Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023-2024 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − ( m − 1) x + m − 2m − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + = x2 b) Cho f ( x ) = + 1 với x ≠ 0, x ≠ −1 Tính f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2023) + x ( x + 1)2 Câu (2,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b3 − 8c3 + 28d = Chứng minh ( a + b + c + d ) chia hết cho b) Chứng minh tồn đa thức P ( x ) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện P ( x − ) chia hết cho P ( x ) Câu (2,0 điểm) ) ( 2 x + x − x + =1 − y + y + a) Giải hệ phương trình y − ( x − 2= ) ( y + 1) ( y + x ) ( x, y ∈ ) b) Bạn An viết lên bảng 11 số ngun dương (khơng thiết phân biệt) có tổng 30 Chứng minh bạn An xóa số số cho số lại bảng có tổng 10 Câu (3,0 điểm) Trên đường trịn tâm O đường kính AB = R lấy điểm N cho AN = R M điểm thay đổi cung nhỏ BN ( M khác B N ) Gọi I giao điểm AM BN , H hình chiếu I AB, IH cắt AN C , K điểm đối xứng với N qua AB a) Chứng minh CM CB = CI CH ba điểm K , H , M thẳng hàng b) Gọi P giao điểm thứ hai NH ( O ) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định M thay đổi c) Xác định vị trí điểm M để tổng MB + MN đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c; tìm giá trị nhỏ biểu thức F= a a + 9bc + b b + 9ac + c c + 9ab Hết Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tốn) Hướng dẫn chấm có 06 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm Câu (2 điểm) a) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − ( m − 1) x + m − 2m − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + = x2 Đáp án Xét phương trình: x − ( m − 1) x + m − 2m − = Điểm 2 ( ) Ta có : ∆ ' = − ( m − 1) − m − 2m − = > 0, ∀m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 0,25 Ta tìm hai nghiệm phương trình x= m − x= m + Trường hợp : x1 = m − 4, x2 = m + 2, toán trở thành : m − + 6= m + ⇔ m + 2= 0,25 m+2 m ≥ −2 m ≥ −2 m = −1 m + ≥ ⇔ ⇔ m = −1 ⇔ m = −2 ( m + ) =m + m + 3m + = m = −2 Trường hợp 2: x1 = m + 2, x2 = m − 4, toán trở thành : m + + 6= m − ⇔ m + 8= 0,25 m−4 m + ≥ m ≥ −8 m ≥ −8 ⇔ m − ≥ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ (vô nghiệm) m ∈∅ 2 m + 15m + 62 = ( m + ) =m + Vậy m = −1, m = −2 thỏa mãn giá trị phải tìm b) Cho f ( x ) = + Ta có: f ( x ) = + 0,25 1 với x ≠ 0, x ≠ −1 Tính f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2023) + x ( x + 1)2 1 + x ( x + 1)2 Đáp án 1 với x > =1 + − x x +1 Thật vậy, x > 0, hai vế đẳng thức dương nên bình phương hai vế đẳng thức trên, ta được: 1 1 2 ⇔ 1+ + =+ 2+ + − − 2 x ( x + 1) x ( x + 1) x x + x ( x + 1) Điểm 0,25 0,25 Trang 1/6 ⇔ 1+ 1 1 2 1 + =+ 2+ + − −2 − (luôn đúng) 2 x ( x + 1) x ( x + 1) x x +1 x x + Áp dụng ta được: 1 1 1 1 ; f (1) =1 + − ; f ( ) =1 + − ; f ( 3) =1 + − ; ; f ( 2023) =1 + − 2 3 2023 2024 20242 − Vậy f (1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2023= 2024 − = ) 2024 2024 Câu (2,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a + b3 − 8c3 + 28d = 0,25 0,25 Chứng minh ( a + b + c + d ) chia hết cho Đáp án 3 3 Điểm Từ giả thiết a + b − 8c + 28d = 0 ⇔ a + b + c + d − 9c + 27 d = 3 3 ⇔ a + b3 + c3 + d = 9c3 − 27 d Vì 9c − 27 d chia hết a + b3 + c + d chia hết cho Mà ( a + b3 + c + d ) − ( a + b + c + d )= ( a − a ) + ( b3 − b ) + ( c − c ) + ( d − d ) 0,25 Suy a + b + c + d chia hết cho 0,25 = ( a − 1) a ( a + 1) + ( b − 1) b ( b + 1) + ( c − 1) c ( c + 1) + ( d − 1) d ( d + 1) chia hết cho Mà số nguyên tố, ( a + b + c + d ) chia hết cho 0,25 0,25 b) Chứng minh tồn đa thức P ( x ) có hệ số thực, bậc 2024 thỏa mãn điều kiện P ( x − ) chia hết cho P ( x ) Xét đa thức P ( x= ) ( x + 1) 2024 ) (x ( Khi đó, ta có : P x − = P ( x − ) = ( x − 1) 2024 Đáp án Điểm 0,5 − + 1) = ( x − 1) 2024 2024 = ( x + 1) (x 2024 − 1) 2024 chia hết cho P ( x= ) 0,25 ( x + 1) 2024 0,25 (Lưu ý: Học sinh chọn đa thức khác thỏa mãn cho điểm tối đa) Câu (2,0 điểm) ) ( 2 x + x − x + =1 − y + y + a) Giải hệ phương trình: y + ( x + 1= ) ( y + 1) ( y − x + ) Nội dung ( x, y ∈ ) Điểm Điều kiện: ( y + 1) ( y − x + ) ≥ Ta có (1) ⇔ x − + ( x − 1) + = (− y) + a + a + = b + b2 + ⇔ a − b + ⇔ a −b+ ( (− y) + Đặt a = x − 1; b = − y ta có ) a + − b2 + = 0,25 a+b = ⇔ ( a − b ) 1 + = 2 3 a + + b2 + a b + + + a − b2 Trang 2/6 a+b a + a + + b + b2 + ⇔= a − b + = > 0, ∀a, b 2 2 a b a b + + + + + + ⇔ − x = y ⇔ x = − y Thay − x = y, vào phương trình ( ) , ta được: ( ) ⇔ y + y += ( y + 1) ( y − y + 1) Điều kiện: y ≥ −1 1) ⇔ ( y − y + 1) + ( y + = ⇔ ( y + 1) ( y − y + 1) 0,25 ( y + 1) y +1 −3 +1 = y − y +1 y − y +1 t = y +1 , ( t ≥ ) , ta có phương trình: 2t − 3t + = ⇔ (thỏa mãn) Đặt t = t = y2 − y +1 y =0⇒ x = y +1 Với t =⇔ (thỏa mãn) 1 0⇔ y2 − y = =⇔ y − y +1 y = 2⇒ x= − + 37 + 37 ⇒ x =− y= y +1 1 = ⇔ y2 − y − = ⇔ Với t = ⇔ y − y +1 2 −3 + 37 − 37 = = ⇒x y Vậy hệ phương trình có nghiệm là: + 37 + 37 −3 + 37 − 37 ; ; ( x; y )= ;0 ; − ; ; − ; 0,25 (thỏa mãn) 0,25 b) Bạn An viết lên bảng 11 số ngun dương (khơng thiết phân biệt) có tổng 30 Chứng minh bạn An xóa số số cho số lại bảng có tổng 10 Nội dung Giả sử số nguyên dương (không thiết phân biệt) bạn An viết lên bảng 30 a1 , a2 , , a11 thỏa mãn a1 + a2 + + a11 = Gọi S1 = a1 , S = a1 + a2 , , S10 = a1 + a2 + + a10 , S11 = a1 + a2 + + a10 + a11 Điểm 0,25 Ta có ≤ Si ≤ 30, ∀i =1,11 Si ≠ S j với i ≠ j; i, j = 1,11 Chia tổng S1 , S , , S11 cho 10 , có số có số dư Giả sử S k , S m ( S k > S m ) có số dư chia cho 10 Khi S k − S m 10 0,25 20 10 S k − S m = Mà ≤ S k , S m ≤ 30 nên S k − S m = 10 số am +1 , am + , , ak lại bảng thỏa mãn điều kiện - Nếu S k − S m = 0,25 20 am +1 + am + + + ak = 20 nên số a1 , a2 , , am , ak +1 , ak + , , a11 - Nếu S k − S m = số lại bảng thỏa mãn điều kiện 0,25 Trang 3/6 Câu (3,0 điểm) Trên đường trịn tâm O đường kính AB = R lấy điểm N cho AN = R M điểm thay đổi cung nhỏ BN ( M khác B N ) Gọi I giao điểm AM BN , H hình chiếu I AB, IH cắt AN C , K điểm đối xứng với N qua AB a) Chứng minh CM CB = CI CH ba điểm K , H , M thẳng hàng b) Gọi P giao điểm thứ hai NH ( O ) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định M thay đổi c) Xác định vị trí điểm M để tổng MB + MN đạt giá trị lớn Vẽ hình: a) Chứng minh CM CB = CI CH ba điểm K , H , M thẳng hàng Đáp án Tam giác ABC nhận I làm trực tâm có hai đường cao BN , CH cắt I nên Điểm BC ⊥ AI (1) Mặt khác AMB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên BM ⊥ AI ( ) 0,25 Từ (1) (2), suy ba điểm B, M , C thẳng hàng chung nên đồng dạng Hai tam giác vng BHC , IMC có C Suy 0,25 CI CM = ⇔ CM CB = CI CH CB CH = Tứ giác ACMH nội tiếp nên BHM AHN = ACM ACM , BCNH nội tiếp nên 0,25 AHN = BHM Suy Vậy K , H , M thẳng hàng AHN = AHK Vậy AHK = BHM Mà tính đối xứng nên 0,25 (Lưu ý: Học sinh khơng giải thích rõ lý để góc cho điểm tối đa) Trang 4/6 b) Gọi P giao điểm thứ hai NH đường tròn ( O ) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK thuộc đường thẳng cố định M thay đổi Đáp án = AOK Theo tính chất đối xứng, ta có: NOA Điểm 0,25 1 1 ) AOK = NOK , NPK = NOK (cùng nửa góc NOK Mặt khác: 2 0,25 Suy tứ giác OHPK nội tiếp AOK = NPK Do Do tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác HPK tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OPK Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HPK nằm đường trung trực đoạn 0,25 OK Do N cố định nên K cố định Suy OK cố định, (Đpcm) 0,25 (Lưu ý: Học sinh không giải thích rõ lý để góc cho điểm tối đa) c) Xác định vị trí điểm M để tổng MB + MN đạt giá trị lớn Đáp án Lấy E thuộc đoạn MK cho ME = MN , suy tam giác MNE cân M Điểm = 2.30°= 60° (góc nội tiếp chắn cung NK ) = 2.NBA = NBK Mặt khác NME 0,25 Vậy tam giác MNE Xét tam giác MNB ENK có: = MN NE = , NB NK + BNK = , KNE + ENM = , BNK = =° Lại có: MNB MNK MNK ENM 60 (do hai 0,25 = KNE tam giác MNE , BNK đều) Suy MNB Do tam giác MNB ENK Suy MB = EK 0,25 ⇒ MB + MN = KE + ME = KM Vậy tổng MB + MN đạt giá trị lớn KM đường kính đường trịn tâm O 0,25 (Lưu ý: Học sinh khơng giải thích rõ lý để góc cho điểm tối đa) Câu (1,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c; tìm giá trị nhỏ biểu thức F= a a + 9bc + b b + 9ac + c c + 9ab Đáp án a b c Ta có: F = + + a + 9bc b + 9ac c + 9ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: a a + 9bc + b b + 9ac + c c + 9ab ≥ Điểm (a + b + c) 0,25 a a + 9bc + b b + 9ac + c c + 9ab Trang 5/6 Mặt khác: a a + 9bc + b b + 9ac + c c + 9ab= ≤ a a + 9abc + b b3 + 9abc + c c + 9abc ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 + 27abc ) Do : F ≥ 0,25 (a + b + c) (a + b + c) = 3 ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 + 27abc ) a + b + c + 27abc Xét bất đẳng thức: 10 ( a + b + c ) ≥ ( a + b3 + c3 + 27 abc ) ⇔ a + b3 + c3 + 30 ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 243abc theo bất đẳng thức AM - GM Do Suy ra: (a + b3 + c3 + 27 abc ) ≤ (a + b + c) 3 3 a + b + c + 27 abc Vậy giá trị nhỏ F ≥ 0,25 10 (a + b + c) 3 ⇒F≥ ,F = ⇔ a = b = c 10 10 10 0,25 10 Hết Trang 6/6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn: Tốn (Dành cho thí sinh thi chun Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 01 trang a) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − ( m − 1) x + m − m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 − x2 b) Cho x, y số thực thỏa mãn x2 y 2 P + Tính giá trị biểu thức = − = y x2 y x 2x + y Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn ( x − x − 1)( y + xy − ) = x + b) Cho n số nguyên dương lẻ cho 3n + n chia hết cho 11 Tìm số dư chia 2n + 6n + 2023n cho 11 Câu (2,0 điểm) 2 x − y = 16 − x + y a) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ) x − + y + = y + 1 1 Mỗi bước ta xoá số x, y b) Viết lên bảng 2023 số: 1; ; ; ; ; 2022 2023 xy bảng viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Thực liên tục thao tác x + y +1 bảng cịn lại số Hỏi số bao nhiêu? Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn ( O; R ) , đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi P giao điểm thứ hai AD ( O ) , M điểm đối xứng với P qua AB a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt ( O ) Q Chứng minh Q đối xứng với P qua OA c) Gọi K trung điểm EF Chứng minh đường thẳng AK tiếp tuyến ( O ) B, C đồng quy Câu (1,0 điểm) Xét ba số x, y, z ≥ thỏa mãn xyz= ( x + y + z ) + 27; tìm giá trị lớn biểu thức Q = x2 − + x y2 − z2 − + y z .Hết Họ tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh: Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN (Dành cho thí sinh thi chun Tin) Hướng dẫn chấm có 06 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm hướng dẫn chấm - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – Thang điểm Câu (2,0 điểm) có hai nghiệm a) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − ( m − 1) x + m − m = phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x1 − x2 Đáp án Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 ⇔ ∆′ = − m > ⇔ m < Điểm Xét x1 + x2 = x1 − x2 ⇔ ( x1 + x2 ) =( x1 − x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 = 0,25 x1 + x2 = ( m − 1) Áp dụng định lý Vi–ét, ta có: m2 − m x1 x= 0,25 2 0,25 Ta 12 ( m − 1) + ( m − m ) = ⇔ 4m − m + = m = ⇔ Kết hợp với điều kiện, giá trị m = thỏa mãn m = b) Cho x, y số thực thỏa mãn 0,25 x2 y 2 + P Tính giá trị biểu thức = − = y x2 y x 2x + y Đáp án Ta có: ⇔ Điểm − = ⇔ ( x − y )( x + y )= xy ⇔ x − xy − y = y x 2x + y 0,25 x − 13 x + 13 = = y y 0,25 0,25 0,25 x2 y x y x + 13 y −3 + 13 Với= Ta P = + = + − = 11 ⇒ = = y x y x + 13 2 y x x2 y x y x − 13 y −3 − 13 Với= Ta P = + = + − = 11 ⇒ = = y x y x − 13 2 y x Trang 1/6 Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn ( x − x − 1)( y + xy − ) = x + Đáp án ( )( Điểm ( ) ) Vì x − x − y + xy − = x + nên ( x + 1) x − x − 0,25 ⇒ ( x + 1)( x − 3) ( x − x − 1) 0,25 ⇒ ( x − x − 3) ( x − x − 1) ⇒ ( x − x − 1) + 1 ( x − x − 1) ⇒ 1 ( x − x + 1) 0,25 ⇒ ( x − x − 1) ∈ {−1;1} ⇒ x ∈ { 0;1; − 1; 2} , mà x nguyên dương ⇒ x ∈ { 1; 2} Với x = , ta có phương trình: y + y − =−3 ⇔ y = y =−3 < (không thỏa mãn) Với x = , ta có phương trình: y + y − =5 ⇔ y + y − 14 =0 (loại phương trình có nghiệm không nguyên) 0,25 Thử lại ( x; y ) = (1; ) thỏa mãn phương trình cho Vậy cặp số nguyên dương ( x; y ) cần tìm (1; ) b) Cho n số nguyên dương lẻ cho 3n + n chia hết cho 11 Tìm số dư chia 2n + 6n + 2023n cho 11 Đáp án Điểm - Với n =1 ⇒ 3n + n =3 + =10 11 (không thỏa mãn) 0,25 - Với n =3 ⇒ 3n + n =33 + 73 =370 11 (không thỏa mãn) - Với n =5 ⇒ 3n + n =35 + 75 =1705011 (thỏa mãn) Suy n ≥ Giả sử n = 5k + r ( ≤ r ≤ ) 5k +r Ta có 35 k + r + 7= (3 ) k 3r + ( 75 ) r ≡ 3r + r ( −1) 11 với r = 0,1, 2, 3, k k - Khi r = ⇒ 3r + r ( −1) = + ( −1) 11 xảy k lẻ k k - Khi r = ⇒ 3r + r ( −1) =3 + ( −1) 11 với k k k 0,5 - Khi r = ⇒ + ( −1) = + ( −1) 11 với k r r k 2 k - Khi r = ⇒ 3r + r ( −1) = 33 + 73 ( −1) 11 với k k k - Khi r = ⇒ 3r + r ( −1) = 34 + ( −1) 11 với k k k Vậy n = 5k ( k lẻ) n = Khi 2n + 6n + 2023 ( ) + ( ) + ( 2023) k k 5k ≡ ( −1) + ( −1) + ( −1) k ≡ −3(mod11) Vậy 2n + 6n + 2023n chia 11 có số dư k k ( mod11) 0,25 Trang 2/6 Câu (2,0 điểm) 2 x − y = 16 − x + y a) Giải hệ phương trình 2 x − + y + = y + ( x, y ∈ ) Đáp án Điểm Điều kiện: x − y ≥ 0; x ≥ 3; y ≥ −3 Ta có: (1) ⇔ 3( x − y ) + x − y − 16 =0 ⇔ ( )( 0,25 ) x − y − x − y + =0 ⇔ x − y =2 ⇔ x = + y Thế = x y + vào phương trình (2) ta 3y +1 + y + = 5y +1 ⇔ ⇔2 ( y − 1) 3y +1 + Nhận thấy + ( ) ( 3y +1 − + ) y + − = 5y +1− y −1 − ( y − 1) = + ⇔ ( y − 1) y+3 +2 3y +1 + + 3y +1 + − 5 = ( *) y+3 +2 1 − < + − < với y ≥ −3 y+3 +2 Do (*) có nghiệm y = (thỏa mãn) 0,25 0,25 Với y = ta x = (thỏa mãn) 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 7;1) 1 1 b) Viết lên bảng 2023 số: 1; ; ; ; Mỗi bước ta xoá số x, y ; 2022 2023 xy bảng viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Thực liên tục thao tác x + y +1 bảng cịn lại số Hỏi số bao nhiêu? Đáp án Điểm Đặt z = xy 1 1 ⇒ = + + ⇒ + = + 1 + 1 x + y +1 z x y xy z x y (1) 0,25 Với tập số dương { x1 ; x2 ; xn } tùy ý, xét biểu thức: 1 1 P ( x1 ; x2 ; xn ) = + 1 + 1 + 1 x1 x2 xn xy số lại x + y +1 bảng giữ nguyên giá trị biểu thức P số bảng không đổi 0,25 Từ (1) suy lần xóa số x, y viết lên bảng số 0,25 Trang 3/6 1 1 1 Gọi số cuối a ⇒ P(a ) = ; P ; ; ; ; 2022 2023 1 1 1 ⇒ + = + 1 + 1 + 1 + 1 = 2024! ⇒ a = a 2024!− 1 2022 2023 Vậy số lại bảng a = 0,25 2024!− Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC nội tiếp đường tròn ( O; R ) , đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi P giao điểm thứ hai AD ( O ) , M điểm đối xứng với P qua AB a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt ( O ) Q Chứng minh Q đối xứng với P qua OA c) Gọi K trung điểm EF Chứng minh đường thẳng AK tiếp tuyến ( O ) B, C đồng quy a) Chứng minh tứ giác AHBM nội tiếp Đáp án Điểm a) Vì M điểm đối xứng với P qua AB nên AMB = APB 0,25 Mà AB ) APB = ACB (góc nội tiếp chắn cung 0,25 Mặt khác: ACB = AHE (vì tứ giác AEHF nội tiếp) 0,25 Ta AMB = AHE tứ giác AHBM nội tiếp 0,25 (Lưu ý: Học sinh khơng giải thích rõ lý để góc cho điểm tối đa) Trang 4/6 b) Qua P kẻ đường thẳng song song với EF cắt ( O ) Q Chứng minh Q đối xứng với P qua OA Đáp án Điểm = b) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ( O ) Ta có xAC ABC 0,25 ABC = AEF (vì tứ giác BCEF nội tiếp) 0,25 = ⇒ xAC AEF ⇒ Ax, EF song song Mà OA ⊥ Ax ⇒ OA ⊥ EF 0,25 Theo giả thiết PQ, EF song song với nên PQ ⊥ OA Do theo định lý đường kính, 0,25 dây cung ta Q đối xứng với P qua OA (Lưu ý: Học sinh khơng giải thích rõ lý để góc cho điểm tối đa) c) Gọi K trung điểm EF Chứng minh đường thẳng AK tiếp tuyến ( O ) B, C đồng quy Đáp án I AT ∩ ( O ) Lấy J trung điểm BC Tiếp tuyến B, C cắt T Gọi= ⇒ O, J , T thẳng hàng Có TI = TA TB = TJ TO ⇒ tứ giác AOJI nội tiếp ⇒ ⇒ JB phân giác góc ⇒ IJT = OAI = OIA = OJA AJB = BJI AJI 1 Xét AJC = 180° − AJB = 180° − AJI = 180° − AOI = 180° − ACI = ABI 2 Xét ∆AJC ∆ABI có: ACJ = AIB AJC = ABI ; BAI (1) ⇒ JAC = Mặt khác ∆AEF ∆ABC đồng dạng có hai đường trung tuyến tương ứng AK , AJ = ⇒ KAF JAC ( 2) ⇒ I ∈ AK ⇒ A, I , K thẳng hàng Vậy đường thẳng AK hai Từ (1), (2) ⇒ BAI = FAK Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 tiếp tuyến ( O ) B C đồng quy Trang 5/6 Câu (1,0 điểm) Xét ba số x, y, z ≥ thỏa mãn xyz= ( x + y + z ) + 27; tìm giá trị lớn biểu thức Q = x2 − + x y2 − z2 − + y z Đáp án Sử dụng bất đẳng thức: Với a, b, c ≥ 0, ta có a + b + c ≤ 3(a + b + c) Áp dụng bất đẳng thức ta có: Q = 1− 4 1 1 + − + − ≤ 3 − + + = − 12 + + x y z y z y z x x 1 1 1 1 Lại có + + ≥ + + x y z 3 x y z Điểm 0,25 1 1 Suy Q ≤ − + + x y z 1 27 Từ giả thiết xyz= 9( x + y + z ) + 27 ⇔ + + + = (*) xy yz zx xyz 1 1 1 1 1 1 1 Với + + ≤ + + ≤ + + xy yz zx x y z xyz 27 x y z 0,25 1 1 1 1 Từ (*) ta có + + + + + ≥ (**) x y z x y z 1 Đặt t = + + > x y z Khi (**) ⇔ t + 3t − ≥ ⇔ ( t − 1)( t + ) ≥ ⇔ t ≥ (do ( t + ) > ) 2 0,25 1 1 Suy Q ≤ − + + ≤ − 4.12 = x y z Dấu “=” xảy x= y= z= Vậy giá trị lớn Q 0,25 .Hết Trang 6/6
Ngày đăng: 28/06/2023, 09:34
Xem thêm:
