Luận văn thạc sỹ toán liên phân số và đa thức trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Liên phân số 1.1 1.2 1.3 Liên phân số 1.1.1 Liên phân số xuất phép chia 1.1.2 Liên phân số xuất giải phương trình 11 1.1.3 Các định nghĩa liên phân số 13 Một số công thức đẹp liên phân số 15 1.2.1 Phép biến đổi liên phân số 15 1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt đồng thức liên phân số 17 1.2.3 Liên phân số arctan π 20 Ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc 24 1.3.1 Liên phân số lịch 24 1.3.2 Piano 27 Chương Đa thức trực giao 2.1 2.2 31 Xấp xỉ Diophantus 31 2.1.1 Xấp xỉ tốt xấp xỉ tốt 31 2.1.2 Sự xấp xỉ hội tụ 32 Liên phân số đa thức trực giao 39 2.2.1 39 Ma trận trực giao 2.2.2 Cầu phương Gauss 40 2.2.3 Phương pháp Sturm 42 2.2.4 Tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao 45 2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng 45 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THCS Trần Phú, Quận Lê Chân, Thành phố Hải Phịng tạo điều kiện cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Mở đầu Liên phân số (hay phân số liên tục - continued fractions) dạng biểu diễn số thực dương, hữu tỷ vô tỷ, dạng phân số nhiều tầng Người ta tìm thấy nhiều ứng dụng đa dạng liên phân số, chẳng hạn ứng dụng toán giải phương trình Pell hay xấp xỉ Diophantus Trong Tốn học, đa thức trực giao (orthogonal polynomials) đóng vai trị vơ quan trọng Đồng thời, cơng cụ hữu ích cho ngành vật lý kỹ thuật Luận văn có mục đích, thứ trình bày liên phân số ứng dụng đơn giản chúng nhiều biểu diễn liên quan đến arctan số π, thứ hai, nghiên cứu ứng dụng liên phân số đa thức trực giao Nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Liên phân số Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở liên phân số, bao gồm định nghĩa, tính chất Phần có mục tiêu giới thiệu số đồng thức đẹp liên phân số số hàm số thường gặp arctan π Sau chúng tơi thảo luận ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc • Chương Đa thức trực giao Trong chương trình bày xấp xỉ Diophantus, liên phân số đa thức trực giao, bao gồm cầu phương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao cuối đa thức trực giao quan trọng Mặc dù cố gắng nghiên cứu đề tài thực luận văn, nhiều lý khác nhau, chắn luận văn cịn khiếm khuyết định Tác giả kính mong góp ý Thầy, Cơ, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Trịnh Thị Phương Thanh Chương Liên phân số 1.1 Liên phân số Hiện có nhiều cách để viết số Chúng ta sử dụng hệ số khác nhau, phân số, số thập phân, logarithm, lũy thừa miêu tả lời, Mỗi cách thuận tiện phục vụ mục đích người Để biểu biễn số, liên phân số công cụ sáng đẹp Đầu tiên, ta chi tiết chút vào khái niệm liên phân số hay gọi phân số liên tục (continued fractions) Ta bắt đầu cách liên phân số thường xuất cách tự nhiên phép chia dài thiết lập định nghĩa Ví dụ, π π viết dạng liên phân số sau: 12 = 1+ π 12 , π = 3+ 32 32 2+ 6+ 53 2+ 53 6+ 72 2+ 2+ 72 6+ 6+ Liên phân số bên trái dựa theo Lord Brouncker (đồng thời liên phân số ghi chép lại), liên phân số bên phải thu Euler Ta có cơng thức cho số e sau: = 1+ e = 2+ 2+ 0+ 3+ 1+ 4+ 5+ 1+ 2+ 1+ 1+ 4+ Các liên phân số thảo luận chi tiết sau, khía cạnh tốn học khía cạnh ứng dụng thực tiễn 1.1.1 Liên phân số xuất phép chia Một cách thông thường để liên phân số xuất từ “phép chia lặp” Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1.1.1 Xét phép chia số 157 cho 68 Ta viết 157 21 = 2+ 68 68 Nghịch đảo phân số 21 68 ta có 157 = + 68 68 21 Xét số 68 21 , ta viết 68 = 3+ = + 21 , 21 21 10 nên ta viết 157 68 cách đẹp hơn, 157 = 2+ 68 3+ Do 21 21 = + 51 nên ta viết 157 = 2+ 68 (1.1) 3+ 4+ Vì số nguyên nên phép chia dừng lại Biểu thức bên phải (1.1) gọi liên phân số hữu hạn đơn giản Có nhiều cách để kí hiệu biểu thức này, luận văn ta dùng kí hiệu h2; 3, 4, 5i để biểu diễn cho 2+ 3+ 4+ Như vậy, liên phân số xuất cách tự nhiên từ việc viết số hữu tỷ cách lặp lặp lại phép chia Tất nhiên, 157 68 hai số đặc biệt, cách lặp lại phép chia vậy, ta biểu diễn số hữu tỷ a/b liên phân số hữu hạn đơn giản Đây Thuận toán Euclide Mỗi cặp x0 > x1 số nguyên p ξ − < ξ − a q b Ví dụ 2.1.2 4/1 khơng phải xấp xỉ tốt đến π 3/1, có mẫu số nhau, gần với π: