Xác xuất thông kê -Trường Cao đẳng công nghiệp Nam Định Khoa: Khoa học GV: Nguyễn Tiến Thịnh

Xác xuất thông kê Tr-ờng Cao đẳng công nghiệp Nam Định Khoa: Khoa học GV: Nguyễn Tiến Thịnh Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố 2 Định nghĩa xác suất 3 Xác suất có điều kiện 1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố  Trước hết ta làm quen với khái niệm phép thử biến cố  -Gieo đồng tiền mặt phẳng: Đó phép thử Kết qủa xảy gieo đồng tiền:” Xuất mặt xấp “ (mặt quốc huy) “ xuất mặt mgửa” (mặt chữ số)  “ Xuất mặt sấp “ – Đó biến cố  “ Xuất mặt ngửa” – Đó biến cố  Hai biến cố gọi biến cố sơ cấp phép thử  - Đo nhiện độ ngồi trời : Đó phép thử  “Nhiệt độ ngồi trời toC – Đó một biến cố Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố xúc xắc: Đó phép thử  “ Xuất mặt k chấm mặt xúc xắc” – Đó biến cố Tương ứng k = 1, 2, 3, 4, 5, – biến cố sơ cấp ứng với phép thử cho.”  “ Xuất mặt có chấm” – Đó biến cố, biến cố xảy phép thử thực Ta gọi biến cố không thể( hay biến cố trống, biến cố rỗng) ký hiệu Ø  Gieo Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố “ Xuất mặt có số chấm ≤ ≥ 1” – Đây biến cố Biến cố luôn xảy ta gieo xúc xắc mặt phẳng Biến cố gọi biến cố chắc – ký hiệu Ω  “ Xuất mặt có số chấm chẵn” – Đây biến cố Khi ta gieo xúc xắc, biến cố xảy mà có khơng xảy Loại biến cố ta gọi biến cố ngẫu nhiên Ta ký hiệu biến cố ngẫ nhiên chữ A, B, C… Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố  Ta thực phép thử Các kết có phép thử thực gọi biến cố sơ cấp ( biến cố bản)  Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B ký hiệu A  B A xảy suy B xảy  Mơ tả hình học quan hệ hình dung A tập B, tập A chứa B  Quan hệ tương đương: biến cố A B gọi tương đương với nhau, ký hiệu A=B, A  B B  A Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố  Tổng biến cố : Tổng hai biến cố A B biến cố ký hiệu là A B, cho biến cố tổng A  B xảy A xảy B xảy ( nói cách khác có biến cố A B xảy ra).Nếu khơng có nhầm lẫn ta ký hiệu A+B  Tích hai biến cố:Tích hai biến cố A B biến cố ký hiệu A  B, AB cho biến cố tích AB xảy A xảy B xảy Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố  Sơ đồ biểu diễn mối quan hệ bc Ven Phép thử ngẫu nhiên, biến cố ngẫu nhiên, quan hệ biến cố  Hai biến cố xung khắc: A B gọi xung khắc với AB = Ø  Nói cách khác A B gọi xung khắc xảy biến cố khơng xảy biến cố  Hiệu biến cố A biến cố B: biến cố ký hiệu A\B cho biến cố hiệu A\B xảy A xảy B không xảy  Biến cố đối lập: A gọi biến cố đối lập biến cố A xảy A khơng xảy A ngược lại, tức là: A =Ω\A Định nghĩa Xác suất  Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển) Xuất phát từ giả thiết tính đồng khả biến cố sơ cấp ( hay tính đồng khả trường hợp xảy ra) ta có định:  Xác suất biến cố A số không âm, ký hiệu P(A) ( p viểt tắt từ Probability), biểu thị khả xảy biến cố A xác định sau: Số trường hợp thuận lợi cho A m P(A) = = Số trường hợp có n  Ta cã P(AUB) = P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) ( Theo Định nghĩa Xác suất hình học )  Më réng ta cã :   P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C) – P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC)  Tổng quát:  NÕu  Th× A1 , A2 , , An   : Ai  Aj   P( A1  A2   An )  P( A1 )  P( A2 ) P( An ) 1.4.1 Hệ đầy đủ biến cố a,Định nghĩa : B1 , B2 , , Bn Cho biến cố đ-ợc gọi hệ đầy đủ biến cố chúng đôi xung kh¾c víi nhau: - i, Bi  B j   nÕu i  j - ii,   B1  B2   Bn   ( hay P Bi   )  i 1 n a, Định lý : Nếu B1 , B2 , , Bn đ-ợc gọi hệ đầy đủ biến cố A biến cố xảy cïng víi mét c¸c biÕn cè Bi ( i  n ) th×: P( A)  n  P( B i i 1 ).P( A / Bi ) (3.1) ( Công thức xác suất đầy đủ (3.1)) Và với giá trị k cho tr-ớc ( k  n ) ta cã : P ( Bk / A)  P ( Bk ).P ( A / Bk ) n  P( B i 1 i ).P ( A / Bi ) P( A)  P( A  )  P( A)  P( A  ( B1  B2   Bn ))  P( A)  P(( A  B1 )  ( A  B2 )   ( A  Bn )) n  P( A)  P( ABi ) i 1  P( A)  n  P( B ).P( A / B ) i 1 i •Nh- vËy ta ®· chøng minh ®-ỵc (3.1) i P ( Bk / A)  P ( Bk ).P ( A / Bk ) n  P( B i 1 ( theo c«ng thức xác suất có điều kiện) Thay P( Bk A) P( Bk / A)  p( A) P( Bk A)  P( Bk ).P( A / Bk ) n P( A)   P( Bi ).P( A / Bi ) i Vo (*) : ta có điều phải chứng minh i ).P ( A / Bi ) (*) Bµi toán: Một Công ty có phân x-ởng sản xuất loại sản phẩm Phân x-ởng I, II, III sản xuất chiếm tỉ lệ lần l-ợt 45%, 35%, 20% sản l-ợng toàn công ty Tỉ lệ phế phẩm t-ơng ứng phân x-ởng I, II, III lần l-ợt là: 1.5%, 2%, 0.5% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra a, Tính xác suất để sản phẩm lấy phẩm? b, Nếu sản phẩm lấy phế phẩm theo Anh (Chị) sản phẩm có khả thuộc phân x-ởng sản xuất cao nhất? Gọi biến cốsau : A ={ sản phẩm lấy phẩm} B1={sản phẩm lấy sp phân x-ởng I sản xuất} B2={sản phẩm lấy sp phân x-ởng II sản xuất} B3={sản phẩm lấy sp phân x-ởng III sản xuất} Dễ thấy B1, B2, B3 hệ đầy đủ biến cố Còn biến cố A biến cố x¶y cïng víi mét biÕn cè B1, B2, B3  P(B1) = 0,45 ; P(B2) = 0,35; P(B3) = 0,2 P(A/B1) = 0,985 ; P(A/B2) = 0,98 ; P(A/B3) = 0,995 a, Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P( A) P( Bi ).P( A / Bi ) i 1  0,45.0.985  0,35.0,98  0,2.0,995  0,98525 VËy x¸c suÊt để sản phẩm lấy phẩm là: P(A)= 0,98525? P(A) P( A / B1 )  0,015 ; P( A / B2 )  0,02 ; P( A / B3 )  0,005 P(B1) = 0,45 ; P(B2) = 0,35; P(B3) = 0,2 P( A)   P( A)  P( A)   0.98525  P( A)  0,01475 Theo c«ng thøc Bayes ta cã: P ( B1 / A)  P ( B1 ).P ( A / B1 )  P( B ).P( A / B ) i 1 i i 0,45.0,015   0,4576271186  45,8% 0,01475 P ( B2 / A)  P ( B1 ).P ( A / B2 )  P( B ).P( A / B ) i 1 i i 0,35.0,02   0,4745762712  47,5% 0,01475 P ( B3 / A)  P ( B3 ).P ( A / B3 )  P( B i 1 i ).P ( A / Bi ) 0,2.0,005   0,0677966101  6,8% 0,01475 P( B1 / A)  45,8% P( B2 / A)  47,5% P( B3 / A) 6,8% Kết luận: Sản phẩm ( phế phẩm) có khả thuộc phân x-ởng II sản xuÊt (lµ cao nhÊt)  Định nghĩa  Tiến hành n phép thử độc lập(tức kết phép thử khơng ảnh hưởng đến kết phép thử kia) gọi n phép thửBernoulli thoả mãn hai điều kiện sau:  Mỗi phép thử có hai kết quả:A  P(A) = p; P(A) phép thử  Tần số xuất biến cố A  Ta tìm xác suất cho n phép thử Bernoulli biến cố A xuất m lần Kí hiệu xác suất Pn(m, p)  Ta có: Pn (m, p)  C n p (1  p) m m nm Ví dụ 24: Tỷ lệ mắc bệnh basedow vùng 10% Trong đợt khám tuyển nghĩa vụ quân người ta khám cho 100 người Tìm xác suất: Trong 100 người có người bị bệnh basedow Trong 100 người có 95 người khơng bị mắc bệnh basedow Trong 100 người có người bị basedow Tìm số người bị basedow có khả Tính xác suất tương ứng  Ở ta có 100 phép thử Bernoulli với A = {bị bệnh basedow} P(A) = p = 0,1 Do ta có: 