu R Tập số thực R+ Tập số thực không âm R− Tập số thực không dương RK Không gian Euclide K chiều C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] C k [a, b] Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục [a, b] kxk Chuẩn phần tử x kxkωh Chuẩn lưới ω h phần tử x ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục chữ viết tắt ký hiệu ii Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Banach 1.2 Định lý điểm bất động Schauder Định lý điểm bất động Banach 1.3 Hàm Green số toán 10 Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải hệ phương trình dầm 15 2.1 Sự tồn nghiệm, tính nghiệm 16 2.2 Phương pháp lặp giải toán 25 2.3 Các ví dụ số 28 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 38 iii MỞ ĐẦU Các toán biên hệ phương trình vi phân cấp bốn nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn [3], [5], [9], tác giả xét phương trình chứa đạo hàm cấp chẵn Với điều kiện phức tạp, việc sử dụng định lý số điểm bất động nón, tác giả chứng minh tồn nghiệm dương toán Tuy nhiên, kết đạt gần có tính lý thuyết túy khơng có ví dụ minh họa cho tồn nghiệm tốn Xét hệ phương trình vi phân   u(4) (t) = f (t, u(t), v(t), u′′ (t), v ′′ (t)),  v (4) (t) = g(t, u(t), v(t), u′′ (t), v ′′ (t)), < t < 1, < t < 1, với điều kiện biên   u(0) = u(1) = u′′ (0) = u′′ (1) = 0,  v(0) = v(1) = v ′′ (0) = v ′′ (1) = 0, (0.0.1) (0.0.2) f, g : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ hàm liên tục u′′ , v ′′ f, g thành phần mômen uốn tương ứng với hiệu ứng uốn Năm 2012, [3], tác giả thiết lập tồn nghiệm dương hệ (0.0.1), (0.0.2) với điều kiện phức tạp Kết báo sau: Định lý 0.1 [3, Định lý 2.1] Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (H1 ) f, g : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ hàm liên tục (H2 ) Tồn h1 ∈ C([0, 1] × R+ × R− , R+ ) cho f (t, u, v, r, w) ≥ h1 (t, u, r), ∀t ∈ [0, 1], u, v ∈ R+ , r, w ∈ R− , π4 h1 (t, u, r) > lim inf |u|+|r|→+∞ t∈[0,1] |u| + |r| + π2 (0.0.3) (0.0.4) (H3 ) Tồn h2 ∈ C([0, 1] × R+ × R− , R+ ) cho g(t, u, v, r, w) ≤ h2 (t, v, w), ∀t ∈ [0, 1], u, v ∈ R+ , r, w ∈ R− , h2 (t, v, w) π4 lim sup ≤ + π2 |v|+|w|→+∞ t∈[0,1] |v| + |w| (H4 ) Tồn α1 , β1 ≥ với (0.0.5) (0.0.6) α1 β1 + < r0 > cho π4 π2 f (t, u, v, r, w) ≤ α1 u − β1 r, (0.0.7) ∀t ∈ [0, 1], u ∈ [0, r0 ], r ∈ [−r0 , 0], v ∈ R+ , w ∈ R− α2 β2 (H5 ) Tồn α2 > 0, β2 ≥ với + > r0∗ > cho π π g(t, u, v, r, w) ≥ α2 v − β2 s, (0.0.8) ∀t ∈ [0, 1], v ∈ [0, r0∗ ], w ∈ [−r0∗ , 0], u ∈ R+ , r ∈ R− Khi tốn (0.0.1), (0.0.2) có nghiệm dương Trong báo khơng có ví dụ minh họa cho tồn nghiệm tốn Trong cơng trình [7], hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn (0.0.1), (0.0.2), cách đưa tốn cho phương trình tốn tử với cặp thành phần phi tuyến mà cặp hàm u, v cần tìm, tác giả thiết lập tồn nghiệm, tính nghiệm xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm Bên cạnh đó, tính chất dấu nghiệm Lợi phương pháp không đòi hỏi điều kiện Nagumo thành phần phi tuyến Một số ví dụ đưa ra, nghiệm xác tốn biết chưa biết minh họa cho hiệu kết lý thuyết thu Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu cơng trình [7] tốn (0.0.1), (0.0.2) lấy làm tảng để nghiên cứu đầy đủ định tính lẫn định lượng toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với loại điều kiện biên khác, lựa chọn đề tài: "Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải hệ phương trình dầm" Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương: Chương trình bày kiến thức bổ trợ bao gồm số không gian hàm; Định lý điểm bất động Schauder; Định lý điểm bất động Banach; hàm Green số toán Các kiến thức Chương đóng vai trị quan trọng, làm tảng cho kết trình bày Chương Nội dung Chương tham khảo từ tài liệu [1, 4, 6, 8] Trong Chương 2, sở đọc hiểu tài liệu [7], toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản, cách tiếp cận đưa toán cho phương trình tốn tử thành phần phi tuyến, ẩn hàm, luận văn trình bày tồn nghiệm, tính dương, tính âm nghiệm, trình bày phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ phương pháp lặp, xét tính đơn điệu dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ hai trường hợp biết trước trước nghiệm minh họa cho tính đắn kết lý thuyết hiệu phương pháp lặp tìm nghiệm Trong luận văn, kết lý thuyết kiểm tra thực nghiệm tính tốn lập trình môi trường MATLAB Chương Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kết bổ trợ cho Chương luận văn Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1, 4, 6, 8] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 (Xem [1]) Cho X tập hợp khác rỗng Một metric X ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn điều kiện sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; b) d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d gọi khoảng cách hay metric X , (X, d) gọi không gian metric Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Dãy {xn } không gian metric (X, d) gọi hội tụ đến x0 ∈ X lim d(xn , x0 ) = n→∞ Khi đó, ta viết lim xn = x0 xn → x0 x0 gọi giới hạn n→∞ dãy {xn } Định nghĩa 1.3 (Xem [1]) Cho (X, d) không gian metric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy hay dãy lim d(xn , xm ) = 0, n,m→∞ tức là, với ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n, m ≥ n0 : d(xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.4 (Xem [1]) Một không gian metric (X, d) gọi đầy đủ X dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.5 (Xem [1]) Cho X không gian véc tơ trường K (thực phức) Một chuẩn X ánh xạ k k: X −→ R+ thỏa mãn tính chất sau: a) k x k≥ 0, ∀x ∈ X ; k x k= ⇔ x = 0; b) k λx k=| λ |k x k, ∀x ∈ X , ∀λ ∈ K ; c) k x + y k≤ k x k + k y k, ∀x, y ∈ X Khơng gian tuyến tính X với chuẩn k k xác định gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Nhận xét 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn X không gian metric với khoảng cách d(x, y) = k x − y k, ∀x, y ∈ X Do đó, hội tụ khơng gian tuyến tính định chuẩn X định nghĩa giống hội tụ không gian metric Dãy {xn } không gian tuyến tính định chuẩn X gọi hội tụ x0 ∈ X k xn − x0 k −→ n −→ ∞ Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Khơng gian Banach khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Chứng minh Với giả thiết (2.1.14), chứng minh Định lý 2.1 ta có tốn tử T xác định (2.1.2) ánh xạ hình cầu đóng B[0, N ] vào Từ điều kiện Lipschitz (2.1.31), (2.1.32), theo chứng minh Định lý 2.3 ta suy T ánh xạ co từ hình cầu đóng B[0, N ] vào Theo Định lý điểm bất động Banach, tốn tử T có điểm bất động B[0, N ], tương ứng nghiệm (u(t), v(t)) tốn (0.0.1), (0.0.2) Các đánh giá u(t), v(t), u′′ (t) v ′′ (t) suy cách tương tự Định lý 2.1 Định lý chứng minh Để ý Định lý 2.3 điều kiện Lipschitz đòi hỏi phải thỏa mãn [0, 1] × R4 , Định lý 2.4, điều kiện (2.1.14) nên điều kiện Lipschitz đòi hỏi miền DN 2.2 Phương pháp lặp giải tốn Xét q trình lặp giải tốn (0.0.1), (0.0.2) sau: Cho ω0 = (ϕ0 (t), ψ0 (t)) ∈ B[0, N ] Biết ωk = (ϕk , ψk ) (k = 0, 1, ) giải liên tiếp toán   r′′ = ϕ (t), < t < 1, k k  r (0) = r (1) = 0, k (2.2.2) k   u′′ = r (t), < t < 1, k k  u (0) = u (1) = 0, k (2.2.3) k   z ′′ = ψ (t), < t < 1, k k  z (0) = z (1) = 0, k (2.2.1) k 25 (2.2.4)   v ′′ = z (t), < t < 1, k k  v (0) = v (1) = 0, k Cập nhật (2.2.5) k  ϕ k+1 = f (t, uk , vk , rk , zk ), ψ k+1 = g(t, uk , vk , rk , zk ) (2.2.6) qk Đặt pk = kω1 − ω0 kF Ta có kết sau: 1−q Định lý 2.5 Với giả thiết Định lý 2.4, phương pháp lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân thỏa mãn đánh giá ksk − skF ≤ 5pk , 384 ks′′k − s′′ kF ≤ pk , (2.2.7) s = (u, v) nghiệm xác tốn (0.0.1), (0.0.2) sk = (uk , vk ) nghiệm xấp xỉ toán (0.0.1), (0.0.2) bước lặp thứ k Chứng minh Chú ý phương pháp lặp nêu phương pháp lặp tìm điểm bất động toán tử T với xấp xỉ ban đầu (2.2.1) thuộc B[O, N ] Do đó, hội tụ với tốc độ cấp số nhân ta có đánh giá qk kωk − ωkF ≤ kω1 − ω0 kF 1−q (2.2.8) Kết hợp với đánh giá (2.1.35) ta thu (2.2.7) Định lý chứng minh Tiếp theo ta xét số tính chất dãy lặp tổng quát tạo trình lặp (2.2.1)-(2.2.6) sau: Định lý 2.6 (Tính đơn điệu) Giả thiết tất điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn Thêm vào đó, ta giả sử hàm f (t, u, v, r, z), 26 g(t, u, v, r, z) tăng theo v giảm  theo r,z với (t, u, v, r, z) ∈ DN  u, (1) (2) ϕ0 ϕ0 (1) (2)     ∈ B[O, N ] xấp xỉ ban Khi đó, ω0 = , ω0 = (1) (2) ψ0 ψ0 (1) (2) (1) đầu ω0 ≤ ω0 (2) (1) (2) (tức ϕ0 (t) ≤ ϕ0 (t) ψ0 (t) ≤ ψ0 (t)) với (2) (2) (1) (1) (1) (2) t ∈ [0, 1] dãy sk = (uk , vk ), sk = (uk , vk ) tổng quát (2) (1) k = 0, 1, ; t ∈ [0, 1] tức trình lặp thỏa mãn sk (t) ≤ sk (t), (1) (2) k = 0, 1, ; t ∈ [0, 1], (1) (2) k = 0, 1, ; t ∈ [0, 1] uk (t) ≤ uk (t), vk (t) ≤ vk (t), Chứng minh Để ý nghiệm toán (2.1.3), (2.1.5) biểu diễn dạng r(t) = z(t) = Z Z G2 (t, s)ϕ(s)ds, G2 (t, s) ≤ 0, (2.2.9) G2 (t, s)ψ(s)ds, G2 (t, s) xác định (2.1.20) Nghiệm toán (2.1.4), (2.1.6) biểu diễn dạng Z G2 (t, s)r(s)ds, u(t) = (2.2.10) Z G2 (t, s)z(s)ds v(t) = (i) (i) (i) (i) Từ biểu diễn nghiệm rk , uk , zk , vk toán (2.2.1)-(2.2.6) dạng (2.2.9), (2.2.10) ta có (1) r0 (t) − (2) r0 (t) (1) Vì G2 (t, s) ≤ 0, ϕ0 = (2) Z (1) (2) G2 (t, s)[ϕ0 (s) − ϕ0 (s)]ds (1) (2) (1) ≤ ϕ0 ta có r0 (t) − r0 (t) ≥ 0, tức r0 (t) ≥ (2) r0 (t) 27 (1) (2) (1) (2) (1) (2) Tương tự, ta có u0 (t) ≤ u0 (t), z0 (t) ≥ z0 (t), v0 (t) ≤ v0 (t) Vì vậy, với giả thiết hàm f (t, u, y, v, z) tăng theo u, v giảm theo r, z ta có (1) (1) (1) (1) (1) (2) (1) (1) (1) (2) (2) (1) (1) (2) (2) (2) (1) (2) (2) (2) (2) ϕ1 (t) = f (t, u0 , v0 , r0 , z0 ) ≤ f (t, u0 , v0 , r0 , z0 ) ≤ f (t, u0 , v0 , r0 , z0 ) ≤ f (t, u0 , v0 , r0 , z0 ) (2) ≤ f (t, u0 , v0 , r0 , z0 ) = ϕ1 (t) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) Do đó, từ ϕ0 (t) ≤ ϕ0 (t) ta suy u0 (t) ≤ u0 (t) ϕ1 (t) ≤ ϕ1 (t) Lập luận tương tự ta u1 (t) ≤ u1 (t) Tổng quát lên ta có (1) (2) uk (t) ≤ uk (t) (1) (2) (1) (2) (1) Tương tự, từ ψ0 (t) ≤ ψ0 (t) ta suy v0 (t) ≤ v0 (t) ψ1 (t) ≤ (2) (1) (2) ψ1 (t) Tương tự ta có v1 (t) ≤ v1 (t) Tổng quát, ta thu (1) (2) (1) (2) vk (t) ≤ vk (t) Do đó, sk (t) ≤ sk (t), k = 0, 1, ; t ∈ [0, 1] Định lý chứng minh 2.3 Các ví dụ số Các ví dụ hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm trình bày minh họa cụ thể cho kết lý thuyết Để thử nghiệm số, ta sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn cho tốn (2.2.2)-(2.2.5) sử dụng cơng thức tính gần đạo hàm cấp với cấp xác lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, , M ; h = 1/M } Quá trình lặp dừng ek = ksk − sk−1 k ≤ 10−16 (2.3.1) Trong bảng kết tính tốn, ta kí hiệu M số điểm lưới, errork = ksk − sd k, sd = (ud , vd ) nghiệm xác tốn (0.0.1), (0.0.2) Đầu tiên, ta xét ví dụ trường hợp biết trước nghiệm xác 28 Ví dụ 2.1 Xét toán   3  sin πt u  ′′3 ′′2 (4)  u (t) = − + u + v +   10 π     2   sin πt t − t    + + π sin πt − , < t < 1,   10π     ′′ 3    v v sin πt (4) ′′ v (t) = −u − + cos +u − π     3  t − 2t + t sin πt (t − t)   + , < t < 1, + +   π 216 120      u(0) = u(1) = u′′ (0) = u′′ (1) = 0,      v(0) = v(1) = v ′′ (0) = v ′′ (1) = Nghiệm xác tốn  sin(πt)   u(t) = , π   v(t) = t − 2t + t 24 Trong ví dụ    2 sin πt) sin πt u t −t f (t, u, v, r, z) = − +r +z + +π sin πt− + , 10 π 10π     z sin πt v +r − g(t, u, v, r, z) = − u − + cos π sin πt (t2 − t)3 t4 − 2t3 + t + + + , π6 216 120 Ta thấy hàm f (t, u, v, r, z) g(t, u, v, r, z) không thỏa mãn điều kiện [3, Định lý 2.1] (xem phần Mở đầu), nên theo định lý ta không tồn nghiệm dương toán Dưới đây, sử dụng kết lý thuyết trình bày luận văn, ta khẳng định tốn có nghiệm thực nghiệm tính tốn thể rõ hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm 29 Trước tiên, ta chọn N từ điều kiện max{|f |, |g|} ≤ N Ta có  3  2 N N 1 N |f | ≤ + +π+ + + 3+ 2.384 8 π 10π 64  3   N N N + 3.1927, + + ≈ 8 768  3   5N N N +1+ + |g| ≤ + + 6+ 384 384 24 π 64.216 16.120  2  3 5N N N + 1.0037 ≈ + + 384 24 384 Do ta chọn N = Khi miền D4 , fu′ = − gu′ , 10 = −2u, fv′ = 0, gv′ =− , fr′ = 3r2 , fz′ = 2z,   sin πt ′ gr = − sin +r , π gz′ =−  z 2 , ta lấy , 10 L1 = , 48 K1 = K2 = 0, L2 = , K3 = , L3 = 1, K4 = 1, L4 = 36 Khi q = max  5(K1 + K2 ) K3 + K4 + 384    5(L1 + L2 ) L3 + L4 + , 384 ≈ 0.22 < Tất điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn Do đó, tốn có nghiệm phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Thực nghiệm số với M = 100 với điều kiện dừng (2.3.1), trình lặp dừng sau k = 10 bước e10 = 1.3878e − 17, error10 = 5.9366e − 07 Sự hội tụ phương pháp lặp Ví dụ 2.1 minh họa Hình 2.1 Từ Hình 2.1 ta thấy sai số hai nghiệm xấp xỉ hai bước lặp liên tiếp giảm nhanh theo tốc độ cấp số nhân 30 −2 10 −4 10 −6 10 −8 e(k)−axis 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 −18 10 10 k−axis Hình 2.1: Đồ thị ek Ví dụ 2.1 với M = 100 Ở ví dụ tiếp theo, nghiệm xác tốn (0.0.1), (0.0.2) chưa biết trước Ví dụ 2.2 Xét tốn    u(4) (t) = u3 + (v + 1)2 + v ′′2 + sin2 πt + 1,      v (4) (t) = eu + 3u2 u′′2 − 4v ′′ , < t < 1, < t < 1,   u(0) = u(1) = u′′ (0) = u′′ (1) = 0,      v(0) = v(1) = v ′′ (0) = v ′′ (1) = Trong ví dụ f (t, u, v, r, z) = u3 + (v + 1)2 + z + sin2 πt + 1, g(t, u, v, r, z) = eu + 3u2 r2 − 4z Tương tự Ví dụ 2.1, hàm f (t, u, v, r, z) không thỏa mãn điều kiện (H4 ) [3, Định lý 2.1], nên định lý không đảm bảo tồn nghiệm dương toán Dưới đây, sử dụng kết lý thuyết ta tốn có nghiệm dương 31 0.04 0.035 sulution−axis 0.03 0.025 0.02 0.015 u 0.01 v 0.005 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t−axis Hình 2.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.2 Thật vậy, tương tự cách làm Ví dụ 2.1 ta chọn N = hệ số Lipschitz Định lý 2.4 K1 ≈ 0.008, L1 ≈ 1.13, K2 ≈ 2.104, L2 = 0, K3 = 0, K4 = 1, L3 ≈ 0.00813, L4 = Do đó, q ≈ 0.516 < Tất điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn Vì vậy, tốn cho có nghiệm (u, v) phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Thực nghiệm số với M = 100 với điều kiện dừng (2.3.1), trình lặp dừng sau k = 37 bước e37 = 6.2450e − 17 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.2 minh họa Hình 2.2 Ngồi ra, nghiệm tốn thỏa mãn u ≥ 0, v ≥ Thật vậy, 32 xét miền D4++ n = (t, u, v, r, s)| ≤ t ≤ 1, ≤ u ≤ 20 , 384 o 20 1 0≤v≤ , − ≤ r ≤ 0, − ≤ z ≤ , 384 2 dải S4++ S4++ = {ω ∈ F | ≤ ϕ(t) ≤ 4, ≤ ψ(t) ≤ 4} Khi đó, D4++ ta có ≤ f (t, u, v, r, z) ≤ 4, ≤ g(t, u, v, r, z) ≤ tất điều kiện Định lý 2.2 (i) thỏa mãn Do đó, tốn có nghiệm (u ≥ 0, v ≥ 0) Ví dụ 2.3 Xét toán   u(4) (t) = u2 + u′′ v ′′ + |v ′′ |1/2 + 1, < t < 1,       v (4) (x) = u + v + u′′2 v + sin πt, < t < 1,   u(0) = u(1) = u′′ (0) = u′′ (1) = 0,      v(0) = v(1) = v ′′ (0) = v ′′ (1) = Trong ví dụ f (t, u, v, r, z) = u2 + rz + |z|1/2 + 1, u g(t, u, v, r, z) = + v + r2 v + sin πt Như Ví dụ 2.1, hàm f (t, u, v, r, z) không thỏa mãn điều kiện (H4 ) [3, Định lý 2.1], nên định lý không đảm bảo tồn nghiệm dương tốn Tương tự Ví dụ 2.1 ta chọn N = cho max{|f |, |g|} ≤ N Trong ví dụ này, hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipshitz 33 0.018 0.016 0.014 sulution−axis 0.012 0.01 0.008 0.006 u 0.004 v 0.002 0 0.2 0.4 0.6 0.8 t−axis Hình 2.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.3 miền D2 tất điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Do đó, tốn cho có nghiệm Thực nghiệm số với M = 100 với điều kiện dừng (2.3.1), trình lặp dừng sau k = 10 bước e10 = 1.5613e − 17 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.3 minh họa Hình 2.3 Ngồi ra, ta nghiệm thỏa mãn u ≥ 0, v ≥ Thật vậy, xét miền n 10 ++ , D2 = (t, u, v, r, z)| ≤ t ≤ 1, ≤ u ≤ 384 o 1 10 , − ≤ r ≤ 0, − ≤ z ≤ , 0≤v≤ 384 4 dải S2++ S2++ = {w ∈ F | ≤ ϕ(x) ≤ 2, ≤ ψ(x) ≤ 2} Trong miền D2++ ta có ≤ f (t, u, v, r, z) ≤ 2, ≤ g(t, u, v, r, z) ≤ 34 Tất điều kiện Định lý 2.2 (i) thỏa mãn Vì vậy, tốn cho có nghiệm (u ≥ 0, v ≥ 0) Chú ý 2.1 Trong Ví dụ 2.3, tốn có nghiệm Do hàm f không thỏa mãn điều kiện Lipshitz nên Định lý 2.3 khơng đảm bảo tính nghiệm Mặc dù hội tụ phương pháp lặp tới nghiệm minh họa thực nghiệm số Chú ý 2.2 Trong Ví dụ 2.2 Ví dụ 2.3, hàm vế phải khơng thỏa mãn điều kiện (H4 ) [3, Định lý 2.1], nên định lý không đảm bảo tồn nghiệm dương tốn Nhưng trình bày trên, sử dụng lý thuyết trình bày luận văn ta thiết lập tồn (hoặc tồn tại) nghiệm dương hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm Sự hội tụ minh họa qua thử nghiệm số KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, luận văn trình bày định tính phương pháp lặp giải tốn biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản với cách tiếp cận đưa toán ban đầu phương trình tốn tử thành phần phi tuyến Các kết đạt là: - Trình bày tồn nghiệm, tính nghiệm, tính dương âm nghiệm điều kiện dễ kiểm tra đặt lên hàm vế phải xét miền bị chặn; - Trình bày phương pháp lặp giải toán hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm với tốc độ cấp số nhân; - Xét tính đơn điệu dãy xấp xỉ nghiệm; - Trình bày số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết 35 KẾT LUẬN CHUNG Với kiến thức sở Chương Không gian Banach, Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach, hàm Green, dựa việc đọc hiểu tài liệu [7], tốn biên cho hệ phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản (0.0.1), (0.0.2), luận văn đã: Trình bày tồn nghiệm, tính nghiệm, xét tính dương âm nghiệm toán nhờ sử dụng cách tiếp cận đơn giản hiệu đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử thành phần phi tuyến, sau áp dụng Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach toán tử này; Trình bày phương pháp lặp giải tốn chứng minh hội tụ phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân; Xét tính đơn điệu dãy xấp xỉ nghiệm; Nêu số ví dụ số minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm 36 Hướng phát triển Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến hệ phương trình vi phân cấp bốn cấp cao với điều kiện biên phức tạp hơn; Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên 37 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt: [1] Nguyễn Xuân Liêm (2017), Giải tích hàm, NXB Giáo dục Việt Nam [B] Tài liệu Tiếng Anh: [2] A Granas, J Dugundji (2003), Fixed Point Theory, Springer [3] P Kang, Z Wei (2012), "Existence of positive solutions for systems of bending elastic beam equations", Electron J Differential Equations, 19, pp 1-9 [4] A.N Kolmogorov, S.V Fomin (1957), Elements of The Theory of Functions and Functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces, Graylock press Rochester [5] H Lă u, H Yu, Y Liu (2005), "Positive solutions for singular boundary value problems of a coupled system of differential equations", J Math Anal Appl 302, pp 14–29 [6] Y.A Melnikov, M.Y Melnikov (2012), Green’s Functions: Construction and Applications, De Gruyter [7] N.T.K Quy, D.Q A (2017), Existence results and iterative method for solving systems of bending elastic beam equations, Vietnam J Math Appl., 15(1), pp 19-40 38 [8] E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications, I: Fixed-Point Theorems, Springer [9] F Zhu, L Liu, Y Wu (2010) "Positive solutions for systems of a nonlinear fourth-order singular semipositone boundary value problems", Appl Math Comput., 216, pp 448-457 39